Apunts de Matemàtica Discreta i Àlgebra Segona part: Àlgebra Lineal Tema 7: Matrius elementals i matrius inverses. Determinants

Transcripción

1 Apunts de Matemàtica Discreta i Àlgebra Segona part: Àlgebra Lineal Tema 7: Matrius elementals i matrius inverses Determinants Robert Fuster Darrera actualització: 6 de febrer de 27 Índex Unitat Temàtica 2 Matrius elementals i inverses 3 21 Matrius elementals Interpretació matricial de l algorisme de Gauss-Jordan 4 22 Matriu trasposta Propietats Matrius simètriques i antisimètriques 6 23 Matrius triangulars i matrius diagonals 6 24 Matrius inverses Inverses d algunes matrius especials Descomposicions LU i LS Descomposició LS Descomposició LU Aplicació a la resolució de sistemes lineals Matrius ortogonals 16 Unitat Temàtica 21 Determinants d ordre n Determinants i operacions elementals Propietats dels determinants Operacions elementals per columnes Càlcul de determinants Mètode de Gauss Desenvolupament per una columna o per una fila 23 1

2 2133 Comparació entre el métode de Gauss i el de desenvolupament per files o columnes 26 Unitat Temàtica 22 Aplicacions dels determinants Rang d una matriu Resolució de sistemes lineals La regla de Cramer Aplicació de la regla de Cramer a sistemes indeterminats Inversa d una matriu regular Determinant de Vandermonde 33 2

3 Unitat Temàtica 2 Matrius elementals i inverses 21 Matrius elementals Definició 1 Anomenem matriu elemental a qualsevol matriu obtinguda fent una operació elemental sobre una matriu identitat Exemple 1 Les matrius són elementals Les matrius elementals són de primer, segon o tercer tipus segons el tipus d operació elemental que les genera: Matrius elementals de primer tipus: E i,j és la matriu que resulta de permutar les files i i j de la identitat Matrius elementals de segon tipus: E i (λ) és la matriu que resulta de multiplicar la fila i de la identitat per λ Matrius elementals de tercer tipus: E i,j (λ) és la matriu que resulta de sumar a la fila i de la identitat la fila j multiplicada per λ Exemple 2 1 ( ) 1 1 E 2,3 = 1 3 E 2 = E 3,1 ( 5) =

4 211 Interpretació matricial de l algorisme de Gauss-Jordan Propietat 1 Siga A una matriu m n i E una matriu elemental d ordre m Si B és la matriu que resulta d efectuar sobre A l operació elemental que defineix E, aleshores B = EA En altres paraules: permutar les files i i j de la matriu A és el mateix que multiplicar E i,j A; multiplicar per α la fila i de la matriu A és fer el producte E i αa; i sumar-li a la fila i de la matriu A la fila j multiplicada per α, E i,j (α)a D aquesta manera, l algorisme de Gauss o el de Gauss-Jordan no és altra cosa que un seguit de multiplicacions amb matrius elementals Propietat 2 L algorisme de Gauss-Jordan aplicat a la matriu A és el resultat de (pre)multiplicar-la per un nombre finit de matrius elementals De manera més general, si la matriu B s obté d efectuar k d operacions elementals sobre A, aleshores, B = E k E k 1 E 1 A on E k, E k 1,, E 1 són matrius elementals Si anomenem T al producte E k E k 1 E 1, aleshores B = TA i T es pot calcular fent sobre I les mateixes operacions elementals que es fan sobre A Exemple 3 Càlcul 1 d una forma escalonada S de la matriu A = i de la matriu T tal que S = TA E 2,1(1) E 3 (3) E 3,2 ( 2)

5 Així que S = (comproveu que TA = S) Matriu trasposta T = Definició 2 La matriu trasposta de la matriu A = (a ij ) M m,n és la matriu A t = (b ji ) M n,m on b ji = a ij, 1 i m, 1 j n, és a dir, les files de A t són les columnes de A Exemple 4 t = t = 2 3 ( 1 ) Propietats Teorema 1 (A t ) t = A (A + B) t = A t + B t (λa) t = λa t (AB) t = B t A t (A 1 A 2 A k ) t = A t k At 2 At 1 Les traspostes de les matrius elementals són matrius elementals del mateix tipus: E t i,j = E i,j E i (λ) t = E i (λ) E i,j (λ) t = E j,i (λ) 5

6 222 Matrius simètriques i antisimètriques Definició 3 La matriu A és simètrica si A t = A, és a dir, si a ij = a ji, i, j Observem que tota matriu simètrica és quadrada Exemple La matriu A = és simètrica Definició 4 La matriu A és antisimètrica si A t = A, és a dir, si a ij = a ji, i, j Observem que tota matriu antisimètrica és quadrada Exemple La matriu A = 1 3 és antisimètrica, però la matriu B = no ho és Matrius triangulars i matrius diagonals Definició 5 Siga A una matriu quadrada A és triangular superior si a ij =, i > j A és triangular inferior si a ij =, i < j A és diagonal si a ij =, i = j En altres paraules, una matriu és triangular superior quan tots els seus elements situats per baix de la diagonal principal són zeros; triangular inferior quan son zeros els situats per damunt, i diagonal quan són zero tots els que no estan a la 6

7 diagonal Exemple 7 Les matrius A = 1 3 B = 2 1 C = són respectivament triangular superior, tirangular inferior i diagonal Teorema 2 Siguen A, B M n matrius triangulars superiors (triangulars inferiors (diagonals)) i λ R Aleshores A + B, λa i AB són triangulars superiors (triangulars inferiors (diagonals)) A t és triangular inferior (triangular superior (diagonal)) 24 Matrius inverses Definició 6 Es diu que una matriu A M n és regular, invertible o no singular si existeix B tal que AB = BA = I A B se li diu inversa de A i es representa com A 1 En cas contrari, A és singular Recordem que en un conjunt amb una llei de composició associativa, si un element té simètric, aleshores el simètric és únic Com que el producte de matrius és associatiu, podem assegurar la unicitat de la inversa: una matriu A no pot tenir més d una inversa Teorema 3 La inversa d una matriu, si existeix, és única També és immediat que el producte de matrius invertibles és invertible: 7

8 Teorema 4 Si A M n i B n M n són matrius regulars, aleshores AB també és regular i (AB) 1 = B 1 A 1 Més generalment, si A 1, A 2, A p són totes invertibles, llavors el seu producte també ho és i (A 1 A 2 A p ) 1 = A 1 p A 1 2 A 1 1 Podem plantejar el càlcul d inverses com un problema de resolució de diversos sistemes lineals simultanis: donada la matriu A M n, busquem una matriu X de manera que AX = I i XA = I Anomenant X 1, X 2,, X n a les columnes de X i I 1, I 2,, I n a les de I, el que volem és A ( X 1 X 2 X n ) = ( I1 I 2 I n ) o bé, AX 1 = I 1 AX 2 = I 2 AX n = I n la qual cosa ens dóna un conjunt de n sistemes lineals amb n equacions i n incògnites, que es pot discutir i resoldre aplicant l algorisme de Gauss-Jordan a la matriu ampliada Exemple 8 La matriu A = a 11 a 12 a 1n 1 a 21 a 22 a 2n 1 a n1 a n2 a nn 1 ( ) 1 2 és regular i la seua inversa és 1 ( ) Aplicarem l algorisme de Gauss-Jordan a la matriu ( ) 1 1 Com que aquesta matriu ja és escalonada, podem assegurar que rang A = 2 i, pel teorema de Rouché-Frobenius, els dos sistemes lineals tenen solució única Aplicant l algorisme obtenim ( ) ( E1,2 ( 2) )

9 De manera que la matriu B = ( ) 1 2 compleix la condició AB = I Compro- 1 vem que també BA = I: Per tant, B = A 1 Exemple 9 La matriu A = BA = ( ) ( ( ) 1 2 és singular 2 4 ) = ( ) 1 1 La matriu A té rang 1, perquè la segona fila és el doble de la primera, així que en el primer pas de l escalonament apareix una fila de zeros D altra banda, el rang de la matriu ( A I ) és 2, de manera que almenys un dels dos sistemes lineals és incompatible; de fet, l escalonament ( ) ( ) E2,1 ( 2) ens dóna dos sistemes incompatibles En realitat, aquests exemples ens donen la clau de la invertibilitat: com que el rang de la matriu identitat d ordre n és n, per a qualsevol matriu A M n el rang de ( A I ) és necessàriament n, així que A no pot ser invertible si el seu rang no és complet Propietat 3 Si la matriu A M n és regular, aleshores rang A = n El recíproc d aquest teorema també és cert, com veurem de seguida Abans estudiarem la invertibilitat de les matrius elementals Teorema 5 (Invertibilitat de les matrius elementals) Totes les matrius elementals són regulars, i les seues inverses també són elementals del mateix tipus: E 1 i,j = E i,j E i (λ) 1 = E i (1/λ), λ = E i,j (λ) 1 = E i,j ( λ), λ R 9

10 La demostració és immediata És interessant observar que la inversa d una matriu elemental es correspon amb l operació elemental que desfà el seu efecte Una vegada calculades les inverses de les matrius elementals ja podem provar el teorema fonamental sobre matrius inverses Teorema 6 Una matriu A M n és regular si i només si rang A = n Demostració: Ja hem justificat que si A és regular, aleshores el seu rang és n Provem ara el recíproc: si rang A = n aleshores la forma escalonada reduïda de A és I Per tant, aplicant-hi l algorisme de Gauss-Jordan tindrem A E 1 E 2 E k I on E 1,, E k són matrius elementals, així que E k E k 1 E 2 E 1 A = I Ara bé, com que totes les matrius elementals són regulars, multiplicant aquesta expressió per les inverses corresponents tindrem A = E 1 1 E 1 2 E 1 I = E 1 k 1 E 1 2 E 1 la qual cosa significa que A és un producte de matrius elementals, i per tant, invertible De fet, la inversa de A és E k E k 1 E 2 E 1 En realitat, el fet que una matriu siga regular quan el seu rang és complet es pot reformular de moltes maneres equivalents El següent Teorema llista les més interessants k 1

11 Teorema 7 Caracterització de les matrius regulars Siga A M n Les següents afirmacions són equivalents: 1 A és regular 2 Existeix una matriu B de manera que AB = I 3 rang A = n 4 Per a qualsevol B M n,1, el sistema AX = B és compatible determinat 5 El sistema lineal AX = O és compatible determinat 6 Qualsevol forma escalonada de A és una matriu triangular superior sense zeros a la diagonal, és a dir, de la forma a 11 a 22 a nn amb a ii = i 7 Qualsevol forma escalonada principal de A és del tipus La forma escalonada reduïda de A és I 9 A es pot transformar en I mitjançant operacions elementals 1 A és un producte de matrius elementals A més a més, si A és una matriu regular, aleshores l algorisme de Gauss-Jordan transforma la matriu ( A I ) en ( I A 1) Corol lari 1 Siguen A, B M n Si AB és regular, aleshores A i B són regulars 11

12 Demostració: Si AB és regular, aleshores A (B(AB) 1) = I i per tant, A és regular Exemple Càlcul de la inversa, si existeix, de la matriu A = [A I] = E 2,1( 3) E 3,2 ( 1) Així que rang A = 3 i A és regular E 3 ( 1/2) E 2,3 ( 3)E 1,3 (1) E 1,2 (1) E 2 ( 1/2) 1 1 Per tant, A 1 = 3/4 1/4 3/4 3/2 1/2 1/2 A més a més, /2 1/2 1/ /2 1/2 1/2 2 3/2 1/2 3/2 1 3/2 1/2 1/ /2 1/2 3/2 1 3/2 1/2 1/ /4 1/4 3/4 1 3/2 1/2 1/2 A 1 =E 2 ( 1/2)E 1,2 (1)E 2,3 ( 3)E 1,3 (1)E 3 ( 1/2)E 3,2 ( 1)E 2,1 ( 3) i A =E 2,1 (3)E 3,2 (1)E 3 ( 2)E 1,3 ( 1)E 2,3 (3)E 1,2 ( 1)E 2 ( 2) 12

13 241 Inverses d algunes matrius especials Fins ara hem introduït la matriu trasposta d una altra, les matrius simètriques i antisimètriques, les matrius triangulars i les diagonals Vegem el que podem dir al respecte de les seues inverses Propietat 4 Si la matriu A és regular, aleshores la seua trasposta també ho és i ( A t ) 1 = (A 1) t Demostració: Basta comprovar que ( A t ) ( A 1) t = ( A 1 A) t = I t = I Les inverses més fàcils de calcular són les de les matrius diagonals: Propietat 5 ) Si la matriu diagonal A = és regular (és a dir, si ( a11 a 22 a nn no té cap zero a la ) diagonal) aleshores la seua inversa és A = ( 1/a11 1/a 22 1/a nn També es demostra fàcilment que la inversa d una matriu triangular inferior és també triangular inferior (i el mateix per a les triangulars inferiors) I que les inverses de les matrius simètriques (o antisimètriques) també són simètriques (antisimètriques) 25 Descomposicions LU i LS 251 Descomposició LS Quan escalonem la matriu A fent servir l algorisme de Gauss E 2 } {{ } S T A E 1 si posem L = T 1 = E1 1 E 1 2 E 1 k, aleshores A = LS Direm que A = LS on L és una descomposició LS de A 13 E k

14 Observem que les matrius elementals del tipus E i (α) són diagonals, les del tipus E i,j (α) són triangulars superiors quan j > i i triangulars inferiors quan j < i En canvi les matrius del tipus E i,j no són triangulars Com que l algorisme de Gauss no requereix matrius elementals del tipus E i,j (α) amb j > i, resultarà que si el procés d escalonament es fa sense cap permutació de files aleshores la matriu L és triangular inferior Exemple 11 A l exemple 3, tenim TA = S amb A = S = Per tant, A = LS amb 1 L = T 1 = 1 1 2/3 1/3 T = Quan es fa alguna operació elemental del tipus permutació, A = LS però L ja no és triangular inferior sinó una permutació d una matriu triangular inferior Exemple Descomposició LS de la matriu A = , E 3,1 ( 1) E 3,2 (1) 1 2 = S L = E 1 1,2 E 3,1( 1) 1 E 3,2 (1) 1 = E 1,2 E 3,1 (1)E 3,2 ( 1) =

15 252 Descomposició LU Anàlogament, qualsevol matriu quadrada es pot transformar en una matriu U triangular superior mitjançant operacions elementals Aleshores A = LU on L és triangular inferior o una permutació d una triangular inferior Exemple 13 ( ) 1 2 Dues descomposicions LU de la matriu A = 2 5 ( ) 1 2 E2,1 (2) 2 5 Alternativament, ( ) ( 1 2 E1, ( ) 1 2 = U 9 1, L 1 = ) E2,1 (1/2) ( 1 ) 2 1 ( ) 2 5 = U 9/2 2, L 2 = ( ) 1/ Aplicació a la resolució de sistemes lineals Si A = LS és una decomposició LS de A, aleshores el sistema lineal AX = B és equivalent al parell de sistemes escalonats LY = B SX = Y Exemple Resolució del sistema AX = 2 on A = A l exemple 12 n hem vist la decomposició LS: L = 1 S =

16 1 Així que resoldrem en primer lloc el sistema LY = 2 : 3 y 2 = 1 y 2 = 1 y 1 = 2 y 1 = 2 y 1 y 2 + y 3 = 3 y 3 = 3 y 1 + y 2 = 2 2 i, en segon lloc, SX = 1 : 2 x 1 + 2x 2 = 2 x 2 + 2x 3 = 1 2x 3 + x 4 = 2 x 1 = 2 2x 2 x 2 = 1 2x 3 x 3 = x 4 x 1 = 4 2λ x 2 = 1 + λ x 3 = 1 2 1λ x 4 = λ 26 Matrius ortogonals Definicions 1 Direm que un vector u R n és unitari quan la seua norma és 1 Un sistema de vectors S = { u 1, u 2,, u k } és ortogonal quan tots els seus vectors són no nuls i ortogonals dos a dos, és a dir, u i u j =, i = j Un sistema ortogonal és ortonormal quan tots els seus vectors són unitaris Per exemple, el sistema S 1 = {(1,,, 2), (2, 3, 5, 1), (, 1, 6, )} és ortogonal Dividint un vector no nul per la seua norma s obté un vector unitari Així que a partir de S 1 podem obtenir el sistema ortonormal { 1 S 2 = 5 (1,,, 2), 1 1 (2, 3, 5, 1), (, 5, 3, ) Definició 7 Una matriu quadrada es diu ortogonal quan les seues files formen un sistema ortonormal de vectors Com que les columnes de la matriu Q t són les files de Q, multiplicar escalarment dos files de Q és el mateix que multiplicar una fila de Q per una columna de Q t i, per tant, 16 }

17 Teorema 8 Una matriu Q és ortogonal si i només si QQ t = I En altres paraules, una matriu Q és ortogonal si i només si la seua inversa és Q t 1 Per exemple, la matriu Q = 1/2 3/2 és ortogonal, ja que 3/2 1/2 1 QQ t = 1/ /2 1/2 3/2 3/2 1/2 = 1 3/2 1/2 1 17

18 Unitat Temàtica 21 Determinants d ordre n Per a simplificar la notació, representarem per A 1, A 2,, A n les files de la matriu A i per A 1, A 2,, A n les seues columnes Definició 8 El determinant d ordre n és una aplicació det : M n K que verifica les següents propietats: 1 El determinant de la matriu identitat és 1: det(i) = 1 2 Si es permuten dues files de la matriu, aleshores el determinant canvia de signe 3 Si es multiplica la primera fila de la matriu A per un nombre α aleshores el seu determinant també s hi multiplica: αa 1 A 1 A 2 det = α det A 2, α K A n A n 4 Si la primera fila de la matriu A es descomposa en suma de dos matrius fila, aleshores el determinant de A és la suma dels dos determinants corresponents: A 1 + B 1 A 1 B 1 A 2 det = det A 2 + det A 2 A n A n A n Es pot demostrar que hi ha una única aplicació amb aquestes característiques, és a dir, que la funció determinant d ordre n existeix i és única El determinant de la matriu A se sol representar com A 18

19 211 Determinants i operacions elementals A partir de la definició és immediat el càlcul del determinant de les matrius elementals i l estudi de la relació entre operacions elementals i determinants Ja sabem que si permutem dues files el determinant canviarà de signe Respecte a la resta d operacions elementals, Propietat 6 Si es multiplica una fila de la matriu A per una constant, el determinant s hi multiplica també: E i (α)a = α A Per tant, si la matriu A conté una fila de zeros, el seu determinant és nul Demostració: Si es tracta de la primera fila, ja ho sabem perquè és una de les coses que exigim a la definició del determinant En cas contrari, A 1 αa i A i A 1 E i (α)a = αa i = A 1 = α A 1 = α A i = α A A n A n A n A n Exactament igual podem demostrar que Propietat 7 A 1 A 1 A 1 A i + B i = A i + B i A n A n A n Propietat 8 Si una matriu té dues files iguals, aleshores el seu determinant és zero Demostració: Si permutàvem les dues files iguals obtindríem A = A 19

20 Propietat 9 Si a una fila se li suma un múltiple d una altra, el determinant no varia: E ij (α)a = A Demostració: A 1 A 1 A 1 Eij (α)a A i + αa j A i A j = = + α = A + α = A A j A j A j A n A n A n Propietat 1 Determinants de les matrius elementals: E i (α) = α Eij = 1 Eij (α) = 1 Demostració: E i (α) = E i (α)i = α E ij = E ij I = 1 E ij (α) = E ij (α)i = 1 Aquesta darrera propietat, en combinació amb les anteriors, ens permet deduir el següent teorema, que ens va a permetre calcular el determinant d una matriu qualsevol i demostrar els teoremes fonamentals sobre determinants Teorema 9 Si E és una matriu elemental, aleshores EA = E A 212 Propietats dels determinants Ara ja és immediat el teorema més important des del punt de vista teòric Teorema 1 Caracterització de matrius regulars La matriu A és regular si i només si A = 2

21 Demostració: Si A és regular, aleshores sabem que A és un producte de matrius elementals Per tant, el determinant de A serà el producte dels determinants d aquestes matrius elementals Però com el determinant d una matriu elemental no és zero, tampoc no ho serà el de A En cas contrari, és a dir, si A és singular, del tema anterior es dedueix que la forma escalonada reduïda de A, R, té almenys una fila de zeros Per tant, A = E 1 E 2 E p R on les matrius E 1, E 2, E p són elementals, així que A = E 1 E 2 Ep R = Corol lari 2 Teorema de Binet-Cauchy Per a qualsevol parell de matrius d ordre n, A i B, AB = A B Demostració: Si A és singular, aleshores AB també ho és, de manera que AB = A = i es verifica la propietat Si A no és singular, aleshores A és un producte de matrius elementals, A = E 1 E 2 E m, de manera que AB = E 1 E 2 E m B = E 1 E 2 E m B = A B 2121 Operacions elementals per columnes Tot el que fins ara hem fet treballant amb les files de la matriu A es pot fer treballant amb les columnes, perquè el determinant no varia si es trasposa la matriu Teorema 11 A = A t Demostració: Si A és singular, aleshores A t també ho és i els dos determinants són En cas contrari, A és un producte de matrius elementals: de manera que A = E 1 E 2 E m A t = E t m E t 2 Et 1 i com que és immediat que el determinant d una matriu elemental és el mateix que el de la seua trasposta, s obté el resultat desitjat Com a conseqüència del corol lari 2 i el teorema 11 podem obtenir la següent propietat, a prop dels determinants de les matrius ortogonals 21

22 Teorema 12 Si Q és una matriu ortogonal, aleshores Q = 1 o Q = 1 Demostració: Com que QQ t = Q Q t i Q t = Q, resulta que Q 2 = QQ t Però a més a més QQ t = I, així que Q 2 = Càlcul de determinants En realitat, ja sabem tot el necessari per a calcular el determinant de qualsevol matriu quadrada mitjançant el mètode de Gauss En aquesta secció concretem aquest mètode i en deduïm un altre 2131 Mètode de Gauss La demostració dels darrers teoremes ens descriu la manera de calcular el determinant d una matriu: basta anar aplicant operacions elementals fins a reduir-la a un producte de matrius elementals o fins a demostrar que és singular Però, en el cas regular, no ens caldrà arribar tan lluny: bastarà reduir la matriu a la forma triangular, ja que Teorema 13 El determinant d una matriu triangular és el producte de la seua diagonal Demostració: Observem que si T és triangular i conté algun zero a la diagonal, aleshores T és singular i per tant el seu determinant és zero i es verifica la propietat En cas contrari, podem reduir-la a diagonal premultiplicant-la per matrius elementals del tipus E ij (α) Com que aquestes premultiplicacions no canvien el valor del determinant, resulta que t 11 t 22 T = = t 11 t 22 t nn I = t 11 t 22 t nn t nn 22

23 Exemple Càlcul del determinant de la matriu A = = = = = = 2 17( 24) = 12 Exemple Càlcul del determinant de la matriu A = = = = Desenvolupament per una columna o per una fila A continuació deduirem una fórmula recursiva per al càlcul del determinant En diem recursiva perquè el que fa aquesta fórmula és reduir el càlcul d un determinant d ordre n al càlcul d uns quants (n) determinants d ordre n 1 Definició 9 Donada la matriu A M s anomena menor al determinant de qualsevol submatriu quadrada obtinguda eliminant unes quantes files i columnes de A En particular, el menor Aij, obtingut eliminant la fila i i la columna j, és el menor complementari corresponent a l element a ij El nombre ( 1) i+j Aij s anomena adjunt o cofactor corresponent a l element a ij 23

24 La reducció del càlcul d un determinant a determinants de menor ordre es basa en el següent lema Lema 1 a 11 a 12 a 1n A 11 = a 11 A 11 Demostració: Si A 11 és singular, també ho és la matriu completa i els dos determinants són nuls En cas contrari, basta observar que les operacions elementals que cal realitzar per transformar A en triangular superior són les mateixes que les que caldrien per transformar-hi A 11 i que aquestes operacions no afecten la primera fila Teorema 14 (Desenvolupament del determinant per una columna) El determinant A es pot calcular sumant els productes de cada element d una columna (arbitrària) de A pels seus respectius adjunts, és a dir per a qualsevol j, A = n i=1 ( 1) i+j a ij Aij Demostració: Suposem en primer lloc que j = 1 En aquest cas, tenim a 11 a 12 a 1n a 12 a 1n a 12 a 1n a 22 a 2n a 21 a 22 a 2n a 22 a 2n A = a 32 a 3n + a 32 a 3n + + a 32 a 3n a n2 a nn a n2 a nn a nn a n2 a nn a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a nn a n2 a nn a 22 a 2n a 12 a 1n a 12 a 1n = a 32 a 3n a 32 a 3n + + ( 1) n 1 a 22 a 2n a n2 a nn a n2 a nn a n 12 a n 1n 24

25 On els signes alternats es justifiquen perquè, per a enviar a 21 a la primera fila hem fet un intercanvi de files, per enviar a 31 en fem dos = a 11 a 12 a 1n A 11 a 21 a 22 a 2n A ( 1) n+1 a n1 a n2 a nn A n1 (ara hem utilitzat el fet que ( 1) n 1 = ( 1) n+1 ) Tenint en compte el lema: A = a 11 A 11 a 21 A ( 1) n+1 a n1 A n1 Si la columna no és la primera, caldrà fer j 1 intercanvis de columnes per a situar-la com a tal, de manera que A = ( 1) j 1 [ a 1j A 1j a 2j A 2j + + ( 1) n+1 a nj A nj ] = ( 1) 1+j a 1j A1j + ( 1) 2+j a 2j A2j + + ( 1) n+j a nj Anj Corol lari 3 El determinant A es pot calcular sumant els productes de cada element d una fila (arbitrària) de A pels seus respectius adjunts, és a dir per a qualsevol i, A = n j=1 ( 1) i+j a ij Aij (1) Exemple Càlcul del determinant de la matriu Desenvolupant per la segona fila obtenim: = = 1( ) + 1(2 1 1 ( 2)) = 2 25

26 2133 Comparació entre el métode de Gauss i el de desenvolupament per files o columnes Com que tenim dos métodes per a calcular el determinant, és raonable que els comparem per veure quin resultarà més eficient La millor manera de fer aquesta comparació consistirà en comptar el nombre d operacions que cal realitzar en cada cas En primer lloc, calcularem el nombre d operacions necessàries per a calcular un determinant pel métode de Gauss: Observem que per a canviar per zeros tots els elements per baix de a 11 cal fer el següent càlcul: Canviar la fila A i, 2 i n per A i a i1 a 11 A 1 Així, haurem de 1 Calcular a i1 a 11 : una operació (per cada fila des de la segona) 2 Canviar a i1 per zero: cap operació 3 Canviar a ij, 2 j n per a ij a i1 a 11 a 1j : una suma i un producte per cada j: 2(n 1) operacions (per cada fila des de la segona) Això ens dóna un total de (n 1)(1 + 2(n 1)) = (n 1) + 2(n 1) 2 operacions per a reduir la primera columna És clar que per reduir la segona columna caldrà fer (n 2) + 2(n 2) 2 operacions i així successivament En definitiva, per reduir A a la forma triangular hem de fer n 1 n 1 k + 2 k 2 = k=1 k=1 (n 1)n 2 n(2n 1)(n 1) = n(n 1)(4n + 1) 3 operacions Finalment, cal multiplicar els n elements diagonals: n 1 productes Així doncs, el nombre total d operacions és n 1 + n(n 1)(4n + 1) 3 Vejam ara quantes operacions caldria fer per tal de calcular un determinant d ordre n aplicant successivament el métode de desenvolupament per una fila fins a reduir-lo completament A la fórmula 1 del corol lari 3 s hi suma n termes, és a dir, cal fer-hi n 1 sumes Cadascun dels termes que hi sumem és un producte Per tant cal fer n productes on un dels factors és un determinant d ordre n 1 Així que, anomenant a n al nombre d operacions corresponent a un determinant d ordre n, a n = (n 1) + n + na n 1 = n(2 + a n 1 ) 1 > na n 1 > n(n 1)a n 2 > > n! 26

27 n Gauss Desenvolupant per files Quadre 1: Nombre d operacions en el càlcul d un determinant Com que ara és més complicat el càlcul exacte ens hem conformat amb una aproximació: per calcular el determinant desenvolupant per files cal fer més de n! operacions La taula 1 compara els dos métodes per a matrius d ordres 2, 3, 2 (s ha calculat el nombre exacte d operacions, amb l ajut del programa Derive) i mostra clarament que el métode de desenvolupament per files o columnes no és gens recomanable (excepte potser per a matrius d ordres molt petits) En qualsevol cas, en la pràctica pot ser convenient una combinació dels dos métodes i en general de les propietats conegudes dels determinants per tal de simplificar al màxim els càlculs 27

28 Exemple Càlcul del determinant de la matriu A = Convé aprofitar el fet que A conté molts zeros: desenvolupem el determinant per la darrera columna: 1 2 A = En el primer determinant sumarem a la segona fila la primera i en el segon sumarem a la tercera fila la segona: 1 2 A = A continuació desenvolupem els dos determinants per la primera columna i finalment calculem directament els determinants d ordre 2: A = ( 1) = ( 2)(5) 2( 5) = 28

29 Unitat Temàtica 22 Aplicacions dels determinants 221 Rang d una matriu Propietat 11 El rang d una matriu A M m n és el màxim ordre dels seus menors no nuls Demostració: Siga r el rang de A En primer lloc demostrarem que existeix un menor no nul de A d ordre r Si R és la forma escalonada reduïda de A, aleshores R = E n E 2 E 1 PA on les matrius E i són elementals (no permutacions) i P és una matriu permutació Si R 1 és la submatriu de R que resulta de suprimir les columnes que no contenen uns principals, aleshores [ ] Ir R 1 = O i la submatriu de A que resulta de suprimir les mateixes columnes és [ ] B = P 1 E 1 1 E 1 A1 n 1 E 1 n R 1 = Ara distingirem dos casos: P = I (és a dir, es pot escalonar A sense permutar files) En aquest cas, és fàcil veure que la forma escalonada reduïda de A 1 és I r 1 Això vol dir que A 1 és regular i A 1 = P = I Si és així, l apartat anterior demostra que PA té un menor no nul Però és evident que, reordenant-hi les files, d un menor no nul de PA se n obté un altre de A Per concloure la prova, hem de demostrar que no hi ha menors no nuls d ordre major que r Ho farem per reducció a l absurd: Suposem que existeix una submatriu A 1, d ordre p > r, el determinant de la qual és no nul Permutant convenientment les files i les columnes de A considerem la matriu [ ] A1 A B = 2 A 3 A 4 D una banda, sabem que el sistema lineal A 2 AX = (2) 1 Perquè totes les files de A 2 s anulen quan es pivota sobre les de A 1 29

30 té exactament r incògnites principals Observem d altra banda que les solucions del sistema BX = (3) són reordenacions de les solucions de (2) Per tant, (3) té també exactament r incògnites principals Ara bé, com que A 1 és regular, la forma escalonada reduïda de B és que té almenys p uns principals [ ] Ip R 2 O R 4 Exemple Rang de la matriu A = Hem vist a l exemple 18 que el determinant de A és nul Per tant, el seu rang és menor que 4 D altra banda, = 4 així que el rang és Resolució de sistemes lineals Quan un sistema lineal de n equacions i n incògnites és determinat es pot resoldre fent servir la regla de Cramer, que consisteix en una fórmula per a cada una de les incògnites Aquestes fórmules comporten el càlcul de n + 1 determinants d ordre n, de manera que tenen poca utilitat pràctica (excepte en el cas de sistemes de dues o tres equacions, el nombre d operacions que cal realitzar és grandíssim) Ara bé, les fórmules de Cramer són útils en algunes demostracions teòriques i, a més a més, permeten calcular alguna incògnita aïlladament (en algunes aplicacions, d un determinat sistema només ens interessarà el valor d alguna de les incògnites) 2221 La regla de Cramer Teorema 15 (Regla de Cramer) Si A és una matriu regular i A(i) és la matriu que resulta de sustituir la columna i de A pel vector columna b, aleshores la 3

31 solució del sistema AX = b és x i = A(i), i = 1, 2,, n (4) A Demostració: Si b = AX aleshores, b = x 1 A 1 + x 2 A x n A n, així que det ( A 1 A 2 A i 1 b A i+1 A n) = det (A 1 A 2 A i 1 n j=1 x ja j A i+1 A n) De manera que = x 1 det ( A 1 A 2 A i 1 A 1 A i+1 A n) + x 2 det ( A 1 A 2 A i 1 A 2 A i+1 A n) + + x i det ( A 1 A 2 A i 1 A i A i+1 A n) + + x n det ( A 1 A 2 A i 1 A n A i+1 A n) = x i det ( A 1 A 2 A i 1 A i A i+1 A n) = x i det A x i = det ( A 1 A 2 A i 1 b A i+1 A n) det A Exemple 2 ( ) ( ) 1 1 x Solució del sistema = 2 1 y ( ) 2 1 x = = 1 y = = Aplicació de la regla de Cramer a sistemes indeterminats Si el sistema AX = b és compatible indeterminat i el rang A és k, siga A 1 una submatriu de A regular i d ordre k (que existeix, per la propietat 11) El sistema lineal que resulta de suprimir les files de A que no intervenen en A 1 té les mateixes solucions que AX = b (perquè té el mateix nombre d uns principals) En 31

32 aquest subsistema es poden elegir com a principals les incògnites corresponents a les columnes de A 1 i, escrivint-lo en la forma A 1 X 1 = b 1 A 2 X 2 es pot resoldre mitjançant la regla de Cramer Exemple x 3 Solució del sistema y = z 11 Com que els rangs de A i A són els dos iguals a 2, el sistema és indeterminat Elegim ( una submatriu de A que siga regular i d ordre 2 Per exemple, A 1 = 1 1 ) 1 1, que correspon a les dues primeres files i a les columnes primera i tercera de A Per tant, suprimim la tercera equació i elegim la segona variable com a lliure El sistema que en resulta és: ( ) ( ) x = z ( ) 3 y 5 y Resolent-lo per la regla de Cramer obtindrem: 3 y 1 5 y 1 8 2y x = 1 1 = = 4 y y 1 5 y z = 1 1 = 2 2 = Inversa d una matriu regular Definició 1 (Matriu adjunta) Si A M n, la matriu adjunta de A, que representarem com adj A, es defineix com la matriu formada substituint cada entrada de A pel seu determinant adjunt i transposant la matriu obtinguda, és a dir, A 11 A 21 ( 1) n+1 A n1 A 12 A 22 ( 1) n+2 A n2 adj A = ( 1) 1+n A 1n ( 1) 2+n A 2n A nn 32

33 Cal dir que alguns textos anomenen adjunta de la matriu A a la que resulta de substituir cada element pel seu adjunt (sense transposarla) Teorema 16 Si A és una matriu regular, llavors A 1 = 1 adj A A Demostració: Si A 1 = ( B 1 B 2 B n) aleshores AA 1 = I, de manera que o, equivalentment, A ( B 1 B 2 B n) = ( I 1 I 2 I n) AB 1 = I 1, AB 2 = I 2,, AB n = I n de manera que B 1 és la solució del sistema AX = I 1 Aplicant-hi la regla de Cramer, B 11 = 1 det A B 21 = 1 det A 1 a 12 a 1n a 22 a 2n a n2 a nn a 11 1 a 1n a 21 a 2n a n1 a nn = 1 det A A 11 = 1 det A A 12 i així successivament 224 Determinant de Vandermonde El determinant de Vandermonde té interès teòric perquè apareix en diversos problemes matemàtics, com ara la interpolació polinomial, les equacions diferencials lineals Es tracta del determinant V(a 1, a 2,, a n ) = a 1 a 2 a n a 2 1 a 2 2 a 2 n 2 a n 1 n a1 n 1 a n 1 33

34 Amb dos o tres variables el podem calcular sense cap dificultat: V(a 1, a 2 ) = 1 1 a 1 a 2 = a 2 a V(a 1, a 2, a 3 ) = a 1 a 2 a 3 a 2 1 a 2 2 a 2 = 1 a 1 a 2 a 1 a 3 a 1 3 a 2 1 a 2 2 a2 1 a 2 3 a2 1 = a 2 a 1 a 3 a 1 a 2 2 a2 1 a 2 3 a2 = 1 (a 3 a 1 )(a 2 a 1 ) 1 1 a 2 + a 1 a 3 + a 1 = (a 3 a 2 )(a 3 a 1 )(a 2 a 1 ) En general, V(a 1, a 2,, a n ) = (a j a i ), j>i de manera que podem assegurar que el determinant de Vandermonde és nul si i només si algun dels nombres a i està repetit Per exemple, V(1, 1, 3, 5) = (5 1)(5 + 1)(5 3)(3 1)(3 + 1)( 1 1) =