Tema 3: Campos estáticos 1 Índice Ecuaciones en el caso estacionario Electrostática Solución del problema electrostático Cálculo de campos mediante Ley de Gauss Energía electrostática Desarrollo multipolar El dipolo eléctrico Campo magnético de corrientes estacionarias Solución del problema magnetostático Ley de Biot-Savart Cálculo de campos mediante Ley de Ampere Energía magnetostática Desarrollo multipolar Dipolo magnético 2
Caso estacionario Ecuaciones de Maxwell: Suponemos distribuciones de carga y corriente estacionarias: No dependen del tiempo No dependen del tiempo 3 Caso estacionario Las ecuaciones de Maxwell quedan entonces: Electrostática Magnetostática Quedan definidos dos problemas desacoplados (el campo eléctrico no aparece en las fuentes del campo magnético ni viceversa) Cada pareja de ecuaciones puede resolverse usando el Teorema de Helmholtz: campo electrostático y campo magnetostático 4
Electrostática Teorema de Helmholtz: Electrostática: Solución: Solución: Con: Con: Potencial electrostático 5 Campo eléctrico Expresión para el campo eléctrico en función de ρ: Usando: 6
Ejemplo: carga puntual Sobre una carga en la carga ejerce una fuerza : Ley de Coulomb 7 Diferencia de potencial El potencial es en principio una herramienta matemática útil para calcular el campo electrostático Conocido el campo eléctrico es posible también obtener valores de diferencia de potencial Diferencia de potencial entre dos puntos: 8
Significado físico del potencial Supongamos una región donde existe un campo eléctrico Sea una carga puntual q que traemos desde el infinito hasta un punto Hacemos el proceso muy lentamente (cuasi-estático) : fuerza que ejerce el campo eléctrico en cada instante : fuerza que debemos ejercer sobre la carga W e : Trabajo realizado por la fuerza eléctrica W : trabajo realizado por nosotros sobre la carga 9 Significado físico del potencial Balance energético: El potencial electrostático en un punto representa el trabajo realizado sobre la unidad de carga para llevarla desde el infinito hasta ese punto mediante un proceso cuasi-estático 10
Energía potencial de interacción Puede definirse para fuerzas conservativas La energía potencial de interacción entre un campo eléctrico y una carga puntual situada en un punto es el trabajo realizado para traer la carga desde el infinito hasta dicho punto mediante un proceso cuasiestático: La fuerza electrostática es conservativa y deriva de un potencial, que es la propia U: 11 pdi1 Relaciones en electrostática Falta 12
Diapositiva 12 pdi1 pdi; 17/10/2008 Ecuaciones de Poisson y Laplace Ecuación de Poisson En una región libre de cargas (ρ=0) : V es un campo escalar armónico Ecuación de Laplace 13
Relaciones en electrostática 14 Cálculo del campo a partir de ρ 15
Cálculo del campo a partir de ρ El cálculo directo del campo requiere resolver en realidad tres integrales (vector) El cálculo a través de V suele ser más sencillo Este camino no puede emplearse en el caso de fuentes idealizadas que se extienden hasta el infinito: V diverge Ejemplos: hilo de carga infinito, plano cargado La razón es que en este caso no se cumplen los requisitos que exige el teorema de Helmholtz (ausencia de fuentes en el infinito) Para este caso sí es posible realizar un cálculo directo del campo eléctrico o aún mejor Aprovechar la simetría del problema idealizado para calcular el campo eléctrico mediante Ley de Gauss 16 Ley de Gauss Forma integral de la Ley de Gauss: Se cumple siempre En situaciones de alta simetría permite calcular el campo eléctrico evitando la integración directa Simetrías posibles: plana, esférica y cilíndrica 17
Cálculo del campo mediante Ley de Gauss Ejemplo: carga puntual en el origen Simetría esférica: forma general del campo: Argumentos de simetría: Ley de Gauss: superficie gaussiana = esfera de radio r centrada en el origen 18 Esfera uniformemente cargada en superficie Simetría esférica: igual que carga puntual Ley de Gauss con superficie gaussiana = esfera de radio r centrada en el origen: Caso r<r: no hay carga dentro de S r 19
Esfera uniformemente cargada en superficie Caso r>r: toda la carga se encuentra dentro de la superficie gaussiana El campo eléctrico es nulo en el interior de la esfera cargada, mientras que fuera es el mismo campo que crearía una carga puntual de valor igual a la carga total en la superficie de la esfera que estuviese situada en el centro de la esfera 20 Esfera uniformemente cargada en volumen Simetría esférica: Ley de Gauss con superficie gaussiana = esfera de radio r centrada en el origen: Caso r<r: El campo aumenta linealmente con r 21
Esfera uniformemente cargada en superficie Caso r>r: toda la carga se encuentra dentro de la superficie gaussiana El campo eléctrico en el exterior de la esfera de carga el mismo campo que crearía una carga puntual de valor igual a la carga total de la esfera y que estuviese situada en el centro de la esfera En este caso no aparece una discontinuidad del campo eléctrico en la superficie de la esfera, ya que no hay ρ S 22 Hilo infinito cargado Argumentos de simetría: simetría cilíndrica Ley de Gauss con superficie gaussiana = cilindro de radio r y altura L coaxial con el hilo 23
Simetría plana: Plano infinito de carga Además Es impar Ley de Gauss: superficie gaussiana=cilindro recto de S arbitraria 24 Entonces: Plano infinito de carga Se cumple la condición de discontinuidad del campo: 25
Índice (I) Ecuaciones en el caso estacionario Electrostática Solución del problema electrostático Cálculo de campos mediante Ley de Gauss Energía electrostática Desarrollo multipolar El dipolo eléctrico 26 Energía electrostática En general, la energía almacenada por el campo eléctrico es: En electrostática puede obtenerse una expresión alternativa en función del potencial y la densidad de carga: Y la integral queda: Extendido a la región donde hay fuentes 27
Energía electrostática Cómo se llega a la conclusión de que el primer término es nulo? Teorema de la divergencia S R puede hacerse infinitamente grande: esfera que rodea a todo el espacio Cuando, pero el integrando decrece más rápido: 28 Energía electrostática En electrostática: Es el trabajo necesario para traer las cargas que conforman la distribución de cargas ρ desde el infinito hasta el lugar que ocupan mediante un proceso cuasiestático Para distribuciones superficiales: 29
Ejemplo Energía de una esfera de radio R uniformemente cargada Método 1: 30 Ejemplo Energía de una esfera de radio R uniformemente cargada Método 2: 31
Ejemplo Energía de una esfera de radio R uniformemente cargada Haciendo : energía de una carga puntual La carga puntual es una idealización que supone una energía almacenada infinita ( infinito (El trabajo necesario para llevar todos los dq a un mismo punto es 32 Energía de una distribución de cargas puntuales El potencial creado por la carga i-ésima evaluado sobre ella misma es infinito Porque incluye la parte de energía debida a la formación de las cargas puntuales 33
Energía de una distribución de cargas puntuales Obtenemos una expresión útil si eliminamos el término divergente: Se usa el potencial creado en la posición de cada carga por todas las demás cargas En este caso U E representa la energía necesaria para traer todas las cargas puntuales desde el infinito hasta sus posiciones actuales mediante un proceso cuasi-estático, pero sin incluir la energía necesaria para crear cada carga puntual, que es infinita 34 ( I ) Índice Ecuaciones en el caso estacionario Electrostática Solución del problema electrostático Cálculo de campos mediante Ley de Gauss Energía electrostática Desarrollo multipolar El dipolo eléctrico 35
Desarrollo multipolar Determinar el campo electrostático y el potencial en cualquier punto debido a una distribución de carga ρ arbitraria puede ser complicado en general: Desarrollo multipolar: se trata de analizar el campo electrostático creado por la distribución de carga cuando el punto de observación está alejado de ella Permite simplificar el problema Permite definir un concepto útil: dipolo eléctrico 36 Desarrollo multipolar Si el punto campo está muy alejado de la fuente: Tiende al potencial de una carga puntual (lógico) Veamos que obtenemos si hacemos una aproximación más cuidadosa 37
Desarrollo multipolar Cuando 38 Desarrollo multipolar Potencial dipolar Tiene la forma del potencial de una carga puntual: Donde Q es la carga de la distribución: Este término domina a grandes distancias cuando Q 0 39
Potencial dipolar Potencial dipolar: Domina a grandes distancias cuando Q=0 Decae como r -2 No posee simetría radial Se define: Momento dipolar de la distribución 40 El dipolo eléctrico Sistema más sencillo que no presenta el primer término del desarrollo multipolar Importancia para el modelado de la reacción de materiales dieléctricos (no conductores) frente al campo eléctrico Sistema constituido por dos cargas iguales y de signo contrario separadas por una distancia d : Momento dipolar del dipolo 41
Potencial del dipolo Esta expresión es correcta en el caso límite (dipolo ideal): Superficies equipotenciales: (línea discontinua) 42 Campo eléctrico del dipolo El campo producido por el dipolo puede calcularse del potencial: Resultado: Decae como Tiene simetría axial Ver: http://wwwfalstadcom/vector3de/ 43
Interacción de un dipolo con un campo eléctrico externo Energía de interacción: Siendo el punto medio del dipolo La energía de interacción es mínima cuando el campo eléctrico y el momento dipolar son paralelos 44 Fuerza sobre un dipolo Fuerza sobre el dipolo: con Electrostática no es función de Un campo eléctrico uniforme no ejerce fuerza neta sobre un dipolo 45
Fuerza sobre un dipolo Campo uniforme: El dipolo tiende a girar, pero no se desplaza Si el campo no es uniforme aparece una fuerza neta: El dipolo tiende a girar y desplazarse hacia la zona de campo eléctrico más intenso 46 Momento sobre un dipolo El momento es nulo cuando el dipolo y el campo eléctrico son paralelos y máximo cuando son perpendiculares Conclusión: el dipolo tiende a alinearse con el campo 47
( I ) Índice Ecuaciones en el caso estacionario Electrostática Solución del problema electrostático Cálculo de campos mediante Ley de Gauss Energía electrostática Desarrollo multipolar El dipolo eléctrico 48 ( II ) Índice Campo magnético de corrientes estacionarias Solución del problema magnetostático Ley de Biot-Savart Cálculo de campos mediante Ley de Ampere Energía magnetostática Desarrollo multipolar Dipolo magnético 49
Caso estacionario Ecuaciones de Maxwell en el caso estacionario: Electrostática Magnetostática Magnetostática implica que la corriente ha de ser solenoidal: Las líneas de corriente son cerradas Condición de corriente estacionaria La carga neta en cada punto no varía con el tiempo 50 Solución del problema de la magnetostática Teorema de Helmholtz: Magnetostática: Solución: Solución: Con: Con: Potencial vector magnético 51
Campo magnético Expresión para el campo magnético en función de : Usando: 52 Corrientes filiformes Gran interés práctico Se pueden particularizar las fórmulas si hacemos el cambio: Obtenemos: En magnetostática se suele calcular el campo sin pasar por el potencial vector 53
Ejemplo: campo magnético de un hilo finito ( Coord cilíndricas ) Cambio: 54 Ejemplo: campo magnético de un hilo finito Campo del hilo infinito: 55
Ley de Biot-Savart Sean dos espiras de corriente: La espira 2 crea un campo magnético que realiza una fuerza sobre la espira 1: Pero a su vez: Combinado ambas expresiones: 56 Fuerza entre hilos paralelos La fuerza es atractiva para corrientes con el mismo sentido y repulsiva si tienen sentido contrario La fuerza es proporcional a las intensidades e inversamente proporcional a la distancia entre los hilos 57
( II ) Índice Campo magnético de corrientes estacionarias Solución del problema magnetostático Ley de Biot-Savart Cálculo de campos mediante Ley de Ampere Energía magnetostática Desarrollo multipolar Dipolo magnético 58 Ley de Ampere Donde: es la intensidad que atraviesa cualquier superficie que se apoye en El signo de la intensidad viene dado por la regla de la mano derecha La Ley de Ampere nos permite calcular el campo magnético en situaciones con simetría de revolución (axial) 59
Simetría Simetrías de revolución Campo toroidal: Campo poloidal: (coordenadas cilíndricas) Ejemplo: campo magnético de un hilo infinito Ejemplo: campo magnético de una espira Teorema: Si es poloidal es toroidal Si es toroidal es poloidal 60 Cálculo de campos mediante Ley de Ampere Hilo recto infinito: Simetría axial: Producto vectorial También se puede ver así: Poloidal Toroidal 61
Cálculo de campos mediante Ley de Ampere Camino de integración: circunferencia centrada en el hilo: con: 62 Cálculo de campos mediante Ley de Ampere Campo del hilo recto infinito: Las líneas de campo son circunferencias centradas en el hilo Sentido del campo: regla de la mano derecha El módulo del campo decrece como la inversa de la distancia al hilo 63
Cilindro de corriente superficial Simetría: Poloidal Toroidal Línea de integración: circunferencia centrada en el eje z de radio r Caso r<r: Caso r>r: 64 Cilindro de corriente volumétrica Simetría: Poloidal Toroidal Línea de integración: circunferencia centrada en el eje z de radio r Solución (se deja como ejercicio): El campo dentro crece con la distancia al eje y fuera es el mismo que el de un hilo infinito de corriente I situado en el eje z 65
Cuerpo toroidal Bobinado uniforme (N vueltas) de un hilo que transporta una corriente I sobre un cuerpo toroidal 66 Cuerpo toroidal Simetría: Poloidal Toroidal Ley de Ampere: circunferencia de radio r centrada en eje z Caso exterior: Caso interior: 67
visualización del campo de un toroide 68 Solenoide recto infinito Podemos considerar una corriente superficial: donde n =densidad de bobinado Simetría: Toroidal Poloidal Puede usarse un argumento adicional para simplificar aún más la forma del campo 69
Solenoide recto infinito Ley de inexistencia de monopolos: La aplicamos en un cilindro de altura d y radio r como el de la figura: ya que De donde: Entonces, y el campo es de la forma: 70 Solenoide recto infinito Aplicamos Ley de Ampere con camino de integración: el rectángulo de la figura Como el campo sólo tiene componente según z solo contribuyen los segmentos verticales: De donde: 71
Solenoide recto infinito La Ley de Ampere nos da la diferencia entre el campo interior y el exterior: Esta diferencia es independiente de r i y r e Se deduce que el campo es uniforme en cada región (interior y exterior) Dado que el solenoide recto infinito puede considerarse un toroide de radio de revolución infinito, se deduce que el campo magnético en el exterior debe ser nulo Entonces la solución es: 72 ( II ) Índice Campo magnético de corrientes estacionarias Solución del problema magnetostático Ley de Biot-Savart Cálculo de campos mediante Ley de Ampere Energía magnetostática Desarrollo multipolar Dipolo magnético 73
Energía magnetostática En general, la energía almacenada por el campo magnético es: En magnetostática puede obtenerse una expresión alternativa en función del potencial vector y la densidad de corriente: Y la integral queda: Extendido a la región donde hay fuentes 74 Energía de un conjunto de n espiras Para corrientes filiformes: definimos: Flujo del campo magnético a través de la espira i 75
Energía de espiras: ejemplo Solenoide toroidal de N espiras y sección rectangular: Método 1: 76 Energía de espiras: ejemplo Solenoide toroidal de N espiras y sección rectangular: Método 2: 77
( II ) Índice Campo magnético de corrientes estacionarias Solución del problema magnetostático Ley de Biot-Savart Cálculo de campos mediante Ley de Ampere Energía magnetostática Desarrollo multipolar Dipolo magnético 78 Desarrollo multipolar Potencial vector de la espira: Para puntos lejanos hemos visto que: Entonces: El primer término no nulo del desarrollo es el término dipolar 79
Momento dipolar magnético El término dipolar del potencial vector se puede escribir (no lo demostramos aquí): Momento dipolar magnético de una espira: Para espiras planas (caso habitual): Cualquier superficie que se apoye en la curva que define la espira Módulo: el de la sup plana limitada por la espira Dirección: perpendicular al plano de la espira Sentido: regla de la mano derecha para sentido de circulación definido en la espira 80 Campo magnético creado por un dipolo magnético Campo magnético que crea un dipolo magnético: Misma forma que el campo eléctrico de un dipolo eléctrico Esta expresión es correcta suficientemente lejos de cualquier espira de corriente Esta expresión es exacta si se trata de un dipolo ideal: Espira de área que tiende a cero e intensidad de corriente que tiende a infinito 81
Interacción de un dipolo magnético con un campo externo Existe un fuerte paralelismo en las fórmulas con el caso de interacción de un dipolo eléctrico con un campo eléctrico No vamos a demostrar las del caso magnético: Energía de interacción: Fuerza sobre el dipolo magnético: Momento de las fuerzas sobre el dipolo: La tendencia del dipolo magnético es: Orientarse paralelamente al campo magnético externo Desplazarse hacia las zonas de campo más intenso 82 Resumen Tema 3 (I) En situación estacionaria las ecuaciones de Maxwell se desacoplan y pueden estudiarse por separado el problema eléctrico y magnético Existe una solución para las ecuaciones de la electrostática a partir del teorema de Helmholtz El campo electrostático puede obtenerse a partir del gradiente de un campo escalar: potencial electrostático El potencial electrostático tiene sentido físico Su expresión integral en función de la densidad de carga estacionaria es más fácil de evaluar que la del campo eléctrico La Ley de Gauss nos permite calcular de una forma sencilla (sin integrar) el campo eléctrico en situaciones de alta simetría 83
Resumen Tema 3 (II) Existe una expresión específica para calcular la energía asociada al campo electrostático Coincide con el trabajo necesario para llevar toda la carga de la distribución que crea el campo desde el infinito a su posición El desarrollo multipolar nos permite obtener una aproximación del campo eléctrico para puntos lejos de la distribución de carga El campo de una distribución con carga neta nula viene dominado por el término dipolar El ejemplo más sencillo de este tipo de distribución es el dipolo eléctrico Un dipolo eléctrico sufrirá fuerzas y momentos ante la presencia de un campos eléctrico externo 84 Resumen Tema 3 (III) Las ecuaciones de Maxwell para el campo magnético en el caso estacionario pueden resolverse con el teorema de Helmholtz: magnetostática La solución para el campo magnético tienen la forma de una expresión integral en función de la densidad de corriente Esta expresión se puede particularizar con facilidad para el caso práctico de corrientes filiformes La Ley de Ampere nos permite calcular de una forma sencilla (sin integrar) el campo magnético en situaciones con alta simetría de revolución Existe una expresión específica para calcular la energía asociada al campo magnetostático 85
Resumen Tema 3 (y IV) El desarrollo multipolar nos permite obtener una aproximación del campo magnético para puntos lejos de una espira de corriente El primer término de la aproximación del campo magnético es el término dipolar El campo magnético dipolar se escribe en función del momento dipolar magnético, que depende del área de la espira y de la intensidad que la recorre Una espira pequeña constituye un dipolo magnético: el campo magnético que crea coincide esencialmente con el término dipolar del desarrollo Un dipolo magnético sufrirá fuerzas y momentos ante la presencia de un campo magnético externo 86