x = graduació del vi blanc y = graduació del vi negre

Transcripción

1 Problemes ( pàgina 44 del llibre de classe, Editorial Casals ) (21) Barregem 60 L de vi blanc amb 20 L de vi negre i obtenim un vi de 10 graus (10% d alcohol). Si, contràriament, barregem 20 L de blanc amb 60 de negre, obtenim un vi d 11 graus. Quina graduació tindrà una barreja de 40 L de blanc i 40 de negre? x = graduació del vi blanc y = graduació del vi negre 60x + 20y = x + 20y = 800 3x + y = 40 20x + 60y = x + 60y = 880 x + 3y = 44 x = 9,5 i y = 11,5 z = graduació de la barreja 40 9, ,5 = 80z 80z = 840m z = 10,5% (22) Un orfebre té dos lingots: el primer conté 720 g d or i 80 g de coure, i el segon conté 400 g d or i 100 g de coure. Quina quantitat haurà d agafar de cada un per formar un altre lingot que pesi 640 g i que tingui com a llei 0,825? 720 Llei del 1r lingot: = 0,9 400 Llei del 2n lingot: = 0,8 x = g del 1r lingot y = g del 2n lingot x + y = 640 x + y = 640 0,9x + 0,8y = 0, ,9x + 0,8y = 528 x = 9,5 i y = 11,5 1

2 (23) Els 30 atletes d un equip reben com a puntuacions 2, 3, 4 i 5 punts cada un. La suma total dels punts de l equip és de 93. Hi ha més atletes amb 3 punts que amb 5, i menys amb 3 que amb 4. A més, el nombre de qui rep 4 punts és divisible entre 10, i el nombre de qui rep 5 punts és parell. Determina el nombre d atletes que han rebut 2, 3, 4 o 5 punts. x = atletes de 2 punts y = atletes de 3 punts z = atletes de 4 punts t = atletes de 5 punts x + y + z + t = 30 x = z x + 3y + 4z + 5t = 93 y = - 2z ; y > t, y < z z = múltiple de 10, t = múltiple de 2 Els valors més petits de z i t són: z = 10, t = 2 Per a aquests valors, obtenim: x = 11 i y = 7 Veiem que es verifica que: y > t i y < z Aleshores, la solució és: x = 11, y = 7, z = 10 i t = 2 p.s.: per a qualsevol altre valor que donem a z i t no obtenim solucions vàlides. (24) Escriu un sistema de 3 equacions lineals compatible determinat heterogeni i amb dues incògnites. Suposem que volem que les solucions siguin x = 5 i y = 4. Construïm tres equacions que compleixin les solucions anteriors. Per exemple: 2x + 3y = = 22 5x - y = 21 ja que: = 21 2x + y = = 14 a b 2 3 ; a més, ' '... a b 5 1 x = 5 i y = 4 2

3 (25) Escriu un sistema de tres equacions lineals compatible indeterminat heterogeni amb tres incògnites. Escrivim dues equacions qualsevol i la tercera l obtenim combinant-la amb les anteriors. Per exemple: 3x + y + 5z = 12 2x - 3y + z = 20 5x - 2y + 6z = 32 (26) Escriu un sistema de tres equacions lineals incompatible heterogeni amb dues incògnites. Suposem que volem que les solucions de les dues primeres equacions siguin x = 5 i y = 4. Construïm dues equacions que compleixin les solucions anteriors però la tercera equació fem que no la compleixi. Per exemple: 2x + 3y = = 22 5x - y = 21 ja que: = 21 2x + y = x = 5 i y = 4 (27) Estudia i resol els següents sistemes segons el valor de a: Encara no explicat a classe (28) Determina el valor de a perquè el sistema sigui compatible indeterminat: Encara no explicat a classe (29) Determina el valor de a perquè el sistema sigui compatible incompatible: Encara no explicat a classe (30) Determina el valor de a perquè el sistema sigui compatible determinat: Encara no explicat a classe 3

4 (31) Tres persones A, B i C volen fer un present a un amic comú. El present els costa 780. Com que no disposen de la mateixa quantitat de diners, decideixen pagar de la següent manera: A paga el triple del que paguen B i C junts, i per cada 5 euros que paga B, C paga 8 euros. Es demana: (a) Planteja un sistema d equacions lineals que permeti determinar quant paga cadascú. (b) Resol el sistema plantejat en l apartat anterior pel mètode de Gauss-Jordan. x+ y+ z = 780 x + y + z = 780 x = 3 (y + z) x - 3y - 3z = 0 y 5 8y - 5z = 0 = z 8 Apliquem Gauss-Jordan: d on x = 585, y = 75 i z = 120 (32) En una granja es venen pollastres, ànecs i perdius a raó de 9 /kg, 7,2 /kg i 15 /kg, respectivament. En una setmana els ingressos totals van ser de Sabem que la quantitat de pollastres venuts va superar en 100 kg la d ànecs i que es va vendre la meitat de perdius que d ànecs. Quina quantitat de cada tipus de carn que es va vendre? x: kg de pollastres y: kg d ànecs z: kg de perdius x = y x y 100 y = z = y 2z = 0 2 9x + 7,2y + 15z = x + 7,2y + 15z = 5640 Apliquem Gauss-Jordan i obtenim la següent solució: d on x = 300 kg de pollastres y = 200 kg d'ànecs z = 100 kg de perdius 4

5 (33) Una persona va invertir euros en tres fons d inversió FIM, FIM Garantit i FIAM, i va obtenir d interessos. Els interessos que van proporcionar els fons foren del 10%, 6% i 4% respectivament. Sabent que va invertir en el FIM el doble que en el FIAM, calcula quina quantitat va invertir en cada fons d inversió. x = quantitat del FIM y = quantitat del FIM Garantit z = quantitat del FIAM x + y + z = x + y + z = ,1x + 0,06y + 0,04z = ,1x + 0,06y + 0,04z = x = 2z x - 2z = 0 Apliquem Gauss-Jordan: , d on x = FIM, y = FIM Garantit i z = FIAM (34) Els sous de la Sònia, en Josep i l Òscar sumen En Josep guanya el doble que l Òscar i la Sònia guanya 7/6 del sou d en Josep. Quant guanya cadascú? x = sou de la Sònia y = sou d en Josep z = sou de l Òscar x + y + z = x + y + z = y = 2z y 2z = 0 7 6x 7y = 0 x = y 6 Apliquem Gauss-Jordan i obtenim la següent solució: d on x= y = z =

6 (35) L edat d una mare és, en l actualitat, el triple que la del seu fill. La suma de les edats del pare, la mare i el fil és 80 anys i d aquí a cinc anys, la suma de les edats de la mare i el fill serà de 5 anys més que la del pare. Quants anys tenen el pare, la mare i el fill en l actualitat? x = edat del pare y = edat de la mare z = edat del fill x+ y+ z = 80 y = 3z y z + 5 = x d on x = y = 40 anys 30 anys z = 10 anys (36) L Alba fa col lecció de vídeos d esport, música i pel lícules, i ja en té 20. Els vídeos d esports i de música junts fan el triple de les pel lícules. Si comprés un altre vídeo de música, el seu nombre igualaria als d esports. Quants vídeos té de cada tipus? x = nombre de vídeos d esport y = nombre de vídeos de música z = nombre de vídeos de pel lícules x+ y+ z = 20 x+ y + z = 20 x + y = 3z x + y - 3z = 0 y + 1 = x x - y = 1 d on: x = 8 vídeos d esports, y = 7 vídeos de música i z = 5 vídeos de pel lícules (37) Les edats de tres persones sumen 77 anys. El més gran i el mitjà tenen 12 i 5 anys més que el petit respectivament. Quants anys tenen cadascú? x = edat del petit y = edat del mitjà z = edat del gran x+ y+ z = 77 x+ y + z = 77 z = 12 + x - x + z = 12 y = 5 + x - x + y = 5 6 x = 20, y = 25 i z = 32

7 (38) Tinc tres pots de capacitats diferents. Els tres estan plens d aigua. Si buido el pot més gran el puc tornar a omplir amb els altres pots, i si buido el pot petit, amb el mitjà el puc tornar omplir sobrant 1 L. Els tres pots contenen una quantitat d aigua de 10 L. Quina és la capacitat de cada pot? x = pot gran y = pot mitjà z = pot petit x = y + z x - y - z = 0 y = z + 1 y - z = 1 x + y + z = 10 x + y + z = 10 x = 5, y = 3 i z = 2 (39) Troba un nombre de tres xifres sabent que sumen 16. Si invertim el nombre, la diferència entre aquest i el nombre original és 495. Sabem també que el nombre que ocupa les centenes i les desenes sumats donen el mateix nombre que la xifra que ocupa el lloc de les unitats. Quin és el nombre original? x = centenes (100) y = desenes (10) z = unitats (1) x + y + z = 16 x + y + z = 16-99x + 99z = x + 99z = 495 y + x = z x + y - z = 0 d on el nombre és el 358 x = 3, y = 5 i z = 8 Notació sobre l obtenció de la segona equació: nombre a esbrinar: xyz nombre invertit: zyx ( 100z + 10y + x ) - ( 100x + 10y + z ) = 495, aleshores: 100z + 10y + x - 100x - 10y - z = x + 0y + 99z = 495 7

8 (40) Un dipòsit de capacitat 600 L es pot omplir amb tres aixetes A, B i C. Si ragen juntes les tres aixetes triguen 10 minuts en omplir el dipòsit; si ragen l aixeta A i B tarden 20 min a omplir el dipòsit i finalment, si ragen B i C, tarden 12 min. Quin és el cabal de cada aixeta? x = cabal A L / min. y = cabal B L / min. z = cabal C L / min. 10x + 10y + 10z = 600 x + y + z = 60 20x + 20y = 600 x + y = 30 12y + 12z = 600 y + z = 50 x = 10, y = 20 i z = 30 (41) Un dipòsit de capacitat L s omple amb dues aixetes A i B i conté un desguàs C per a buidar-lo. Si ragen juntes les aixetes A i B, i C està tancada, triguen 20 min a omplir-lo i si ho fan amb C obert, tarden 100 min; i, finalment, si tanquem l aixeta A triga 100 min en buidar-se. Quin és el cabal de les aixetes i del desguàs? x = cabal A L / min. y = cabal B L / min. z = cabal C L / min. 20x + 20y = x + y = x + 100y - 100z = x + y - z = z + 100y = 0 y - z = -10 d on x = 20, y = 30 i z = 40 Notació sobre l obtenció de la tercera equació: Dipòsit ple + aixeta A rajant Obertura desguàs = dipòsit buit ( 100y - 100z ) = 0 o bé, Aixeta A rajant Obertura desguàs = Quantitat d aigua buidada pel desguàs ( que equival a la capacitat del dipòsit que ja estava ple ) 100y - 100z =

9 (42) Un nombre de quatre xifres està comprès entre i La diferència entre el nombre i l invers és El nombre és divisible per 11 i la suma de les xifres és 19. Quin és el nombre? De moment no s ha de fer. Ja es comentarà alguna cosa a classe. (43) Tres jugadors fan una aposta de la següent manera: el que perdi una jugada duplicarà el que tenen els altres dos. Juguen tres partides i perden cadascun d ells una jugada, i al final de les partides resulta que els tres disposen de 160. Quina quantitat de diners tenia cadascú al començament de la partida? De moment no s ha de fer. Ja es comentarà alguna cosa a classe. 9