Apèndix Àlgebra lineal amb wxmaxima
|
|
|
- María Carmen Valverde Barbero
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Apèndix Àlgebra lineal amb wxmaxima Objectius 1. Definir matrius amb wxmaxima. 2. Aplicar amb wxmaxima operacions amb matrius. 3. Aplicar transformacions elementals de matrius. 4. Calcular el determinant d una matriu quadrada. 5. Interpretar les propietats del determinant d una matriu quadrada. 6. Plantejar i resoldre sistemes d equacions lineals amb wxmaxima. 7. Discutir i resoldre sistemes d equacions lineals. Continguts A-1. Matrius. Operacions amb matrius. A-2 Transformacions elementals de matrius. A-3 Rang d una matriu. Inversa d una matriu quadrada regular. Factorització LU. A-4. Determinant d una matriu quadrada. Propietats. Càlcul A-3. Sistemes d equacions lineals. Referències AEM11 ALANINOS PRATS, J; EXTREMERA LIZANA, J; MUÑOZ RIVAS, P. (2011) Cálculo con wxmaxima. G07 GLASNER, MOSES (2007) A Maxima Guide for Calculus Students RR05 REDONDO NEBLE, M. VICTORIA; RODRÍGUEZ GALVÁN, J. RAFAEL (2005) Introducción a Maxima RG07 RODRÍGUEZ GALVÁN, J. RAFAEL (2007) Maxima con wxmaxima: software libre en el aula de matemáticas RR08 RODRÍGUEZ RIOTORTO, MARIO (2008) Primeros pasos en Maxima
2 RV09 RODRÍGUEZ, MARIO; VILLATE, JAIME (2009) Manual de Maxima. VR09 VALLEJO RODRÍGUEZ, JOSÉ ANTONIO (2009) Cálculo diferencial con Maxima 2 Apèndix: Àlgebra lineal amb wxmaxima
3 A-1.- Matrius. Operacions amb matrius Els continguts d aquest apartat es desenvolupen al fitxer Apendix-1.wxm. En aquest apartat es veurà la definició de matrius amb wxmaxima i les diferents operacions amb matrius. A.1.1. Definició de matrius i submatrius. Definició de matrius: Explicitar una fila o una columna d una matriu: Obtenció de submatrius per eliminació d una fila: Apèndix: Àlgebra lineal amb wxmaxima 3
4 Obtenció de submatrius per eliminació d una columna: Obtenció de submatrius per eliminació d una fila i una columna: Obtenció de submatrius per eliminació de més d una fila i una columna: Definició d un vector columna (observeu que prèviament s ha de carregar el paquet eigen ): Definició d una matriu per una funció dels índex de fila i de columna: 4 Apèndix: Àlgebra lineal amb wxmaxima
5 Definició d una matriu diagonal: Definició de les matrius unitat (o identitat): Definició d una matriu nul la d un cert ordre: Càlcul de la traça d una matriu quadrada: Apèndix: Àlgebra lineal amb wxmaxima 5
6 A.1.2 Operacions algebraiques amb matrius. Suma de matrius de la mateixa estructura: Producte d una matriu per un escalar: Combinació lineal de matrius: Per al producte de matrius cal fer observar que en alguns programes el símbol és l asterisc (*). Vegem què passa amb wxmaxima: 6 Apèndix: Àlgebra lineal amb wxmaxima
7 Òbviament aquesta operació no és el producte de matrius, per a les quals cal que el nombre de columnes de la primera sigui igual al nombre de files de la segona. Vegem la sintaxi amb wxmaxima: Serveixi això per recordar que el producte de matrius no és commutatiu. Producte d una matriu per un vector columna: Transposició de matrius: Apèndix: Àlgebra lineal amb wxmaxima 7
8 A.1.3 Concatenació de matrius. A partir d unes matrius inicials es poden construir noves matrius per concatenació de files, és a dir, escriure a continuació de cada fila d una matriu les files de la segona: També es poden construir noves matrius per concatenació de columnes, és a dir, escriure a continuació de cada columna d una matriu les columnes de la segona: A.1.4 Matrius per blocs. A partir de matrius quadrades es poden construir noves matrius amb l estructura anomenada diagonal per blocs o bloc-diagonal : 8 Apèndix: Àlgebra lineal amb wxmaxima
9 Apèndix: Àlgebra lineal amb wxmaxima 9
10 A-2.- Transformacions elementals de matrius Els continguts d aquest apartat es desenvolupen al fitxer Apendix-2.wxm. A.2.1. Transformacions elementals de files i columnes S anomenen transformacions elementals de matrius les següents: 1. Intercanvi de dues files o dues columnes. 2. Multiplicació d'una fila o columna per un escalar no nul. 3. Sumar a una fila o columna un múltiple escalar (no nul) d'una altra fila o columna. Vegem la sintaxi amb wxmaxima. 1. Intercanvi de dues files o dues columnes: Val a dir que aquesta transformació s obté premultiplicant la matriu per la matriu unitat del mateix nombre de files en la qual s hagi aplicat la transformació que es vol aplicar en la matriu. En efecte: 10 Apèndix: Àlgebra lineal amb wxmaxima
11 Intercanvi de columnes: Aquesta transformació s obté postmultiplicant la matriu per la matriu unitat del mateix nombre de columnes en la qual s hagi aplicat la transformació que es vol aplicar en la matriu. En efecte: 2. Multiplicació d'una fila o columna per un escalar no nul. No hi ha una instrucció de wxmaxima que realitzi aquesta transformació. Per això s ha de recórrer a la metodologia de premultiplicació (files) o postmultiplicació (columnes) comentada al cas anterior: Apèndix: Àlgebra lineal amb wxmaxima 11
12 3. Sumar a una fila o columna un múltiple escalar (no nul) d'una altra fila o columna. Vegem també la seva implementació amb la premultiplicació per la transformació feta en la matriu unitat: I ara amb una columna: 12 Apèndix: Àlgebra lineal amb wxmaxima
13 A.2.2. Obtenció de matrius esglaonades i matrius esglaonades reduïdes. Aquestes matrius s obtenen amb les instruccions triangularize, resultant una matriu triangular superior, i echelon que dóna una matriu triangular superior reduïda. Vegem la sintaxi mitjançant uns exemples. Apèndix: Àlgebra lineal amb wxmaxima 13
14 14 Apèndix: Àlgebra lineal amb wxmaxima
15 A-3.- Rang d una matriu. Inversa d una matriu. Factorització LU. Els continguts d aquest apartat es desenvolupen al fitxer Apendix-3.wxm. A.3.1. Rang d una matriu Per calcular el rang d una matriu cal aplicar la instrucció rank : A.3.2. Inversa d una matriu Per calcular la inversa d una matriu quadrada regular cal verificar primer que el seu rang és l adequat i aplicar després la instrucció inv : Com es pot veure a continuació el càlcul mitjançant els mètodes manuals tradicionals pot resultar complicat: Apèndix: Àlgebra lineal amb wxmaxima 15
16 A.3.3. Factorització LU Per calcular la descomposició LU d una matriu quadrada regular, és a dir, dues matrius la primera de les quals (L) és triangular inferior i la segona de les quals (U) és triangular superior, que multiplicades en aquest ordre donen la matriu A, hi ha implementada en wxmaxima una instrucció que dóna el resultat corresponent. Vegem un exemple. Vegem que la matriu és regular: I ara apliquem la instrucció que calcula aquests factors: 16 Apèndix: Àlgebra lineal amb wxmaxima
17 La segona matriu és la triangular inferior (L) i la tercera és la triangular superior (U). En efecte: Apèndix: Àlgebra lineal amb wxmaxima 17
18 A-4.- Determinant d una matriu quadrada. Els continguts d aquest apartat es desenvolupen al fitxer Apendix-4.wxm. Vegem el desenvolupament del càlcul del determinant d una matriu quadrada d ordre n, en els casos n = 2 i n = 3: Com és sabut, el determinant d una matriu triangular és igual al producte dels elements de la diagonal. En efecte: 18 Apèndix: Àlgebra lineal amb wxmaxima
19 Vegem ara un exemple numèric: Com és conegut, la inversa d una matriu quadrada es pot calcular aplicant el concepte de determinant, mitjançant la matriu d adjunts o cofactors transposada multiplicada per l invers del determinant de la matriu. Així:, per exemple: Apèndix: Àlgebra lineal amb wxmaxima 19
20 Aquesta matriu és la inversa de la matriu M1; en efecte: 20 Apèndix: Àlgebra lineal amb wxmaxima
21 A-5.- Sistemes d equacions lineals. Els continguts d aquest apartat es desenvolupen al fitxer Apendix-5.wxm. A.5.1. Discussió i resolució de sistemes lineals. La mecànica de resolució de sistemes d equacions lineals senzills amb wxmaxima ja és coneguda. Recordem-la amb un exemple. Exemple A.5.1. Resoldre el sistema d equacions lineals: 2x 4y= 2 3x+ 5y= 1 Introduïm les equacions i assignem a cada equació una referència: Per resoldre el sistema apliquem la instrucció linsolve indicant les equacions i ls variables: Interessa ara il lustrar el procediment de discussió i resolució de sistemes d equacions lineals aplicant el teorema de Rouché-Frobenius. Ho farem amb dos exemples. Exemple A.5.2. Discutir i resoldre el sistema d equacions lineals: x+ 2y+ 3z= 1 2x y+ z= 1 x + 3y 2z = 2 Com s ha dit abans, cal introduir les equacions i assignar a cada equació una referència: Apèndix: Àlgebra lineal amb wxmaxima 21
22 Ara calcularem amb wxmaxima les dues matrius associades al sistema lineal: la matriu del sistema formada pels coeficients de les incògnites o variables i a continuació la matriu ampliada, resultant de concatenar la matriu del sistema amb la columna dels termes independents. Matriu del sistema: Matriu ampliada: hi ha una instrucció de wxmaxima que dóna aquesta matriu, però en una forma lleugerament diferent ja que ho fa passant al primer membre els termes independents i, per tant, canviant el seu signe. En efecte: Per calcular la matriu ampliada en la forma estàndard, cal definir el vector de termes independents i fer la concatenació amb la matriu del sistema. Per tant: Ara s ha de calcular el rang de cada una d aquestes matrius: Per tant el sistema és compatible determinat. Per resoldre l per la metodologia clàssica es calcula la matriu esglaonada reduïda de la matriu ampliada: 22 Apèndix: Àlgebra lineal amb wxmaxima
23 D aquí es pot obtenir la solució, així com amb la instrucció de wxmaxima a aquests efectes: Exemple A.5.3. Discutir i resoldre el sistema d equacions lineals: x+ 2y+ 3z= 1 2x y+ z= 1 Introduïm les equacions i assignem a cada equació una referència: Ara calcularem amb wxmaxima les dues matrius associades al sistema lineal. Matriu del sistema: Matriu ampliada: Ara calculem el rang de cada una d aquestes matrius: Apèndix: Àlgebra lineal amb wxmaxima 23
24 Per tant el sistema és compatible i simplement indeterminat. Per resoldre l apliquem la instrucció de wxmaxima: És a dir la solució és: 5z+ 1 x= 5 3 5z y= 5 z= z R (parametre) Exemple A.5.4. Discutir i resoldre el sistema d equacions lineals: x+ 2y+ 3z= 1 2x+ 4y+ 6z= 1 Introduïm les equacions i assignem a cada equació una referència: Ara calcularem amb wxmaxima les dues matrius associades al sistema lineal. Matriu del sistema: Matriu ampliada: Ara calculem el rang de cada una d aquestes matrius: 24 Apèndix: Àlgebra lineal amb wxmaxima
25 Per tant el sistema és incompatible. Vegem què succeeix si es vol resoldre amb wxmaxima: A.5.2. Sistemes lineals amb paràmetres. La discussió d un sistema d equacions lineals sovint involucra l existència d un o més paràmetres en les equacions; la tipologia i la solució del sistema depèn del valor d aquests paràmetres i cal fer la discussió corresponent. Il lustrarem el procediment amb un parell d exemples. Exemple A.5.5. Discutir i resoldre en funció del paràmetre a R el sistema d equacions lineals: 3x 2y+ z= 1 4x+ y 2z= 2 2x 5y az= 3 Introduïm les equacions i assignem a cada equació una referència: Matriu del sistema i matriu ampliada: Apèndix: Àlgebra lineal amb wxmaxima 25
26 Triangulitzem la matriu ampliada: Ara tenim dues situacions: 1) Si 11a 44= 0, és a dir, si a= 4, aleshores rang( A) = 2; rang( A0 ) = 3 i per tant el sistema és incompatible. 2) Si 11a 44 0, és a dir, si a 4, aleshores rang( A) = rang( A0 ) = 3 i per tant el sistema és compatible determinat. En efecte: Solució del sistema en el segon cas ( a 4 ): Exemple A.5.6. Discutir i resoldre en funció dels paràmetres ab R, el sistema d equacions lineals: ax+ y+ z= b x + ay + z = b x + y + az = b 26 Apèndix: Àlgebra lineal amb wxmaxima
27 Introduïm les equacions i assignem a cada equació una referència: Matriu del sistema i matriu ampliada: Discutirem el rang de la matriu del sistema ja que només depèn d un paràmetre i ho farem amb el seu determinant, ja que és quadrada: Ara tenim tres situacions: 1) a= 1 ; 2) a= 2 ; 3) a 1 i a 2. Primer cas. La matriu del sistema i la matriu ampliada són: Apèndix: Àlgebra lineal amb wxmaxima 27
28 Rang d aquestes matrius: Per tant el sistema és compatible doblement indeterminat. Solució del sistema: Segon cas. La matriu del sistema i el seu rang són: Matriu ampliada: Triangulitzem la matriu: 28 Apèndix: Àlgebra lineal amb wxmaxima
29 Per tant si b 0, el sistema és incompatible i si b=0, el sistema és compatible simplement indeterminat. Solució del sistema: Tercer cas. Se sap que el sistema és compatible determinat i aleshores es pot calcular ja la solució: Apèndix: Àlgebra lineal amb wxmaxima 29
TEMA 4 : Matrius i Determinants
TEMA 4 : Matrius i Determinants MATRIUS 4.1. NOMENCLATURA. DEFINICIÓ Una matriu és un conjunt de mxn elements distribuïts en m files i n columnes, A= Aquesta és una matriu de m files per n columnes. És
1. SISTEMA D EQUACIONS LINEALS
1. SISTEMA D EQUACIONS LINEALS 1.1 Equacions lineals Una equació lineal està composta de coeficients (nombres reals) acompanyats d incògnites (x, y, z,t..o ) s igualen a un terme independent, i les solucions
TEMA 5 : Resolució de sistemes d equacions
TEMA 5 : Resolució de sistemes d equacions 5.1. EQUACIÓ LINEAL AMB n INCÒGNITES Una equació lineal de n incògnites es qualsevol expressió de la forma: a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, on a i b son
Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 6 PAU 2012
Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 6 SÈRIE 4 1 1 k 1.- Determineu el rang de la matriu A = 1 k 1 en funció del valor del paràmetre k. k 1 1 [2 punts] En ser la matriu
Apéndice Álgebra lineal con wxmaxima
Apéndice Álgebra lineal con wxmaxima Objetivos 1. Definir matrices con wxmaxima. 2. Aplicar con wxmaxima operaciones con matrices. 3. Aplicar transformaciones elementales de matrices. 4. Calcular el determinante
Sèrie 5. Resolució: 1. Siguin i les rectes de d equacions. a) Estudieu el paral lelisme i la perpendicularitat entre les rectes i.
Oficina d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 11 Sèrie 5 1. Siguin i les rectes de d equacions : 55 3 2 : 3 2 1 2 3 1 a) Estudieu el paral lelisme i la perpendicularitat entre les rectes i. b) Trobeu l
ACTIVITATS. a) b) c) d) INS JÚLIA MINGUELL 2n Batxillerat. dv, 18 de març Alumne:
INS JÚLIA MINGUELL 2n Batxillerat Matemàtiques Tasca Continuada 4 «Matrius i Sistemes d equacions lineals» Alumne: dv, 18 de març 2016 LLIURAMENT: dm, 5 d abril 2016 NOTA: cal justificar matemàticament
Unitat 2. POLINOMIS, EQUACIONS I INEQUACIONS
Unitat 2. POLINOMIS, EQUACIONS I INEQUACIONS 2.1. Divisió de polinomis. Podem fer la divisió entre dos monomis, sempre que m > n. Si hem de fer una divisió de dos polinomis, anirem calculant les divisions
c) C = (c ij ) de tres files i tres columnes per a) u r = (1, 2, 3, 4), c) u r = (1, 1, 1), v r = (2, 4, 8) i w r = (3, 9, 27)
SOLUCONAR Unitat 8 Comencem Cada 100 g de producte d un determinat aliment conté 0,06 g de vitamina A, 0,3 g de vitamina B i 0, g de calci. Anàlogament, un altre aliment conté 0,1 g de vitamina A, 0, g
Polinomis i fraccions algèbriques
Tema 2: Divisivilitat. Descomposició factorial. 2.1. Múltiples i divisors. Cal recordar que: Si al dividir dos nombres enters a i b trobem un altre nombre enter k tal que a = k b, aleshores diem que a
Matemàtiques 1 - FIB
Matemàtiques - FI 7--7 Examen Final F Àlgebra lineal JUSTIFIQUEU TOTES LES RESPOSTES. [ punts] Siguin E i F dos espais vectorials, f : E F una aplicació lineal. (a) Digueu què ha de satisfer f per tal
x + 2 y = 3 2 x y = 1 4 x + 3 y = k a) Afegiu-hi una equació lineal de manera que el sistema resultant sigui incompatible.
1998 - Sèrie 3 - Qüestió 4 Discutiu el sistema d'equacions a x y + 2 z = (2 a) 2 x + 3 y z = 3a x + 2 y z = 2a segons els valors del paràmetre a. 1999 - Sèrie 1 - Qüestió 1 Resoleu el sistema següent per
Prova d accés a la Universitat (2013) Matemàtiques II Model 1. (b) Suposant que a = 1, trobau totes les matrius X que satisfan AX + Id = A, on Id
UIB Prova d accés a la Universitat () Matemàtiques II Model Contestau de manera clara i raonada una de les dues opcions proposades. Es disposa de 9 minuts. Cada qüestió es puntua sobre punts. La qualificació
UIB 2 + f (x) + f(x) ց ց ր ր Per tant, el punt ( 3. Una altra forma de veure-ho és calcular la derivada segona i mirar el signe en x = 3: 2 f (x) =
El cas positiu no té solució. Si analitzam el cas negatiu, ens surt x = x+, d on x =. A continuació fem la taula següent per veure si el valor obtingut és un màxim, mínim o un punt de sella. x + f (x)
( 2 3, utilitzeu la matriu inversa B 1 ( 1 4 ( 2 1. Matrius i determinants Sèrie 3 - Qüestió 4. Donada la matriu B =
1998 - Sèrie 3 - Qüestió 4 Donada la matriu B = ( 2 3, utilitzeu la matriu inversa B 1 1 1) B X B = ( 1 4 3 2). per trobar una matriu X tal que 2004 - Sèrie 1 - Qüestió 3 Considereu les matrius Trobeu
TEMA 4: Equacions exponencials i logarítmiques
TEMA 4: Equacions exponencials i logarítmiques 4.1. EXPONENCIALS Definim exponencial de base a i exponent n:. Propietats de les exponencials: (1). (2) (3) (4) 1 (5) 4.2. EQUACIONS EXPONENCIALS Anomenarem
Un sistema lineal de dues equacions amb dues incògnites és un conjunt de dues equacions que podem representar de la manera:
Un sistema lineal de dues equacions amb dues incògnites és un conjunt de dues equacions que podem representar de la manera: ax + by = k a x + b y = k Coeficients de les incògnites: a, a, b, b. Termes independents:
Proporcionalitat i percentatges
Proporcionalitat i percentatges Proporcions... 2 Propietats de les proporcions... 2 Càlul del quart proporcional... 3 Proporcionalitat directa... 3 Proporcionalitat inversa... 5 El tant per cent... 6 Coneixement
Resultat final, sense desenvolupar, dels exercicis i problemes proposats de cada unitat i de l apartat Resolució de problemes. En queden exclosos
DE S L U S RE S I V I C LES Resultat final, sense desenvolupar, dels exercicis i problemes proposats de cada unitat i de l apartat Resolució de problemes. En queden exclosos aquells exercicis que requereixen
Unitat 2 EQUACIONS DE PRIMER GRAU. Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 5. TRANSFORMACIONS D EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES UNITAT 2 EQUACIONS DE PRIMER GRAU
Unitat 2 EQUACIONS DE PRIMER GRAU 37 38 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 5. TRANSFORMACIONS D EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES UNITAT 2 QUÈ TREBALLARÀS? què treballaràs? En acabar la unitat has de ser capaç
Districte Universitari de Catalunya
Proves dʼaccés a la Universitat. Curs 2009-2010 Matemàtiques Sèrie 1 Responeu a CINC de les sis qüestions següents. En les respostes, expliqueu sempre què és el que voleu fer i per què. Cada qüestió val
10 Àlgebra vectorial. on 3, -2 i 4 són les projeccions en els eixos x, y, y z respectivament.
10 Àlgebra vectorial ÀLGEBR VECTORIL Índe P.1. P.. P.3. P.4. P.5. P.6. Vectors Suma i resta vectorial Producte d un escalar per un vector Vector unitari Producte escalar Producte vectorial P.1. Vectors
Geometria / GE 2. Perpendicularitat S. Xambó
Geometria / GE 2. Perpendicularitat S. Xambó Vectors perpendiculars Ortogonal d un subespai Varietats lineals ortogonals Projecció ortogonal Càlcul efectiu de la projecció ortogonal Aplicació: ortonormalització
Proves d accés a la Universitat per a més grans de 25 anys Convocatòria 2013
Pàgina 1 de 5 Sèrie 3 Opció A A1.- Digueu de quin tipus és la progressió numèrica següent i calculeu la suma dels seus termes La progressió és geomètrica de raó 2 ja que cada terme s obté multiplicant
1.- Sabem que el vector (2, 1, 1) és una solució del sistema ax + by + cz = a + c bx y + bz = a b c. . cx by +2z = b
Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina de 5 PAU 0 - Sabem que el vector (,, ) és una solució del sistema ax + by + cz = a + c bx y + bz = a b c cx by +z = b Calculeu el valor
4. EQUACIONS DE PRIMER GRAU AMB UNA INCÒGNITA
Definició d'equació. Equacions de primer grau amb una incògnita 1. EQUACIONS: DEFINICIONS Equació: igualtat entre dues expressions algebraiques. L'expressió de l'esquerra de la igualtat rep el nom de PRIMER
P =
RECULL DE PROBLEMES SOBRE MTRIUS I DETERMINNTS QUE HN SORTIT LES PROVES DE SELECTIVITT ) PU LOGSE 004 Sèrie Qüestió 3: Considereu les matrius compleixi X + = B. = i B =. Trobeu una matriu X que ) PU LOGSE
Tema 11 Funcions inverses. Funcions implícites. Fórmula de Taylor. Extrems.
Tema 11 Funcions inverses. Funcions implícites. Fórmula de Taylor. Extrems. Objectius: 1. Practicar el Teorema de la Funció Inversa. 2. Practicar el Teorema de la Funció Implícita. 3. Practicar el càlcul
Tema 3: EQUACIONS I INEQUACIONS
Tema 3: EQUACIONS I INEQUACIONS Igualtats algebraiques Es poden diferenciar: identitats i equacions a) Identitats Són igualtats que sempre es compleixen, per qualsevol valor numèric que donem a les lletres.
Apunts de Matemàtica Discreta i Àlgebra Segona part: Àlgebra Lineal Tema 6: Equacions lineals i matrius
Apunts de Matemàtica Discreta i Àlgebra Segona part: Àlgebra Lineal Tema 6: Equacions lineals i matrius Robert Fuster Darrera actualització: 6 de febrer de 2007 Índex Unitat Temàtica 17. Sistemes d equacions
Oficina d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 10 PAU 2014 Criteris específics de correcció i qualificació per ser fets públics un cop finalitzades
Oficina d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 10 SÈRIE 3 Responeu a CINC de les sis qüestions següents. En les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què. Cada qüestió val punts. Podeu utilitzar
UNITAT LES REFERÈNCIES EN L ÚS DELS CÀLCULS
UNITAT LES REFERÈNCIES EN L ÚS DELS CÀLCULS 1 Introducció de fórmules El programa Ms Excel és un full de càlcul que permet dur a terme tota mena d operacions matemàtiques i instruccions lògiques que mostren
TEMA 3: Polinomis 3.1 DEFINICIONS:
TEMA 3: Polinomis 3.1 DEFINICIONS: Anomenarem monomi qualsevol expressió algèbrica formada per la multiplicació d un nombre real i d una variable elevada a un exponent natural. El nombre es diu coeficient
Àlgebra lineal i equacions diferencials. Curs 2001/02 Exemple de diagonalització.
Considerem la matriu Àlgebra lineal i equacions diferencials Química Curs 2001/02 Exemple de diagonalització. A = M 3 (R). Calculeu els valors propis de la matriu A. Calculeu els vectors propis pels valors
Equacions i sistemes de segon grau
Equacions i sistemes de segon grau 3 Equacions de segon grau. Resolució. a) L àrea del pati d una escola és quadrada i fa 0,5 m. Per calcular el perímetre del pati seguei els passos següents: Escriu l
1. Què tenen en comú aquestes dues rectes? Com són entre elles? 2. En què es diferencien aquestes dues rectes?
En la nostra vida diària trobem moltes situacions de relació entre dues variable que es poden interpretar mitjançant una funció de primer grau. La seva expressió algebraica és del tipus f(x)=mx+n. També
Sistemes d equacions
Sistemes d equacions Sistemes d equacions Resolució d un sistema de dues equacions lineals Un sistema de dues equacions lineals és un conjunt de dues equacions de primer grau amb dues incògnites cadascuna,
Problemes de Sistemes de Numeració. Fermín Sánchez Carracedo
Problemes de Sistemes de Numeració Fermín Sánchez Carracedo 1. Realitzeu els canvis de base que s indiquen a continuació: EF02 16 a binari natural b) 235 10 a hexadecimal c) 0100111 2 a decimal d) FA12
3. FUNCIONS DE RECERCA I REFERÈN- CIA
1 RECERCA I REFERÈN- CIA Les funcions d aquest tipus permeten fer cerques en una taula de dades. Les funcions més representatives són les funcions CONSULTAV i CONSULTAH. Aquestes realitzen una cerca d
LES FRACCIONS Una fracció és part de la unitat Un tot es pren com a unitat La fracció expressa un valor amb relació a aquest tot
LES FRACCIONS Termes d una fracció: a b Numerador Denominador 1.- ELS TRES SIGNIFICATS D UNA FRACCIÓ 1.1. Una fracció és part de la unitat Un tot es pren com a unitat La fracció expressa un valor amb relació
UNITAT 3: SISTEMES D EQUACIONS
UNITAT 3: SISTEMES D EQUACIONS 1. EQUACIONS DE PRIMER GRAU AMB DUES INCÒGNITES L equació x + y = 3 és una equació de primer grau amb dues incògnites : x i y. Per calcular les solucions escollim un valor
UNITAT TAULES DINÀMIQUES
UNITAT TAULES DINÀMIQUES 3 Modificar propietats dels camps Un cop hem creat una taula dinàmica, Ms Excel ofereix la possibilitat de modificar les propietats dels camps: canviar-ne el nom, l orientació,
Unitat 4. Fraccions algèbriques
Unitat 4. Fraccions algèbriques Curs d Anivellament de Matemàtiques Montserrat Corbera / Vladimir Zaiats [email protected] / [email protected] c 2012 Universitat de Vic Sagrada Família,
DERIVADES. TÈCNIQUES DE DERIVACIÓ
UNITAT 7 DERIVADES. TÈCNIQUES DE DERIVACIÓ Pàgina 56 Tangents a una corba y f (x) 5 5 9 4 Troba, mirant la gràfica i les rectes traçades, f'(), f'(9) i f'(4). f'() 0; f'(9) ; f'(4) 4 Digues uns altres
UNITAT CALCULAR EN UNA BASE DE DADES
UNITAT CALCULAR EN UNA BASE DE DADES 2 Funcions bases de dades A més a més dels càlculs que s han pogut veure en altres unitats, les bases de dades de Ms Excel ens ofereixen la possibilitat d utilitzar
VECTORS I RECTES AL PLA. Exercici 1 Tenint en compte quin és l'origen i quin és l'extrem, anomena els següents vectors: D
VECTORS I RECTES AL PLA Un vector és un segment orientat que és determinat per dos punts, A i B, i l'ordre d'aquests. El primer dels punts s'anomena origen i el segons es denomina extrem, i s'escriu AB.
Tema 2: GEOMETRIA ANALÍTICA AL PLA
Tema : GEOMETRIA ANALÍTICA AL PLA Vector El vector AB és el segment orientat amb origen al punt A i extrem al punt B b a A B Les projeccions del vector sobre els eixos són les components del vector: a
TEMA 4 : Programació lineal
TEMA 4 : Programació lineal 4.1. SISTEMES D INEQUACIONS DE PRIMER GRAU AMB DUES INCÒGNITA La solució d aquest sistema és l intersecció de les regions que correspon a la solució de cadascuna de les inequacions
SOLUCIONARI Unitat 5
SOLUCIONARI Unitat 5 Comencem Escriu tres equacions que no tinguin solució en el conjunt. Resposta oberta. Per exemple: a) x b) 5x 0 c) x Estableix tres equacions que no tinguin solució en el conjunt.
UNITAT COMBINAR CORRESPONDÈNCIA
UNITAT COMBINAR CORRESPONDÈNCIA 2 Camps de combinació La combinació de correspondència permet fusionar el contingut model d un document amb les dades d una base de dades. El procés de combinació genera
z 2 4z + 5 = 0, z = x + iy, i 1,
Àlgebra i Geometria I Tema I NOMBRES COMPLEXOS 1- Necessitat dels nombres complexos i definició (a) Les solucions de les equacions polinòmiques El nombre imaginari i 1 Els enters Z, els racionals Q i els
UNITAT FUNCIONS D ÚS AVANÇAT
UNITAT FUNCIONS D ÚS AVANÇAT 2 Funcions Matemàtiques i Estadístiques II Les funcions matemàtiques realitzen càlculs matemàtics sobre cel les en concret i sobre un rang de valors determinat. En aquest tema
TEMA 6. POLINOMIS II. a n a 2 a 1 a Teorema del residu. 4. Polinomis irreductibles. 6. Fraccions algebraiques
. REGLA DE RUFFINI És s un mètode m de divisió entre polinomis, més m s senzill que l algoritme l de la divisió i que permet la divisió només quan el divisor és s de la forma Q(x) x b. TEMA 6. S II Professor
La creació de qualsevol llista es fa amb l operador list. En el cas de crear una llista buida la sintaxi és
ETSEIB PROGRAMACIÓ Grau en Estadística UB-UPC, març 2016 Prof: Robert Joan-Arinyo Llistes 1 Definició En el llenguatge de programació R, una llista és un conjunt d informacions ordenades i no necessàriament
Tema 6 Funcions reals de variable real. Representació gràfica. Límits i continuïtat
Tema 6 Funcions reals de variable real. Representació gràfica. Límits i continuïtat Objectius 1. Definir funcions amb wxmaxima. Càlculs amb funcions. 2. Realitzar operacions amb funcions. 3. Representar
Apunts de Matemàtica Discreta i Àlgebra Segona part: Àlgebra Lineal Tema 7: Matrius elementals i matrius inverses. Determinants
Apunts de Matemàtica Discreta i Àlgebra Segona part: Àlgebra Lineal Tema 7: Matrius elementals i matrius inverses Determinants Robert Fuster Darrera actualització: 6 de febrer de 27 Índex Unitat Temàtica
Sistemes d equacions. Bloc 2
Bloc 08 Sistemes d equacions En un mosaic com aquest cal col locar estratègicament les peces perquè tot encaixi i es formi el dibuix desitjat. Però podem fer-ho de diverses maneres: hi haurà algú que comenci
UNITAT LES REFERÈNCIES EN L ÚS DELS CÀLCULS
UNITAT LES REFERÈNCIES EN L ÚS DELS CÀLCULS 2 Referències Una referència reconeix una cel la o un conjunt de cel les dins d un full de càlcul. Cada cel la està identificada per una lletra, que indica la
Unitat 2 TEOREMA DE TALES. TEOREMA DE PITÀGORES. RAONS TRIGONOMÈTRIQUES UNITAT 2 TEOREMA DE TALES.
Unitat 2 TEOREMA DE TALES. TEOREMA DE PITÀGORES. RAONS TRIGONOMÈTRIQUES 41 42 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 8. TRIGONOMETRIA UNITAT 2 QUÈ TREBALLARÀS? què treballaràs? En acabar la unitat has de ser
UNITAT FUNCIONS D ÚS AVANÇAT
UNITAT FUNCIONS D ÚS AVANÇAT 5 Funcions d Informació i altres funcions d interès Les funcions d Informació s utilitzen per obtenir dades sobre les cel les, el seu contingut, la seva ubicació, si donen
CARTES DE FRACCIONS. Materials pel Taller de Matemàtiques
CARTES DE FRACCIONS Aquesta proposta és adequada pel primer cicle d ESO perquè permet recordar mitjançant un joc, una sèrie de conceptes que ja s han treballat a l Educació Primària. Per això resulta una
PROBLEMES PAU SOBRE SISTEMES D EQUACIONS. 1) PAU 1999 Sèrie 1 Qüestió 1: Resoleu el sistema següent per als valors de k que el facin compatible.
PROBLEMES PAU SOBRE SISTEMES D EQUACIONS ) PAU 999 Sèrie Qüestió : Resoleu el sistema següent per als valors de k que el facin compatible. x + y 3 x y 4x + 3y k ) PAU 000 Sèrie 5 Qüestió 4: Discutiu el
ÀLGEBRA LINEAL I GEOMETRIA. PROBLEMES
TEXTOS DOCENTS 199 ÀLGEBRA LINEAL I GEOMETRIA. PROBLEMES Robert Estalella Guillem Anglada Rosendo Vílchez Rosario López Ferran Sala Departament d Astronomia i Meteorologia U UNIVERSITAT DE BARCELONA B
REPÀS D ALGEBRA 2n BATXILLERAT
REPÀS D LGEBR n BTXILLERT VECTORS Un vector v és combinació lineal (C.L.) dels vectors { v,v,,vk} { v,v,,vk} { v,v,,vk} { v,v,,v } és base d un espai vectorial V { v,v,,v } quan v = av + av + + ak vk,
AVALUACIÓ DE QUART D ESO
AVALUACIÓ DE QUART D ESO FULLS DE RESPOSTES I CRITERIS DE CORRECCIÓ Competència matemàtica FULL DE RESPOSTES VERSIÓ AMB RESPOSTES competència matemàtica ENGANXEU L ETIQUETA IDENTIFICATIVA EN AQUEST ESPAI
MÍNIM COMÚ MULTIPLE m.c.m
MÍNIM COMÚ MULTIPLE m.c.m Al calcular el mínim comú múltiple de dos o més nombres el que estem fent és quedar-nos amb el valor més petit de tots els múltiples que són comuns a aquests nombres. És a dir,
Oficina d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 12 PAU 2015
Oficina d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 12 Sèrie 5 Responeu a CINC de les sis qüestions següents. En les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què. Cada qüestió val 2 punts. Podeu utilitzar
GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Un vector fijo es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo). Módulo del vector : Es la longitud del segmento AB, se representa por. Dirección del
FUNCIONS EXPONENCIALS I LOGARÍTMIQUES. MATEMÀTIQUES-1
FUNCIONS EXPONENCIALS I LOGARÍTMIQUES. 1. Funcions exponencials. 2. Equacions exponencials. 3. Definició de logaritme. Propietats. 4. Funcions logarítmiques. 5. Equacions logarítmiques. 1. Funcions exponencials.
Resolucions de l autoavaluació del llibre de text
Pàg. 1 de 1 Tenim els vectors u(3,, 1), v ( 4, 0, 3) i w (3,, 0): a) Formen una base de Á 3? b) Troba m per tal que el vector (, 6, m) sigui perpendicular a u. c) Calcula u, ì v i ( u, v). a) Per tal que
DOSSIER PREPARACIÓ RECUPERACIÓ MATEMÀTIQUES Setembre 3r ESO
Generalitat de Catalunya Departament d Ensenyament Institut Pompeu Fabra DOSSIER PREPARACIÓ RECUPERACIÓ MATEMÀTIQUES Setembre 3r ESO Nom i Cognoms:... INSTRUCCIONS: - Aquest dossier serveix per a preparar
Matemàtiques 1 - FIB
Matemàtiques 1 - FIB 8-1-016 Examen F1 Grafs JUSTIFIQUEU TOTES LES RESPOSTES 1 (a) [05 punts] Doneu la definició de la matriu d incidències d un graf (b) [15 punts] Enuncieu i proveu el Lema de les encaixades
Àlgebra Lineal Problemes resolts
Àlgebra Lineal Problemes resolts Rafel mer Ramon Vicenç Sales i Inglès Departament de Matemàtica plicada II Escola Tècnica Superior d Enginyeries Industrial i eronàutica de Terrassa Rafel mer i Vicenç
Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 6 PAU 2008 QÜESTIONS
Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 6 SÈRIE 4 Aquestes pautes no preveuen tots els casos que en la pràctica es poden presentar. Tampoc no pretenen donar totes les possibles
POLINOMIS. Divisió. Regla de Ruffini.
POLINOMIS. Divisió. Regla de Ruffini. Recordeu: n Un monomi en x és una expressió algebraica de la forma a x on a és un nombre real i n és un nombre natural. A s anomena coeficient i n s anomena grau del
SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D APRENENTATGE
SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D APRENENTATGE 3 Activitat Completa els productes següents. a) 0 = 5... e) 0 = 5... b)... = 5 3 f) 25 =... 5 c) 5 =... g) 55 = 5... d) 30 = 5... h) 40 =...... a) 0 = 5 0 e)
ETSAV-UPC Matemàtiques I 5
ETSAV-UPC Matemàtiques I 5 [títol_ ] Lliçó 3. Exercicis [versió_ ] Octubre 8 [matèria_ ] Sistemes de referència. [assignatura_ ] Matemàtiques I [centre_ ] E. T. S. d'arquitectura del Vallès - Universitat
Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 6 PAU 2009
Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 6 SÈRIE 1 QÜESTIONS 1.- Considereu la matriu A = ( ) A 2 1 0 =. 2 1 [2 punts] ( ) a 0. Calculeu el valor dels paràmetres a i b perquè
CONTENIDOS MATEMÁTICAS II SEGUNDA EVALUACIÓN CURSO 2017/2018 MATRICES
CONTENIDOS MATEMÁTICAS II SEGUNDA EVALUACIÓN CURSO 2017/2018 Unidades: - Matrices (Bloque Álgebra) - Determinantes (Bloque Álgebra) - Sistemas de ecuaciones lineales (Bloque Álgebra) - Vectores (Bloque
Química 2n de Batxillerat. Gasos, Solucions i estequiometria
Gasos, Solucions i estequiometria Equació d Estat dels gasos ideals o perfectes Equació d Estat dels Gasos Ideals. p V = n R T p és la pressió del gas; es mesura habitualment en atmosferes o Pascals en
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA Un vector fix és un segment orientat que va del punt A (origen) al punto B (extrem). M òdul del vector AB, es representa pe r. : É s la long itud del segment Direc ció del vector
Programa EUROPA Ayuda a la Mejora en el Aprendizaje Matemáticas Cuarta sesión
1/26 Programa EUROPA Ayuda a la Mejora en el Aprendizaje Matemáticas Cuarta sesión Ramón Esteban y Antonio Pastor Índice 1 Álgebra 3 Sistemas de ecuaciones lineales................ 3 Métodos conocidos...................
operacions inverses índex base Per a unificar ambdues operacions, es defineix la potència d'exponent fraccionari:
Potències i arrels Potències i arrels Potència operacions inverses Arrel exponent índex 7 = 7 7 7 = 4 4 = 7 base Per a unificar ambdues operacions, es defineix la potència d'exponent fraccionari: base
Prova de competència matemàtica
PROVES DE QUALIFICACIO DE NIVELL 3 Prova de competència matemàtica Nombres naturals: jerarquia d operacions: La jerarquia es: 1. parèntesi 2. multiplicacions i divisions 3. sumes i restes a) 25 : 5 + 3.
Equacions de primer i segon grau
Equacions de primer i segon grau Les equacions de primer i segon grau Equacions de primer grau amb una incògnita Exemple 3x 5 = x + 5 és una equació de primer grau amb una incògnita: és una equació perquè
SOLUCIONARI Unitat 9. Comencem. Exercicis
SOLUCIONARI Unitat 9 Comencem Les edats de tres nens sumades de dues en dues donen 6, 8 i 12 anys, respectivament. Troba les edats de cada nen. + y = 6 El sistema és: x + z = 8 îy + z 2 Es pot resoldre
Districte Universitari de Catalunya
Proves d Accés a la Universitat. Curs 2012-2013 Matemàtiques Sèrie 4 Responeu a CINC de les sis qüestions següents. En les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què. Cada qüestió val 2 punts.
Les Arcades. Molló del terme. Ermita la Xara. Esglèsia Sant Pere
Les Arcades Molló del terme Ermita la Xara Esglèsia Sant Pere Pàg. 2 Monomi Un monomi (mono=uno) és una expressió algebraica de la forma: *+,-=/, 1 on R N., rep el nom d indeterminada o variable del monomi,
Examen FINAL M2 FIB-UPC 12 de juny de 2015
Examen FINAL M FIB-UPC 1 de juny de 015 1. ( punts Sigui a R, calculeu els límits següents segons els valors d a: n + n n + a+ a+n a n n n, n n + n!.. ( punts Considereu la integral següent: I = 1.8 1
EL QUINZET GLOBAL EDUCACIÓ PRIMÀRIA VERSIÓ
El quinzet V ersió 2006 Sèries de rapidesa de càlcul mental - Primària EL QUINZET MÈTODEODE DE RAPIDESA DE CÀLCUL GLOBAL EDUCACIÓ PRIMÀRIA VERSIÓ 2006 El quinzet V ersió 2006 Sèries de rapidesa de càlcul