Sistemes d equacions. Bloc 2

Transcripción

1 Bloc 08 Sistemes d equacions En un mosaic com aquest cal col locar estratègicament les peces perquè tot encaixi i es formi el dibuix desitjat. Però podem fer-ho de diverses maneres: hi haurà algú que comenci posant les peces fosques del rombe, un altre començarà per la peça central,... El mateix ens passa quan volem resoldre sistemes d equacions lineals. Tot i que ja en coneixem alguns, en aquesta unitat veurem diversos mètodes per resoldre aquests sistemes usant matrius i determinants.

2 8.1 Sistemes d equacions lineals 8.1 Sistemes d equacions lineals Recorda Les equacions com ara 1 + x i x x x + = e no són lineals. Un sistema d equacions lineals està format per equacions de primer grau en cadascuna de les incògnites, i totes les igualtats s han de verificar alhora. Un sistema m n està format per m equacions lineals amb n incògnites i, després d efectuar les operacions que calgui, es pot expressar: m x + m x + + m x = b n n 1 m x + m x + + m x = b 1 1 n n m x + m x + + m x = b m1 1 m mn n m on m ij representen els coeficients de les incògnites x j i b i, els termes independents. Si ens centrem en els sistemes de tres equacions amb tres incògnites, aquesta notació ens porta a escriure: Solució d un sistema m11x1 + m1x + m1x = b1 m1x1 + mx + mx = b m1x1 + mx + mx = b Les incògnites x j es poden representar per lletres diferents, com x, y, z, t, etc. La solució d un sistema de tres equacions amb tres incògnites x, y i z és una terna de nombres reals x = a, y = b i z = c que verifiquen totes i cada una de les igualtats del sistema. Tipus de sistemes Els sistemes d equacions lineals es classifiquen segons la solució. Sistemes compatibles són els que tenen solució. j Un sistema és compatible determinat si té una solució única. j Un sistema és compatible indeterminat si té infinites solucions. Sistemes incompatibles són els que no tenen solució. Aquesta classificació ja la vam donar per als sistemes de dues equacions amb dues incògnites. Aquí només la fem extensiva per a qualsevol nombre d equacions i d incògnites. Sistemes equivalents Les propietats de les igualtats ens permeten fer operacions amb les equacions d un sistema per tal d obtenir-ne d equivalents. Es diu que dos o més sistemes són equivalents si tenen la mateixa solució per a totes i cadascuna de les incògnites. 6

3 8.1 Sistemes d equacions lineals Donat un sistema d equacions lineals, podem obtenir-ne d equivalents efectuant algunes operacions amb les equacions. Aquestes operacions són: a) Intercanviar equacions. b) Multiplicar els dos membres d una equació E i per un nombre k 0. c) Substituir una equació per aquella que resulta de sumar-li n una altra, o altres, multiplicades per un nombre k 0. És a dir, substituir una equació per una combinació lineal d aquesta amb altres. En la pràctica, les operacions b) i c) són les que s apliquen en el mètode de reducció per resoldre sistemes de dues equacions amb dues incògnites. La finalitat de la seva aplicació és arribar a un sistema equivalent al donat, però de solució gairebé immediata. Vegem amb un exemple com passar d un sistema donat a altres d equivalents que ens permetin arribar a un nou sistema en forma esglaonada que ens doni la solució fàcilment. Exemple 1 Resol el sistema obtenint-ne d equivalents: Resolució 9x 9y+ z x y+ z = x + y z = 6 Apliquem la propietat a) intercanviant la primera i la segona equació. És bo que la primera equació sigui la més senzilla pel que fa als coeficients. 9x 9y+ z x y z + = x y+ z = 9x 9y+ z x + y z = 6 x + y z = 6 Apliquem la propietat b) multiplicant la segona equació per 1 o, el que és equivalent, dividint per : 9x 9y + z x y + z = x y + z = 9x 9y + z x + y z = 6 x + y z = 6 Anomenem E 1, E i E cada una de les tres equacions. x y + z = x y + z x + y z = 6 Apliquem la propietat c) segons l esquema següent: x y+ z = E1 + E y 5z = 9 E1 + E 6y 7z x y+ z = E + E y 5z = 9 z 8 Tots els sistemes són equivalents al donat i tenen la mateixa solució. L últim sistema obtingut està en forma esglaonada i ens permet anar obtenint el valor de cada incògnita: Substituint en la segona equació: Substituint en la primera equació els valors de y i z: x y+ z = y 5z = 9 z 8 z = 6 y 0 = 9 y = 1 y = 7 x = x = 5 7

4 8. El mètode de Gauss La solució del sistema és: x = 5, y = 7 i z = 6, que es pot escriure com una terna de nombres ordenats: (x, y, z) = (5, 7, 6). El sistema és compatible determinat, té solució i és única. La solució obtinguda cal que ho sigui de cadascuna de les equacions que formen el sistema. Per estar-ne segurs, cal comprovar-ho. Substituïm en el sistema donat els valors obtinguts de les incògnites: 9x 9y+ z x y+ z = x + y z = = = 6 Efectivament, la solució obtinguda satisfà cadascuna de les tres equacions que formen el sistema. Activitats 1> Esbrina si (0, 1, ) és la solució d algun dels sistemes següents: a) x y x + y x y+ z = c) x 4y+ z y+ z 4x + y+ z = b) x y+ z y z = 1 5x + y z = 1 d) x + z = x + y y+ z > Aplica les propietats de l equivalència de sistemes fins a arribar-ne a un d esglaonat, per trobar la solució dels sistemes següents: a) x + y+ z x y+ z x + y z = 4 1 R: a),, ; b) (1, 1, 0) b) x + y+ z = x y+ z x + y 5z = 8. El mètode de Gauss Donat el sistema de equacions i incògnites següent: m11x1 + m1x + m1x = b1 m1x1 + mx + mx = b m1x1 + mx + mx = b hi podem associar dues matrius: j La matriu M, formada pels coeficients de les incògnites: m11 m1 m1 M = m1 m m m m m 1 j La matriu M, formada ampliant l anterior amb la columna dels termes independents: m11 m1 m1 b1 M = m1 m m b m m m b 1 simbòlicament: Aquesta matriu M s anomena matriu ampliada de M. m11 m1 m1 b1 m1 m m b m1 m m b M M 8

5 8. El mètode de Gauss Les operacions que hem fet en l exemple de l apartat anterior per tal d obtenir sistemes equivalents en forma esglaonada només afecten els coeficients de les incògnites i els termes independents. Per aquest motiu, el mètode de Gauss treballa només amb els coeficients i els termes independents; és a dir, amb la matriu ampliada M. Cada fila d aquesta matriu correspon a una equació del sistema. Les operacions que hem fet abans amb les equacions, les farem ara amb les files d aquesta matriu per tal d obtenir una matriu esglaonada que ens permeti resoldre el sistema proposat. Fixa-t hi En resoldre sistemes pel mètode de Gauss, tindrem cura de posar les incògnites en columna de manera que cada columna correspongui a una mateixa incògnita. Exemple Resol el sistema de l exemple 1 pel mètode de Gauss. Resolució Resoldrem ara el sistema de l exemple 1 per aquest mètode. Observa que fem les mateixes operacions que allà. 9x 9y + z x y + z = 1 x + y z = Intercanviem les dues primers files: i multipliquem la segona fila per 1 1 : Substituïm la segona fila per la que resulta de multiplicar la primera per, i la tercera per la que resulta de sumar-li la 1 primera multiplicada per : Substituïm la tercera per la que resulta de sumar-li la segona multiplicada per : x y+ z = Aquesta matriu correspon al sistema: y 5z = 9 z 8 del qual podem obtenir la solució z = 6, y = 7 i x = 5 de manera immediata. En la pràctica cal tenir en compte les recomanacions següents en l ordre que s enumeren a continuació: j Col locar en la primera fila, sempre que sigui possible, l equació que tingui com a coeficient de la primera incògnita la unitat. j Mantenir la primera fila invariable. j En un primer pas, reduir la mateixa incògnita en les files segona i tercera. j Mantenir les dues primeres files invariables. j Reduir una incògnita entre les files segona i tercera. 9

6 8. El mètode de Gauss Ja et deus haver adonat que es tracta d anar aplicant el mètode de reducció de manera successiva. El sistema que hem resolt és compatible determinat, ja que té solució única. Quan apliquem aquest mètode ens podem trobar amb una fila formada tota per zeros; això equival a una equació del tipus 0x + 0y + 0z, que es verifica per a qualsevol valor de les incògnites. En aquest cas, es tracta d un sistema compatible indeterminat. També ens podem trobar amb una fila en què tots els coeficients són zero i diferent de zero el terme independent. Aquesta fila correspondria a una equació del tipus: 0x + 0y + 0z = b Exemple que no té solució, ja que el primer membre de la igualtat és 0 i b 0. El sistema seria incompatible. Resol pel mètode de Gauss els sistemes: a) x y+ 5z = x 4y+ z x+y+ z= 1 b) x y+ 5z = x 4y+ z x+y+ z= Resolució 1 5 a) La matriu ampliada del sistema és: M = x y z El sistema és compatible indeterminat i queda reduït a: + 5 = y 8z = Podem expressar les solucions del sistema en funció d una de les incògnites, per exemple z, així: 8z z z y = x = y 5z + = z + = Les solucions del sistema s expressen per: 14z 5 8z x = ; y = ; z = z, z R Cada cop que donem un valor a z, tindrem una de les infinites solucions del sistema indeterminat proposat. Una solució particular s obté en donar un valor a z. Per exemple, si z, una solució particular és 5,, 0. b) La matriu ampliada del sistema és: Apliquem el mètode de Gauss. 1 5 M = L última fila correspon a l equació 0x + 0y + 0z, que no té solució. La suma de productes per 0 no pot donar 1. És un sistema incompatible. 0

7 8. Teorema de Rouché-Frobenius Activitats > Aplica el mètode de Gauss per resoldre, si és possible, els sistemes següents. Explica en cada cas de quin tipus de sistema es tracta. a) x y+ z x y+ z = x+ y 6z= 4 b) x y+ z x y+ z = x+ y z= 6 c) x y+ z d) x + y+ z = x y+ z = x y+ z x+ y z= 1 5x+y z= 1 4> Si en un sistema de tres equacions i tres incògnites substitueixes una equació per la que resulta de sumar les tres, obtens un sistema equivalent? Raona la teva resposta. 5> Escriu dues equacions lineals amb tres incògnites. Afegeix una tercera equació de manera que el sistema format per aquesta i les altres dues sigui compatible indeterminat. 6> Resol els sistemes següents en cas que siguin compatibles: a) x 5y+ z x y+ z = x+y z= c) x y 5 x + 4y = 7 b) x + y+ z = 4 x + 4y z = 4 x+ y+ z= 4 d) 1x y 0 14x + 5 y 8. Teorema de Rouché-Frobenius Vegem amb alguns exemples cadascun dels diferents tipus de sistema i com els relacionem amb els rangs de les matrius M i M. Sistema compatible determinat Considerem el sistema: x + 4y+ 5z x + y+ z = 1 x+ 5y z= 7 Les matrius M i M són: Apliquem el mètode de Gauss: 4 5 M = M La matriu dels coeficients M és de rang i l ampliada també, ja que les dues tenen tres files linealment independents. El sistema és compatible determinat. 1

8 8. Teorema de Rouché-Frobenius Si calculem els rangs de M i M utilitzant els determinants, tenim: El determinant 4 1 = 0 la matriu M és, com a mínim, de rang. El determinant la matriu M és de rang = 1 0 No és necessari calcular el rang de la matriu M, ja que aquest també és. La matriu M d ordre (, 4) com a màxim pot ser de rang. Així doncs, podem afirmar que ho és, ja que conté el determinant d ordre que ens ha permès afirmar que el rang de M és. En aquest sistema, rang M = rang M =, i és el nombre d incògnites i el sistema és compatible determinat. Sistema compatible indeterminat Considerem el sistema: x + 4y+ 5z x + y+ z = 1 x+ 7y+ 8z= 0 Les matrius M i M9 són: 4 5 M = Apliquem el mètode de Gauss: M La matriu M té dues files iguals, el seu rang és. Calculem, utilitzant determinants, els rangs de M i M. El determinant M = 7 8 = 0, la matriu M és com a mínim de rang. 0, la matriu M és de rang, ja que l únic determinant d ordre és 0. En la matriu M podem considerar el determinant d ordre orlant el determinant d ordre diferent de 0, amb la quarta columna: Si en un determinant una fila és combinació lineal d altres dues, el determinant és nul , la matriu M és de rang. 7 0 En aquest sistema, rang M = rang M = <, el nombre d incògnites; el sistema és compatible indeterminat amb un grau de llibertat:. Vegem com expressar la solució general d aquest sistema.

9 8. Teorema de Rouché-Frobenius El sistema és equivalent al de dues equacions, ja que les dues últimes files són iguals i en podem suprimir una: x + y+ z = 1 y z = Expressem la incògnita z, per exemple, en funció d un paràmetre λ, i λ R, z = λ, y = λ i substituint en la primera equació, expressem la incògnita x: x = y z 1= λ λ 1= 7 λ 7 La solució general del sistema és: x = λ y = λ ; ; z = λ. Cada cop que donem a λ un valor, tindrem una solució particular de les infinites que té el 7 sistema. Si fem λ, una solució particular és: x =, y =, z. Sistema incompatible x y+ z = Considerem el sistema: x + y z = 1 x 5y+ 5z = 4 Les matrius M i M són: M Apliquem el mètode de Gauss: M És un sistema incompatible, ja que l última equació és 0x + 0y + 0z = 6. El rang de la matriu M és, ja que té una fila de zeros. La matriu M és de rang. Rang M rang M, i el sistema és incompatible. No té solució. Aquestes associacions entre els rangs de les matrius i la compatibilitat dels sistemes és donada pel teorema de Rouché, que enunciarem de manera general. Considerem un sistema de m equacions lineals amb n incògnites: m x + m x + + m x = b n n 1 m x + m x + + m x = b 1 1 n n m x + m x + + m x = b m1 1 m mn n m Amb les matrius: m11 m1 m1n m m m n M = 1 m m m m1 m mn m11 m1 m1n b1 m m m n b M = 1 m m m b m 1 m mn m

10 8. Teorema de Rouché-Frobenius L enunciat del teorema de Rouché ens diu: Un sistema és compatible si rang M = rang M. En cas contrari, el sistema és incompatible. Si rang M = rang M = r i r = n, on n és el nombre d incògnites, el sistema és compatible determinat. Si rang M = rang M = r i r < n, el sistema és compatible indeterminat amb n r graus de llibertat. En els exemples previs podem constatar com es verifica aquest teorema: En el sistema compatible determinat, rang M = rang M =, que és el nombre d incògnites. En el sistema compatible indeterminat, rang M = rang M =, i la diferència entre el nombre d incògnites,, i el rang és 1, que és el grau de llibertat en què s expressa la solució general. En el sistema incompatible, rang M = i rang M =, la diferència en els rangs ens indica que el sistema no té solució. Exemple 4 Aplica el teorema de Rouché per esbrinar la solució del sistema: 4x + 4y z = 1 x + y z = 4 x+ y z= 6 x+ 4y 4z= 5 Resolució És un sistema de 4 equacions amb incògnites. Les matrius M i M són: M = M = Comprovem que el rang de M és. Efectivament, el determinant de segon ordre 4 4 = 4 0, i el de tercer ordre = 0 El rang de M pot ser 4, ja que M és una matriu quadrada d ordre 4. Caldrà calcular el determinant d ordre 4 corresponent. Ho podem fer pels productes dels elements d una fila pels seus adjunts. Així, M = M 0 rang M = 4. El sistema és incompatible. 4

11 8.4 Notació matricial d un sistema Activitats 7> Aplica el teorema de Rouché als sistemes següents i troba la solució dels que siguin compatibles. a) x y +z = 7 x + y z = x + y+ z c) x + y z 5 5x y+ 5z 6 x + 4y+ z = 0 R: a) (5,, 4) b) b) x + y +z 1 x y+ z = 5 x + y z = 4 d) x y x + y + z x + y z = ,, c) (5, 4, 1) d),, > Comprova que aquests sistemes són incompatibles: 9> Contesta veritat o fals a cadascuna de les afirmacions següents: a) Un sistema de tres equacions i tres incògnites és sempre compatible determinat. b) Un sistema compatible indeterminat té només dues solucions. c) La matriu del sistema de dues equacions i tres incògnites és de rang. d) Un sistema és incompatible quan té més equacions que incògnites. e) En un sistema compatible determinat de tres equacions amb tres incògnites, la matriu ampliada és de rang. a) x y +z = x + y 4z x + y 5z = 4 b) x + y z x y z x z = 8.4 Notació matricial d un sistema Considerem el sistema: m11x1 + m1x + m1x = b1 m1x1 + mx + mx = b m1x1 + mx + mx = b i observem que cadascuna de les equacions es pot escriure com una igualtat d un producte de matrius: x1 ( m11 m1 m1) x m11x1 m1x m1x b1 = ( + + )= ( ) x Per tant, (m 11 x 1 + m 1 x + m 1 x ) = (b 1 ) producte d una matriu d ordre (1, ) per la matriu de les incògnites, que és d ordre (, 1). Si considerem les tres equacions del sistema, veiem que es pot obtenir com a producte d una matriu d ordre (, ) la formada pels coeficients, per la matriu de les incògnites d ordre (, 1). m m m m m m m m m x1 m11x1 + m1x + m1x b1 x m1x1 mx mx b = + + = x m x + m x + m x b 1 1 Recorda Per multiplicar dues matrius cal que el nombre de columnes de la primera sigui igual al nombre de files de la segona. 5

12 8.4 Notació matricial d un sistema Si en aquesta igualtat anomenem M la matriu dels coeficients, X la de les incògnites i B la dels termes independents, la podem expressar: MX = B Si la matriu M té inversa, és a dir, si existeix M 1, podem resoldre aquesta equació matricial: ja que, ( )= ( ) = M MX M B M M X M B 1 1 IX = M B X = M B M 1 M = I La matriu columna de les incògnites es troba multiplicant la matriu inversa de la dels coeficients per la matriu dels termes independents. Recorda Una matriu M té inversa si és quadrada i M 0. Si la matriu dels coeficients té inversa, això implica que M 0. El rang d aquesta matriu coincideix amb l ordre del determinant, que en aquest cas és. La matriu ampliada M tindrà el mateix rang, ja que és d ordre (, 4) i com a màxim és de rang. En conclusió, el sistema és compatible. Vegem tot seguit amb un exemple com aplicar aquest mètode per resoldre un sistema. Observa que només podem aplicar-lo si la matriu M té inversa, és a dir, si el sistema té el mateix nombre d equacions que d incògnites i és compatible. Exemple 5 Escriu el sistema següent en notació matricial i utilitza la matriu inversa per resoldre l: Resolució x + y +z = x y+ z x + y+ z Escrivim el sistema en notació matricial. 1 1 x 1 1 y 1 = 1 1 z 1 MX = B = 1 X M B Cal calcular M 1, si existeix. Calculem, en primer lloc, el determinant de M: = = 4 0. La matriu M té inversa. 1 1 La matriu M és de rang i l ampliada M també. El sistema és compatible determinat, ja que és el nombre d incògnites. 6

13 8.4 Notació matricial d un sistema En la unitat anterior hem calculat la matriu inversa utilitzant el determinant i les matrius adjunta i transposada. L expressió que ens dóna la matriu inversa és: M 1 1 = t ( M M ) Cal calcular la matriu transposada de la dels adjunts, o la matriu adjunta de la transposada, que, com ja saps, coincideixen M* = t ( M* ) = M 1 = 1 1 = x y = = z La solució del sistema és: 1 x = 1, y = i z = 7 Comprova amb el sistema inicial que la solució és aquesta. Activitats 10> Escriu els sistemes següents en forma matricial i troba n la solució, si són compatibles, utilitzant la matriu inversa: a) x + y z = x + y+ z = 1 x y+ 5z = 7 b) x + y+ z = 6 x y+ z = 7 x + y z = 5 R: a) (, 1, 0); b) (1,, ) 11> Escriu un sistema de dues equacions amb tres incògnites. Posa l en forma matricial. Té inversa, la matriu del sistema? És un sistema compatible i determinat? Raona les teves respostes. 1> Escriu en forma matricial el sistema: x y+ z x + y z x + y+ z El pots resoldre utilitzant la matriu inversa? Raona la teva resposta. 1> Resol el sistema següent en forma matricial: x y = x + y = 11 1 R: x = ; y = 7 7 7

14 8.5 La regla de Cramer 8.5 La regla de Cramer Els càlculs que hem fet en l apartat anterior per obtenir la solució del sistema són força complicats. La regla de Cramer dóna un procediment equivalent més senzill, que veurem tot seguit. Considerem el sistema de l exemple 5 per veure que estem fent el mateix que abans: x + y +z = x y+ z x + y+ z El sistema és compatible i determinat, ja que M = 4. La matriu M és de rang, i M també. Utilitzant la matriu inversa, la solució era donada per: X M B amb M Si ens fixem en el numerador, t t M M X M* B * d'on M = = ( ) ( ) = ( *) B = = = 14 t M per a cadascuna de les incògnites de la matriu X, cada fila és el desenvolupament del determinant que resulta de substituir en M la columna de la incògnita considerada per la columna dels termes independents, és a dir, pels elements de la matriu B. Vegem-ho: S utilitza el símbol Δ, que és la lletra grega delta majúscula, per re presentar els determinants. També es pot escriure M = Δ. Anomenem Δ x el determinant que resulta de substituir en M la columna de la incògnita x per la dels termes independents: 1 1 Δ x 1 1 = De manera semblant definim Δ y i Δ z : 1 1 Δ y = 1 1 = i Δ z = Amb aquesta notació, les incògnites s obtenen: Δ x Δ y Δ z x = ; y = ; z = M M M x = 1; 1 7 y = ; z = Observa que la condició perquè es puguin obtenir aquests valors és que M 0, la mateixa condició perquè la matriu M tingui inversa. Un sistema es diu que és un sistema de Cramer quan es pot aplicar la regla de Cramer, és a dir, si M 0. 8

15 8. 5 La regla de Cramer Per resoldre sistemes compatibles determinats és bo aplicar aquesta regla. En definitiva, la resolució d un sistema pel mètode de Cramer comporta el càlcul de quatre determinants. Si el sistema és de tres equacions amb tres incògnites, primer calcularem el determinant del sistema M, per veure si és diferent de zero, i després els determinants que associem a cada incògnita. El sistema que hem resolt pel mètode de Cramer és compatible determinat. Vegem en l exemple següent que també es pot utilitzar per resoldre sistemes compatibles indeterminats. Exemple 6 Resol el sistema: Resolució x y + z x + y z = x y+ z = Estudiem la compatibilitat del sistema calculant els rangs de les matrius: M = 1 1 ; M = Rang de M: 1 1 = 5; 1 1 rang M = 1 1 Rang de M : El sistema és compatible indeterminat rang M = Considerem el sistema format per les dues equacions que tenen com a base el determinant de segon ordre diferent de 0. x y + z que podem escriure x y z x + y z = x + y = + z En aquest sistema, Δ = 5: Δ Solució del sistema: Si fem z = λ, la solució general és: x 1 z z = 1 1 = 4 z; Δy = = 7+ 7z + z 1 + z 4 z z x = 7 y = + 7 ; ; z = z λ λ 7 7 x = = λ y = = + λ z = λ Observa que la solució general és donada en funció d un paràmetre, λ. És un sistema amb un grau de llibertat. La solució general del sistema es pot escriure: on λp R. 4 7 x, y, z,,,, λ ( ) = 9

16 8. 6 Sistemes homogenis Per aplicar el mètode de Cramer en els sistemes indeterminats cal triar les equacions convenients per tal que Δ 0. Activitats 14> Comprova que els sistemes següents són de Cramer i troba n la solució utilitzant aquest mètode: 15> Considera el sistema següent i mira si el pots resoldre pel mètode de Cramer. a) x+ y z = x y z x+ y z = b) x 4y z x+ y 6z x+ y z = x+ y 5z = 8 x+ y z = 5 5x y z = 7 c) x + y + z d) x y+ z x + y + z x+ y = x y + 5z = x+ y+ 5z = 8 e) x+ y = 6 f) x+ y = x 8y 6 x+ y 5 R: a) (, 1, 1) ; b) (5,, ); c) ( 1, 0, 1); d),, 0 ; e), ; f) (5, ) 1 18 R: + + z, z, z > Raona, i resol en cas que sigui possible, els sistemes següents pel mètode de Cramer. a) x+ y+ z x y+ z 5x+ y z R: a) (0, 0, 0); b) ( λ, λ, λ) b) x y+ z x+ y z x+ y 8.6 Sistemes homogenis S anomenen sistemes homogenis els que tenen tots els termes independents nuls. Així, el sistema és un sistema homogeni. m11x1 + m1x + m1x m1x1 + mx + mx m1x1 + mx + mx Un sistema homogeni sempre és compatible. Podem fer aquesta afirmació per dos motius equivalents: a) La matriu M és l ampliada de M amb una columna de zeros. Tindran, per tant, el mateix rang. b) Aquests sistemes tenen sempre la solució trivial x 1 = x = x. Caldrà veure si el sistema compatible és determinat o indeterminat. 40

17 8. 6 Sistemes homogenis Si el rang de les dues matrius és igual al nombre d incògnites, el sistema és determinat i només té la solució trivial. Si el rang de les dues matrius és inferior al nombre d incògnites, el sistema és indeterminat i haurem de calcular l expressió de la solució general. Vegem els dos casos: Exemple 7 Estudia la compatibilitat del sistema Resolució x+ y+ z y+ z. Troba n la solució. 4x y+ z És compatible i determinat, ja que M 0 i, per tant, el rang de M és, igual al nombre d incògnites. Efectivament: La solució del sistema és la trivial: x = y = z = 10 Exemple 8 Estudia la compatibilitat del sistema Resolució x+ y+ z 4x y+ z. Troba n la solució. x y z És compatible indeterminat, ja que M i, per tant, el rang de M és. Efectivament: La solució general del sistema s expressa en funció d un paràmetre, ja que la diferència entre el nombre d incògnites i el rang és 1. Podem aplicar el mètode de Gauss: El sistema equivalent és: x+ y+ z 4y z Si fem z = λ, y = λ 4, que substituint en la primera equació dóna x = 5 8 λ. La solució general és: 5 x = λ; y = λ; z = λ; λ 8 4 que per a λ, conté la solució particular x = y = z. 41

18 8.6 Sistemes homogenis Cal recordar que si un determinant té una línia com binació lineal d altres, el determinant és nul. Exemple 9 Resol el sistema: x y+ = 0 x+ 6y 9z x 4y+ 6z Resolució Calculem el rang de la matriu M. Si observes detingudament el sistema veuràs que la segona i la tercera equació resulten de multiplicar la primera per i, respectivament. Aquestes dues files són proporcionals a la primera. És a dir, aquest sistema es redueix a una sola equació i, per tant, rang M. És compatible indeterminat. Com que la diferència entre el nombre d equacions i el rang 1 és, la solució general del sistema té dos graus de llibertat. Això vol dir que es pot expressar amb dos paràmetres diferents: Fem z = μ i y = λ, que substituïts en la primera equació ens dóna x = λ μ. La solució general del sistema és: x = λ μ y = λ z = μ Aquesta solució es pot expressar: (x, y, z) = (, 1, 0)λ + (, 0, 1)μ que per a λ = μ conté la solució trivial x = y = z. Activitats 17> Resol els sistemes homogenis següents: a) x y+ z x+ y z y+ z d) x+ y z x y+ z x+ z b) x+ y+ z x y+ z 4x+ y+ 5z e) x y z x+ 5y+ z x+ 4y c) x+ y y+ z x+ z 1 R: a) (0, 0, 0); b) λ, λ λ, 4 4 ; c) (0, 0, 0); d) (λ, 4λ, λ); e) (0, 0, 0) 4

19 8. 7 Resolució general de sistemes 8.7 Resolució general de sistemes En els apartats anteriors hem vist diferents procediments per resoldre sistemes d equacions lineals. Els procediments utilitzats són vàlids per a qualsevol nombre d equacions i d incògnites, però la resolució es complica quan aquest nombre és superior a tres, ja que implica el càlcul de determinants d ordre superior a tres. Amb el que hem vist fins ara es pot resoldre qualsevol sistema d equacions lineals. Cal tenir en compte els passos que hem de seguir: j Aplicar el teorema de Rouché. Calcular els rangs de les matrius M i M per establir-ne la compatibilitat. Classificar el sistema segons el tipus de solució. Algunes calculadores científiques i algun programa informàtic permeten calcular determinants d ordre superior a tres de manera senzilla. j Si el sistema és incompatible, ja hem acabat. j Si el sistema és compatible, cal resoldre l. a) Si és compatible determinat es pot resoldre per la regla de Cramer o pel mètode de Gauss. Cal considerar el sistema equivalent format per les equacions que donen el determinant tal que el seu ordre és el rang de les matrius M i M. b) Si és compatible indeterminat es pot resoldre per la regla de Cramer o pel mètode de Gauss. Cal considerar el sistema equivalent format per les equacions que donen el determinant tal que el seu ordre és el rang de les matrius M i M. Expressar la solució general amb un nombre de paràmetres igual a la diferència entre el nombre d incògnites i el rang de les matrius. j Els mètodes de reducció, substitució i igualació que vas utilitzar en l etapa anterior són igualment vàlids per resoldre sistemes senzills. Exemple 10 Resol el sistema Resolució x+ 4y x+ y = 1 4x+ 5y = x+ y = Apliquem el teorema de Rouché-Frobenius: 4 1 M = M = 4 5 4

20 8. 7 Resolució general de sistemes Rang M =, ja que és el rang màxim que pot tenir, i el determinant 4 1 Calculem el rang de M : = 9 0. Rang M =, que és el rang màxim que pot tenir. 4 5 Rang M rang M. El sistema és incompatible. = 0 En aquest cas es podria resoldre el sistema format per les dues primeres equacions, i comprovar que la solució obtinguda no ho és de les altres. x+ 4y x y = 1 Per reducció: x+ 4y y = y =, x = x 6y = 7 Comprovem si aquesta solució ho és d una altra equació del sistema, per exemple de la tercera: x+ y = 5 + = La solució del sistema format per les dues primeres equacions no és solució de la tercera. En conclusió, el sistema x+ 4y x+ y = 1 4x+ 5y = x+ y = és incompatible. Hem arribat a la mateixa conclusió que amb l aplicació del teorema de Rouché. Activitats 18> Estudia la compatibilitat dels sistemes següents i resol els que siguin compatibles. a) x+ y+ z = 6 x y+ z = 9 4x+ y+ 5z = d) x 4y + 6z = x + z = x y + z = 4 b) x y + z = 9 4x + y z = 1 6x y = 8 e) x + y z = 5 x + y z = 5 5x + y + z 1 c) x + y x + z = x + y z = 5 f) x y = 7 x + y = 4 5x + y = 7 x + y = 6+ λ 19 + λ R: a) (9 4λ, λ, + λ); b),, λ ; c) (,, ); 1 7 d) ( 5 7λ, λ, λ); e) (,, ); f) (, ) 44

21 8. 8 Discussió de sistemes 8.8 Discussió de sistemes Es poden presentar sistemes amb un paràmetre, el valor del qual determina la compatibilitat del sistema. Trobar el valor d un paràmetre que fa o no compatible un sistema s anomena fer-ne la discussió. Discutirem el sistema següent segons els valors que pot tenir k: Utilitzem el teorema de Rouché-Frobenius: El rang de M, ja que: 1 1 M = 1 k x + y + z x + y + z x y + kz = M = 1 1 k 0 Si l únic determinant d ordre que es pot extreure de la matriu M és nul, el rang de M serà k = k 10 k 0 Per k 0, el rang de M és. Per k 10, el rang de M és. El rang de M. Si algun determinant d ordre extret de la matriu M és diferent de zero, aleshores el rang de M serà. El determinant que resulta de substituir la tercera columna, on hi ha k, per la quarta, ens dirà si el rang de M és. Conclusió: = 5 0 rang M = j Si k 0, el sistema és incompatible. j Si k 10, el sistema és compatible determinat. També es pot aplicar el mètode de Gauss per fer la discussió d un sistema. Ho veurem tot seguit amb un exemple. 45

22 8.8 Discussió de sistemes Exemple 11 Troba els valors de t que fan compatible el sistema: Resolució x z 1 y+ z = 6 y z = t x+ y 4z = t Escriurem la matriu associada al sistema com si volguéssim resoldre l per Gauss i reduirem incògnites: t 0 1 t 0 0 t t t 0 8 t 0 11 t t 1 Si t 1 t = 6, el sistema és compatible i determinat, ja que, en substituir aquest valor en la tercera fila, podem calcular z i les altres incògnites. Si t 6, el sistema és incompatible. Observa que si: j t = 6 rang M = rang M = j t 6 rang M = i rang M = 4 També es pot fer la discussió considerant que per tal que el sistema sigui compatible i determinat el rang de la matriu ampliada cal que sigui. Això obliga que el determinant de quart ordre de la matriu ampliada sigui 0. Posem aquesta condició: t 8 t 6 t t En resoldre l equació, hem obtingut el mateix resultat que en la discussió anterior. t = 6 Activitats 19> Discuteix els sistemes següents segons els valors del paràmetre k: a) x y+ z x+ y z = kx y z = d) x+ y+ z = x y+ 8z = x+ 5y+ kz = 5 b) x+ y+ z x+ y+ z kx + y + z e) x+ y+ z kx + z = 4x+ z c) x+ y+ z x+ y+ kz = 5 x+ y z = f) x ky x + ky = k x + y = 46

23 8. 9 Resolució de problemes 8.9 Resolució de problemes La majoria de sistemes d equacions lineals sorgeixen en resoldre problemes en els quals hi ha incògnites que verifiquen unes condicions determinades. Força vegades has resolt ja problemes d aquest tipus. És bo de recordar els passos que cal fer per resoldre problemes amb equacions i completar-ho amb la resolució general de sistemes que hem vist en aquesta unitat. a) Identificar les incògnites. b) Traduir les condicions de l enunciat del problema a equacions amb les incògnites. c) Plantejar el sistema format per les equacions i obtenir l equivalent de la forma que hem estat utilitzant. d) Estudiar les possibles solucions del sistema. e) Resoldre el sistema pel mètode que sembli més senzill. f) Comprovar la solució obtinguda en relació amb l enunciat del problema. Apliquem aquests passos a la resolució d un problema. La suma de les tres xifres d un nombre és 14. La xifra de les unitats és igual a la suma de les altres dues. Si sumem 70 al nombre, s inverteixen les xifres de les desenes i les centenes. Troba aquest nombre. Resolució a) Les incògnites: x xifra de les unitats y xifra de les desenes z xifra de les centenes b) Condicions: j La suma de les tres xifres és 14: x + y + z 4 j La xifra de les unitats és igual a la suma de les altres dues: x = y + z j Si sumem 70 al nombre, s inverteixen les xifres de les desenes i centenes. Cal expressar el nombre: 100z + 10y + x i la condició s expressa de la forma: c) El sistema és: 100z + 10y + x y + 10z + x y + z = x+ y+ z 4 x y z y+ z = Exemple 1 47

24 8.9 Resolució de problemes d) La matriu del sistema és: M que és de rang, ja que M = 4. El sistema és compatible i determinat. e) Resolem el sistema x + y + z 4 x y z y + z = Podem fer-ho per reducció. Sumant les dues primeres equacions, tenim x 4 x = 7 I ara substituïm el valor trobat de la x al sistema format per les dues darreres equacions: 7 y z { 7 y = y = 5, z = y + z = f) Comprovació: el nombre és 57. La suma de les xifres és 14, la xifra de les unitats és igual a la suma de les altres dues, i si sumem = 57, s han invertit les xifres de les desenes i de les centenes. Hem resolt correctament el problema. Activitats 0> En una granja hi ha porcs, vaques i cavalls, en total 54 animals. El nombre de vaques representa 4 del nombre de porcs, i el de cavalls, del de vaques. Quants animals hi ha de cada classe a la granja? R: 4 porcs, 18 vaques i 1 cavalls 1> La suma de les edats de tres persones és 100 anys. Troba l edat de cadascuna d elles si saps que la del mig té 10 anys més que la més petita, i que la més gran té tants anys com les altres dues juntes. R: 50, 0 i 0 anys > En un nombre de tres xifres la suma d aquestes és 10. La xifra de les desenes és i quan s inverteix l ordre d aquestes xifres, s obté un altre nombre que excedeix el primer en 495 unitats. Troba aquest nombre. R: 16 > L edat d en Pere és el doble de l edat de la Maria. Fa 7 anys la suma de les edats era igual a l edat actual d en Pere. Troba les dues edats. R: 8 i 14 anys 4> Les edats d una nena, el seu pare i la seva àvia sumen 100 anys. Calcula aquestes edats sabent que la diferència entre l edat del pare i la de la seva filla és la meitat de l edat de l àvia i que 14 vegades l edat de la nena és el doble de l edat del pare. R: 5, 5 i 60 anys 5> D un nombre de tres xifres se sap que: a) Sumant la xifra de les centenes amb la de les unitats s obté la xifra de les desenes. b) Les tres xifres sumen 10. c) Si s inverteix l ordre de les xifres, s obté un altre nombre 97 unitats major. Calcula el nombre. R:

25 Punt final Punt final Un problema geomètric que es resol amb un sistema d equacions lineals Considerem un quadrat de costat 1 dm i fent centre en cada vèrtex tracem arcs de radi igual al costat del quadrat (fig. 8.1). Fig. 8.1 Aquesta figura està formada per tres tipus diferents de noves figures que no corresponen a cap figura plana de la qual sabem calcular l àrea. El problema és calcular l àrea de cadascun dels tres tipus diferents de figura. Començarem per representar l àrea de cadascuna d elles per una incògnita (fig. 8.). Cal establir les relacions o equacions que verifiquen aquestes àrees. La suma de totes les àrees és 1 dm, ja que el quadrat fa 1 dm de costat: x + 4y + 4z Fig. 8. En la figura 8. pots observar les diferents figures que hi ha en 1 del cercle de radi 1 dm. 4 Aquest 1 4 de cercle té d àrea π 4 dm. Així, podem establir l equació: π x+ y+ z = 4 En la figura 8.4 hem construït un triangle equilàter de costat 1 dm que ens ajudarà a establir l àrea de la regió marcada. Aquesta regió es pot considerar com la superposició de dos sectors circulars d amplitud 60 i radi 1 dm. Per obtenir-ne l àrea sumem la dels dos sectors i li restem l àrea del triangle que hauria estat comptat dues vegades. L àrea del sector d amplitud 60 i radi 1 és 1 6 de l àrea del cercle. L àrea dels dos sectors és π dm. Fig. 8. Fig. 8.4 L àrea del triangle equilàter de costat 1 dm és Podem establir l equació següent: El sistema que cal resoldre és: 4 dm. π x+ y+ z = x+ 4y+ 4z π x+ y+ z = 4 π x+ y+ z = Calculem el determinant de la matriu del sistema: Δ = Com que el sistema és compatible determinat, el podem resoldre pel mètode de Cramer

26 Punt final Calculem els determinants corresponents a les tres incògnites: Δ Δ x y Δ z = = = π 4 π π 4 1 π π 4 1 π 4 π = 1 + π 1 π = La solució és: Δ x π Δ y π Δ z π x = + ; y = = 1+ + ; z = + Δ Δ 1 Δ 4 6 Pots obtenir una aproximació decimal de les tres àrees, expressades en dm, en cas que utilitzis la calculadora. Comprovem que la suma de les àrees de les diferents regions dóna 1 dm. π π π 6 = π π π dm Acabem de resoldre un problema d àrees amb l ajut dels sistemes d equacions lineals. 50

27 Activitats finals Activitats finals 1> Estudia la compatibilitat dels sistemes següents i resol els que siguin compatibles. a) x+ y+ z = x+ y+ 5z 1 x 5y+ 6z = 9 c) x+ y y+ z = 8 x+ z = 6 e) x+ y z = 9 x y+ 4z = 4 x y 6z = 1 g) x 5y+ z = 1 x+ y 5z 7x 4y+ z ( ) + ( + ) = h) x+ 1 y 1 z 1 ( 1+ x+ y+ ( 1 ) z ( 1 ) x+ ( 1+ ) y+ z i) x+ y+ z x y+ z x+ y+ 5z b) x y+ z = y+ z 5 x+ y d) x+ y z = 16 x+ y z = 10 x y+ z = 4 f) x+ y z = 6x+ y+ z = 8 18x 5y+ z = 10 j) El sistema següent està escrit en la forma matricial: AX = B. Per resoldre l cal trobar la matriu de les incògnites, la qual cosa implica el càlcul de la matriu inversa A 1 si existeix. També es pot resoldre multiplicant les matrius i escrivint el sistema en la forma més usual i resoldre l per qualsevol dels mètodes. 1 0 x y 0 = 1 z. R: a) (1,, ); b) (,, ); c) (5, 7, 1); d) (1, 5, 9); 1 e), 4, ; f) 4, 6, 1 ; g) (, 5, ); h) ( λ, λ, λ); i),, ; j) 1 7 6,, > Raona per què tots els sistemes següents són compatibles. Expressa la solució d aquells que siguin indeterminats. a) x+ y+ z x y z x y z c) x+ y z x+ y z x y+ z b) x y z x+ y z x 6y+ 8z > En una granja hi ha 100 caps de bestiar distribuïts en tres corrals de manera que la relació entre el nombre d animals del primer corral i el del segon és i la relació entre el nombre d animals del segon i tercer és 6. Calcula quants animals hi ha en cada corral. 5 R: 475, 450, 75 caps de bestiar. 4> Un constructor compra tres parcel les i paga 150 /m, 180 /m i 00 /m, respectivament. Calcula la superfície de cada una sabent que entre les tres fan m, que el preu total de l operació és de i que el preu de la tercera parcel la representa les tres quartes parts del preu de les altres dues juntes. R: 500 m, 650 m, 750 m 5> Considera el sistema: x+ my+ z = 4 x+ y+ z = 5 mx + y + z = 4 Troba els valors de m pels quals el sistema no és de Cramer. Resol el sistema per aquest mètode quan m = R: 4, 4, 4 6> Discuteix el sistema següent segons el valor del paràmetre m. Expressa la solució general pel valor de m que el faci compatible indeterminat. x+ my+ z = m+ x + y + mz = ( m + 1) mx + y + z = m 51

28 Activitats finals 7> Discuteix el sistema següent segons els valors de t i prova de resoldre l quan sigui compatible: 5x 11y+ 9z = t x y+ 5z = x 4y+ z 8> Un antiquari compra tres peces d art per milions d euros. Confia a vendre-les amb uns guanys del 0 %, del 50 % i del 5 %, respectivament, amb la qual cosa obtindria un benefici de 0,6 milions. Però en una subhasta ha aconseguit uns guanys del 80 %, del 90 % i del 85 % respectivament, fet que li ha representat un benefici de 1,7 milions. A quin preu va comprar cada peça? R: 0,5; 0,5 i 1 milions 9> Analitza n la compatibilitat i resol el sistema següent. Demostra que hi ha infinites solucions que tenen els tres valors de les incògnites positius. x y+ z 5x+ 5y+ z = 1 x+ 8y+ 7z = 10> Per a quin valor de k el sistema és compatible? Troba n la solució. x y+ z = 8 x y+ z = x+ y z x+ y z = k R: k = 11> Considera les equacions: x y + z i x y z = Escriu una tercera equació que, amb les dues anteriors, formi un sistema que sigui: a) Compatible determinat. b) Compatible indeterminat. c) Incompatible. 1> Les tres xifres d un nombre sumen 18. Si a aquest nombre li restem el que resulta d invertir l ordre de les seves xifres, s obté 594. Troba aquest nombre si sabem que la xifra de les desenes és la mitjana aritmètica de les altres dues. R: 96 1> Per la festa major, un noi va a tres espectacles diferents. El primer dia va dues vegades a l espectacle X, una al Y i l altra al Z, i es gasta 10. El segon dia va tres vegades al X i una al Y i es gasta 180. El tercer dia va un cop a cada espectacle i es gasta només 80. Quin era el preu de cada espectacle? R: x = 50, y = 0, z 14> Troba l edat de tres germans sabent que el triple de l edat del primer menys el doble de l edat del segon més l edat del tercer fan anys, l edat del primer menys la del segon més el doble de la del tercer fan 8 anys, i el doble de la del primer més la del segon menys la del tercer fan 0 anys. R: 9, i 1 anys 15> Troba la solució dels sistemes següents que siguin compatibles: a) x y = x + y + z = 4 x + y 5z = 4 b) x+ y z = 5 x y+ 5z = 7 x+ 10y 8z = 9 c) x+ y z = 4 x+ y = 5 5x+ 5y z 4 16> Discuteix els sistemes següents segons els valors del paràmetre λ. a) x+ y+ λz λx+ 9y+ 9z = λ x+ λy+ z b) x + λy + z = λ 4x + 6y + λz = λ 6λx + 9y + λz = λ c) x y+ z = 5 λx+ y+ λz λx+ y z = 5λ+ 1 5

29 Avaluació Avaluació 1> Per a quin o quins valors del paràmetre real λ el sistema d equacions següent x + y + ( λ + ) z x + ( λ) y + z = 9 x z = 4 és compatible i indeterminat? > Donat el sistema d equacions { x y + z = 5 x y + z = 4 a) Afegeix-hi una equació lineal de manera que el sistema resultant sigui incompatible. b) Afegeix-hi una equació lineal de manera que el sistema resultant sigui compatible indeterminat. Resol el sistema que s obtingui. > Resol els sistemes següents: a) x + y z = x + 8y 7z x y z b) x + y + z = 6 x y z = 4 x + y + z = 8 4> (Curs 00-04) En estudiar un sistema d equacions lineal dependent del paràmetre k pel mètode de Gauss hem arribat a la matriu ampliada següent: k k 1 0 Discuteix el sistema en funció del paràmetre k. 5