IES Arquitecte Manuel Raspall Matemàtiques Programació lineal

IES Arquitecte Manuel Raspall Matemàtiques Programació lineal Batxillerat

IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 1 A Representació de rectes Recordeu que: Per dibuixar el gràfic de les funcions afins (funcions que tenen per gràfic una recta i per equació y = mx + n ) només cal representar dos punts del gràfic i unir-los amb una línia recta, és a dir donarem només dos valors a la x. En tot cas si en donem un altre ens servirà només per comprovar que no ens hàgim equivocat, perquè si els tres punts no estan alineats és ben segur que haurem fet algun error! Encara que els dos punts poden ser qualssevol, per tal de fer-ho de forma ràpida és aconsellable seguir un d'aquests 3 mètodes. En tots tres mètodes es comença buscant l'ordenada a l'origen, o sigui es dóna a la x el valor zero i s'obté la intersecció de la recta amb l'eix d'ordenades. MÈTODE MÉS RÀPID: Donar a la x els valors: zero. Així obtindrem el punt de tall amb l'eix d'ordenades. el denominador del pendent o un múltiple d'aquest. MÈTODE DE LA INTERSECCIÓ AMB ELS EIXOS: Punt de tall amb l'eix d'ordenades: donarem a la x el valor 0 Punt de tall amb l'eix d'abscisses: resoldrem l'equació de primer grau 0 = mx + n MÈTODE DEL PENDENT I L'ORDENADA A L'ORIGEN: Ordenada a l'origen: donarem a la x el valor 0 El pendent és el coeficient de la x, i ens indica la inclinació de la recta, és a dir el que puja o baixa la recta per cada unitat de més de la variable independent.

IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 2 A.1 Representa les rectes: a) y = x b) y = 3 c) y = 2x 3 d) y = x 5 3 e) y = x f) y = 2 3 x + 2 g) y = 4,75x 12,15 A.2 Troba quatre punts de cadascuna de les rectes: a) y = 7x 1 b) y = x 2 + 1 c) y = 2x 3 6 Un punt pertany a una recta si al substituir les coordenades del punt a l'equació de la recta es compleix la igualtat.

IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 3 A.3 Troba analíticament la intersecció de les rectes següents amb els eixos de coordenades i representa-les. Per això: representa cada recta en un sistema de referència escull una escala convenient a cada eix per tal de poder representar els punts de tall als dos eixos. a) y = 4x + 1 b) y = 2725x 3923 c) y = 0, 751 2, 1243x 20, 15 d) y = - 450x - 450 e) y = 0, 041x - 0,018 f) y = -14,40x + 8,50 A.4 En el contracte de treball d'un venedor se li ofereixen dues alternatives: 1.- Sou de 600 euros al mes, més el 10% de les vendes realitzades. 2.- Sou de 300 euros al mes, més el 20% de les vendes realitzades. a) Construeix la gràfica on es vegi el que guanya al mes segons les vendes realitzades en les dues modalitats de contracte. b) Quant ha de vendre per guanyar el mateix en les dues formes? explica com has trobat aquesta quantitat. c) Per a quin import de vendes és millor la primera modalitat? I per quin import és millor la segona? d) Resol el problema analíticament. Per fer-ho, com que tens aïllada la mateixa incògnita en les dues equacions, iguala les dues expressions. Obtens una equació amb una incògnita que pots resoldre. El valor que has obtingut el substitueixes en una de les dues equacions i obtens el valor de l'altra incògnita.

IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 4 A.5 Troba el punt on es tallen les rectes següents. Fes-ho analíticament i comprova-ho gràficament. a) y = 2x 7 y = x + 2 b) y = 5x 4 y = 3x + 6 A.6 Donada l'equació 2y + 8x - 4 =0 a) Comprova, substituint a l'equació, que els punts ( 1, -2 ) ; ( -2, 10) ; ( 0, 2 ); (-1, 6 ) la compleixen o en són solució. b) Representa els punts en uns eixos i comprova que estan en línia recta. c) Aïlla la y en l'equació: de quin tipus de funció es tracta? d) Representa la recta que té per equació la fórmula obtinguda a l'apartat c). Quan l'equació d'una recta ve donada en la forma ax + by + c = 0 diem que està en forma implícita. Si és en la forma y = mx + n diem que està en forma explícita. En tots dos casos són equacions de primer grau amb dues incògnites. A.7 Representa les rectes següents: a) 3x - y - 9 = 0 b) x - y -7 = 0 c) 3x + 4y + 3 = 0

IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 5 SISTEMES D'EQUACIONS DE PRIMER GRAU AMB DUES INCÒGNITES Dues o més equacions de primer grau amb dues incògnites direm que formen un sistema. Els valors de les incògnites que al substituir-los en totes les equacions les compleixen direm que són una solució del sistema. Hi ha tres mètodes de resolució analítica de sistemes. Els veurem en el cas de dues equacions. Mètode de substitució: Consisteix en aïllar una incògnita en una de les equacions i substituir-la en l'altra, obtenim una equació amb una incògnita que hem de resoldre. El valor que obtenim per aquesta incògnita el substituïm a l'expressió on tenim aïllada l'altra. Mètode d'igualació: Consisteix en aïllar la mateixa incògnita a les dues equacions i igualar les expressions que resulten, obtenim una equació amb una incògnita que hem de resoldre. El valor que obtenim per aquesta incògnita el substituïm en qualsevol de les expressions anteriors. Mètode de reducció: Es tracta d'aconseguir que una de les incògnites tingui el mateix coeficient però amb signe oposat en les dues equacions. Sumen terme a terme les dues igualtats amb el que obtenim una equació amb una incògnita. El resolem, i el valor obtingut per aquesta incògnita el substituïm a una equació qualsevol de les inicials i trobem el valor de l'altra incògnita. Gràficament la solució d'un sistema es el punt del pla on es tallen les rectes que corresponen a cadascuna de les equacions. A.8Troba el punt on es tallen les rectes següents. Fes- ho analíticament utilitzant els tres mètodes i comprova-ho gràficament interpretant els resultats. a) 2x + y = 1 3x + 4y = 3 b) 2x 6y 1 = 0 x 3y 4 = 0

IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 6 c) 2x + 4y 6 = 0 3x + 6y = 9 Els sistemes de dues equacions de primer grau amb dues incògnites per exemple x i y pot ser que al resoldre'ls: arribem a una expressió de la forma ax = b ( amb a! 0) per tant la solució és única x = b a Gràficament les rectes es tallen en un punt. En aquest cas diem que el sistema és compatible (per què té solució) i determinat (perquè és única). arribem a una expressió del tipus 0 x = 0 que és certa per qualsevol valor d'x. Gràficament són rectes coincidents. En aquest cas diem que el sistema és compatible ( té solució ) i indeterminat (la solució no és única) arribem a una expressió del tipus 0 x = k que no és compleix per cap valor d'x, el sistema no té solució. Gràficament les rectes que representen les dues equacions són paral leles. Diem que el sistema és incompatible.

IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 7 B Desigualtats i inequacions amb una incògnita B.1 Col loca el signe < o > entre cada parella de nombres: 7 5 ; 4-3 ; 0-8 ; -10-3 1 2 1 3 ; -1-5 ; -3,5-3,6 ; 0,15 0,17-9 -9,7 ; -0,25 0,25 Les relacions numèriques que s'expressen amb els signes < i > s'anomenen desigualtats. B.2 Digues quines de les següents desigualtats són certes i quines no: 4 < 5 ; -3 [ -3 ; 0 > 5 ; -1 m -4 ; 0,5 [ 0 ; 10 < 10 2 > 5 ; -2 < 0 ; -10 > 5 ; 0 > -0,5 ; 2 ; - 0,3 < - 5 > 1 3 1 3 B.3 Digues quines de les afirmacions següents són certes i quines no: 5 c ( 5, ) ; -4 c ( 5, 4) ; -5 c (, 2) 3,5 c [3, 4] ; 5 " [4, 5 ] ; 0,0001 c( 0, 2 ) -0,0001 c[ 0, 4 ]; 0 c[ 0, ) ; 4 és solució de x < 3-1 és solució de x > 0 ; -3 és solució de 2x > 0 2 és solució de 4x - 8 m 0 ; -0,2 és solució de 7x + 4,15 m -10x

IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 8 0 és solució de 8x - 1 < x - 4 ; -2 és solució de 2 x [ x +1 2 és solució de x < 3 ; 4 és solució de x > 0 x < 10 x < 0 Les relacions algebraiques que s'expressen amb els signes < i > s'anomenen inequacions. Resoldre una inequació és trobar el conjunt de tots els valors de la incògnita que fan que la desigualtat sigui certa. Aquests valors són les solucions de la inequació. Així podem dir que un nombre és una solució de la inequació si al substituir-lo en la incògnita obtenim una desigualtat numèrica que és certa. B.4 Representa gràficament, en una recta per cada cas, les solucions de les inequacions següents i expressa-les en forma d'interval: x < 5 ; x m 4 ; x m 1 x < 1 x > 0 3 < x x [ 7 ; x [ 6 ; -3 < x [ -2 x m 6 B.5 Expressa en forma d'inequacions els conjunts següents: ( 4, 8 ) ; [ -3, ) ; [ -4, -1 ] ; ( -, 0) ; ( -2, 6 ]

IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 9 RESOLUCIÓ ANALÍTICA D'INEQUACIONS Recordeu que podem resoldre una inequació de primer grau amb una incògnita seguint els mateixos passos que seguim per resoldre una equació però tenint en compte les propietats de les desigualtats quan operem amb el mateix nombre als dos membres. Propietats de les desigualtats i les operacions: Si sumen o restem un mateix nombre als dos membres d'una desigualtat, la desigualtat es manté. Així, per exemple: 5 < 8 i 5 + 4 < 8 + 4 i en general si r < s r + a < s + a Que vol dir que quan passem sumant o restant termes d'un membre a un altre d'una desigualtat, tal com fem al resoldre una equació, la desigualtat no canvia. Amb la multiplicació i divisió cal anar molt en compte : al multiplicar o dividir per un mateix nombre positiu els dos membres d'una desigualtat aquesta es manté, però si el nombre amb el qual multipliquem o dividim és negatiu la desigualtat canvia de sentit. Per exemple 5 < 8 i per tant 5 3 < 8 3 o sigui 15 < 24 i en general si a > 0 i r < s r a < s a En canvi 5 < 8 però 5(-3) > 8(-3) o sigui - 15 > -24 la desigualtat canvia de sentit. En general si a < 0 i r < s r a > s a Això vol dir que : quan passem multiplicant o dividint un factor d'un membre a un altre d'una desigualtat cal tenir molt en compte el signe del nombre que passem: si és positiu és manté el sentit de la desigualtat, però si el nombre que passem multiplicant o dividint és negatiu la desigualtat canvia el seu sentit. Mètode per a la resolució analítica d'una inequació de primer grau Per resoldre analíticament una inequació hem d'aïllar la incògnita tenint en compte les propietats de les operacions en relació a les desigualtats. Així per exemple : 2x -3 < 7x + 1 2x - 7x < 1 + 3-5x < 4 x > 4 les solucions són per a x c 5 4 5,

IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 10 B.6 Resol analíticament les inequacions, representa gràficament les solucions i expressa-les en forma d'interval: 2x < 6 ; -x m 7 ; 3x - 4 < 6-4x + 6 < 10 ; 2x 3 < x + 2 ; -3-5x [ 1 - x 4 6 x < 0 1 x > 0 4 3x > x 1 ; ; x [ 1 4 4 < x x [ 1 x 2 [ 1

IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 11 C Inequacions amb dues incògnites C.1 Comprova si són certes les afirmacions següents: a) El punt ( 3, 1 ) és solució de y > x b) El punt ( - 1, 5 ) és solució de y [-4x + 1 c) El punt ( - 1, 5 ) és solució de y < 4x + 1 d) El punt ( 0, 3 ) és solució de 2x - 4y + 5 < 0 e) El punt ( 0, 0 ) és solució de 7x + 3y - 4 > 0 f) El punt ( 2, 5 ) és solució de x 3 y + 4 < 0 x + y m 3 g) El punt ( 0, 0 ) és solució de Qualsevol expressió del tipus: ax + by + c > 0, ax + by + c m 0, ax + by + c < 0, ax + by + c [ 0 rep el nom d'inequació lineal amb dues incògnites. Cada parell de nombres reals ( x, y ) que satisfacin la desigualtat és una solució de la inequació. Geomètricament, cada solució és un punt del pla, per tant resoldre una inequació lineal amb dues incògnites es trobar el conjunt de punts del pla que satisfacin la desigualtat. Ens limitarem a resoldre el problema gràficament. Així, si considerem l'equació lineal x - y - 2 = 0, la seva representació gràfica és una recta. Per tant els punts que pertanyen a la recta compleixen la igualtat. El pla queda dividit per la recta en dos regions anomenades semiplans, i es pot comprovar que tots els punts d'un dels semiplans satisfan la condició següent:

IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 12 x - y - 2 < 0 és a dir, el valor que s'obté en substituir les coordenades dels punts d'aquesta regió a l'equació de la recta és, sempre, més petit que zero. Per exemple els punts (0,0), (1,3), (-3, -1) estan situats al mateix semipla i les seves coordenades satisfan aquesta condició: (0,0) 0-0 - 2 = -2 < 0 (1,3) 1-3 - 2 = -4 < 0 (-3,-4) -3 - (-4) - 2 = -1 < 0 De la mateixa forma, els punts de l'altre semipla satisfan la condició: x - y - 2 > 0 Per exemple, per als punts (5, 1), (1, -4), situats a l'altre semipla, es té: (5, 1) 5-1 - 2 = 2 > 0 (1, -4) 1 - (-4) - 2 = 4 > 0 Aquest resultat és generalitzable per a tota equació lineal amb dues incògnites i permet representar gràficament la solució de qualsevol inequació lineal. Per tant, en general, el procés per representar gràficament la solució d'una inequació lineal és el següent: 1) Es representa gràficament la recta ax + by +c = 0 2) Es localitza un punt clarament situat en un dels semiplans i es mira si satisfà la condició desitjada. 3) Si satisfà la condició, la regió a què pertany és la solució. En cas contrari, la solució és l'altra regió. Si la desigualtat és estricta ( < o >), la recta que limita els dos semiplans no pertany a la solució (la dibuixarem amb traç discontinu). Si la desigualtat no és estricta ( [ o m ) la recta que limita els dos semiplans si pertany a la solució (la dibuixarem amb traç continu).

IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 13 Observació: Per tal de diferenciar el semipla solució del no solució, aquest l'ombrejarem i deixarem en blanc el solució. C.2 Representa gràficament en el pla les solucions de les següents inequacions: a) y [ x b) y < 4x - 3 c) y > -1 d) 4x - 3y + 2 < 0 e) x + 4y - 6 [ 0 f) x [ 3y - 2

IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 14 D Sistemes d'inequacions lineals amb dues incògnites S'anomena sistema d'inequacions lineals amb dues incògnites el conjunt format per més d'una inequació lineal amb dues incògnites. Per buscar la solució d'un sistema d'inequacions lineals amb dues incògnites es resolen gràficament, utilitzant els mateixos eixos de coordenades, totes les inequacions que el formen. La solució serà la intersecció de les diferents regions solució. Les semirectes que limiten les regions poden formar part o no de la solució, segons les desigualtats siguin estrictes o no, i cal estudiar-ho en cada cas. D.1Representa gràficament en el pla les solucions dels següents sistemes: a) y < 3 x < 2 b) 8x 10y + 15 m 0 y < 0 c) 2x + y 3 < 0 x y + 4 > 0 d) x 4y + 16 > 0 3x + 2y 12 < 0 x y + 1 < 0 x + 4 > 0

IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 15 e) 2x + y 3 < 0 x y + 4 > 0 4x + 9y + 10 > 0 f) x 4y + 16 > 0 3x + 2y 12 < 0 x y + 1 < 0 x + 4 > 0 g) 2x y < x + 3y + 1 2 3 x + y + 4 = 0 D.2 Escriu el sistema d'inequacions que produeix la següent zona factible (La zona factible és la que NO està ratllada) a)

IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 16 b) Y 1 2 3 X Pot passar que la solució d'un sistema d'inequacions sigui una regió del pla oberta o tancada. També que un sistema d'inequacions no admeti cap solució, es diu que aquests sistemes són incompatibles. Les regions solució tenen la propietat que si s'uneixen dos punts de la regió el segment que determinen està totalment situat dintre de la regió. De les regions dels pla que satisfan aquesta condició es diu que són convexes. Si aquesta regió és fitada, llavors és un polígon convex. En les regions no convexes hi ha punts tales que el segment que determinen no està totalment contingut en la regió.

IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 17 D.3 De les figures següents digues quines poden ser regions solucions d'un sistema d'inequacions amb dues incògnits i quines no justificant la resposta: D.4 a) Completa la frase següent posant " sempre serà" o "no té per que ser " La regió solució d'un sistema d'inequacions convexa. b) Si la regió solució és acotada, llavors convexa.

IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 18 D.5 Resoleu els sistemes d'inequacions lineals indicant, en cada cas, si la regió del pla és oberta o tancada. Indiqueu si hi ha algun sistema incompatible. a) x y + 5 [ 0 2x + y 2 [ 0 x + y m 4 b) 3x + 2y [ 2 x + 3y m 4 x + 4y 1 [ 0 c) 5x + 6y 7 [ 0 2x y + 3 m 1 d) 2x + 3y [ 1 3x 2y m 0 5x y [ 2 x + 3y > 1

IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 19 E Programació lineal E.1 Una petita empresa fabrica carteres i maletins amb el mateix tipus de pell. Per fabricar cada cartera s'utilitzen 20 dm 2 de pell i calen 4 hores de treball, mentre que per fabricar un maletí calen 50 dm 2 de pell i 3 hores de treball. L'empresa disposa de 33 m 2 de pell i d'un equip humà capaç de proporcionar 380 hores de treball. Se sap, també, que per cada cartera que es vengui, l'empresa obtindrà un benefici de 18 euros i per cada maletí, el benefici serà de 36 euros. Si suposem que es vendran totes les carteres i tots els maletins que es fabriquin, quantes carteres i quants maletins ha de fabricar l'empresa per tal d'obtenir un benefici total màxim? El problema E1 i tots els de programació lineal tenen les característiques comuns següents: 1) En tots s'ha de maximitzar o de minimitzar una funció lineal (optimitzar), que s'anomenarà funció objectiva. 2) Les variables (o incògnites ) que hi intervenen, en general, per la seva naturalesa, han de prendre valors positius o nuls. 3) Les variables estan lligades per desigualtats lineals, depenents del context o del problema particular. En el cas de problemes amb dues variables el mètode de resolució es basa en la interpretació geomètrica següent: a) La funció a optimitzar f(x,y) = ax + by representa una família de rectes paral leles, ja que per cada valor K que prengui f, l'equació ax + by = K és una recta del pla la direcció de la qual només depèn de a i b. La funció a optimitzar de l'exercici E1 f(x,y) = 18x + 36y dóna origen a la família de rectes paral leles de la figura següent:

IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 20 b) Les restriccions que han de satisfer les variables x, y s'expressen mitjançant un sistema d'inequacions lineals, les solucions del qual constitueixen una regió convexa del pla, limitada per segments o semirectes concurrents en diversos vèrtexs. Aquesta regió rep el nom de conjunt de punts admissibles o zona factible. c) La solució òptima coincideix sempre amb un dels vèrtexs del conjunt de punts admissibles, i es pot trobar comparant el valor que pren la funció a optimitzar en cada un d'ells. Al gràfic següent teniu la zona factible i la solució òptima de l'exercici E1.

IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 21 La solució òptima no ha de ser necessàriament per a valors d' x, y únics; poden ser-ho tots els punts d'un segment o d'una semirecta frontera del conjunt de punts admissibles, sempre que aquest segment o aquesta semirecta sigui paral lel a les rectes de la família ax + by = K. E.2 Busqueu el valor mínim de la funció f(x,y) = -x + 2y sotmesa a les restriccions següents: 5x 2y [ 3 x + y m 1 3x 3y [ 2 x m 0 y m 0 E.3 Busqueu els valors mínim i màxim de la funció f(x,y) = x + y sotmesa a les condicions següents: 2x + y m 1 x 3y [ 3 x + 2y [ 4 E.4 Busqueu els valors que maximitzen i minimitzen la funció f(x,y) = x + 3y sota les restriccions següents: x + 5y > 3 2x 3y [ 6 x + y m 1 x y [ 2 x m 0 E.5 Busqueu els valors mínim i màxim de la funció f(x, y) = 3x - y sotmesa a les condicions següents: 3x 2y [ 0 5x + y m 1 4x y m 2 x 2y m 0 E.6 Busqueu els valors màxim i mínim de la funció f(x, y) = 3x + 4y sotmesa a les restriccions següents:

IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 22 x + y [ 3 2x + y [ 6 x m 0 y m 0 E.7 Considerem el conjunt de punts que satisfan les condicions: x m 0 y m 0 x + 2y m 7 4x + 3y m 18 Té mínim la funció z = 3x + y en aquest conjunt? I màxim? Per què? E.8 Dibuixeu la zona del pla determinada per les condicions següents : x m 0, y m 0 x + y [ 5 2x + 3y m 6 Pertany el punt (4, 2) a la regió considerada? E.9 Calculeu el valor màxim de la funció z = x + y En el conjunt de punts que compleixen: x m 0, y m 0 x + y [ 5 4x + y [ 8 E.10 Busqueu el màxim i el mínim de la funció z = x - y, sotmesa ales restriccions següents: x m 0, y m 0 2x + y m 1 x + 2y [ 4 E.11 Quin és el valor mínim de la funció z=x-y en el conjunt de punts que satisfan les condicions següents?

IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 23 x m 0, y m 0 3x + 2y m 6 E.12 Un farmacèutic ha descobert una fórmula meravellosa i molt efectiva que ell anomena MIRACLE. Vol mantenir els noms dels ingredients en secret, però ens diu que la fabrica en dues versions: MIRACLE i MIRACLE-FORTE. De moment es preocupa únicament de fer les barreges en pols i després ja omplirà les càpsules. La versió MIRACLE és constituïda per un 50% de producte A i un 50% de producte B. La versió MIRACLE-FORTE per un 75% de producte A i un 25% de producte B. Vol produir un mínim mensual de 40 paquets de MIRACLE-FORTE i 60 de MIRACLE. Cada mes només pot comprar 100 paquets del producte A i 60 del producte B. Indica quines quantitats d les dues varietats ha de produir per obtenir un guany màxim. Amb el MIRACLE guanya 3 euros per paquet i amb el MIRACLE-FORTE 4 euros. E.13 L'empresa COMODITAT S.A.. fabrica dos tipus d'articles entapissats: cadires i butaques. Les cadires tenen el seient entapissat i el respatller i les potes són de fusta envernissada. Les butaques estan totes tapissades, excepte les potes i els braços que son de fusta envernissada. Per entapissar una cadira es tarda 4 hores i per entapissar una butaca se'n tarden 6. Per les limitacions de personal, el departament d'entapissat tant sols pot funcionar 300 hores a la setmana. Al departament d'envernissat tarden 3 hores per envernissar una cadira i 2 hores per fer una butaca. Aquest departament treballa només 120 hores a la setmana. Per la venda d'una cadira es guanya 30 euros i per la d'una butaca 36 euros. Determina el nombre d'unitats de cada tipus que s'han de produir setmanalment a fi d'obtenir uns ingressos màxims. E.14 A la pastisseria LA MONA utilitzen 120 kg de mantega i 210 kg de margarina al mes. El majorista A els ofereix lots de 10 kg de mantega i 20 kg de margarina amb un cost de 36 euros el lot. El majorista B els ofereix lots de 15 kg de mantega i 15 de margarina amb un cost de 45 euros el lot. Quants lots ha de comprar a cada un dels majoristes per tal que la compra mensual els resulti com més econòmica millor? E.15 Una fàbrica produeix dos tipus d'articles A i B. La fabricació d'una unitat de A

IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 24 requereix una hora de feina, mentre que cada unitat de B en necessita dues. La fàbrica només disposa de 300 h setmanals de feina i, per raons d'infrastructura, no pot produir més de 200 articles a la setmana. El benefici que s'obté per cada unitat de A és de 4,8 euros mentre que el benefici per unitat de B és de 6 euros. Trobar la fórmula de producció que dona el màxim benefici. E.16 Es volen fabricar dos articles, A i B. En el procés s'utilitza ferro i s'han de considerar uns costos per hora de fabricació i unes despeses generals, tal com indica la taula següent: Article A Article B Kg ferro/unitat 30 20 hores/unitat 100 80 Desp. gen./unitat 10 15 La producció és sotmesa a les limitacions següents: només es disposa de 800 kg de ferro, no es poden dedicar més de 3000 hores a la fabricació d'aquests articles i les despeses generals globals no poden superar les 300 euros. Si cada unitat del primer article produeix un benefici de 4,80 euros i cada unitat del segon en produeix 3,60. Determinar quines quantitats s'han de produir a fi que el benefici sigui màxim. E.17 La fàbrica de joguets de fusta FUSTIPLÀS S.A. fa dos tipus de jocs de construcció, A i B. En l'elaboració es necessiten dues màquines: una per tallar fusta i un altra per pintar. L'article A necessita 2 hores de treball de la de tallar i 1,5 hores de la de pintar. L'article B necessita 1,5 hores de la de tallar i 1 de la de pintar. Cada màquina funciona, com a màxim, 40 hores setmanals. Per cada joc del tipus A s'obté un benefici de 1,50 euros mentre que per cada un de l'article B el benefici és de 0,90 euros. Quantes unitats de cada tipus s'han de fabricar setmanalment per obtenir un benefici màxim?. E.18 Un inversionista disposa de 12.000 euros. Els pot invertir en bons del tipus A, que donen un rendiment del 10% i en bons del tipus B de rendiment 15 %. Hi ha uns límits legals que impedeixen invertir més de 5000 euros en bons del tipus B, però, contràriament, amb el bons del tipus A la inversió mínima és de 5000 euros. Quants diners ha d'invertir en bons de cada tipus perquè el rendiment obtingut sigui màxim?

IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 25 E.19 Un camperol posseeix un terreny rústic de 70 m 2 que vol fer servir en dos tipus de conreu, A i B. El conreu A li suposa una despesa de 36 euros/ m 2 i, el de conreu B, 18 euros/m 2. El conreu A suposa 3 dies de treball mentre que el conreu B són 4 dies. L'agricultor disposa de 1000 euros per invertir en el terreny, i compta tenir uns beneficis de 180 euros per metre quadrat conreat de A i amb 90 euros pel de B. Si l'agricultor pot treballar els conreus durant 120 dies com a màxim a l'any, quina superfície ha de dedicar a cada tipus de conreu per poder obtenir un benefici màxim. E.20 Una dieta alimentaria ha de contenir, almenys, 400 unitats de vitamines, 500 unitats de minerals i 1400 calories. L'aliment A conté, per quilo, 200 unitats de vitamines, 100 unitats de minerals i 400 calories. L'aliment B, també per quilo, respectivament 100, 200, 400. Cada quilo de l'aliment A costa 3 euros i, un quilo del B 1,80 euros. Quina ha de ser la composició de la dieta per que el cost diari sigui el més baix possible?. E.21 Un fabricant de Xocolata elabora dos tipus de capses de bombons de 240 g. i de 300 g. respectivament. Obté un benefici de 3 euros per cada capsa de les primeres, i de 3,90 euros per cada capsa de les altres. Si disposa de 100 kg de xocolata per omplir les capses, i el nombre de capses petites ha de ser al menys, igual al de més grans, Quantes n'ha de fer de cada tipus si vol obtenir un benefici màxim? E.22 En uns terrenys propers a una ciutat es vol edificar una zona residencial. Amb aquest propòsit es venen, com a mínim, 100 ha d'extensió i s'estableix que l'espai destinat a la zona verda ha de ser, almenys, les dues terceres parts del terreny edificat. El preu del sòl per edificar és de 3000 euros per hectàrea, i el de la zona verda, de 1800. Quina superfície s'ha de dedicar a la construcció, i quina a zona verda, perquè els costos siguin mínims. E.23 Una fàbrica de teixits te emmagatzemats 3600 m de roba blanca, 2340 m de roba vermella i 1500 m de blava. Per distribuir-los a les sastreries les empaqueten de dues maneres, A i B: Paquet A: 30 m de roba blanca, 18 m de roba vermella i 10 m de roba blava. Paquet B: 20 m de roba blanca, 15 m de roba roja i 10 m de roba blava. El paquet A costa 81 euros i el B 66 euros. Quants paquets de cada tipus ha de fer per maximitzar els seus ingressos?

IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 26 E.24 Una botiga d'electrodomèstics vol llançar una oferta de frigorífics a 350 euros i rentadores a 280 euros. Cada venda d'un frigorífic suposa 10 minuts de temps d'un venedor i 5 minuts de temps d'un instal lador. La venda d'una rentadora requereix 8 min. del venedor i 12 min. del instal lador. La botiga disposa de 4 venedors i 3 instal ladors que treballen 4 hores diàries útils. Quants frigorífics i rentadores interessa posar a la venda durant els 20 dies hàbils de la campanya? E.25 Una empresa compra 26 locomotores a tres fàbriques: 9 locomotores a la fàbrica A, 10 locomotores a la B i 7 a la fàbrica C. L'empresa necessita que 11 de les locomotores comenci a fer el servei a l'estació del Nord i 15 locomotores a l'estació del Sud Els costs del trasllat són els que s'indiques a la taula següent per cada locomotora (en milers d'euros): A B Est. Nord 6 15 Est. Sud 4 20 C 3 5 Esbrina com convé fer el repart per tal de que el cost sigui mínim. E.26 Una empresa fabrica dues classes de llàpis. Els de la classe A a 20 pta. la unitat i els de la classe B a 15 pta la unitat. A la producció diària sabem que: la quantitat de la classe B no supera en 1000 unitats als de l'a. Entre les dues classes no superen les 3000 unitats i els de la classe B no baixen de 1000 unitats. Trobar el valor màxim i mínim de la producció diària. E.27 Un comerciant disposa de caramels de tres gustos diferents: 16 kg de menta, 11 Kg de cafè i 13 Kg de llimó. Per a vendre'ls fa bossetes barrejant-los: Bosseta tipus A: 1 kg de menta, 500 g de cafè i 300 g de llimona Bosseta tipus B: 500 g de menta, 800 de cafè i 700 de llimona. Si ven la bosseta de classe A 1,20 euros i la de classe B a 0,90 euros. Quantes bosses de cada classe caldrà omplir per a que els ingressos bruts siguin màxims?

IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 27 E.28 Una cooperativa de joves empresàries vol crear una empresa per fabricar una nova marca de motos. Per a fer-ho munta dos tallers un a Cardedeu i l'altre a Montmeló i comença fent tres models diferents: A, B, i C. El taller de Cardedeu produirà setmanalment 10 motos del model A, 30 del model B i 15 del model C. El taller de Montmeló produirà setmanalment 20 motos del model A, 20 del B i 70 del C. La responsable de relacions comercials ha aconseguit unes vendes mínimes garantitzades de 800 unitats del model A, 1600 del model B i 1800 del model C. Han calculat que el cost de manteniment de cada taller és de 360 euros setmanals. Quantes setmanes ha de treballar cada taller per a que el cost sigui mínim?. E.29 Un taller te capacitat per produir 110 unitats de l'article A i 340 de l'article B diàries. Cada article ha de passar un test de qualitat i els tècnics d'aquest test sòls poden controlar 200 articles diaris sense importar el tipus d'article. Si l'article A es ven tres cops més car que B com han de planificar-se la producció per a que els ingressos bruts siguin màxims? E.30 Un taller pot fer portes de dos tipus P1 i P2. Per fer les del tipus P1 es gasten 2 m 2 de xapa i 5 hores de treball, mentre que per les del tipus P2 calen 3 m 2 de xapa i 8 hores de treball. Disposen de 750 m 2 de xapa i poden disposar de 1480 hores de treball. Si els guanys per porta del tipus P1 son de 48 euros i de 84 euros per les del tipus P2, quantes portes caldrà fer de cada tipus per tal que el benefici sigui màxim? E.31 Un fabricant produeix dos tipus de pinsos per animals barrejant dos d'ingredients A i B. Cada sac ha de tenir, al menys, 2 kg de proteïnes i 4 kg d'hidrats de carboni. Cada Kg d'a duu 200 g de proteïnes i 300 g d'hidrats de carboni i cada Kg de B duu 500 g de proteïnes i 400 g d'hidrats de carboni. L'ingredient A li costa 0,10 euros el kg i el B 0,14 euros el kg. Quina quantitat de cada ingredient ha d'utilitzar per sac per minimitzar els costos si cada sac ha de contenir, al menys, un kg de B?