SEGUNDA PRUEBA INTEGRAL LAPSO 2 008-2 734-1/5 Universidad Nacional Abierta MATEMÁTICA III ( 734 ) Vicerrectorado Académico Fecha: 10/01/2 009 Cód. Carrera: 610-612 - 613 MODELO DE RESPUESTAS OBJ 1 PTA 1 a) Un banco cobra una tasa anticipada del 40% sobre el valor del préstamo, en préstamos a un plazo máximo de 4 meses. Determine el valor del préstamo que queda en poder del banco, si el prestatario (persona que solicita el préstamo) recibe 170 000 dólares por un préstamo a 60 días. b) Una deuda de dólares con vencimiento en 15 meses sin interés, y otra de 15 000 dólares con vencimiento en 24 meses e intereses del 30%, van a cancelarse mediante 2 pagos iguales de dólares cada uno con vencimiento en 12 meses y 18 meses respectivamente. Con una tasa de interés simple del 28%, halle el valor de los pagos. Considere como fecha focal (ff) la correspondiente a 18 días. NOTAS: Use en sus cálculos cuatro (4) cifras decimales. Para lograr el objetivo debe responder correctamente ambas partes de la pregunta. a) Antes de comenzar a realizar cálculos debemos tener claro dos cosas: la primera es que cuando nos dicen que el banco cobra una tasa anticipada, nos están diciendo que la tasa de descuento es del 40%, mientras que lo segundo, es decir, cuando nos piden determinar el valor del préstamo que queda en poder del banco, lo que nos están pidiendo es que calculemos el valor final (monto) del documento. Una vez aclarado lo anterior, procedamos a resolver el problema, para esto notemos que los datos son: d = 40%, A = 170 000 y t = 60. Por lo tanto, aplicando la fórmula que nos permite calcular el valor actual A, conociendo la tasa de descuento y el tiempo, obtenemos: A = M(1 dt), de donde resulta Sustituyendo M = M = 170000 = 170000 60 1-0,4x 360 A 1- dt. 1-0,0667 = 170000 = 182 142,8571 0,9333
SEGUNDA PRUEBA INTEGRAL LAPSO 2 008-2 734-2/5 Nunca olvide que: la(s) tasa(s) dada(s) y el plazo deben expresarse en las mismas unidades de tiempo. b) Para las personas que trabajaron el problema tomando como fecha focal la correspondiente a 18 días, la respuesta es la siguiente: 24 15000 1+ 0,3 x + = + 0,28 0,28 0,28 0,28 1+ x 433 1+ x 703 1+ x 343 1+ x 523 360 360 360 360 1,3368 + 24 000 1,5468 = ( 1,2668 ) + ( 1,4068) 18 701,6873 + 15 515,9038 = 0,7894 + 0,7108 34 217,5911 = 1,5002 34 217,5911 = = 22 808,6862 1,5002 Nótese que tanto los meses como la tasa fueron llevados a días Mientras que los que trabajaron el problema tomando como fecha focal la correspondiente a 18 meses, la respuesta es como sigue: Comencemos por elaborar el diagrama de tiempo. 15 000 ( ) 24 1+ 0,3x 12 0 12 15 18 24 El cero (0) representa el día de hoy, los restantes números en la línea de tiempo representan las fechas de los vencimientos de las deudas o de los pagos. Obsérvese que hemos colocado las deudas de un lado de la línea de tiempo y los pagos del otro lado de la misma. Para plantear la ecuación de valores, debemos trasladar todas las deudas y pagos a la fecha focal (ff), en el diagrama dicha fecha está representada por la línea punteada. Por lo tanto
SEGUNDA PRUEBA INTEGRAL LAPSO 2 008-2 734-3/5 1+ 0,28 + x 3 ( 1,07 ) + 24 15000 1+ 0,3 x = + 6 6 1+ 0,28 x 1+ 0,28 x 15000( 1,6) = + ( 1,14 ) 1,14 ( ) 26 750 + 21 052,6316 = 2,14 47 802,6316 = 2,14 = 47802,6316 = 22 337,6783 2,14 Para plantear la ecuación de valores, debemos trasladar todas las deudas y pagos a la fecha focal (ff), en este caso 18 días contados a partir de la fecha cero. OBJ 2 PTA 2 a) Una persona se comprometió a pagar 2 500 000 bolívares en 3 meses, 3 000 000 de bolívares en 8 meses y 1 300 000 bolívares en 15 meses. Ante la dificultad de cumplir con sus obligaciones tal como están pactadas solicita una nueva forma de pago así: 600 000 bolívares hoy, 5 000 000 de bolívares en 12 meses y el resto en 18 meses. Suponiendo una tasa de interés del 36% nominal convertible mensualmente, determine el valor del último pago. SUGERENCIA: Elabore un diagrama de tiempo. b) Dado el 36% nominal convertible mensual, halle una tasa nominal convertible mensualmente equivalente. NOTAS: Use en sus cálculos cuatro (4) cifras decimales. Para lograr el objetivo debe responder correctamente ambas partes de la pregunta. a) Elaboremos un diagrama de tiempo, en el cual las obligaciones originales las colocaremos hacia arriba, mientras que las nuevas obligaciones las colocaremos hacia abajo. A diferencia del régimen de capitalización simple, en el compuesto la fecha focal (ff) puede ser cualquiera, sin embargo la vamos a colocar en el mes 8, en nuestro diagrama de tiempo la misma la representamos con un linea punteada. 2 500 000 3 000 000 1 300 000 0 3 8 12 15 18 600 000 5 000 000
SEGUNDA PRUEBA INTEGRAL LAPSO 2 008-2 734-4/5 En virtud del diagrama, la ecuación de valores puede ser escrita como sigue: 2 500 000(1 + 0,03) 5 + 3 000 000 + 1 300 000(1 + 0,03) - 7 = 600 000(1 + 0,03) 8 + 5 000 000(1 + 0,03) 4 + (1 + 0,03) 10. Al resolver y despejar se tiene: = 2 355 472,1976 b) Recordemos que: Dos (2) tasas de interés son equivalentes, si operando bajo modos de capitalización diferentes producen el mismo valor final, es decir, el mismo monto. La respuesta es inmediata, pues se debe observar que la tasa pedida es la misma dada. Observación: Para hallar tasas equivalentes, no hace falta aprenderse las fórmulas, lo que realmente es importante aprender y entender, es la definición de equivalencia entre tasas. OBJ 3 PTA 3 Una empresa constructura contrae un empréstito (préstamo) comprometiéndose a pagarlo mediante 10 cuotas semestrales de 10 000 BsF cada una y con interés compuesto del 14% anual convertible semestralmente. Después de cancelar la 6ª cuota, la empresa realizó trabajos inconvenientes que le hizo imposible cancelar las cuotas restantes. Sabiendo que el empréstito fue contraído hace 8 años, cuánto debe pagar en la fecha actual la empresa para ponerse al día con su acreedor? NOTA: Use en sus cálculos cuatro (4) cifras decimales. Ver ejemplo Nº 6 de la página 164 de la sección 26 del texto de Matemática III codigo 734. OBJ 4 PTA 4 Un préstamo por $6 000 se amortizará mediante 6 pagos semestrales iguales. Si la tasa de interés es del 14% anual convertible semestralmente, encontrar el pago semestral y elabore la tabla de amortización. Como se puede apreciar del enunciado, esta es una renta inmediata, de la cual conocemos el valor actual A, la tasa de interés i y el número n de pagos. Por lo tanto, para el cálculo del pago semestral usaremos la fórmula: -n 1- ( 1+ i ) A = T i Sustituyendo:
SEGUNDA PRUEBA INTEGRAL LAPSO 2 008-2 734-5/5 ( ) 1-1+ 0,07 6 000 = T 0,07 T = El cuadro de amortización solicitado es: - 6 = T( 4,7665 ) 6000 4,7665 = 1 258,7853 Periodo Cuota Interés Amortización Total Amortización Deuda 0 6 000 1 1 258,7853 420 838,7853 838,7853 5 161,2147 2 1 258,7853 361,2850 897,5003 1 736,2856 4 263,7144 3 1 258,7853 298,4600 960,3253 2 696,6109 3 303,3891 4 1 258,7853 231,2372 1 027,5481 3 724,1590 2 275,8410 5 1 258,7853 159,3089 1 099,4764 4 823,6354 1 176,3646 6 1 258,7853 82,3455 1 176,4398 6 000,0752-0,0752 FIN DEL MODELO DE RESPUESTAS