1.- Introducción El hombre es la medida de todas las cosas. Este antiguo aforismo griego nos va a servir de base para desarrollar todo el tema de la Astronomía de posición. Todo el desarrollo geométrico-matemático tiene como base el observador. Cada observador se convierte en el centro de un Universo que gira en torno a él. Es la sensación más intuitiva, más primaria, es lo que el hombre de cualquier milenio siente cuando en una noche despejada el espectáculo del Cosmos se abre moviéndose ante sus ojos de espectador inteligente. Imaginemos una escena acaecida hace varias decenas de miles de años. En una noche fría, las estrellas brillan ajenas a la contaminación lumínica futura. Un antepasado nuestro levanta su mirada hacia el cielo. Fácilmente podemos recrear la imagen que se forma en su cerebro. Una cúpula semiesférica tachonada de estrellas que gira en torno a un eje sin cambiar sus posiciones relativas. Esta imagen primitiva es la misma que cualquiera de nosotros puede observar en la actualidad y vamos a abordar el problema con la misma perspectiva de ese hombre primitivo. Antes de continuar, voy a efectuar, saliéndome un poco del tema, una reflexión personal. Hace unos meses leí en una revista que una persona ciega de nacimiento, al cabo de unos años es operada y se le corrige el problema físico de su ceguera. Bueno, pues esa persona jamás podrá llegar a ver porque el sentido de la vista no es algo puramente mecánico u óptico sino también y fundamentalmente un problema de estimulación cerebral. Nosotros aprendemos a ver como aprendemos a hablar o aprendemos a andar. Sin la estimulación sensitivo-cerebral fruto del proceso de aprendizaje en las primeras etapas de nuestra vida, estaríamos imposibilitados de hacer uso de nuestros sentidos. Viene esto al caso porque pienso que ese firmamento donde titilan azules las estrellas a lo lejos, esos desplazamientos regulares del Sol, de las fases de la Luna, esos eclipses, esas estrellas errantes o planetas, esos cometas,... etc., parece como si alguien los hubiera colocado ahí adrede para despertar la inteligencia del hombre, para acelerar la evolución de su cerebro y en definitiva, para proporcionarle los estímulos que su mente primitiva necesitaba a fin de convertirlo en un ser reflexivo, indagador y curioso. Personalmente, pienso que otro ser humano con la misma carga genética, viviendo en un planeta cubierto de nubes, sin posibilidad de acceder al maravilloso espectáculo del cielo nocturno no hubiera alcanzado el nivel de desarrollo del homo sapiens actual. El cielo estrellado viene a ser como el monolito de Vicente Viana Martínez Pág 1
proporciones 1:4:9 ideado por Arthur C.Clarke como recurso metafórico para resumir el despertar de la inteligencia. 2.- Conceptos elementales. Geometría esférica Hecha esta reflexión, volvamos al tema de la charla. Las estrellas, sabemos que están situadas a distancias muy variables de la Tierra pero para nosotros parece como si todas estuvieran situadas a igual distancia sobre una bóveda de radio indeterminado y así es como vamos a trabajar. A efectos de Astronomía de posición el observador, nosotros mismos, nos convertimos en el centro de todo el Universo, el centro geométrico de esa semiesfera sobre cuya superficie las estrellas parecen como si permanecieran pegadas a esa cubierta móvil. Nuestra posición queda fijada con la intersección del eje de nuestro cuerpo con la bóveda celeste. Al punto superior lo llamamos cenit y al opuesto nadir. Este modelo de cúpula presenta una dificultad importante. Las distancias entre las estrellas no son líneas rectas sino arcos de circunferencia y la trigonometría Pitagórico-Euclidiana no nos sirve. Debemos entrar en una geometría no-euclidiana, en una trigonometría esférica y acostumbrarnos a medir distancias en grados, minutos y segundos en vez de kilómetros. En la geometría plana, la suma de los ángulos de un triángulo es siempre 180º y en la geometría esférica es un valor comprendido entre 180º y 540º. b h El área de un triángulo en la trigonometría plana es 2 (siendo = + + -180º). y en la trigonometría esférica r 2 En el plano, dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas. En la esfera, dos rectas perpendiculares a una tercera pueden cortarse. Los principios básicos de la trigonometría esférica los estableció el astrónomo alemán Wilhelm Bessel (1.784 1.846), quien entre otras cosas calculó la órbita del cometa Halley, fue el primero que midió el paralaje de la estrella 61 Cygnus, obteniendo el valor de 6 años luz, por lo cual el tamaño del Universo se amplió considerablemente, predijo la existencia de un planeta más allá de Urano e ideó las llamadas fórmulas de Bessel para la resolución de cierto tipo de ecuaciones diferenciales. Vicente Viana Martínez Pág 2
3.- La esfera terrestre Supondremos la Tierra como una esfera de radio = 6.370 km, girando alrededor de un eje que pasa por su centro y que corta a la superficie terrestre en los polos N y S. El ecuador divide a la Tierra en dos hemisferios; el boreal o norte y el austral o sur. A una latitud de 23,5º norte y sur tenemos los llamados trópicos de Cáncer y de Capricornio y a una latitud igual a 90º - 23,5º = 66,5º norte y sur tenemos los llamados Círculo Polar Ártico y Círculo Polar Antártico. Estos cinco paralelos dividen la superficie terrestre en 5 zonas. La comprendida entre los trópicos es la llamada zona tórrida o zona tropical. Del trópico hasta los Círculos Polares se sitúan las zonas templadas boreal y austral respectivamente y de los Círculos Polares hasta los Polos están las llamadas Zonas Glaciares Ártica y Antártica respectivamente. El meridiano geográfico que pasa por Greenwich se toma como meridiano cero. Hacia el este medimos longitudes de 0 a 180º E y hacia el Oeste medimos longitudes de 0 a 180º W. Generalmente las longitudes se miden en unidades de tiempo, pues 24 horas equivalen a 360º. Cada hora equivale a 15º de arco y cada grado equivale a 4 minutos de tiempo. 4.- La esfera celeste Llamamos esfera celeste a una esfera imaginaria de radio arbitrario con centro en un punto cualquiera del espacio (generalmente es el propio observador el centro), en cuya superficie los astros se disponen tal como se ven en el cielo en cierto momento. La línea vertical que pasa por el observador corta a la esfera en dos puntos opuestos; el cenit sobre la cabeza del observador y el nadir bajo sus pies. los denominaremos como Z y Z. El círculo máximo de la esfera celeste perpendicular a la línea de aplomo es el llamado horizonte verdadero o matemático, para no confundirlo con el visible. Estos horizontes no coinciden debido a la curvatura de la Tierra. El círculo menor de la esfera celeste que pasa por un astro es la almicantarat del astro. Vicente Viana Martínez Pág 3
El semicírculo máximo que pasa por el cenit, el astro y el nadir y es perpendicular al horizonte verdadero es el llamado círculo de altitud. El diámetro PP a cuyo alrededor tiene lugar la rotación de la esfera celeste se llama eje del mundo. El eje del mundo corta a la esfera celeste en dos puntos P y P que son los polos celestes boreal y austral respectivamente. El círculo máximo que pasa por los polos por el cenit y nadir y es perpendicular al horizonte matemático se llama meridiano celeste. El meridiano celeste corta al horizonte verdadero en dos puntos llamados; punto del norte N y punto del sur S. La línea que los une se llama línea meridiana El círculo máximo que pasando por el observador es perpendicular al eje del mundo se llama ecuador celeste. El círculo menor de la esfera celeste, paralelo al ecuador celeste y que pasa por el astro se llama paralelo celeste del astro. Representa la trayectoria seguida por el astro. Los puntos de corte del paralelo celeste con la línea del horizonte corresponden al orto y el ocaso de la estrella. El semicírculo máximo que pasa a través de los polos celestes, del astro M, y es perpendicular al ecuador celeste es el llamado círculo horario o círculo de declinación del astro. En virtud del movimiento de la esfera celeste, el círculo horario de cada astro va avanzando coincidiendo con el meridiano cada 23h 56m El ecuador celeste corta al horizonte matemático en dos puntos llamados punto de oriente E y punto de occidente W. La eclíptica es un círculo máximo intersección con la esfera celeste de un plano que pasando por el observador forma un ángulo de 23º 26 con el plano del ecuador celeste. La eclíptica representa la trayectoria aparente del Sol sobre el fondo de las estrellas visto desde la Tierra. Ese ángulo de 23º 26 es justamente la inclinación del eje de rotación terrestre con el plano de la eclíptica. La eclíptica corta al ecuador celeste en dos puntos; el punto Aries que marca el punto del equinoccio de primavera y el punto Libra que marca el punto del equinoccio de otoño. Los puntos de la eclíptica que distan 90º de esos puntos representan el punto del solsticio de verano y el punto del solsticio de invierno. La línea que une el punto Aries con el punto Libra se llama línea de los equinoccios. El zodíaco es una región del cielo cuyas bases paralelas al plano de la eclíptica distan de ella +8º y 8º. Esa zona se ha dividido en doce partes iguales cuyos nombre nos son muy familiares; Aries, Tauro, Géminis, Cáncer, Leo, Virgo, Libra, Escorpio, Sagitario, Capricornio, Acuario y Piscis. Vicente Viana Martínez Pág 4
5.- Medida de la latitud de un lugar con ayuda de la estrella polar Si por la noche levantamos el brazo apuntando a la estrella polar, el ángulo que forma nuestro brazo con el horizonte es justamente la latitud del lugar donde nos encontramos, según se deduce en la figura. Obsérvese que al desplazarnos hacia el norte, latitud mayor, la estrella polar va desplazándose hacia nuestro cenit, alcanzándolo cuando llegamos al Polo Norte. En cambio, cuando nos desplazamos de latitudes medias hacia el sur, la estrella polar cada vez se ve bajo un ángulo menos hasta que justo en el ecuador, la estrella polar estaría en el límite de nuestro horizonte, la veríamos bajo un ángulo de 0º, correspondiente a la latitud del ecuador. La primera fotografía que hace un aficionado a la Astronomía es apuntando el objetivo de la cámara a la estrella polar y dejando el objetivo abierto durante unos cuantos minutos. Al revelarla aparecen como unos círculos discontinuos, que representan las trayectorias circulares del movimiento de todas las estrellas en torno a la polar. Existen estrellas que no se ponen nunca para un observador situado en una latitud, son aquellas que poseen una declinación mayor o igual a +(90º - ), otras nunca serán visibles para ese observador, son las que tienen como declinación menor o igual que (90º - ). El resto, las comprendidas entre +(90º + ) y (90º - ) serán visibles durante parte de la noche y luego se ocultarán. Vicente Viana Martínez Pág 5
6.- Trigonometría esférica. Fórmulas de Bessel Llamamos triángulo esférico a la porción de superficie esférica comprendida entre dos arcos de circunferencia máxima que se cortan dos a dos. Veamos sus propiedades: cualquiera de los lados de un triángulo esférico es menor que una semicircunferencia. la suma de los lados de un triángulo esférico es menor que 4 rectos. la suma de los ángulos de un triángulo esférico es mayor que 2 rectos y menor que 6 rectos. Área de un triángulo esférico. S = r 2 Área de un polígono esférico. siendo = + + - (en radianes) S = r 2 ( + + +...- 2) S < 4 rectos (2n 4) rectos < S < 2n rectos Primer grupo proyección de AE = proy AB + proy BC + proy CD + proy DE Sobre OB Triángulo esférico ABC situado sobre una superficie esférica de radio unidad. Proyectamos C sobre el plano XOY, obteniendo el punto Y. Proyectamos D sobre el eje OA, obteniendo el punto E. Proyectamos D sobre el eje OB, obteniendo el punto F. CE = 1 sen b OE = 1 cos b CD = sen b sen A ED = sen b cos A proy de OC/OB = proy OE/OB + proy ED/OB + proy DC/OB cos a = cos b cos c + sen b cos A sen c + 0 Vicente Viana Martínez Pág 6
Y análogamente. cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A cos b = cos a cos c + sen a sen c cos B (1) cos c= cos a cos b + sen a sen b cos C Segundo grupo Al arco de circunferencia máxima CH = h c trazado desde C, perpendicularmente a AB, se denomina altura esférica del triángulo sobre el lado AB. sen h c = CD = CE sen A = sen b sen A Trazando desde D la perpendicular a OB y uniendo el pie F de dicha perpendicular con C, se tiene análogamente. sen h c = CD = CF sen B = sen a sen B Igualando ambas expresiones queda. sena sen A senb senb Trazando la altura esférica h a se obtiene del mismo modo. senb senb senc senc sena sen A senb senc (2) senb senc Tercer grupo En la expresión. cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A Sustituimos cos c por su valor obtenido de (1) cos c = cos a cos b + sen a sen b cos C Y sustituyendo sen c por su valor deducido de (2) sena senc sen c = sen A sena senc cos a = cos b (cos a cos b + sen a sen b cos C) + sen b cosa sen A cos a cos a cos 2 b = sen a sen b cos b cos C + sen b sen a sen C cotg A cos a (1 cos 2 b) = sen a sen b cos b cos C + sen a sen b sen C cotg A cos a sen 2 b = sen a sen b cos b cos C + sen a sen b sen C cotg A Dividimos todo por sen a sen b, obtenemos. cotg a sen b = cos b cos C + sen C cotg A Y repitiendo para los otros lados quedan las siguientes expresiones. Vicente Viana Martínez Pág 7
cotg a sen b = cos b cos C + sen C cotg A cotg a sen c = cos c cos B + sen B cotg A cotg b sen a= cos a cos C + sen C cotg B (3) cotg b sen c = cos c cos A + sen A cotg B cotg c sen a = cos a cos B + sen B cotg C cotg c sen b = cos b cos A + sen A cotg C Cuarto grupo Llamamos triángulo polar al formado por los polos del triángulo esférico. Polo de un arco es la intersección de la perpendicular al plano formado por el arco y el centro de la esfera con dicha esfera. En dos triángulos polares los lados de cada uno son suplementarios de los ángulos del otro. A + a = 180º B + b = 180º C + c = 180º a + A = 180º b + B = 180º c + C = 180º Aplicamos el primer grupo de fórmulas de Bessel al triángulo polar. cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A cos (180 A) = cos (180 B) cos (180 C) + sen (180 B) sen (180 C) cos (180 a) -cos A = cos B cos C sen B sen C cos a Y repitiendo con los otros lados obtrenemos el cuarto grupo de fórmulas de Bessel. cos A = -cos B cos C + sen B sen C cos a cos B = -cos A cos C + sen A sen C cos b (4) cos C = - cos A cos B + sen A sen B cos c 7.- Aplicación. Obtención de distancias sobre la superficie terrestre Una aplicación muy interesante de la trigonometría esférica es la determinación de distancias y ángulos sobre la superficie terrestre. La esfericidad de la Tierra complica la resolución de los problemas y no tenemos más remedio que recurrir a las fórmulas de Bessel. Sean A y B dos puntos sobre la superficie de la Tierra de los cuales conocemos su longitud y latitud, separados por el arco p cuya longitud queremos medir. Se forma el triángulo esférico PAB, donde. PA = 90-1 = b PB = 90-2 = a 1 representa la latitud del punto A 2 representa la latitud del punto B Vicente Viana Martínez Pág 8
AP Bˆ = 2-1 = P 2 y 1 representan longitudes de los puntos B y A respectivamente Utilizamos el primer grupo de fórmulas de Bessel. cos p = cos a cos b + sen a sen b cos P De donde es fácil obtener p expresado en grados. Para hallar la distancia del arco AB, hacemos. AB = R TIERRA 180 cos -1 p R TIERRA = 6.370 km Podríamos utilizar la fórmula anterior para calcular la distancia de vuelo entre dos ciudades, sumando a R TIERRA la altura de vuelo, que suele ser de unos 9 km. Ejemplo: Hallar la distancia geográfica entre Madrid y Buenos Aires. Tómese para Madrid 1 = 40º 24 N y 1 = 3º 41 W. Para Buenos Aires, 2 = 34º 36 S y 2 = 58º 22 W. En el triángulo esférico PAB; a = 90º - 40º 24 = 49º 36 b = 90º + 34º 36 = 124º 36 P = 2-1 = 58º 22 3º 41 = 54 º 41 cos p = cos 49º 36 cos 124º 36 + sen 49º 36 sen 124º 36 cos 54º 41 = -0,00565205 p = 90,32º BA = 6.370 90,32 = 10.035 km 180 8.- Coordenadas horizontales Con esta herramienta (trigonometría esférica) ya podemos acometer el problema de situar un cuerpo en el espacio y poder predecir su posición futura. Retomemos la situación inicial; un observador se fija en una estrella en el cielo nocturno y quiere conocer su posición. El método más sencillo es utilizar dos coordenadas, un ángulo horizontal y un ángulo vertical, al primero lo llamamos altura sobre el horizonte (h) y al segundo acimut (A). Aunque en realidad un cuerpo en el espacio posee 3 grados de libertad, como el radio de la cúpula celeste no se tiene en cuenta, entonces con tan solo dos grados de Vicente Viana Martínez Pág 9
libertad podemos fijar la posición de cualquier astro. Para el ángulo vertical utilizamos el horizonte como origen y medimos el ángulo hacia arriba. También podríamos haber utilizado el cenit como origen y medir el ángulo hacia abajo, entonces a este ángulo lo llamamos distancia cenital (z). Obviamente; altura + distancia cenital = 90º h + z = 90º Para determinar el ángulo horizontal utilizamos la dirección del Sur geográfico como origen y medimos el ángulo (el acimut A) hacia el oeste como positivo y hacia el este como negativo. A este sistema de posicionar los astros lo llamamos de coordenadas horizontales y los elementos que lo componen son: el observador con su cenit y su nadir. el plano del horizonte, hablamos del horizonte matemático o verdadero. el eje del mundo y sus intersecciones con la cúpula celeste en los polos celestes P y P el meridiano celeste o círculo máximo que pasa por el polo y el cenit y es perpendicular al plano del horizonte. la altura sobre el horizonte h. el acimut A. la distancia cenital z. Este sistema es muy sencillo e intuitivo pero tiene un gran inconveniente. Las coordenadas horizontales correspondientes a un determinado astro cambian con el tiempo y con la posición del observador. Es decir, al cabo de unos minutos, el acimut y la altura del astro han cambiado. No sólo eso, sino que al día siguiente, a la misma hora, las coordenadas que fijan la posición del mismo astro han variado. Por si fuera poco, al cambiar nuestra posición de observador, por ejemplo al desplazarnos unos cuantos kilómetros, las coordenadas obtenidas para el mismo astro, a la misma hora y el mismo día también cambian. Esas coordenadas horizontales no resultan pues ser prácticas porque debido a: el movimiento de la Tierra el cambio de posición del observador sobre la superficie de la Tierra Los valores obtenidos son distintos, con lo cual no resultan útiles como valores absolutos a la hora de establecer la posición de un astro en el cielo. Nos servirán eso sí, como paso intermedio en la determinación de las coordenadas ecuatoriales. 9.- Coordenadas ecuatoriales Vicente Viana Martínez Pág 10
En este sistema el plano de referencia es el del ecuador celeste. Para determinar la posición de un astro M usamos dos coordenadas; la declinación y la ascensión recta. La declinación de un astro M es el arco medido sobre el círculo de declinación desde el ecuador celeste hasta la posición del astro. La declinación se mide de 0 a +90º hacia el polo celeste boreal y de 0 a 90º hacia el polo celeste austral. Todos los astros que se encuentran en el mismo paralelo celeste o diurno tienen la misma declinación. La declinación de una estrella es siempre la misma, independientemente del lugar de observación, de la hora o de la fecha porque el círculo de declinación va girando solidario a la esfera celeste en torno al eje del mundo. Denominamos ángulo horario y lo representamos como t al arco de ecuador celeste comprendido entre el meridiano celeste del lugar y la intersección del círculo de declinación que pasa por el astro con el ecuador celeste, es decir el arco Qm. Los ángulos horarios se miden en el sentido de la rotación de la esfera celeste, es decir hacia el occidente. Se suelen expresar en medida de tiempo, desde el valor 0 h cuando el punto m está sobre el meridiano celeste del lugar hasta el valor 24 h cuando da la vuelta completa sobre el ecuador celeste. Esta coordenada no depende de la posición del observador pero sí depende de la hora y la fecha de la observación. Denominamos ascensión recta al arco de ecuador celeste comprendido entre el punto Aries del equinoccio de primavera y la intersección del círculo de declinación del astro con el ecuador celeste. Las ascensiones rectas se miden hacia el lado opuesto a la rotación de la esfera celeste, hacia oriente y se miden en unidades de tiempo desde el valor 0 h cuando el círculo de declinación del astro pasa por el punto Aries hasta el valor 24 h. Todos los astros situados en el mismo círculo de declinación tienen iguales sus ascensiones rectas. La ascensión recta de un astro es una coordenada fija, no depende ni de la hora ni de la fecha de la observación, porque el arco medido participa del movimiento de giro de la esfera celeste. Definimos el tiempo sidéreo s como el ángulo medido sobre el ecuador celeste entre el meridiano del lugar y el punto Aries. De las definiciones anteriores, fácilmente se deduce que. s = + t Vicente Viana Martínez Pág 11
También se puede definir el tiempo sidéreo como el ángulo horario del punto Aries. En el momento de la culminación superior de un astro (cuando pasa por el meridiano celeste) el ángulo horario t = 0 y entonces = s, es decir, el tiempo sidéreo coincide con la ascensión recta de la estrella. En general, en las fórmulas de transformación de coordenadas, el valor a introducir es el ángulo horario t, que se obtiene haciendo. t = s - En otras palabras, a partir del tiempo sidéreo, el cual lo obtenemos en unas tablas, para cada fecha y cada hora, restándolo de la ascensión recta de la estrella obtenemos su ángulo horario. Así pues, las coordenadas que identifican cualquier astro fijo en el cielo son; su declinación y su ascensión recta, que corresponden a sus coordenadas ecuatoriales. Si quisiéramos obtener las coordenadas horizontales, esto es; la altura h y el acimut A tendremos que recurrir al primer grupo de las fórmulas de Bessel. sen = sen cos z - cos sen z cos A cos sen t = sen z sen A cos cos t = cos cos z + sen sen z cos A Para un valor del ángulo sidéreo t y habiendo medido el acimut A y la distancia cenital z del astro hallamos su declinación y su ascensión recta cos z = sen sen + cos cos cos t sen z sen A = cos sen t sen z cos A = -cos sen + sen cos cos t Conocida la declinación y la ascensión recta de la estrella calculamos su distancia cenital z y su acimut A para un tiempo sidéreo s que se corresponde con un ángulo horario t La única complicación que tiene esta transformación de coordenadas es la determinación del tiempo sidéreo. Recordemos que la esfera celeste da una vuelta completa alrededor del eje del mundo en 23h 56m 4s de tiempo sidéreo. Es decir, los días sidéreos son más cortos que los días solares medios en 3m 56s y consecuentemente por cada día transcurrido existe un desfase de 3m 56s entre las posiciones del punto Aries y del Sol medio sobre el ecuador celeste. Ese retraso acumulado puede determinarse mediante unas tablas o bien haciendo la siguiente operación. s (tiempo sidéreo) = nº de horas que excedan de las 12 a.m. + desde el 22 de marzo hasta la fecha (3m 56s) nº de horas (3m 56s) + nº de días 24 Ejemplo: Hallar la distancia cenital y el acimut de Regulo (-Leo); ascensión recta = 10 h 4,7 m y declinación = 12º 18 en Moscú de latitud = 55º 45, para el momento de tiempo sidéreo s = 5 h 23,8 m. Aplico: cos z = sen sen + cos cos cos t Obsérvese que t = s - = -4 h 40,54 m = -70º 8,6 4 h 40,54 = Vicente Viana Martínez Pág 12 360 º 4 h 40,54 m = 70º 8,6 24h
z = 68º 43 Para hallar el acimut utilizo. sen z sen A = cos sen t sen A = cos sen t sen z cos12º18' sen 70º 8,6' sen68º 43' A = -81º 10 = 278º 49 10.- Coordenadas eclípticas La observación del movimiento del Sol sobre la esfera celeste permite determinar que la declinación del Sol varía desde el valor +23º 26 el día del solsticio de verano hasta el valor 23º 26 el día del solsticio de invierno. El plano cuya intersección con la esfera celeste determina la trayectoria anual del Sol se llama plano de la eclíptica. Sobre la eclíptica se mueven los planetas y para determinar sus posiciones nos valemos de las coordenadas eclípticas. El semicírculo máximo de la esfera celeste que pasa por el astro y es perpendicular al plano de la eclíptica se llama círculo de latitud del astro. Hacia el norte de la eclíptica la latitud es positiva y hacia el sur negativa Se denomina longitud eclíptica al arco de eclíptica comprendido entre el punto Aries y la intersección del círculo de latitud del astro con la eclíptica. La longitud se mide en el sentido anual del movimiento del Sol, es decir de occidente a oriente. Para transformar un sistema de coordenadas en otro utilizamos las fórmulas de Bessel, teniendo en cuenta que el ángulo de inclinación del plano de la eclíptica sobre el ecuador celeste es = 23º 26. Vicente Viana Martínez Pág 13
sen = sen cos + cos sen sen cos cos = cos cos -cos sen = sen sen - cos cos sen A partir de la latitud y la longitud eclípticas de un astro obtenemos su declinación y su ascensión recta sen = sen cos - cos sen sen cos cos = cos cos cos sen = sen sen + cos cos sen A partir de las coordenadas eclípticas de un astro; latitud y longitud obtenemos las coordenadas ecuatoriales; declinación y ascensión recta Estas transformaciones tienen la ventaja de ser independientes del tiempo pues ambos sistemas de referencia giran simultáneamente alrededor del eje del mundo. 11.- Orto y ocaso de los astros Un problema interesante de mecánica celeste es la determinación de la salida (orto) y la puesta (ocaso) de un astro sobre el horizonte. Para resolverlo hacemos uso del triángulo PZM donde M representa la posición del astro en cuestión y aplicando las fórmulas de la trigonometría esférica obtenemos el acimut A y el tiempo sidéreo s correspondientes a ese acontecimiento. Suponemos conocidas la declinación, la ascensión recta y la latitud del punto desde el que se realiza la observación. De la expresión; cos z = sen sen + cos cos cos t Como en el momento de la salida y la puesta del astro, z = 90º y cos z = 0, obtenemos. cos t = -tg tg La hora sidérea de la salida y la puesta valdrá.. Vicente Viana Martínez Pág 14
s = + t (ocaso) s = - t (orto) De la fórmula de transformación de las coordenadas horizontales en ecuatoriales, tenemos. sen = sen cos z - cos sen z cos A De donde obtenemos el acimut de los puntos de salida y de la puesta cos A = - sen cos Ejemplo: Determinar el lugar del horizonte en el que se pone el Sol en el día del solsticio de verano y la duración de dicho día en un lugar cuya latitud norte es de 40º. El día del solsticio de verano la declinación del Sol = 23º 27 Aplicando las fórmulas correspondientes. cos A = - sen cos = - sen23º 27' cos 40º A = 121º 17 51,78 cos t = -tg 23º 27 tg 40º t = 111º 20 41,48 La duración del día es dos veces el valor de t transformado a unidades de tiempo. 111º 20' 41,48" Duración del día = 2 = 14 h 50 m 44 s 15 º / hora La puesta del Sol se produce en un punto del horizonte a 121º 17 51,78 de acimut. Vicente Viana Martínez Pág 15