Àlgebra Lineal Problemes resolts

Transcripción

1 Àlgebra Lineal Problemes resolts Rafel mer Ramon Vicenç Sales i Inglès Departament de Matemàtica plicada II Escola Tècnica Superior d Enginyeries Industrial i eronàutica de Terrassa

2 Rafel mer i Vicenç Sales questa obra es distribueix sota la llicència creative-commons amb les condicions Reconeixement-No comercial-ompartir de la versió.5 d aquesta llicència. Resumint Sou lliure de copiar, distribuir i comunicar públicament l obra, fer-ne obres derivades, amb les condicions següents Reconeixement. Heu de reconèixer els crèdits de l obra de la manera especificada per l autor o el llicenciador (però no d una manera que suggereixi que us donen suport o rebeu suport per l ús que feu l obra. No comercial. No podeu utilitzar aquesta obra per a finalitats comercials. ompartir amb la mateixa llicència. Si altereu o transformeu aquesta obra, o en genereu obres derivades, només podeu distribuir l obra generada amb una llicència idèntica a aquesta. Quan reutilitzeu o distribuïu l obra, heu de deixar ben clar els termes de la llicència de l obra. lguna d aquestes condicions pot no aplicar-se si obteniu el permís del titular dels drets d autor. No hi ha res en aquesta llicència que menyscabi o restringeixi els drets morals de l autor. Podeu trobar el text complet de la llicència a l adreça http//creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/.5/es/legalcode.ca Escola Tècnica Superior d Enginyeries Industrial i eronàutica de Terrassa olom 8 Terrassa [email protected]

3 Introducció questa col. lecció de problemes d àlgebra lineal és resultat de les classes impartides per la Secció de Terrassa del Departament de Matemàtica plicada II a l Escola Tècnica Superior d Enginyers Industrials de Terrassa des de la posada en marxa del nou pla d estudis. En el llibre s han inclòs exemples explicats a classe per aconseguir una major comprensió dels conceptes teòrics desenvolupats i altres problemes d un major grau de dificultat que intenten aclarir aquells punts en els quals hem constatat que els estudiants tenen més dificultats. No oblidem, però, que per aconseguir aquesta comprensió és imprescindible l esforç i el treball personal, tant pel que fa a l estudi d aquests conceptes com a la resolució d exercicis. Esperem que el llibre sigui d utilitat als estudiants i els aconsellem que intentin resoldre els problemes abans de llegir la solució. En molts casos, segurament trobaran solucions alternatives a la proposada. Els temes en què està dividit el llibre són habituals en qualsevol curs d Àlgebra Lineal i s ha dedicat especial atenció als aspectes geomètrics de l Àlgebra Lineal; així, els dos últims capítols estan dedicats a la Geometria i a l estudi de les còniques i quàdriques. Encara que, inicialment, aquest llibre estigui pensat per a estudiants d Escoles Tècniques Superiors d Enginyeria, també pot ser útil als estudiants de Matemàtiques, Física i, en general, d un curs elemental d Àlgebra Lineal. Es pot aconsequir l última revisió d aquesta obra en format Pdf a l adreça d Internet http//ruth.upc.es/algebra/algebra-lineal-problemes-resolts.pdf. Rafel mer i Vicenç Sales

4 4 Introducció

5 Índex Introducció 3 Índex 5 Matrius i sistemes d equacions lineals 7. Matrius Sistemes d equacions lineals Determinants 3. Determinants plicacions dels determinants Espais vectorials 4 3. Espais vectorials Subespais vectorials L espai vectorial euclidià L espai vectorial euclidià Solucions aproximades d un sistema lineal mínims quadrats

6 6 Índex 5 Transformacions lineals 5. Transformacions lineals i endomorfismes Diagonalització Endomorfismes de l espai vectorial euclidià 3 6. Endomorfismes simètrics i diagonalització ortogonal Isometries lineals Geometria lineal 6 7. L espai afí L espai afí euclidià òniques i quàdriques 5 8. òniques Quàdriques

7 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 7 Matrius i sistemes d equacions lineals. Matrius. alculeu el rang de les matrius següents I b B a El rang d una matriu és el nombre màxim de vectors-columna linealment independents. leshores, per calcular el rang hem de triangular la matriu F F F F 3 F 3 F

8 8 Matrius i sistemes d equacions lineals Els pivots de la matriu triangulada corresponen a les columnes primera i tercera, per tant, el primer i el tercer vectors-columna de la matriu inicial són linealment independents i els altres tres són combinació d aquests i el rang d aquesta matriu és. b Triangulant la segona matriu de l enunciat tenim que 3 5 B F F F F 3 F 3 5F F 4 F 4 7F 3 5 ' B ' B F 3 F 3 F F 4 F 4 F És evident que els vectors-columna primer, segon i quart són linealment independents i que el tercer és combinació lineal dels dos primers. Per tant, el rang d aquesta matriu és 3.. alculeu el rang de la matriu següent segons els valors del paràmetre a a 4 3a 3 a a 3 3a a a 3a Triangulem la a a 4 3a 3 a a 3 3a a a 3a F F F F 3 F 3.a/F a a 4 3a 3 a a a 4 a 3 3a a a a a 5 4a 4 3a 3 a 3a a a 4 3a 3 a a a 4 a 3 3a a 3a a 5 5a 4 5a 3 4a 3a F 3 F 3 F

9 Àlgebra Lineal. Problemes resolts Els coeficients de la diagonal principal d aquesta matriu depenen del paràmetre a, aleshores, per calcular el rang de la matriu hem de distingir els casos següents (a Si a 6D i a 3a 6D, els tres primers vectors-columna són linealment independents i el quart és combinació lineal dels tres primers; per tant, el rang de la matriu és 3. Tenint en compte que a 3a D si, i només si, a D o a D 3, resulta que si a 6D 3 i el rang de la matriu és 3. (b Si a D, la matriu inicial i evidentment el rang d aquesta matriu és. (c Si a D 3 la matriu triangulada 3 3 En aquest cas, els dos primers vectors-columna són linealment independents i els altres dos són combinació lineal d aquests; per tant, el rang de la matriu és. Resumint, si a D el rang és, si a D 3 el rang és i si a 6D 3 i el rang és Donada la matriu calculeu. I / 3. 3 ; 4 En primer lloc tenim que I leshores,. I /

10 Matrius i sistemes d equacions lineals /. / 3 4. /. /. 4/. /. / 3. / / 4. 4/. / 3 4. / 4. / /. 4/. / 4. / i finalment tenim que I / 3 D. I /. I / alculeu, si és possible, les inverses de les matrius següents D I 7 3 B Per calcular la inversa de la matriu, hem de triangular la matriu següent ˇ ' ' ˇ ˇ F F F F 3 F 3 F F 4 F 4 F F F 3 F 3 F F F F F 4 F 4 F

11 Àlgebra Lineal. Problemes resolts ' ' 4 4 ' B 4 4 ' ˇ ˇ ˇ ˇ F F F 3 F 4 F 4 F 3 F F F 4 F F F 4 F 3 F 3 F 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 F 4 F F 4 F F 3 4 F 3 F 4 4 F 4 Per tant, la matriu és invertible i la seva inversa és D B De la mateixa manera, calculem la inversa de la matriu B ˇ ˇ ˇ F F 3F F 3 F 3 F F 3F 7F F 3 F 3 F

12 Matrius i sistemes d equacions lineals Els tres sistemes d equacions que intervenen per calcular la inversa de la matriu B són incompatibles; per tant, la matriu B no és invertible. 5. Trobeu els valors de per als quals és invertible la 6 Sabem que una matriu d ordre 3 és invertible si, i només si, el seu rang és 3. leshores, hem de trobar els valors de per als quals el rang d aquesta matriu és 3. Triangulant la matriu tenim 6 F F F F 3 F 3 F F F 3 F 3 F F 3 F 3 F F 3 F 3./F Tenint en compte que 4 3 D si, i només si, D 4 p6 4 4 D 4 p56 4 D ( 5 D 3 resulta que el rang de la matriu és 3 i, per tant, és invertible si, i només si, 6D 5 i Trobeu una matriu X tal que X D B, on 5 D i 4 B D 6 4

13 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 3 omprovem en primer lloc que la matriu és invertible i calculem la seva inversa 5 4 ˇ 5 ' 4 ˇ F F F 4 ' ˇ ' 4= 4 5= 4 F 4 F ˇ = 4 = 4 Per tant, la inversa de la matriu és F 4 F D F 4F 5F Multiplicant a l esquerra els dos costats de la igualtat X D B per tenim que X D B X D B leshores, X D D D 7. Donades les matrius D 4 i B D 8 6 W (a omproveu que la matriu no és invertible, però que l equació X D B té solució. (b Trobeu una matriu tal que l equació X D no tingui solució. a Evidentment, la segona columna de la matriu és múltiple de la primera, per tant, la matriu té rang i no és invertible. leshores, no podem resoldre l equació X D B pel mateix mètode que a l exercici 8. Si posem x X D z y t ;

14 4 Matrius i sistemes d equacions lineals l equació X D B es transforma en 4 x z y t D 8 6 Igualant coeficient a coeficient, tenim un sistema de quatre equacions amb quatre incògnites x z D y t D 8 >= x 4z D >; y 4t D 6 La tercera equació és el doble de la primera i la quarta és el doble de la segona; per tant, el sistema queda reduït a x z D y t D 8 És evident que aquest sistema és compatible indeterminat amb dos graus de llibertat i la seva solució general és x D z y D t 8 Per tant, totes les matrius de la forma z t 8 X D z t ; amb z; t R ; són solució de l equació inicial. b Sabem que en tota igualtat de matrius X D, les columnes de la matriu són combinació lineal de les columnes de la matriu. leshores, si volem que l equació X D no tingui solució, és suficient que alguna columna de la matriu no sigui combinació lineal de les columnes de la matriu, per exemple 3 D 4

15 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 5 8. Resoleu, és a dir, aïlleu la matriu incògnita X, les equacions matricials següents (a X D B. (b X B D. (c X D B. (d X B D I. (e X t B D. En tots els casos suposarem que les maqtrius que multipliquen a la X són regulars. (a En aquest cas, la matriu, que està sumant a un costat de la igualtat, passa a l altre costat restant i, el passa dividint, és a dir, la solució és X D.B / (b De manera semblant, tenim que X D per a la dreta, tenim que X D. B i, en multiplicar els dos costats de la igualtat B/. leshores, la solució és X D. B/ Observem que si una matriu regular està multiplicant en un costat d una igualtat per l esquerra, podem passar-la a l esquerra de l altre costat de la igualtat, multiplicant per la seva inversa. De la mateixa manera, si una matriu regular està multiplicant en un costat d una igualtat per la dreta, podem passar-la a la dreta de l altre costat de la igualtat, multiplicant per la seva inversa. (c En aquest cas també hem de tenir en compte que.b/ D B. leshores, pas a pas, tindrem que X D B (d De manera similar X D B X D B X B D I X D IB D B X D B X D B X D B

16 6 Matrius i sistemes d equacions lineals (e Finalment, tenint en compte que. B/ t D t B t i que.b/ t D B t t, tindrem que X t B D X t D B X t D. B/ X D. B/ t X D. t B t / t. Sistemes d equacions lineals. nalitzeu el caràcter del sistema d equacions lineals següent pel mètode de Gauss x y z D x y 3z D >= x y D >; 3x 5y z D La matriu del sistema d equacions és B 3 5 ˇ Triangulant aquesta matriu, fent transformacions elementals per files tenim que B ' B ˇ ˇ 8 ' B 7 7 F F F F 3 F 3 F F 4 F 4 3F ˇ 4 7 F 4 F 4 F 3 ' B 7 F 3 3F 3 4F F 4 3F 4 F ˇ 4 7 7

17 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 7 El sistema triangular corresponent a aquesta última matriu és x y z D 3y z D 4 >= 7z D 7 >; D 7 Evidentment, l última igualtat és impossible, per tant, aquest sistema d equacions és incompatible.. Resoleu el sistema d equacions lineals següent pel mètode de Gauss x y 3z D >= 3x z D >; x y z D 3 La matriu d aquest sistema d equacions és 3 ˇ 3 ; és a dir, la matriu que s obté escrivint en columnes els coeficients de la x, els de la y, els de la z i els termes independents, respectivament. El mètode de Gauss consisteix a fer transformacions elementals per files fins a obtenir una matriu triangulada i a partir d aquesta resoldre el sistema d equacions. Recordem que les transformacions elementals són les següents (a Permutar dues files. (b Permutar dues columnes corresponents a les incògnites. (c Multiplicar un fila per un nombre diferent de zero. (d Substituir una fila per aquesta fila més un múltiple d una altra. El primer coeficient de la diagonal principal és diferent de zero, aleshores per aconseguir que els altres coeficients de la primera columna siguin zero fem les transformacions elementals següents Substituïm la segona fila per la segona fila menys el triple de la primera i substituïm la tercera fila per la tercera fila menys el doble de la primera.

18 8 Matrius i sistemes d equacions lineals És habitual representar aquestes transformacions elementals i la matriu obtinguda de la forma següent ˇ ˇ 7 F F 3F F 3 F 3 F El segon coeficient de la diagonal principal és diferent de zero, aleshores per aconseguir que el coeficient que hi ha sota sigui zero fem la transformació elemental següent Substituïm la tercera fila per la tercera fila multiplicada per 6 menys la segona multiplicada per 5. om en el cas anterior representem aquesta transformació elemental i la matriu obtinguda de la forma següent ˇ 7 ˇ F36F3 5F questa última matriu ja està triangulada, aleshores el sistema d equacions inicial és equivalent al que correspon a aquesta matriu, que és x y 3z D >= 6y z D 6 >; z D Un sistema d aquesta forma s anomena triangular i es resol començant per l última equació i substituint els resultats a les anteriors. Observem que el sistema triangular té tres equacions i tres incògnites, aleshores el sistema d equacions inicial és compatible determinat. Les solucions són x y 3. 6/ D >= x. / 3. 6/ D >= x D >= 6y. 6/ D 6 >; H y D >; H y D >; z D 6 z D 6 z D 6 Per tant, la solució del sistema és x D ; y D i z D 6

19 Àlgebra Lineal. Problemes resolts. Resoleu el sistema d equacions lineals següent pel mètode de Gauss x y 3z D 4 >= x y z D >; 4x 3y z D La matriu d aquest sistema d equacions és 4 3 ˇ 4 Triangulant aquesta matriu, fent transformacions elementals per files tenim que ˇ 5 7 ˇ 8 F F F F 3 F 3 F El sistema triangular corresponent a aquesta última matriu és x y 3z D 4 ˇ 4 8 5y 7z D 8 F 3 F 3 F i té dues equacions i tres incògnites, per tant, el sistema és compatible indeterminat amb un grau de llibertat; és a dir, la solució general ve donada en posar dues de les incògnites en funció de la tercera. En aquest cas, x 7z 8 3z D 4 5 y D 7z 8 5 >= >; H x D 4z 6 5 y D 7z 8 5 >= >; Per tant, la solució general és x D 4z 6 5 y D 7z 8 5 >= >;

20 Matrius i sistemes d equacions lineals Observem que qualsevol solució particular del sistema d equacions es pot obtenir donant un valor arbitrari a la z i calculant els valors de la x i de la y amb les igualtats de la solució general.. Resoleu el sistema d equacions lineals homogeni següent pel mètode de Gauss x y 4z D >= 3x 5y 7z D >; 4x 5y 6z D Observem que quan el sistema d equacions és homogeni, és a dir, tots els termes independents són nuls, en tot el procés de triangulació de la matriu aquests termes sempre són nuls, ja que cap de les transformacions elementals els fa variar. Per aquest motiu, quan es triangula la matriu d un sistema d equacions homogeni, no és imprescindible posar la columna de termes independents. De tota manera, per recordar que resolem un sistema d equacions homogeni, és convenient fer-ho Triangulant aquesta matriu tenim que F F 3F F 3 F 3 F F3F3 F ' 7 El sistema triangular corresponent a aquesta última matriu és x y 4z D ; 7y z D ja que els coeficients de la matriu són els coeficients de les incògnites i els termes independents són zero. quest sistema té dues equacions i tres incògnites, per tant, el sistema inicial és compatible inde-

21 Àlgebra Lineal. Problemes resolts terminat amb un grau de llibertat. La solució general és x z 7 y D z 7 4z D >= >; H x D 3z 7 y D z 7 >= >; 3. Resoleu el sistema d equacions lineals homogeni següent pel mètode de Gauss 3x 5y z D 3x 5y 4z D >= x y 4z D >; x y 6z D En aquest cas no posem els termes independents, però al final hem de recordar que aquests són tots nuls. 3 5 B Triangulant aquesta matriu tenim que 3 5 B F F F F 3 3F 3 F F 4 3F 4 F 3 5 ' 7 4 En aquesta matriu, el segon coeficient de la diagonal principal és zero; aleshores per continuar triangulant la matriu hem de permutar dues files de manera que el coeficient que ocupi aquest lloc sigui no nul F F 4 F 4 F 3 5 ' B 7 F 3 7F 3 F

22 Matrius i sistemes d equacions lineals 3 5 ' B 7 4 F 4 7F 4 F ' B 7 4 El sistema triangular corresponent a aquesta última matriu és 3x 5y z D >= 7y 4z D >; 4z D i té tres equacions i tres incògnites. Per tant, el sistema inicial és compatible determinant. L única solució d un sistema homogeni compatible determinat és la trivial, és a dir, x D ; y D ; i z D 4. nalitzeu, pel mètode de Gauss, el caràcter del sistema d equacions lineals x y z D >= x y az D >; ; x ay 4z D segons els valors del paràmetre a. La matriu d aquest sistema d equacions a a 4 ˇ Triangulant aquesta matriu tenim a a 4 ˇ F F F F 3 F 3 F a a 4 ˇ F 3 F 3.a4/F

23 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 3 a a 5a 6 ˇ a Observem que a 5a 6 D si, i només si, a D 5 p5 4 D 5 p D 5 D ( 3 I aleshores, ja podem estudiar quan es compleix cada un dels casos de l enunciat. (a El sistema és incompatible si alguna de les equacions del sistema triangular és de la forma D nombre diferent de zero. Evidentment, la tercera equació és d aquesta forma quan a D 3. (b El sistema és compatible indeterminat si la tercera equació queda reduïda a D, és a dir, si a D. (c Finalment, és immediat que si a 6D i 3 el sistema és compatible determinat. 5. Estudieu, segons els valors del paràmetre a, el sistema d equacions lineals següent pel mètode de Gauss x ay z D >= x.a /y 8z D >; x 3ay.3a 4/z D a La matriu d aquest sistema d equacions és a 8 3a 3a 4 ˇ a Triangulant aquesta matriu fent transformacions elementals per files tenim que a a 8 a 6 3a 3a 4 ˇ a a 3a ˇ a F F F F 3 F 3 F a a 6 3a 3a ˇ a F 3.a/F 3 af

24 4 Matrius i sistemes d equacions lineals En aquesta última transformació elemental hem multiplicat la tercera fila, que és la que hem substituït, per a, aleshores si a D aquesta transformació no és vàlida, ja que no es pot multiplicar una fila per zero. Per tant, quan estudiem el sistema per a a D, no ho podrem fer a partir d aquesta última matriu, sinó que ho haurem de fer a partir de l anterior. Per estudiar el sistema d equacions, hem de distingir els casos següents (a Si 3a 3a 6D i a 6D, el sistema triangular corresponent a la matriu triangulada és x ay z D >=.a /y 6z D >;.3a 3a/z D a i té tres equacions i tres incògnites, per tant, el sistema és compatible determinat. Observem que 3a 3a D si, i només si, a D o a D ; per tant, en aquest primer cas estem estudiant el sistema si a 6D ; i, i quan calculem les solucions podrem simplificar entre a, a o a. Les solucions són a x ay 3a 3 D a >=.a /y 6 3a 3 D H z D a >; 3a 3 x D a 3 3a 3 y D a z D x a a a 3a 3 D y D >= H a z D a >; 3a 3 a 3a 3 >= (b Si a D la matriu triangulada del sistema d equacions 6 ˇ i el sistema triangular corresponent a aquesta matriu, x z D ; y 6z D >;

25 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 5 té dues equacions i tres incògnites; per tant, el sistema és compatible indeterminat amb un grau de llibertat. La solució general és x D z y D 6z (c Si a D la matriu triangulada del sistema d equacions 6 ˇ i el sistema triangular corresponent a aquesta matriu, x y z D >= y 6z D D >; conté una igualtat impossible. Per tant, el sistema és incompatible. (d Si a D, l última transformació elemental que hem fet no és vàlida; per tant hem de continuar l estudi del sistema a partir de la matriu ˇ 6 ˇ F F 3 F 3 F El sistema triangular corresponent a aquesta matriu és x y z D >= y 3z D >; 6z D i té tres equacions i tres incògnites; per tant, el sistema és compatible determinat. La solució és x y 6 D x y 3 >= 6 D x D D H y D >= H y D >= z D 6 >; z D 6 >; z D 6 >; Resumint, si a 6D ; i el sistema és compatible determinat i la solució és x D a 3 3a 3 ; y D a ; i z D a 3a 3 I

26 6 Matrius i sistemes d equacions lineals si a D el sistema és compatible indeterminat amb un grau de llibertat i la solució general és x D z z I y D 6z si a D el sistema és incompatible i, finalment, si a D el sistema és compatible determinat i la solució és x D 5 6 ; y D ; i z D 6 6. Estudieu, segons els valors dels paràmetres a i b, el sistema d equacions lineals següent x ay z D 3 >= 3x bz D a >; x y z D b La matriu d aquest sistema d equacions és 3 b 3 a ˇ b Triangulant aquesta matriu tenim que 3 b 3 a ˇ b F F 3F F 3 F 3 F a 3a b 3 a a ˇ b 3 leshores, si permutem la segona i la tercera columna ja tindrem la matriu triangulada b 3 3a a a ˇ b 3 Per estudiar aquest sistema d equacions hem de distingir els casos següents

27 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 7 (a Si b 6D 3 i a 6D el sistema és compatible determinat ja que queda un sistema triangular de tres equacions amb tres incògnites sense cap igualtat del tipus D nombre diferent de zero (b Si a D la matriu triangulada del sistema b 3 6 i s han de distingir dos casos (b. Si b 6D 3 el sistema és incompatible. 7 ˇ b 3 (b. Si b D 3 el sistema triangular corresponent a l última matriu té dues equacions i tres incògnites; per tant, és compatible indeterminat amb un grau de llibertat. (c Si b D 3 continuem triangulant la matriu que teníem abans de canviar d ordre les columnes segona i tercera a 3a a 3a a a ˇ ˇ a F33aF3. a 8 a/f leshores, tenint en compte que aquesta última transformació no és vàlida si a D i que a a 8 D si, i només si, a D p 7 D p4 D 7 D ( s han de distingir els casos següents (c. Si a 6D ; i el sistema és incompatible ja que la tercera equació del sistema triangular corresponent a aquesta última matriu és de la forma D nombre diferent de zero (c. Si a D el sistema triangular corresponent a l última matriu és x y z D I 6y D 7

28 8 Matrius i sistemes d equacions lineals per tant, el sistema és compatible indeterminat amb un grau de llibertat. (c.3 Si a D el sistema triangular corresponent a l última matriu és x y z D I 7y D per tant, el sistema és compatible indeterminat amb un grau de llibertat. (c.4 Si a D, la matriu triangulada d aquest sistema d equacions I ˇ per tant, el sistema és incompatible. Podem resumir tots aquests casos en l esquema següent 8 a 6D ( i b 6D 3 El sistema és compatible determinat b D 3 El sistema és compatible indeterminat a D b 6D 3 El sistema és incompatible ˆ< 8 ˆ< a 6D i El sistema és incompatible b D 3 a D El sistema és compatible indeterminat ˆ a D El sistema és compatible indeterminat ˆ 7. Resoleu el sistema d equacions lineals següent pel mètode de Gauss-Jordan x y 3z D 4 >= 3x 3y z D 7 >; x y 3z D 7 El mètode de triangulació de matrius de Gauss-Jordan consisteix a aconseguir mitjançant transformacions elementals per files que tots els coeficients situats a sota i a sobre dels coeficients no nuls de la diagonal principal siguin zero. L avantatge respecte al mètode de Gauss és que una vegada triangulada la matriu tenim directament les solucions del sistema.

29 Àlgebra Lineal. Problemes resolts La matriu d aquest sistema d equacions és ˇ Triangulant aquesta matriu tenim que ˇ ˇ F F 3F F 3 F 3 F F 3 4 F ˇ ˇ ˇ F 6F F F 3 3F 3 F F F 5F 3 F F 3F 3 El sistema corresponent a aquesta última matriu és x D 36 >= y D 4 >; z D 4 Per tant, el sistema inicial és compatible determinat i la solució és x D 3 ; y D ; i z D 4 8. Resoleu simultàniament pel mètode de Gauss-Jordan els sistemes d equacions lineals següents x y 3z D >= x y 3z D >= x 3y z D x 3y z D >; >; 5x 8y 6z D 5x 8y 6z D 5 Quan tenim uns quants sistemes d equacions de manera que tots tenen els mateixos coeficients de les incògnites, els podem resoldre simultàniament triangulant la matriu formada per aquests

30 3 Matrius i sistemes d equacions lineals coeficients de les incògnites i tantes columnes de termes independents com sistemes d equacions tinguem. Triangulant la matriu d aquests dos sistemes d equacions tindrem que ˇ 5 3 ˇ F F F F 3 F 3 5F 4 7 ˇ F 7F F F 3 F 3 3F El primer sistema és incompatible ja que una de les equacions del sistema triangular és D 4. El segon sistema és compatible indeterminat amb un grau de llibertat i la seva solució general és x D z 7 y D z 5 7 >= >;

31 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 3 Determinants. Determinants. alculeu els determinants d ordre següents (a ˇ a b a b ˇ ˇˇˇˇ I (b sin cos sin ˇ cos ˇ ˇ ˇˇˇˇ I (c n n n n ˇ ˇ a b a b ˇ D a b ab D ab.ab / ˇ sin cos sin ˇ cos ˇ ˇ D sin cos ˇ sin ˇ cos D sin. ˇ/ ˇ n n n n ˇ D.n /.n / n D n n D

32 3 Determinants. alculeu els determinants d ordre 3 següents mitjançant la regla de Sarrus (a 8 7 ˇ 8 ˇ I (b ˇ 7 8 ˇ I (c a x x x b x ˇ x x c ˇ ˇ D / 8. /. 5/. 5/7. /. / ˇ 8 ˇ a x x x b x ˇ x x c D D D. 5/ 6. 7/ /. 3/. 5/. 7/ ˇ D D 4 ˇ D abc x3 x 3 bx ax cx D x.a b c/x abc 3. alculeu el següent determinant d ordre ˇ ˇ Observem que la segona fila del primer determinant té dos zeros; a més, si fem una transformació elemental per columnes podem aconseguir que n hi hagi un altre ˇ 4 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 5 3 D

33 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 33 leshores, desenvolupant pels coeficients de la segona fila tenim que 4 D. / 4 ˇ ˇ ˇ 3 4 ˇ D / D 85 Per tant, ˇˇˇ ˇ D 85 ˇ 4. Sabent que i B són matrius quadrades d ordre 3 tals que det./ D i det.b/ D 3, calculeu el determinant de la matriu B t plicant les propietats dels determinants respecte de les operacions amb matrius, tenim que 3 det B t D det. / det.b / det. t / D 8.det.//.det.B// det./ D 3. plicacions dels determinants 5. alculeu el rang de les matrius següents per menors, indicant un menor no nul d ordre màxim D B I B D B

34 34 Determinants (a És evident que les columnes de la matriu no són totes múltiples d una mateixa columna; per tant, el rang com a mínim és, i un menor d ordre amb determinant no nul és el que s obté en fixar les files a. i a. i les columnes a. i a ; amb ˇˇˇˇ 3 3 ˇ D 5 Per comprovar si el rang d aquesta matriu és més gran que, hem de calcular els determinants dels menors d ordre 3 que s obtenen a partir de l anterior afegint una fila i una columna. Si afegim la tercera fila i la tercera columna, # B ˇ 6 ˇ D Si afegim la tercera fila i la quarta columna, # B ˇ 6 ˇ D Si afegim la quarta fila i la tercera columna, # B 3 6 6! ˇ 4 4 ˇ D

35 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 35 Si afegim la quarta fila i la quarta columna, # B 3 6 6! ˇ 4 D 6D ˇ El menor d ordre 3 que s obté en fixar les files a, a i 4a i les columnes a, a i 4a té determinant no nul; per tant, el rang de la matriu és com a mínim 3. Finalment, per saber si el rang és 4 hem de calcular el determinant de l únic menor d ordre D ˇ 4 4 ˇ Per tant, el rang d aquesta matriu és 3 i un menor d ordre 3 amb determinant no nul és el que hem indicat abans. (b És evident que les columnes de la matriu B no són totes múltiples d una mateixa columna; per tant, el rang com a mínim és, i un menor d ordre amb determinant no nul és el que s obté en fixar les files a. i a. i les columnes a. i 3a B ; amb ˇˇˇˇ ˇ D 6 alculem ara els determinants dels menors d ordre 3 que s obtenen quan afegim una fila i una columna a aquest menor d ordre. Si afegim la tercera fila i la primera columna, # B ˇ 3 ˇ D

36 36 Determinants Si afegim la tercera fila i la quarta columna, # B ˇ ˇ D Si afegim la tercera fila i la cinquena columna, # B ˇ ˇ D Si afegim la quarta fila i la primera columna, # B ! ˇ 6 4 ˇ D Si afegim la quarta fila i la quarta columna, # B ! ˇ 4 4 ˇ D Si afegim la quarta fila i la cinquena columna, # B ! ˇ 4 3 ˇ D

37 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 37 om que els determinants de tots aquests menors són nuls, el rang de la matriu B és i un menor d ordre amb determinant no nul és el que hem indicat abans B alculeu el rang de la matriu següent, per menors, en funció del paràmetre a 3 a a a a 3a 3 a a 3 3 El procediment per estudiar el rang d una matriu en funció d un paràmetre és lleugerament diferent al que hem fet servir a l exercici anterior. El primer que farem és trobar els valors de a per als quals existeix un menor d ordre màxim amb determinant no nul. leshores, agafem un menor qualsevol d ordre 3 d aquesta matriu i calculem el seu determinant a 3 a a D.a 3/.a /.a 3/.3a 3/ a ˇ 3a 3 a a 3 ˇ.a /.3a 3/ a.a 3/ a.a 3/ D a 3 5a 3a 3a 3 a 6a 6 a 3a a 3a D a 3 a D a.a / Per tant, si a 6D i el rang d aquesta matriu és 3. Si a D, tenim la matriu ; que evidentment té un menor d ordre amb determinant no nul ; amb ˇ 3 ˇ D

38 38 Determinants És evident que el determinant del menor que s obté quan afegim la tercera fila i la tercera columna és zero, ja que és el determinant que hem calculat en funció del paràmetre a. El determinant del menor que s obté quan afegim la tercera fila i la quarta columna és 3 ˇ 3 3 ˇ D Per tant, si a D, el rang de la matriu també és 3. Finalment, si a D tenim la matriu ; que també té un menor d ordre amb determinant no nul ; amb ˇ 4 ˇ D El determinant del menor que s obté quan afegim la tercera fila i la tercera columna és zero i el determinant del que s obté quan afegim la tercera fila i la quarta columna és 4 ˇ 6 3 ˇ D Per tant, si a D, el rang de la matriu és. 7. nalitzeu, per menors, el caràcter del sistema d equacions lineals següent 5x 6y z D 4 >= 3x 5y z D 3 >; x y 3z D 5 El determinant de la matriu dels coeficients de les incògnites és ˇ 3 ˇ D

39 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 3 i aquesta matriu té un menor d ordre amb determinant no ; amb ˇ ˇ D 7 I és a dir, el rang de la matriu dels coeficients de les incògnites és. Per calcular el rang de la matriu ampliada és suficient calcular el determinant del menor d ordre 3 que s obté quan afegim la tercera fila i la quarta columna # ;! ˇ 5 ˇ D 8 Per tant, el rang de la matriu ampliada és 3 i el sistema és incompatible. 8. Resoleu el sistema d equacions lineals següent pel mètode de ramer x 3y 5z D >= 3x 7y 4z D 3 >; x y z D 3 Per comprovar si aquest sistema de 3 equacions amb 3 incògnites és de ramer hem de calcular el determinant de la matriu dels coeficients de les incògnites ˇ ˇ D leshores, aquest sistema és de ramer, compatible determinat i la solució ve donada per la regla

40 4 Determinants de ramer x D y D z D ˇ ˇ ˇ 3 ˇ ˇ 3 ˇ D 3 ; D ; D És a dir, la solució del sistema és x D 3 ; y D i z D. Resoleu el sistema d equacions lineals següent pel mètode de ramer x 3y z D >= 3x 5y 5z D 3 >; 5x 8y 6z D 5 En aquest cas el determinant de la matriu dels coeficients de les incògnites és ˇ ˇ D i aquesta matriu té un menor d ordre amb determinant no ; amb ˇ ˇ D I és a dir, el rang de la matriu dels coeficients de les incògnites és. Per calcular el rang de la matriu ampliada és suficient calcular el determinant del menor d ordre 3 que s obté quan afegim la tercera

41 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 4 fila i la quarta columna # ;! ˇ ˇ D Per tant, el rang de la matriu ampliada també és i el sistema és compatible indeterminat amb un grau de llibertat. Les columnes del menor d ordre amb determinant no nul són la a. i la a., aleshores agafem la x i la y com a incògnites principals. Per altra banda les files del menor d ordre amb determinant no nul són la a. i la a., aleshores la tercera equació és combinació lineal de les dues primeres i la podem eliminar. El sistema d equacions queda reduït a x 3y D z 3x 5y D 5z 3 Podem resoldre aquest sistema de equacions amb incògnites mitjançant la regla de ramer; les solucions són z 3 ˇ 5z 3 5 ˇ x D D z ; ˇ z 3 5z 3 ˇ y D D 7z Per tant, el sistema és compatible indeterminat i la seva solució general és x D z y D 7z Observem que el mètode de ramer es pot aplicar a qualsevol sistema d equacions lineals, que no s ha de confondre amb la regla de ramer que s aplica als sistemes de ramer.

42 4 Determinants. Resoleu el sistema d equacions lineals homogeni següent pel mètode de ramer 3x y 5z t 7u D 6x 4y 7z 4t 5u D >= 3x y z t u D >; 6x 4y z 4t 3u D La matriu dels coeficients de les incògnites és la matriu B de l exercici, aleshores el seu rang és. Evidentment el rang de la matriu ampliada també és, ja que tots els coeficients de l última columna són zero. Per tant, aquest sistema és compatible indeterminat amb tres graus de llibertat. Les columnes d un menor d ordre amb determinant no nul són la a i la 3a, aleshores agafem la y i la z com a incògnites principals. D altra banda, les files d aquest menor amb determinant no nul són la a i la a, aleshores la tercera i la quarta equacions són combinació lineal de les dues primeres i les podem eliminar. El sistema d equacions queda reduït a y 5z D 3x t 7u 4x 7z D 6x 4t 5u Podem resoldre aquest sistema de equacions amb incògnites aplicant la regla de ramer; les solucions són 3x t 7u 5 ˇ 6x 4t 5u 7 ˇ x 6t y D ˇ 5 D 4u ; ˇ 3x t 7u ˇ 4 6x 4t 5u ˇ z D ˇ 5 D 8u ˇ Per tant, la solució general d aquest sistema és 3x t 8u y D = ; z D 3u

43 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 43. Estudieu el sistema d equacions lineals següent en funció del paràmetre a pel mètode de ramer ax y z D a >= x ay z D >; 3x y az D En primer lloc calculem per a quins valors de a el sistema és de ramer; és a dir, el determinant de la matriu dels coeficients de les incògnites és no nul a a ˇ 3 a ˇ D a3 3 3a a a D a 3 3a La primera arrel de l equació a 3 3a D l hem de trobar pel mètode de Ruffini 3 i les altres arrels són les solucions de l equació a a D ; aleshores a D p 8 D p D 3 D ( i el determinant és igual a.a /.a /. Per tant, si a 6D i, el determinant és diferent de zero, el sistema és de ramer, és a dir,

44 44 Determinants compatible determinat, i segons la regla de ramer a a ˇ a ˇ x D.a /.a / D a3 a.a /.a / D.a /.a a /.a /.a / a a ˇ 3 a ˇ y D.a /.a / D a.a /.a / D.a /.a / ; a a a ˇ 3 ˇ z D.a /.a / D a.a /.a / Per tant, si a 6D Si a D D a a.a /.a / ; D.a /. a/.a /.a / D a.a /.a / i, el sistema és compatible determinat i la solució és x D a a.a /.a / ; y D.a /.a /, el sistema d equacions és x y z D >= x y z D 3x y z D >; i z D a.a /.a / i evidentment la primera i la segona equacions són la mateixa; per tant, podem eliminar-ne una de les dues i el sistema queda x y D z 3x y D z És clar que aquest sistema és compatible indeterminat i la seva solució general és ˇ z z ˇ x D ˇ D z 3 ; 4 3 ˇ ˇ z 3 z ˇ y D ˇ D z I 4 3 ˇ

45 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 45 és a dir, x D z 3 >= 4 y D z >; 4 Finalment, si a D, el sistema d equacions és x y z D >= x y z D >; 3x y z D i la matriu dels coeficients de les incògnites té un menor d ordre amb determinant no 3 Per calcular el rang de la matriu ampliada és suficient calcular el determinant que s obté quan afegim la tercera fila i la quarta columna ;! 3 ˇ 3 ˇ D 3 leshores, el rang de la matriu ampliada és 3 i el sistema és incompatible.. alculeu, si és possible, la inversa de les matrius següents per adjunts I 5 B Recordem que una matriu quadrada és invertible si, i només si, el seu determinant és diferent de zero, i en aquest cas D.ad / t j j

46 46 Determinants Per comprovar si la matriu és invertible hem de calcular el seu determinant 3 j j D 4 5 D D 8 ˇ 5 ˇ Per tant, la matriu és invertible i si representem per ij els coeficients de la matriu ad, tenim que D 5 ˇ 5 ˇ D ; D ˇ ˇ D ; 3 D ˇ 4 ˇ D 6; D 3 ˇ 5 ˇ D 3; D ˇ 5 ˇ D ; 3 D ˇ 3 ˇ D 7; 3 D ˇ 3 5 ˇ D 7; 3 D ˇ 4 5 ˇ D 3; 33 D ˇ 3 4 ˇ D leshores l adjunta i la inversa de la matriu són, respectivament, 6 ad alculem ara el determinant de la matriu B per saber si aquesta matriu és invertible j B j D ˇ ˇ D D 7 Per tant la matriu B és invertible i si representem per ˇij els coeficients de la matriu B ad, tenim que ˇ D ˇ ˇ D 3; ˇ D ˇ ˇ D 6; ˇ3 D ˇ ˇ D 6; ˇ D ˇ ˇ D 6; ˇ D ˇ ˇ D 3; ˇ3 D ˇ ˇ D 6; ˇ3 D ˇ ˇ D 6; ˇ3 D ˇ ˇ D 6; ˇ33 D ˇ ˇ D 3

47 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 47 leshores la inversa de la matriu B és B

48 48 Determinants

49 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 4 3 Espais vectorials 3. Espais vectorials. alculeu a de manera que el vector.; ; a/ sigui combinació lineal dels vectors.4; ; 5/ i.; a; 3/. Hem de trobar per a quins valors de a existeixen i R tals que.; ; a/ D.4; ; 5/.; a; 3/ Igualant component a component, tenim el sistema d equacions 4 D >= a D >; D a leshores, el vector.; ; a/ és combinació lineal dels vectors.4; ; 5/ i.; a; 3/ si, i només si,

50 5 Espais vectorials aquest sistema d equacions és compatible. Triangulant la matriu d aquest sistema tenim que a 5 3 a ˇ ˇ a 4a F 3 4F 3 5F F3F3 af ' 4 a ˇ 4a F 3 F F F 3 4a ˇ 4 4a Evidentment aquest sistema és compatible determinat si, i només si, 4 només si, a D. 4a D, és a dir, si, i Si a D, la solució del sistema és 4 D H 4./ D H D D 4 D D Per tant,.; ; / D.4; ; 5/.; ; 3/. Si a D, la solució del sistema és 4 D H 4. / D D 4 D H D D Per tant,.; ; / D.4; ; 5/.; ; 3/.. Estudieu la dependència o independència lineal dels vectors.; ; ; 3/,.; ; ; /,.; ; ; / i.5; ; ; 4/ de R 4. Recordem que n vectors Eu ; Eu ; ; Eu n són linealment independents si, i només si, els únics escalars ; ; ; n que compleixen la igualtat són D D D n D. Eu Eu n Eu n D E

51 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 5 En el nostre cas, tenim que.; ; ; 3/.; ; ; / 3.; ; ; / 4.5; ; ; 4/ D.; ; ; / Igualant component a component tenim el sistema homogeni d equacions 5 4 D 3 4 D >= 3 4 D >; D leshores, és evident que, si aquest sistema és compatible determinat, l única solució és la trivial i els vectors són linealment independents i, si el sistema és compatible indeterminat, hi ha solucions diferents de la trivial i els vectors són linealment dependents. Per estudiar aquest sistema hem de triangular la seva matriu 5 5 ' B ' B F F F F 4 F 4 3F F 4 F 4 7F 3 5 ' B 3 F 4 3F 4 5F Evidentment, aquest sistema és compatible indeterminat amb un grau de llibertat, per tant, els vectors són linealment dependents. Per trobar una relació de dependència entre aquests vectors n hi ha prou amb trobar una solució particular del sistema 5 4 D >= D >; H 3 4 D D 4 >= D 4 >; 3 D 4 Per tant, una de les possibles relacions de dependència entre aquests quatre vectors és.; ; ; 3/.; ; ; /.; ; ; /.5; ; ; 4/ D.; ; ; /

52 5 Espais vectorials 3. Estudieu la dependència o independència lineal dels vectors.; ; ; /,.; ; 3; 4/ i.; ; ; /. Hem de comprovar si existeixen escalars ; ; 3 R no tots nuls tals que.; ; ; /.; ; 3; 4/ 3.; ; ; / D.; ; ; / Igualant component a component, tenim el sistema d equacions 3 D 3 D >= 3 3 D >; 4 3 D Per saber si és compatible determinat o indeterminat triangulem la seva matriu mitjançant transformacions elementals per files 3 ' ' 3 3 F 3 F 3 F F 4 F 4 F F 4 3F 4 3F 3 F 3 F 3 5F F 4 F 4 7F ' 3 El sistema triangular corresponent a aquesta última matriu és un sistema homogeni de tres equacions amb tres incògnites, per tant, és compatible determinat i l única solució és la trivial D D 3 D. leshores, els tres vectors són linealment independents. 4. Demostreu que els vectors.; ; /,.; ; / i.3; ; / són base de R 3 i calculeu les components del vector. ; ; / en aquesta base. Sabem que R 3 és un espai vectorial de dimensió 3; per tant, per demostrar que aquests tres vectors són base n hi ha prou amb comprovar que són linealment independents.

53 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 53 Igualem a zero una combinació lineal d aquests vectors.; ; /.; ; / 3.3; ; / D.; ; / I aleshores, igualant component a component, tenim el sistema d equacions 3 3 D >= 3 D >; 3 D D altra banda, per calcular les components del vector. ; ; / en aquesta base hem d expressar-lo com a combinació lineal dels vectors.; ; /,.; ; / i.3; ; /. ; ; / D.; ; /.; ; / 3.3; ; / Igualant component a component, tenim un altre sistema d equacions 3 3 D >= 3 D >; 3 D En el primer capítol, havíem vist que si dos sistemes tenen els mateixos coeficients de les incògnites es poden resoldre simultàniament. En aquest cas, hem de triangular la 3 ˇ Observem que el primer sistema és homogeni; per tant, no hem posat la seva columna de termes independents ja que sempre seran zero. Triangulem aquesta 3 ˇ F F F F 3 F 3 F ˇ 6 El sistema homogeni és compatible determinat; per tant, els tres vectors són base de R 3.

54 54 Espais vectorials El sistema triangular corresponent al segon sistema d equacions és 3 3 D >= D 6 >; ; 4 3 D que també és compatible determinat, i la seva solució és 3. 3/ D >=./ 3. 3/ D >= / D 6 >; H D >; H 3 D 3 3 D 3 D 3 >= D >; 3 D 3 Per tant, les components del vector. ; ; / en la base B D f.; ; /;.; ; /;.3; ; / g són.3; ; 3/; és a dir,. ; ; / D 3.; ; /.; ; / 3.3; ; /. 5. Les components del vector Eu R 3 en la base B D f.; ; /;.; ; /;.; ; / g són. ; 3; /. alculeu les components d aquest vector en la base B D f.; ; 3/;.; ; 4/;.; ; 4/ g om que tenim les components del vector Eu en la base B, sabem que Eu D.; ; / 3.; ; /.; ; / D. ; ; 7/ leshores, per calcular les components d aquest vector en la base B l hem d expressar com a combinació lineal dels vectors d aquesta base. ; ; 7/ D.; ; 3/.; ; 4/ 3.; ; 4/ Igualant component a component, tenim el sistema d equacions 3 D >= 3 D D 7 >;

55 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 55 Per resoldre aquest sistema, triangulem la seva matriu pel mètode de ˇ ˇ F F F F 3 F 3 3F F F F F 3 F 3 8F 3 ˇ F F 3F 3 F F F 3 ˇ 65 3 quest sistema és compatible determinat i la solució és D 65 ; D i 3 D 3 Per tant, les components del vector Eu D. ; ; 7/ en la base B D f.; ; 3/;.; ; 4/;.; ; 4/ g són. 65; ; 3/; és a dir,. ; ; 7/ D 65.; ; 3/.; ; 4/ 3.; ; 4/. 6. Siguin B D f.; ; /;.; ; /;.; ; / g i B D f.; ; /;.; ; /;.; ; / g dues bases de R 3. Si un vector Eu té components.x; y; z/ en la primera base i.x ; y ; z / en la segona, expresseu x, y i z en funció de x, y i z. Les components del vector Eu en la primera base són.x; y; z/; per tant, Eu D x.; ; / y.; ; / z.; ; / ; i les components del vector Eu en la segona base són.x ; y ; z /; per tant, Eu D x.; ; / y.; ; / z.; ; / Igualant aquestes dues expressions component a component, tenim que x y z D x z >= x y z D y z x y z D x y >;

56 56 Espais vectorials Per expressar x, y i z en funció de x, y i z, hem de resoldre aquest sistema d equacions. leshores, triangulem la seva matriu pel mètode de Gauss-Jordan x z x y z 3 x y z ˇ x y 3 ˇ x y z ˇ 4x y z x y z 4x 4y 4z F F F F 3 F 3 F F 4F F 3 F 8F F ˇ F 3F F F 3 3F 3 F x y z x y z 4x 4y 4z La solució d aquest sistema d equacions i, per tant, la relació entre les components del vector Eu en les dues bases és x D x y z >= y D x y z z D x y z >; 7. Sigui B D f Ee ; Ee ; Ee 3 g una base de R 3. Sabent que les components dels vectors.; ; /,.; ; 3/ i.; ; / en aquesta base són.; ; /,.; ; / i.; ; /, respectivament, calculeu quins són els vectors Ee, Ee i Ee 3. El vector.; ; / té components.; ; / en la base B; per tant,.; ; / D Ee Ee De la mateixa manera, el vector.; ; 3/ té components.; ; / en la base B; per tant,.; ; 3/ D Ee Ee 3 Finalment, el vector.; ; / té components.; ; / en la base B; per tant,.; ; / D Ee Ee Ee 3 leshores, hem de calcular els vectors Ee, Ee i Ee 3 a partir de les tres igualtats anteriors Ee Ee D.; ; / >= Ee Ee 3 D.; ; 3/ >; Ee Ee Ee 3 D.; ; /

57 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 57 Restant les dues primeres igualtats, tenim que Ee 3 Ee D.; ; / i substituint a la tercera Ee.; ; / D.; ; / H Ee D.; ; / leshores, podem substituir aquest resultat a la primera i a la segona igualtats i resulta que.; ; / Ee D.; ; / H Ee D. 3; ; / ;.; ; / Ee 3 D.; ; 3/ H Ee 3 D. ; ; / Per tant, els vectors de la base B són Ee D.; ; / ; Ee D. 3; ; / i Ee 3 D. ; ; / 8. De les següents bases de R 3, digueu quines tenen orientació positiva i quines negativa. (a B D f. ; 3; /;.; ; 5/;. 3; ; /g. (b B D f. ; 4; /;.8; 8; 6/;.8; 3; /g. (c B 3 D f. ; 5; 4/;.5; ; /;.; ; 3/g. Només hem de calcular el determinant d aquestes tres bases per saber quina és la seva orientació. 3 3 D D 6 ; ˇ 5 ˇ ˇ ˇ D D 8 ; ˇ D 4 75 D 3 ˇ Per tant, la primera de les bases té orientació negativa i les altres dues tenen orientació positiva.

58 58 Espais vectorials. Donades les bases B D f.; ; /;.; ; /;. ; ; /g i B D f.; ; /;.; ; /;.; ; /g de R 3, calculeu la matriu del canvi de base de B a B. En aquest cas obtindrem la matriu del canvi de base de B a B a partir de les matrius del canvi de base de B a la canònica i de B a la canònica. La matriu del canvi de base de B a B c és.r 3 ; B / D.R 3 ; B c / Eu Eu on D i la matriu del canvi de base de B a B c és.r 3 ; B / E.R 3 ; B c / Eu Eu E partir d aquestes dues matrius, podem formar l esquema següent.r 3 ; B / E.R 3 ; B c / D.R 3 ; B / Eu Eu Eu D D E

59 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 5 Recordem que, en aquest esquema, primer multipliquem per la matriu E i després per D i, quan escrivim un producte de matrius, aquestes s escriuen de dreta a esquerra. leshores, la matriu del canvi de base de B a B és D D E, on D D E 3 alculeu les components del vector.6; ; 3/ en la base formada pels vectors.; 3; /,.7; ; 5/ i.3; 4; 3/. Sigui B c la base canònica de R 3 i B la base B D f.; 3; /;.7; ; 5/;.3; 4; 3/g ; aleshores l esquema del canvi de base és.r 3 ; B/.R 3 ; B c / Eu Eu on és la matriu que expressa les components dels vectors de la base B en la base canònica leshores, si les components del vector Eu en la base canònica són.6; ; en la base B seran 3 3/, les seves components

60 6 Espais vectorials Per calcular la inversa de hem de triangular la matriu següent ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 3 F F 3F F 3 F 3 F F 3F 7F F 3 F 3 F F F F 3 F F F 3 7= 3 = 3 5= 3 = 3 F 6 F F 6 F F 3 F 3 És a dir, la inversa de la matriu és Per tant, les components del vector Eu en la base B Les components del vector.6; ; 3/ en la base B D f.; 3; /;.7; ; 5/;.3; 4; 3/g són.5; ; 6/.. Si B D f.; /;.4; /g i B D f.; /;.; /g i el vector Eu té components.; b/ en la base B i components.6; a/ en la base B, trobeu els valors de a i b.

61 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 6 alculem en primer lloc la matriu del canvi de base de B a B. La matriu del canvi de base de B a B c és 4 D ; mentre que la matriu del canvi de base de B a B c és D D leshores, l esquema del canvi de base de B a B el podem representar de la forma següent.r ; B / c.r ; B c / D.R ; B / Eu Eu Eu D i la matriu del canvi de base de B a B és B D D D D 4 4 D Per tant, i com que tenim les components del vector Eu en les base B i B, s ha de complir que D ; 5 b a és a dir, o bé b D 3 i a D b D ; 5b D a. Les components dels vectors.; ; /,. 3; ; / i. ; 3; / en la base B D feu ; Eu ; Eu 3 g són.; ; /,. 4; ; 7/ i.3; ; 5/, respectivament. alculeu les components dels vectors Eu, Eu i Eu 3 en la base canònica.

62 6 Espais vectorials Sigui B c la base canònica de R 3, aleshores tenim el canvi de base següent.r 3 ; B/.R 3 ; B c / Eu Eu on és la matriu de les components dels vectors Eu, Eu i Eu 3 en la base canònica, és a dir, és la matriu que hem de calcular. En primer lloc, sabem que les components del vector.; ; / en la base B són.; ; /; per tant, es Les components del vector. 3; ; / en la base B són. 4; ; 7/; per tant, 7 i finalment les components del vector. ; 3; / en la base B són.3; ; 5/, per questes tres igualtats es poden escriure en una sola igualtat entre matrius d ordre i multiplicant per la inversa de la segona matriu tindrem que

63 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 63 La inversa d aquesta matriu és aleshores tindrem que 3 ; Per tant, les components dels vectors Eu, Eu i Eu 3 en la base canònica són. ; 8; /,.; ; 8/ i. 3; 6; /, respectivament. És a dir, Eu D. ; 8; / Eu D.; ; 8/ Eu 3 D. 3; 6; / 3. Els vectors Ee ; Ee ; Ee 3 són base de R 3 i les components dels vectors Eu, Eu i Eu 3 en aquesta base són.5; ; 3/,.; ; / i.3; ; /, respectivament. alculeu les components dels vectors Ee, Ee i Ee 3 en la base Eu ; Eu ; Eu 3. Siguin B i B les dues bases de l enunciat, és a dir, B D f Ee ; Ee ; Ee 3 g i B D f Eu ; Eu ; Eu 3 g leshores tenim el canvi de base següent.r 3 ; B /.R 3 ; B / Eu Eu on és la matriu dels vectors Ee, Ee i Ee 3 expressats en la base B, és a dir, és la matriu que hem de calcular. D altra banda, sabem quines són les components dels vectors Eu, Eu i Eu 3 en la base B, és a dir, sabem que 5 3 3

64 64 Espais vectorials leshores, per calcular la matriu hem de calcular la inversa de 5 3 ˇ Per tant, tenim que ˇ ˇ ˇ F 5F F F 3 5F 3 3F F 7F F F 3 7F 3 F ˇ F F 4F 3 F 5F F 3 F 35 F F 35 F F 3 5 F 3 i les components dels vectors Ee, Ee i Ee 3 en la base B són.3; ; 5/,. ; ; / i.4; ; 7/, respectivament. 4. Sigui B D fee ; Ee ; Ee 3 g i B D feu ; Eu ; Eu 3 g dues bases de R 3 tals que Eu D Ee Ee 3 ; Eu D Ee 3 Ee ; Eu 3 D Ee Ee alculeu la matriu del canvi de base de B a B. De les dades de l enunciat, podem escriure directament la matriu del canvi de B a B, ja que tenim les components dels vectors de la base B en la base B, o dit d una altra manera, els vectors de la base B expressats en funció dels vectors de la base B. leshores, la matriu del canvi de base de B a B serà la inversa d aquesta matriu.

65 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 65.R 3 ; B /.R 3 ; B / Eu Eu.R 3 ; B /.R 3 ; B / Eu Eu ; ja que les columnes d aquesta matriu són les components dels vectors Eu ; Eu ; Eu 3 en la base B. La inversa de i, per tant, la matriu del canvi de base de de B a B, és Observem que aleshores podem escriure Ee D. Eu Eu Eu 3 / ; Eu D.Eu Eu Eu 3 / ; Eu 3 D. Eu Eu Eu 3 / 3. Subespais vectorials 5. Trobeu una base i les equacions implícites del subespai de R 4 F D h.3; 5; ; 7/;.; 3; 3; 5/;.3; ; 5; /;.; 3; ; 4/;.5; 4; 7; / i D entre aquests cinc vectors hem d escollir el màxim nombre possible de vectors linealment independents de manera que els altres siguin combinació lineal dels que hem escollit. Per això, triangulem la matriu formada per les components d aquests vectors B F 3F 5F F 3 3F 3 F F 4 3F 4 7F ' B F 3 F 3 F F 4 F 4 F

66 66 Espais vectorials ' B 4 6 leshores, tenim que els dos primers vectors són linealment independents, el tercer és combinació lineal dels dos primers (tres primeres columnes de les matrius, el quart també és combinació lineal dels dos primers (columnes primera, segona i quarta de les matrius i els vectors primer, segon i cinquè són linealment independents (columnes primera, segona i cinquena de les matrius. Per tant, F té dimensió 3 i una base d aquest subespai és F D h.3; 5; ; 7/;.; 3; 3; 5/;.5; 4; 7; / i Per calcular les equacions implícites de F hem de trobar les relacions que han de complir les components del vector.x; y; z; t/ perquè aquest vector sigui combinació lineal de.3; 5; ; 7/,.; 3; 3; 5/ i.5; 4; 7; /. Per això, hem de triangular la matriu 3 5 B ' B 4 6 x y z ˇ t F 3F 5F F 3 3F 3 F F 4 3F 4 7F x 3y 5x x 6y 3z ˇ 3x 6y 3t 3 5 ' B F 3 F 4 F 4 F ' B 4 6 x 3y 5x 3z x ˇ 3t 7x F 3 F 3 F F 4 F 4 F x 3y 5x 3x 6y 3t ˇ x 6y 3z Per tant, l equació implícita del subespai F és x 6y 3z D o bé 3x y z D 6. Trobeu una base i unes equacions implícites minimals del subespai F de R 4 que té equacions implícites x y 5z 7t D >= 4x y 7z 5t D >; x y z 5t D

67 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 67 De la mateixa manera que a l exercici anterior, hem de resoldre el sistema format per les equacions implícites d aquest subespai. leshores, triangulem la matriu F F F F 3 F 3 F F 3 3F 3 4F quest sistema és compatible indeterminat amb dos grau de llibertat i la seva solució general és x y 5z 7t D x D y 8t = H 3z t D ; z D 3t Per tant, els vectors de F són els de la forma.x; y; z; t/ D. y8t ; y; 3t; t/ D y. ; ; ; / t.4; ; 3; / i una base d aquest subespai és la formada pels vectors F D h. ; ; ; /;.4; ; 3; / i o bé F D h.; ; ; /;.4; ; 3; / i D altra banda, unes equacions implícites d un subespai són minimals si cap d elles és combinació lineal de les altres, és a dir, si són linealment independents. En el nostre cas les obtenim a partir de la matriu triangulada del sistema d equacions implícites inicials x y 5z 7t D 3z t D 7. Sigui F el subespai de R 4 que té equacions implícites x.a /y z.a /t D ax 3y az t D Demostreu que dim F D per a qualsevol valor de a.

68 68 Espais vectorials Recordem que si les equacions implícites d un subespai F de R n són X D, és a dir, és la matriu dels coeficients de les incògnites d unes equacions implícites de F ; aleshores dim F D n rang./ Per tant, en aquest exercici, és suficient calcular el rang de la matriu a a a 3 a i ho fem trriangulant-la a a a 3 a F F af ' a a a a 6 3a a a 4 Si a a 6 6D el rang de la matriu és, per tant, dim F D 4 D. Tenint en compte que a a 6 D si, i només si, a D p 4 D p5 podem assegurar que si a 6D 3 i, aleshores dim F D. D altra banda, si a D ( D 5 D 3 o a D tenim que la matriu triangulada és 5 i ; ; respectivament. leshores, en aquests dos casos el rang de la matriu també és i dim F D 4. D Per tant, per a qualsevol valor de a es compleix que dim F D. 8. Donats els subespais de R 4 F D h.; ; ; 3/;.; ; 3; / i G D h. ; 6; 3; 5/;.; 4; ; 4/;.3; ; ; / i ; comproveu que F G.

69 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 6 És evident que els vectors.; ; ; 3/ i.; ; 3; / són linealment independents; per tant són base de F, i que els vectors. ; 6; 3; 5/,.; 4; ; 4/,.3; ; ; / també són linealment independents; per tant, són base de G. És a dir, dim F D i dim G D 3. Per comprovar que F G hem de comprovar que els vectors de la base de F també pertanyen a G, és a dir, que els vectors.; ; ; 3/ i.; ; 3; / són combinació lineal dels vectors. ; 6; 3; 5/,.; 4; ; 4/ i.3; ; ; /.; ; ; 3/ D. ; 6; 3; 5/.; 4; ; 4/ 3.3; ; ; / ;.; ; 3; / D. ; 6; 3; 5/.; 4; ; 4/ 3.3; ; ; / Igualant component a component, tenim els sistemes d equacions 3 D D >= 3 3 D >; D 3 i 3 D D >= ; 3 3 D 3 >; D i hem de comprovar que els dos són compatibles. Per això, triangulem la matriu 3 3 B ' B ˇ ˇ 8 ' F F 6F F 3 F 3 3F F 4 F 4 5F 8 ˇ F 4 F 4 F 3 ' 3 4 F 3 4F 3 F F 4 F 4 F 8 ˇ Evidentment, aquests dos sistemes són compatibles determinats, per tant, F G.. Donats els subespais de R 4 F D h.3; ; 3; /;.5; 3; ; 3/ i ; G D h.; 3; 5; /;.7; 5; ; 4/ i ; comproveu que F D G.

70 7 Espais vectorials alculem en primer lloc les equacions implícites del subespai G triangulant la matriu 7 x 7 x B z ' B 6 y 36 z 5x 4 ˇ t 4 ˇ t F F 3F F 3 F 3 5F 7 ' B ˇ x y 3x 7x y 4z 3x y 4t F 3 4F 3 F F 4 4F 4 F Per tant, les equacions implícites de G són 7x y 4z D I 3x y 4t D aleshores, per demostrar que F G hem de comprovar que els vectors de la base de F també pertanyen a G, és a dir, que compleixen les equacions implícites de G. El vector.3; ; 3; / les compleix, ja que 7.3/./ 4.3/ D ; 3.3/ 4./ D i el vector.5; 3; ; 3/ també les compleix, ja que 7.5/.3/ 4./ D 3.5/ 3 4.3/ D Per tant, F G i, com que els dos subespais tenen dimensió, es compleix que F D G.. Donada la base de R 3, B D f.; ; /;.; ; /;. ; ; /g (a Escriviu la matriu del canvi de base de B a B c. (b Escriviu les equacions del canvi de base corresponent. (c Si el pla H té equació x y 3z D en la base B, quina és la seva equació en la base canònica?

71 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 7 (a És evident que la matriu del canvi de base de la base B a la base canònica és.r 3 ; B/.R 3 ; B c / Eu Eu on (b Les equacions d aquest canvi de base són x D x y z >= y D x y z z D x y >; (c Per calcular l equació del pla H en la base canònica hem de posar.x ; y ; z / en funció.x; y; z/ i substituir. om que la inversa de la matriu és tenim que les equacions del canvi de base de B c a B són Finalment, en substituir obtenim que x D x y z >= y D x y z >; D y z x y 3z D x y z. x y/ 3. y z/ D 4x y z ; és a dir, l equació del pla H en la base canònica és 4x y z D.

72 7 Espais vectorials. Siguin B D fee ; Ee g i B D feu ; Eu g dues bases de R tals que la matriu del canvi de base de B a B és 3 4 D (a Expresseu Eu i Eu com a combinació lineal dels vectors Ee i Ee. (b Si l equació del subespai H en la base B és 3x y D, quina és la seva equació en la base B? De la matriu del canvi de base.r ; B /.R ; B / Eu Eu podem dir directament que Ee D 3Eu Eu Ee D 4Eu Eu i que les equacions d aquest canvi de base són x D 3x 4y y D x y (a Per expressar Eu i Eu com a combinació lineal dels vectors Ee i Ee, podem calcular la matriu del canvi de base de B a B, que és precisament.r ; B /.R ; B / Eu Eu Per tant, D 4 3 Eu D Ee Ee Eu D 4Ee 3Ee

73 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 73 (b om que ja tenim.x ; y / en funció de.x ; y /, només hem de substituir 3x y D 3.3x 4y /. x y / D 8x y D ; és a dir, l equació de H en la base B és 8x y D.. L equació d un pla de R 3 en la base B D f.; ; /;.; ; /;.; ; /g és x y z D. alculeu la seva equació en la base B D f.; ; /;.; ; /;.; ; /g. De les dades de l enunciat podem escriure directament la matriu del canvi de base de B a B c i la del canvi de base de B a B c.r 3 ; B /.R 3 ; B c / Eu Eu.R 3 ; B / D.R 3 ; B c / Eu Eu on, i Per o obtenir l equació del pla en la base B, necessitem tenir.x ; y ; z / en funció de.x ; y ; z /. questa relació es correspon amb la matriu del canvi de base de B a B.R 3 ; B /.R 3 ; B c / D.R 3 ; B / Eu Eu Eu D És immediat que i que D ;

74 74 Espais vectorials per x y x y z Finalment, només cal substituir a l equació del pla o bé x D x y z >= y D x y z D x z >; x y z D.x y z /.x y /. x z / D x 3y D Per tant, l equació del pla en la base B és x 3y D. 3. L equació implícita del pla vectorial P de R 3 en la base B D f.; ; /;.; ; /;.; ; /g és x y z D i les equacions implícites de la recta vectorial R en la base canònica són x y z D x y z D (a alculeu l equació implícita de P en la base canònica. (b Trobeu els valors de per als quals la recta R està continguda al pla P. (a Per a obtenir les equacions implícites de P en la base canònica, necessitem l expressió de les components.x ; y ; z / en funció de.x; y; z/. questa relació es correspon amb el canvi de base de B c a B. De les dades de l enunciat podem escriure directament la matriu del canvi de base de B a B c. leshores, la matriu del canvi de base que estem buscant serà la inversa d aquesta.r 3 ; B /.R 3 ; B c / Eu Eu.R 3 ; B c /.R 3 ; B / Eu Eu on

75 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 75 És immediat que la inversa d aquesta matriu és ; i que l expressió de.x ; y ; z / en funció de.x; y; z/ és x D z >= y D x y z >; D y z ixí, l equació del pla en la base canònica és x y z D z.x y/.y z/ D x 3y z D (b Per tal que la recta estigui inclosa en el pla s ha de complir que el sistema d equacions x y z D >= x y z D >; x 3y z D sigui compatible indeterminat, o bé que ˇ 3 ˇ D om que aquest determinat dóna 5 inclosa en el pla és D. 5, resulta que l únic valor de per al qual la recta està

76 76 Espais vectorials

77 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 77 4 L espai vectorial euclidià 4. L espai vectorial euclidià. Trobeu els dos vectors unitaris de R 3 que formen angles de 45 ı i 35 ı amb els vectors Eu D.3; 4; 5/ i Ev D.; ; /, respectivament. Hem de trobar els vectors de la forma Ew D.a; b; c/ amb a b c D que compleixin cos 45 ı D p D 3a 4b 5c p 5 H 3a 4b 5c D 5 cos 35 ı D p D a c p H a c D Per tant, hem de resoldre el sistema d equacions següent 3a 4b 5c D 5 >= a c D >; a b c D

78 78 L espai vectorial euclidià De la segona equació tenim que a D c i, substituint a la primera, obtenim que Finalment, substituïm a la tercera equació 3.c / 4b 5c D 5 4b 8c D 8 b D c.c /. c / c D c c 4c 8c 4 c D 6c c 4 D La solució d aquesta equació de segon grau, que simplificada és 3c c D 5 p5 4 6 D 5 6 Els dos vectors que compleixen les condicions de l enunciat són D ( = 3 5c D, és Ew D.; ; / i Ew D. ; ; / 3. Els vectors de la base B D feu ; Eu ; Eu 3 g compleixen que k Eu k D k Eu k D, k Eu 3 k D, Eu i Eu formen un angle de 6 ı, Eu i Eu 3 són perpendiculars i Eu i Eu 3 formen un angle de ı. Donats els vectors Eu D Eu Eu Eu 3 i Ev D Eu Eu 3Eu 3, calculeu l angle que formen. Sabem que cos.eu; Ev/ D Eu Ev k Eu kk Ev k ; aleshores, per poder calcular el producte escalar Eu Ev i les normes d aquests dos vectors necessitem saber els productes dels vectors de la base B entre ells Eu Eu D cos ı D Eu Eu D cos 6 ı D = Eu Eu 3 D cos ı D Eu Eu D cos ı D Eu Eu 3 D cos ı D Eu 3 Eu 3 D cos ı D 4

79 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 7 Per tant, Eu Ev D.Eu Eu Eu 3 /.Eu Eu 3Eu 3 / D = 3 D 3 ; k Eu k D Eu Eu D.Eu Eu Eu 3 /.Eu Eu Eu 3 / D 4 4 D ; i Per tant, k Ev k D Ev Ev D.Eu Eu 3Eu 3 /.Eu Eu 3Eu 3 / D = = D 33 ; cos.eu; Ev/ D 3 = 3 p 33 D 3 6 p 33.Eu; Ev/ D 63 ı Observació Una altra manera de calcular els productes escalars és a partir de la matriu del producte escalar Eu Eu Eu Eu Eu Eu 3 = G Eu Eu Eu Eu Eu Eu 3 = I Eu 3 Eu Eu 3 Eu Eu 3 Eu 3 4 aleshores Eu Ev Eu Eu Ev Ev D = = 4 = = 4 = = D 3 3 D Demostreu les igualtats següents relatives a la norma i al producte escalar. (a Eu Ev D.k Eu k k Ev k k Eu Ev k /. (b Eu Ev D 4 k Eu Ev k 4 k Eu Ev k.

80 8 L espai vectorial euclidià (a omprovarem que k Eu k k Ev k k Eu Ev k D Eu Ev k Eu k k Ev k k Eu Ev k D Eu Eu Ev Ev.Eu Ev/.Eu Ev/ D Eu Eu Ev Ev Eu Eu Eu Ev Ev Eu Ev Ev D Eu Ev (b De manera semblant, comprovarem que k Eu Ev k k Eu Ev k D 4Eu Ev k Eu Ev k k Eu Ev k D.Eu Ev/.Eu Ev/.Eu Ev/.Eu Ev/ D Eu Eu Eu Ev Ev Eu Ev Ev Eu Eu Eu Ev Ev Eu Ev Ev D 4Eu Ev 4. L equació del pla H en la base B D 3.; ; /; 3.; ; /;.; ; / 3 és 3x y 4z D. Trobeu l equació del pla H en la base canònica. En aquest cas, la base B és ortonormal, per tant, el vector Ew que en aquesta base té components.3; ; 4/ és perpendicular al pla H. Per calcular les components de Ew en la base canònica, tenim el canvi de base.r 3 ; B /.R 3 ; B c / Eu Eu on 3

81 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 8 Per tant, les components del vector Ew en la base canònica són 3 4 i l equació del pla H en la base canònica és 5x y D. Observació Si l equació d un pla P en una base B D feu ; Eu ; Eu 3 g és ax by cz D, el vector Ew D aeu b Eu c Eu 3 no és, en general, perpendicular al pla. Només podem afirmar-ho en el cas que la base B sigui ortonormal. 5. L equació del pla P de R 3 en la base B D f.; ; /;.; ; /;.; ; /g és x y z D, mentre que les components en la base B D f.; ; /;.; ; /;.; ; /g d un generador de la recta R són. ; ; /. (a Digueu si la recta R està continguda o no en el pla P (b Digueu si la recta R és ortogonal o no al pla P. Observació Per fer qualsevol de les dues comprovacions hem de tenir el pla (una base o l equació implícita i la recta (un generador o les equacions implícites expressades en la mateixa base. Per a comprovar si la recta està continguda en el pla, qualsevol de les tres bases de l enunciat, B, B i B c, serviria. En canvi, per comprovar la perpendicularitat, intervé el producte escalar, i aquest és més fàcil de calcular en la base canònica. Per tant, calcularem l equació implícita del pla P en la base canònica i les components del generador de R també en la base canònica. Per calcular l equació implícita de P en la base canònica necessitem l expressió de les components.x ; y ; z / en funció de.x; y; z/. questa relació es correspon amb el canvi de base de B c a B. De les dades de l enunciat podem escriure directament la matriu del canvi de base de B a B c. leshores,.r 3 ; B /.R 3 ; B c / Eu Eu.R 3 ; B c /.R 3 ; B / Eu Eu

82 8 L espai vectorial euclidià on Si.x; y; z/ són les components canòniques d un vector qualsevol, es compleix que x y ; z z és a x y z y z y z ; d on x D.x y z/ y D.x y z/ >= z D. x y z/ >; Llavors, l equació del pla P en la base canònica B c s obté de x y z D.x y z/.x y z/. x y z/ D x y z D D altra banda, les components del generador de la recta R en la base canònica són.; ; /.; ; /.; ; / D. ; ; / Per tant, resumint (a om que el vector. ; ; / (components en la base canònica del generador de R no compleix l equació (en la base canònica de P, tenim que la recta R no està inclosa en P. (b I com que. ; ; / no és múltiple del vector. ; R tampoc és ortogonal al pla P. ; / ortogonal a P, deduïm que la recta

83 Àlgebra Lineal. Problemes resolts Trobeu una base ortogonal del subespai de R 4 generat pels tres vectors següents.; ; ; /,.; 3; ; / i.; ; ; /. En primer lloc, és fàcil veure que aquests tres vectors són linealment independents. Si posem Eu D.; ; ; /, Eu D.; 3; ; / i Eu 3 D.; ; ; /, obtindrem una base ortogonal del subespai aplicant el mètode de Gram-Schmidt Ev D Eu D.; ; ; / I Eu Ev Ev D Eu Ev D.; 3; ; / Ev Ev D.; ; 3; / I 6.; ; ; / 6 Ev 3 D Eu 3 Eu 3 Ev Ev Ev Ev Eu 3 Ev Ev Ev Ev D.; ; ; / D.; ; ; / 3.; ; 3; / D.; ; ; / 3 6.; ; ; / 4.; ; 3; / Tenim en compte que podem multiplicar qualsevol d aquests vectors per coeficients no nuls, tenim que la base formada pels vectors.; ; ; /,.; ; 3; / i.; ; ; / és una base ortogonal d aquest subespai. 7. Sigui F el subespai de R 3 que té equació implícita x y 3z D. Trobeu una base ortonormal de F. En primer lloc hem de trobar una base d aquest subespai. ïllant la x de l equació implícita, tenim que x D y 3z. leshores, els vectors de F són els de la forma.x; y; z/ D.y 3z; y; z/ D y.; ; / z. 3; ; / ; és a dir, F D h.; ; /;. 3; ; /i

84 84 L espai vectorial euclidià leshores posem Eu D.; ; / i Eu D. 3; ; / i apliquem el mètode de Gram-Schmidt Ev D Eu D.; ; / I Eu Ev Ev D Eu Ev D. 3; ; / 6.; ; / Ev Ev 5 D. 3; 6; 5/ 5 També podem prendre un múltiple d aquest segon vector, és a dir, els vectors.; ; / i. 3; 6; 5/ són una base ortogonal de F. Finalment, dividint aquests dos vectors per la seva norma, obtenim una base ortonormal de F f p 5.; ; / ; p 7. 3; 6; 5/g 8. Sigui B D fee ; Ee ; Ee 3 g una base de R 3 tal que k Ee k D, k Ee k D p, k Ee 3 k D p 3, Ee Ee D, Ee Ee 3 D i Ee Ee 3 D. Trobeu una base ortogonal i una base ortonormal de R 3 expressada en termes dels vectors Ee, Ee i Ee 3. omencem amb la base B i apliquem el mètode de Gram-Schmidt als seus vectors. om a ajuda a l hora de calcular els productes escalars entre els diferents vectors que apareixeran a l exercici, escrivim la taula Ee Ee D Ee Ee D Ee 3 Ee 3 D 3 Ee Ee D Ee Ee 3 D Ee Ee 3 D Ev D Ee I Ev D Ee Ee Ev Ev Ev Ev D Ee Ee Ee Ee Ee Ee D Ee Ee D Ee Ee I Ee 3 Ev Ee 3 Ev Ee 3 Ee Ee 3. Ee Ee / Ev 3 D Ee 3 Ev Ev D Ee 3 Ee Ev Ev Ev Ev Ee Ee. Ee Ee /. Ee Ee /. Ee Ee / D Ee 3 Ee. Ee Ee / D Ee 3 Ee. Ee Ee / D Ee Ee 3

85 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 85 Per tant, la base B D fee ; Ee Ee ; Ee Ee 3 g és una base ortogonal de R 3. Ja hem calculat a l apartat anterior que k Ev k D k Ee k D i que k Ev k D k Ee Ee k D. D altra banda, k Ev 3 k D. Ee Ee 3 /. Ee Ee 3 / D 3 D És a dir, en aquest cas la base B ja és una base ortonormal de R 3.. Una base amb orientació positiva B D fee ; Ee ; Ee 3 g de R 3 compleix que k Ee k D, k Ee k D p, k Ee 3 k D p 3, Ee Ee D, Ee Ee 3 D i Ee Ee 3 D. alculeu el producte vectorial dels vectors Eu i Ev que en aquesta base tenen components.; ; / i.; 3; /. l exercici anterior hem vist que B D fee ; Ee Ee ; Ee Ee 3 g és una base ortonormal de R 3 i, com que, ˇ ˇ D ; resulta que B D fee ; Ee Ee ; Ee Ee 3 g és una base ortonormal positiva de R 3. alculem ara les components de Eu i Ev en la base B la matriu del canvi de base de B a B és ; aleshores, és immediat que la matriu del canvi de base de B a B és Les components de Eu i Ev en la base B 3 5

86 86 L espai vectorial euclidià om que B és una base ortonormal positiva, podem calcular el producte vectorial dels vectors Eu i Ev mitjançant un determinant Ev Ev Ev 3 Eu ^ Ev D ˇ 6 5 ˇ D Ev 6Ev Ev 3 D Ee 6. Ee Ee /. Ee Ee 3 / D 7Ee 8Ee Ee 3 Eu ^ Ev D 7Ee 8Ee Ee 3, és a dir, és el vector que en la base B té components.7; 8; /.. Sigui F el subespai de R 4 generat pels vectors.; ; ; 3/ i.; ; ; /. alculeu una base i les equacions implícites de l ortogonal de F, F?. Observació Quan parlem de l ortogonal d un subespai vectorial F, és una manera abreviada de referir-se al seu suplementari ortogonal F?. alculem les equacions implícites de F?. Per això posem Eu D.; ; ; 3/ i Eu D.; ; ; /, aleshores un vector Ev D.x; y; z; t/ de R 4 pertany a F? si, i només si, Eu Ev D Eu Ev D Per tant, les equacions implícites de F? són x y z 3t D x y z t D Finalment, per trobar una base de F? hem de resoldre el sistema format per aquestes equacions implícites, i per això hem de triangular la matriu associada a aquest sistema, 3 3 F F F ' La solució general d aquest sistema és x y z 3t D H y z t D x.z t/ z 3t D y D z t H x D t y D z t

87 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 87 Per tant, F? D h.; ; ; /;. ; ; ; /i. L equació implícita del subespai F de R 3 és x y z D. alculeu una base i les equacions implícites de F?. És evident que l equació implícita de F la podem escriure x D y són els de la forma z, per tant, els vectors de F.x; y; z/ D.y z; y; z/ D y.; ; / z. ; ; / i una base d aquest subespai és B D f.; ; /;. ; ; /g. leshores, pel mateix raonament de l exercici anterior tindrem que les equacions implícites de F? són x y D x z D És immediat que la solució general d aquest sistema d equacions és y D z D x x H F? D h.; ; /i Evidentment, aquest últim resultat l haguéssim pogut escriure directament de l equació implícita de F.. Els vectors d una base B D fee ; Ee g de R compleixen que Ee Ee D, Ee Ee D i Ee Ee D 5. alculeu el suplementari ortogonal del subespai generat pel vector que en la base B té components.; /. Siguin.x ; y / les components en la bese B d un vector genèric de R. leshores, F? D f.x ; y / R tals que.x ; y /.; / D g

88 88 L espai vectorial euclidià En aquest cas no estem treballant en una base ortonormal de R, per tant, per calcular el producte escalar de dos vectors hem de procedir de la manera següent.x ; y /.; / D.x Ee y Ee /.Ee Ee / D x 4x y y D 3x 8y Per tant, l equació implícita de F? en la base B és 3x 8y D i, és evident que F? D h8ee 3Ee i 3. alculeu la projecció ortogonal del vector Eu D.3; ; ; / sobre el subespai F generat pels vectors.; ; ; /,.; 3; ; /. En aquest cas, utilitzarem el mètode general per calcular la projecció ortogonal d un vector sobre un subespai, és a dir, si F D hee ; Ee i, la projeccio ortogonal del vector Ex sobre el subespai F es el vector Ex D x Ee x Ee, on x i x són solució del sistema Ee Ee Ee Ee x Ex Ee D Ee Ee Ee Ee x Ex Ee En el nostre cas, la matriu dels productes escalars dels generadors de F és 6 6 ; 6 8 mentre que la dels productes escalars del vector Eu pels generadors de F és I el sistema d equacions lineals x x D té solució x D 3 i x D 3 leshores, la projecció ortogonal de Eu sobre aquest subespai és Eu D P F.Eu/ D 3.; ; ; / 3.; 3; ; / D.; ; 4; / 3

89 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 8 4. alculeu la projecció ortogonal i el simètric del vector.3; ; 4/ respecte al subespai de R 3 generat pels vectors.; ; / i.; ; /. Recordem que si Ev ; Ev ; ; Ev n és una base ortogonal del subespai F, la projecció ortogonal del vector Ex sobre aquest subespai és Ex D P F.Ex/ D x Ev x Ev x n Ev n ; on x i D Eu Ev i Ev i Ev i ; i el simètric d aquest mateix vector Ex respecte al subespai F és Ex D S F.Ex/ D P F.Ex/ Ex Per tant, calcularem en aquest cas la projecció ortogonal i el simètric a partir d una base ortogonal de F. plicant el mètode de Gram-Schmidt, tenim que Ev D.; ; / I Ev D.; ; /.; ; /.; ; /.; ; /.; ; /.; ; / D.; ; / 7.; ; / Per tant, D 7.; 4; 5/ F D h.; ; /;.; 4; 5/i i aquests vectors són una base ortogonal d aquest subespai. leshores, P F.3; ; 4/ D.3;; 4/.;; /.;; /.;; /.3;; 4/.;4;5/.; ; /.; 4; 5/.;4;5/;4;5/ D 3.; ; /.; 4; 5/ D.; ; 4/ I 45 S F.3; ; 4/ D.; ; 4/.3; ; 4/ D. ; 3; 4/

90 L espai vectorial euclidià 5. alculeu la projecció ortogonal i el simètric del vector Eu D.3; ; 7/ respecte al pla H d equació implícita x y z D Siguin Ex i Ex les projeccions ortogonals de Ex sobre els subespais H i H?, respectivament, tal com es veu a la figura 4.. H? Ex Ex Ex H Figura 4. Projeccions ortogonals d un vector En aquest cas és més fàcil calcular directament Ex, ja que H? D h.; per tant Ex D P H?.3; ; 7/ D.3;;7/.; ;/.; ;/.; ;/ ; /i i.; ; / D.; ; / ; 6 Ex D P H?.Eu/ D.; ; / 6 D altra banda, és evident que Ex D Ex Ex, o dit d una altra manera, Ex D P H.Ex/ P H?.Ex/. Per tant, Ex D P H.Ex/ D Ex Ex D.3; ; 7/ 6.; ; / D. 4; 3; 3/ 6

91 Àlgebra Lineal. Problemes resolts De la mateixa manera que a l exercici anterior, el simètric de Ex respecte al pla H és Ex D S H.Ex/ D Ex Ex D 3. 4; 3; 3/.3; ; 7/ D. 3; 7; / 3 6. Sigui B D fee ; Ee ; Ee 3 g una base de R 3 tal que k Ee k D k Ee k D, k Ee 3 k D 3, b Ee Ee D ı, b Ee Ee 3 D ı i b Ee Ee 3 D 6 ı. Si H és el pla de R 3 generat pels vectors Ee Ee i Ee Ee 3, determineu (a una base ortogonal de H expressada en termes dels vectors Ee, Ee i Ee 3 ; (b la projecció ortogonal del vector Ew D Ee Ee Ee 3 sobre el pla H. (a En primer lloc, calculem la taula dels productes escalars dels vectors de la base B Ee Ee D 4 Ee Ee D 4 Ee 3 Ee 3 D Ee Ee D Ee Ee 3 D Ee Ee 3 D 3 leshores, aplicant la fórmula del mètode de Gram-Schmidt, obtenim Ev D Ee Ee I Ev D.Ee Ee 3 / D.Ee Ee 3 /.Ee Ee /.Ee Ee 3 /.Ee Ee /.Ee Ee /.Ee 4 3 Ee / D Ee Ee Ee Ee / 5 4.Ee Ee / ' 4.Ee Ee 3 / 5.Ee Ee / D Ee 5Ee 4Ee 3 Per tant, la base ortogonal del pla H buscada és fee Ee ; Ee 5Ee 4Ee 3 g (b plicant la fórmula del càlcul de la projecció ortogonal pel cas que la base sigui ortogonal, es té Ew D P H. Ew/ D x.ee Ee / x. Ee 5Ee 4Ee 3 / ;

92 L espai vectorial euclidià on x D.Ee Ee /.Ee Ee Ee 3 /.Ee Ee /.Ee Ee / D D 3 4 Per tant, P H. Ew/ D 3 4.Ee Ee / x D. Ee 5Ee 4Ee 3 /.Ee Ee Ee 3 /. Ee 5Ee 4Ee 3 /. Ee 5Ee 4Ee 3 / D D. Ee 5Ee 4Ee 3 / D. 8Ee 4Ee 4Ee 3 / D 3.Ee Ee Ee 3 / ixí, la projecció ortogonal del vector Ew D Ee Ee Ee 3 sobre el pla H és P H. Ew/ D 3.Ee Ee Ee 3 / 4. Solucions aproximades d un sistema lineal mínims quadrats 7. omproveu que el sistema d equacions lineals x y z D x y z D >= x z D >; x y z D és incompatible, trobeu la millor aproximació aplicant el mètode dels mínims quadrats i l error quadràtic corresponent. Triangulem la matriu del sistema per comprovar que és incompatible ' ' 3 F F F F 3 F 3 F F 4 F 4 F F 3 F 3 F

93 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 3 om que la tercera equació queda D 3, el sistema és incompatible. Ja tenim el sistema d equacions X D B on D ; x X y z i B D Obtindrem la millor aproximació pel mètode dels mínims quadrats resolent el sistema d equacions lineals t X D t B, on t B 3 4 i t B B Finalment, per resoldre aquest últim sistema, tornem a triangular la matriu F3F33F F 4F F F 3 F 3 F D aquí s obté que x D 3 4 ; y D ; z D 4 L error quadràtic és D kx Bk, on X és la solució trobada. X B D B D Per tant, D p 4 D p 6

94 4 L espai vectorial euclidià 8. Donat el sistema d equacions lineals x y D >= y z D >; ; x. /y z D (a Discutiu-lo en funció del paràmetre i resoleu-lo en els casos en què sigui compatible. (b Per als valors de que el fan incompatible, trobeu les solucions obtingudes en aplicar el mètode dels mínims quadrats i calculeu l error quadràtic corresponent a les solucions trobades. (a Estudiem aquest sistema pel mètode de ramer. En primer lloc, calculem el determinant de la matriu dels coeficients de les incògnites ˇ ˇ D. / D Les arrels de l equació compatible determinat. D són D i D. Per tant, per a ;, el sistema és Si D tenim el sistema d equacions x y D >= z D >; ; x y D que evidentment és compatible indeterminat. Finalment, si D ens queda x y D >= y z D >; x y z D amb ˇ ˇ D i el sistema és, doncs, incompatible.

95 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 5 Si ;, aplicant la regla de ramer, s obté ˇ ˇ x D D a D ˇ ˇ y D D D a ˇ ˇ z D D D I si D, és clar que la solució general del sistema és y D x z D (b Per a D, el sistema d equacions X D B y z Per aplicar el mètode dels mínims quadrats hem de resoldre el sistema t X D t @ ; z és a dir, 3 x 3 6 y 5 3 z Resolent aquest sistema triangulant la matriu corresponent s obté d on x D z y D 3z 3 >= >;

96 6 L espai vectorial euclidià L error quadràtic comès en les solucions anteriors és el mateix per a totes elles. Podem prendre, doncs, qualsevol d elles i calcular-lo. ixí, per exemple, si fem z D, tenim que x D i y D 3. Substituint aquests valors en els primers membres de cada equació i restant el terme independent, obtenim el valor buscat D s D p 3 3. justeu, pel mètode dels mínims quadrats, una recta als punts de la taula següent i dibuixeu la gràfica d aquesta recta. x 3 y 5 5 Intentem trobar una recta y D ax b que passi per aquests sis punts; aleshores els coeficients a i b hauran de complir a b D a b D b D >= o bé a a b D B D b a b D 5 >; 3 5 3a b D 5 Evidentment aquest sistema X D B és incompatible. leshores, per trobar a i b de manera que l error quadràtic sigui mínim hem de resoldre el sistema t X D t B a b D 3 i les solucions són a D ˇ ˇ ˇ ˇ D 5 35 i b D 3 ˇ 3 ˇ ˇ ˇ D 7 5

97 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 7 Per tant, l equació de la recta és y D 5x 35 7 i a la figura 4. es pot veure la seva gràfica Figura 4. y D 5x justeu, pel mètode dels mínims quadrats, una paràbola als punts de la taula següent x 4 4 y 5 4 Dibuixeu la seva gràfica i calculeu l error quadràtic comès.

98 8 L espai vectorial euclidià Intentem trobar la paràbola d equació y D ax bxc que passi per aquests sis punts. leshores els coeficients a, b i c hauran de complir 6a 4b c D 5 4a b c D 4 a b c D c D 4a b c D 6a 4b c D >= >; o bé a b c D Evidentment, aquest sistema X D B és incompatible. leshores per trobar a, b i c de manera que l error quadràtic sigui mínim hem de resoldre el sistema d equacions t X D t a b c 5 4 i les solucions són a D 3 = 4, b D = i c D = 7. Per tant, l equació de la paràbola és y D 3 4 x x 7 i a la figura 4.3 hi ha la seva gràfica. L error quadràtic comès és kx X B D Bk on la X és la solució obtinguda. En aquest 3= 4 -= = D Per tant, D 7 p D p 8 7

99 Àlgebra Lineal. Problemes resolts Figura 4.3 y D 3 4 x x 7

100 L espai vectorial euclidià

101 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 5 Transformacions lineals 5. Transformacions lineals i endomorfismes. La transformació f W R 3! R ve definida per f.x; y; z/ D.x z; x y z/ (a Demostreu, a partir de la definició, que f és una transformació lineal. (b alculeu f.; 3; / i f.4; 3/. (a Per demostrar que f és una transformació lineal hem de comprovar que es compleixen les dues propietats següents f.eu Ev/ D f.eu/ f.ev/ ; per a tot Eu; Ev R 3 I f.eu/ D f.eu/ ; per a tot Eu R 3 i R

102 Transformacions lineals Per comprovar la primera igualtat, posem Eu D.x ; y ; z / i Ev D.x ; y ; z /, aleshores f.eu Ev/ D f.x x ; y y ; z z / D..x x /.z z /; x x.y y / z z / D.x x z z ; x x y y z z / D.x z ; x y z /.x z ; x y z / D f.eu/ f.ev/ Per comprovar la segona igualtat, posem Eu D.x; y; z/, aleshores f.eu/ D f.x; y; z/ D.x z; x y z/ D.x z; x y z/ D f.eu/ Per tant, la transformació f és lineal. (b Per calcular la imatge del vector.; 3;, respectivament, / hem de substituir la x, la y i la z pels valors, 3 i f.; 3; / D.. /; 3 / D.4; 4/ Finalment, per calcular l antiimatge del vector.4; 3/ hem de trobar tots els vectors Eu R 3 tals que f.eu/ D.4; 3/. Si posem Eu D.x; y; z/ resulta que f.eu/ D.x z; x y z/ D.4; 3/ Igualant component a component, tenim el sistema d equacions x z D 4 x y z D 3 Evidentment aquest sistema és compatible indeterminat i la seva solució general és z D x 4 y D 3x 7 Per tant, l antiimatge del vector.4; 3/ és f.4; 3/ D f.x; 3x 7; x 4/ amb x R g ;

103 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 3 és a dir, la imatge de qualsevol vector de la forma.x; 3x 7; x 4/ amb x arbitrari és el vector.4; 3/.. La matriu de la transformació lineal T W R 4! R en les bases canòniques és D alculeu les imatges dels vectors.; ;.; / i. ; /. ; 3/ i. 3; ; ; / i les antiimatges dels vectors Per calcular les imatges d aquests dos vectors només cal que multipliquem la matriu per les seves components 3 3 B D i B D 3 3 ixí doncs, T.; ; ; 3/ D.3; 3/ i T. 3; ; ; / D. 5; 3/. D altra banda, per calcular les antiimatges dels vectors.; / i. ; /, hem de trobar els vectors.x; y; z; t/ tals que x x 3 B y 3 4 z D i B y 4 z D t t Podem resoldre aquests dos sistemes d equacions triangulant la matriu F F F ' És immediat que les solucions d aquests dos sistemes d equacions són x D y t 5 x D y t 4 i z D 7y 7t 3 z D 7y 7t 3 Per tant, T.; / D f. y t 5; y; 7y 7t 3; t/ amb y; t Rg T. ; / D f. y t 4; y; 7y 7t 3; t/ amb y; t Rg

104 4 Transformacions lineals 3. La matriu de la transformació lineal T W R 3! R en les bases B D fee ; Ee ; Ee 3 g de R 3 i B D feu ; Eu g de R és 3 D 4 alculeu les imatges dels vectors Ee Ee Ee 3 i 3Ee Ee 3. om a l exercici anterior, només cal multiplicar la matriu per les components dels vectors Ee Ee Ee 3 i 3Ee Ee 3 en la base B 3 D 6 i 3 4 Per tant, T.Ee Ee Ee 3 / D 6Eu i T.3Ee Ee 3 / D 7Eu 3 D La matriu de l endomorfisme T W R 3! R 3 en la base B D fee ; Ee ; Ee 3 g és alculeu les antiimatges del vector 3Ee 7Ee Ee 3. En aquest cas hem de trobar els vectors de components.x; y; z/ en la base B tals y z 3 7 Per resoldre aquest sistema d equacions, triangulem la 3 7 F F F F 3 F 3 F F3F 3F ;

105 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 5 a partir de la qual, és immediat que la solució del sistema és x D 3, y D i z D. Per tant, T. 3Ee 7Ee Ee 3 / D 3Ee Ee Ee 3 5. La transformació lineal f W R 3! R 4 queda definida en forma explícita per f.x; y; z/ D.x y 4z; x y z; 3x 5z; x 3y z/ Trobeu una base i les equacions implícites de la imatge del subespai de R 3 V D h.; ; /;. ; 3; /i (a Recordem que, si un subespai V està generat pels vectors Eu i Eu, la seva imatge està generada pels vectors f.eu / i f.eu /. En el nostre cas, f.; ; / D.; 5; ; / f. ; 3; / D.; 7; 7; 5/ ; per tant f.v / D h.; 5; ; /;.; 7; 7; 5/i. om que aquests dos vectors són linealment independents, ja formen base de f.v /, és a dir, f.; 5; ; /;.; 7; 7; 5/g és una base de f.v /. Per calcular les seves equacions implícites, podem imposar que la matriu x 5 7 y 7 z 5 t tingui rang. om que el menor d ordre format per la a. i a. files i per les columnes a. i a. és no nul, les equacions implícites s obtenen en igualar a zero els dos menors d ordre 3 següents x 5 7 y ˇ 7 z ˇ D i x 5 7 y ˇ 5 t ˇ D En conseqüència, les equacions implícites de f.v / són 7x 6y 3z D 34x 63y t D

106 6 Transformacions lineals 6. La transformació lineal f W R 3! R compleix que f.; ; 3/ D.; / >= f. 3; 3; 5/ D. ; 4/ >; f.; 3; / D.3; / alculeu f.4; 5; 4/ i f.5; 3/. El primer que podem fer en aquest cas és trobar la matriu de f en les bases canòniques. Si és aquesta matriu, s ha de complir D 3 o, el que és el mateix, D 3 3 D 3 5 D aquesta igualtat podem aïllar la matriu D D D 3 D 3 Un cop tenim la matriu de f en les bases canòniques, podem procedir com en exercicis anteriors. Per calcular la imatge del vector.4; 5; 4/, fem el producte de matrius és a dir, f.4; 5; 4/ D. ; D ; ;

107 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 7 Per obtenir les antiimatges del vector.5; / hem de trobar els vectors.x; y; z/ tals x y z i la resolució d aquest sistema d equacions és immediata D y D x 6 z D x Per tant, f.5; / D f.x; x 6; x / amb x Rg La transformació lineal f W R 3! R 3 ve donada per f.x; y; z/ D.x 3y 3z; x y 4z; x y 8z/ Trobeu una base i les equacions implícites de l antiimatge del subespai W h.4; 5; /;.3; ; /i. D En aquest cas hem de trobar tots els vectors.x; y; z/ R 3 tals que f.x; y; z/ W, és a dir, f.x; y; z/ D.4; 5; / ˇ.3; ; / Dit d una altra manera, hem de resoldre el sistema d equacions resolució que fem pel mètode de ˇ 4 5 ˇ 8 ˇ x 3y 3z D 4 3ˇ >= x y 4z D 5 ˇ >; ; x y 8z D ˇ F F F F 3 F 3 F ˇ 5 3 7ˇ 7 4 4ˇ 5 5 6ˇ 5 3 7ˇ ˇ F 3 5F 3 7F

108 8 Transformacions lineals quest sistema és compatible si ˇ D, és a dir, si D ˇ. En aquest cas la solució general és, 5z 5 x D D 3z >= 5 z y D D z >; 5 i els vectors de f.w / són els de la forma.x; y; z/ D. 3z ; z ; z/ D z. 3; ; /.; ; / Per tant, f.w / D h. 3; ; /;.; ; /i, i com que aquests vectors són linealment independents formen base de f.w /. Finalment, és evident que l equació implícita d aquest subespai és x y 8z D. 8. Siguin B D feu ; Eu g i B D fee ; Ee ; Ee 3 g bases de R i R 3, respectivament. La transformació lineal T W R! R 3 compleix que T.Eu / D Ee Ee Ee 3 T.Eu / D Ee 3Ee Ee 3 (a Escriviu la matriu de T en les bases B de R i B de R 3. (b alculeu la imatge del vector de R, Eu D 3Eu Eu, i l antiimatge del vector de R 3, Ev D Ee Ee Ee. (a De la definició de matriu d una transformació lineal en unes bases B i B és immediat que M B ;B.T / 3 (b La imatge del vector Eu D 3Eu és a dir, T.Eu/ D 7Ee 5Ee Eu és el vector que en la base B té components ;

109 Àlgebra Lineal. Problemes resolts D altra banda, l antiimatge del vector Ev D Ee Ee Ee està formada pels vectors de R de la forma Ew D x Eu x Eu tals que T. Ew/ D Ev, que en termes matricials 3 x x om que la solució del sistema d equacions x x D >= x 3x D >; x x D és x D 3, x D, tenim que f.ee Ee Ee / D 3Eu Eu.. La matriu associada a l endomorfisme T W R 3! R 3 respecte a la base canònica és 4 (a alculeu la imatge del vector Ev D. ; 3; 4/. (b Trobeu els valors de k per als quals el vector.k; 3; k/ té antiimatge i calculeu-la. (a Evidentment les components del vector Ev en la base canònica són. ; 3; 4/; aleshores, per calcular la imatge d aquest vector hem de multiplicar la matriu per aquestes Per tant, T. ; 3; 4/ D. ; 4; / (b Hem de trobar els vectors Eu D.x; y; z/ tals que T.Eu/ D.k; 3; k/. La imatge del vector Eu és x y y x 4z z y z

110 Transformacions lineals Evidentment s ha de complir que y z D k x 4z D 3 y z D >= >; k Per estudiar aquest sistema, triangulem la seva matriu 4 3 ˇ k F F F F k ˇ k 3 k ˇ k F 3 F 3 F quest sistema és compatible si, i només si, k D, és a dir, si k D. Per tant, aquest és l únic valor de k per al qual el vector.k; 3; k/ té alguna antiimatge. Per calcular-la, observem que per a aquest valor de k la solució general del sistema d equacions és x D 4z 3 y D z Per tant, T. ; 3; / D f. 4z 3; z ; z/ amb z R g. La matriu de la transformació lineal T W R! R 3 respecte a les bases B D f.; 3/;.; 5/g de R i B D f.; ; /;.3; ; /;.; 3; /g de R 3 és 3 3 alculeu la imatge de vector Eu D.; 3/ i l antiimatge del vector Ev D.; 3; 5/. La matriu associada a T respecte a les bases B de R i B de R 3 és. Podem representar aquesta situació de la manera següent

111 Àlgebra Lineal. Problemes resolts.r ; B /.R 3 ; B / Eu T.Eu/ leshores, si multipliquem la matriu per les components d un vector Eu en la base B obtenim les components de la seva imatge T.Eu/ en la base B. Si volem calcular la imatge del vector.; 3/, en primer lloc hem de trobar les seves components en la base B.; 3/ D.; 3/.; 5/ Igualant component a component, tenim el sistema d equacions D 3 5 D 3 i la solució d aquest sistema és ˇ 3 5 ˇ D ˇ D 4 D ˇ ˇ 3 3 ˇ D ˇ D 3 D ˇ Per tant, les components del vector.; 3/ en la base B són. 4; 3/. En segon lloc, hem de multiplicar la matriu per aquestes components Finalment, sabem que les components de T.; 3/ en la base B són. 7; ; 5/. Per tant, T.; 3/ D 7.; ; /.3; ; / 5.; 3; / D.; ; 5/ Per fer la segona part de l exercici, calculem la matriu de T en les bases canòniques de R i R 3, que representarem per B. Per obtenir-la, hem d aplicar la fórmula del canvi de base per a transformacions lineals

112 Transformacions lineals.r ; B c /.R ; B /.R 3 ; B / D.R 3 ; B c / Eu Eu T.Eu/ T.Eu/ B D D on és la matriu del canvi de base de B a B c i D és la matriu del canvi de base de B a B c, és a dir, 3 D i D leshores, 3 B Per calcular l antiimatge del vector.; 3; 5/ hem de trobar els vectors.x; y/ R tals que T.x; y/ D.; 3; 5/, és a x y 3 5 o bé 7x 5y D >= 5x 4y D 3 >; x 3y D 5 Evidentment, el rang de la matriu dels coeficients de les incògnites és ; per saber si el rang de la matriu ampliada és o 3 calculem el seu determinant ˇ 3 5 ˇ D 4 6D Per tant, el sistema és incompatible i podem assegurar que el vector.; 3; 5/ no té antiimatges. Observació una vegada calculada la matriu de T en la base canònica també haguéssim pogut obtenir la imatge del vector.; 3/ mitjançant un senzill producte de matrius

113 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 3. La transformació lineal T W R! R 3 compleix que T.3; 4/ D. ; 3; / T.; 3/ D.3; 4; / (a alculeu la matriu de T respecte a les bases canòniques de R i R 3. (b Si B D f.; /;.; 5/g i B D f. 3; 3; /;.; ; /;. ; ; /g, calculeu la matriu de T en les bases B de R i B de R 3. (a La matriu de T en les bases canòniques de R i R 3, diguem-li, ha de complir les igualtats següents i Podem escriure aquests dues igualtats en una única igualtat matricial ; de la qual és fàcil aïllar la matriu (b Tenim ara que la matriu de T respecte a les bases canòniques de R i R 3 és i ho representem.r ; B c /.R 3 ; B c / Eu T.Eu/

114 4 Transformacions lineals Finalment, per calcular la matriu de T respecte a les bases B de R i B de R 3 hem de fer un canvi de base a l espai de sortida i un canvi de base a l espai d arribada.r ; B /.R ; B c /.R 3 ; B c / D.R 3 ; B / Eu Eu T.Eu/ T.Eu/ F D D on és la matriu del canvi de base B a B c i D és la matriu del canvi de base de B a B c, és a dir D 5 i D 3 3 leshores, és immediat que D i per tant, la matriu de f respecte a les bases B de R i B de R 3 és F D D @ L endomorfisme f W R 3! R 3 ve definit per f.x; y; z/ D.x 3y z; x y 4z; x 3y z/ alculeu la matriu associada a f respecte a la base B D f.; ; 3/;.; ; /;.; ; /g.

115 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 5 alculem en primer lloc la matriu associada a f respecte a la base canònica. Per això, hem de calcular les imatges dels vectors d aquesta base f.; ; / D.; ; / ; f.; ; / D.3; ; 3/ ; f.; ; / D. ; 4; / leshores, la matriu associada a f respecte a la base canònica B c és i la podem representar de la forma següent.r 3 ; B c /.R 3 ; B c / Eu f.eu/ Per calcular la matriu associada a f respecte a la base B hem d aplicar la fórmula del canvi de base amb un canvi de base a l espai de sortida i un canvi de base a l espai d arribada. quests dos canvis els representem a l esquema següent.r 3 ; B/.R 3 ; B c /.R 3 ; B c /.R 3 ; B/ Eu Eu f.eu/ f.eu/ B D on és la matriu de les components dels vectors de la base B en la base canònica, és a dir, ; 3 i la seva inversa és

116 6 Transformacions lineals leshores, la matriu associada a f respecte a la base B és B B Respecte a la base B D f.; 3/;.; 4/g, l endomorfisme f W R! R té associada la matriu 4 D 6 4 alculeu la matriu associada a f respecte a la base canònica. Sabem que la matriu associada a f respecte a la base B és i ho representem de la forma següent.r ; B/.R ; B/ Eu f.eu/ leshores per calcular la matriu associada a f respecte a la base canònica hem de fer un canvi de base a l espai de sortida i un canvi de base a l espai d arribada.r ; B c /.R ; B/.R ; B/.R ; B c / Eu Eu f.eu/ f.eu/ B D on és la matriu del canvi de base de B a B c, és a dir D 3 4

117 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 7 leshores, la seva inversa és D 4 3 i la matriu associada a f respecte a la base canònica és B D 4 D D B D La matriu de l endomorfisme T de R 3 en la base B D f.; ; /;.; ; /;.; ; /g és (a alculeu la matriu de T en la base canònica. (b Quin és el rang d aquest endomorfisme? (c omproveu que les traces de les matrius i coincideixen. (a Per calcular la matriu de T en la base canònica, fem servir l esquema del canvi de base següent.r 3 ; B c /.R 3 ; B /.R 3 ; B /.R 3 ; B c / Eu Eu T.Eu/ T.Eu/ D on és la matriu de T en la base canònica i és la matriu del canvi de base de B a B c

118 8 Transformacions lineals Per tant, (b Evidentment, el rang de l endomorfisme és 3. (c En els dos casos, t D, t D i t 3 D. 5. Sigui B D fee ; Ee ; Ee 3 g una base de R 3 i f W R 3! R 3 l endomorfisme que compleix f.ee / D Ee Ee Ee 3 >= f.ee / D Ee 3Ee 3 >; Nuc f D h Ee Ee Ee 3 i (a alculeu la matriu associada a f respecte a la base B. (b alculeu la matriu associada a f respecte a la base B D fee ; Ee Ee ; Ee 3 Ee Ee g. (a Per conèixer la matriu associada a f respecte a la base B, hem de tenir les imatges dels vectors d aquesta base expressades també en aquesta base. Ja sabem quines són les imatges dels vectors Ee i Ee. Per calcular la imatge del vector Ee 3 sabem que Ee Ee Ee 3 pertany al nucli de f, és a dir, f.ee Ee Ee 3 / D E leshores f.ee / f.ee / f.ee 3 / D E.Ee Ee Ee 3 /. Ee 3Ee 3 / f.ee 3 / D E Ee 4Ee Ee 3 Ee 3Ee 3 f.ee 3 / D E 4Ee 4Ee Ee 3 f.ee 3 / D E f.ee 3 / D 4Ee 4Ee Ee 3

119 Àlgebra Lineal. Problemes resolts Per tant, la matriu associada a f respecte a la base B és (b Una vegada hem calculat la matriu de f en la base B, ho representem de la forma següent.r 3 ; B /.R 3 ; B / Eu f.eu/ Per calcular la matriu associada a f respecte a la base B hem de fer un canvi de base a l espai de sortida i un canvi de base a l espai d arribada.r 3 ; B /.R 3 ; B /.R 3 ; B /.R 3 ; B / Eu Eu T.Eu/ T.Eu/ B D on és la matriu del canvi de base de B a B, és a dir, Es veu, doncs, que la seva inversa és i la matriu associada a f respecte a la base B és B @

120 Transformacions lineals B L endomorfisme f W R 3! R 3 té associada, respecte a la base canònica, la matriu 5 5 (a alculeu una base i les equacions implícites de Nuc f i d Im f. (b Indiqueu si és injectiu, exhaustiu o bijectiu. (a El nucli de f està format per tots els vectors.x; y; z/ tals que f.x; y; z/ D.; ; /, és a dir, y 5 z Multiplicant aquestes matrius i igualant els coeficients, tenim el sistema d equacions x y z D >= x y 5z D >; x y 5z D i el resolem triangulant la seva 5 5 F F F F 3 F 3 F F 3F F F 3 3F 3 F Observem que la matriu inicial d aquest sistema és la mateixa que la matriu associada a l endomorfisme f. La seva solució general és x D z y D 3z

121 Àlgebra Lineal. Problemes resolts Per tant, els vectors de Nuc f són els de la forma.x; y; z/ D. z; 3z; z/ D z. ; 3; / i Nuc f D h. ; 3; /i. Per calcular les equacions implícites de Nuc f, triangulem la matriu x 3 y y 3x ˇ z ˇ z x F F 3F F 3 F 3 F Per tant, les equacions implícites de Nuc f són 3x y D x z D D una banda, sabem que Im f és el subespai generat pels vectors.; ; /,. ; ; / i. ; 5; 5/ i, de l altra, sabem que dim Im f D, ja que dim Nuc f D i dim R 3 D dim Nuc f dim Im f om que els dos primers d aquests vectors són linealment independents podem assegurar que una base d Im f és f.; ; /;. ; ; /g Finalment, l equació implícita d Im f és x y D 5x y 3z D ˇ z ˇ b om que Nuc f 6D feg l endomorfisme no és injectiu i com que Im f R 3 l endomorfisme no és exhaustiu. Evidentment tampoc és bijectiu. 7. Estudieu la transformació lineal f W R 4! R 3 que respecte a les bases canòniques té associada la matriu 5 ; 3 és a dir, indiqueu si és injectiva, exhaustiva o bijectiva.

122 Transformacions lineals Per calcular el nucli de f hem de resoldre el sistema x 5 B z D 3 t leshores, triangulem la matriu corresponent F F F F 3 F 3 F F 3 F 3 F quest sistema és compatible indeterminat i la seva solució general és x y 5. 5t/ 3t D >= x t 5. 5t/ 3t D >= y 3. 5t/ 3t D >; H y D t >; H z D 5t z D 5t x D 7t y D z D t 5t >= >; Per tant, Nuc f D h.7; ; 5; /i i la transformació f no és injectiva. D altra banda, tenim que dim Im f D dim R 4 dim Nuc f D 4 D 3 ; és a dir, Im f és un subespai de R 3 de dimensió 3. Per tant, Im f D R 3 i la transformació f és exhaustiva. En no ser f injectiva, tampoc és bijectiva. 8. Estudieu, segons els valors del paràmetre a, l endomorfisme f W R 3! R 3 que respecte a la base canònica té associada la matriu a a a a 3 a

123 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 3 Sabem que la dimensió d Im f coincideix amb el rang de la matriu. leshores anem a calcular per a quins valors de a el rang d aquesta matriu és 3; és a dir, per a quins valors de a el seu determinant és diferent de zero. ˇ a a a a 3 a D.a /. a/a a.a / ˇ a. a/ 3.a /.a / 4a D a 3 6a 4a a a a a 3a 3a 6 4a D a 3 a 6a 8 La primera solució de l equació a 3 a 6a 8 D l hem de calcular pel mètode de Ruffini i les altres s obtenen de l equació a a 8 D a D p D 4 D ( 3 3 leshores, si a 6D i 3, el determinant de la matriu és diferent de zero i la dimensió d Im f és 3. Per tant, Im f D R 3, Nuc f D feg i l endomorfisme f és bijectiu. Si a D, la matriu associada a f 3 3 El determinant d aquesta matriu és zero i els dos primers vectors-columna són linealment independents; per tant, el rang d aquesta matriu és. leshores, dim Im f D, dim Nuc f D i l endomorfisme no és injectiu ni exhaustiu.

124 4 Transformacions lineals Si a D 3, la matriu associada a f Evidentment, el rang d aquesta matriu és ja que els tres vectors-columna són múltiples de.; ; 3/. Per tant, dim Im f D, dim Nuc f D i l endomorfisme no és injectiu ni exhaustiu. 5. Diagonalització. nalitzeu si la matriu és o no diagonalitzable (a Polinomi característic i valors propis El polinomi característic d aquesta matriu és p.x/ D ˇ x 3 x 3 x 6 ˇ D.x /.x /.x 6/.x / 3.x / 3.x 6/ D x 3 7x 4x x 4 3x 3 3x 8 D x 3 7x 6x Els valors propis d aquesta matriu són les arrels del polinomi característic. La primera, hem de buscar-la pel mètode de Ruffini

125 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 5 Les altres dues arrels s obtenen en resoldre l equació x 5x 6 D x D 5 p5 4 D 5 p ( D 5 3 D Per tant, els tres valors propis de l endomorfisme són D amb multiplicitat i D 3. (b Vectors propis Els vectors propis d aquesta matriu són els nuclis de les matrius I i 3I. om a l exercici anterior, aquests nuclis es calculen resolent un sistema d equacions. àlcul de Nuc. I / Recordem que el nucli de la matriu I està format pels vectors tals que. I /X D i que per calcular-lo, només cal que triangulem aquesta matriu i trobem els vectors que multiplicats per la matriu donen zero. I Per tant, Nuc. I / D h.3; ; / i. 3x 3y z D 3y 3z D F 3F F F 3 3F 3 F H x D 3z y D z De la mateixa manera que en el cas anterior, per calcular Nuc. i trobem els vectors que multiplicats per ella donen zero I 3 3 Per tant, Nuc. F 4F F F 3 4F 3 F 4x 3y z D 3I / D h.3; ; /i. y D I /, triangulem aquesta matriu F3F3F ' H x D 3z y 4 3 En aquest cas el valor propi té multiplicitat, però dim Nuc. I / D ; per tant, la matriu no és diagonalitzable. És a dir, si f W R 3! R 3 és l endomorfisme que respecte a la base canònica té associada la matriu, no existeix cap base de R 3 en la qual diagonalitzi l endomorfisme f. Dit d una altra manera, no existeix cap matriu regular tal que sigui diagonal.

126 6 Transformacions lineals. Diagonalitzeu l endomorfisme f W R 3! R 3 que, respecte a la base canònica, té associada la matriu i expresseu la matriu diagonal obtinguda en funció de i la matriu del canvi de base. (a Valors propis. En primer lloc, hem de calcular el polinomi característic d aquest endomorfisme x p.x/ D 8 x 6 3 ˇ 8 8 x 5 ˇ D.x /.x 6/.x 5/ x 6/ 4.x / 8.x 5/ D x 3 3x x 48 4x 4 8x 4 D x 3 7x 6 Els valors propis d aquest endomorfisme són les arrels del polinomi característic. La primera, hem de buscar-la pel mètode de Ruffini Les altres dues arrels s obtenen en resoldre l equació x x 6 D x D p 4 D p5 D 5 D ( 3 Per tant, els tres valors propis de l endomorfisme són D, D i 3 D característic es descompon en factors de la manera següent 3 i el polinomi p.x/ D.x /.x /.x 3/ (b Vectors propis

127 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 7 Els vectors propis de f són els nuclis dels endomorfismes I, I i 3I. Triangulem, doncs, aquestes matrius i trobem els vectors que multiplicats per elles donen zero. I F F 3 F F F 3 F 3 F F3F3F ' 8 8 quest sistema és compatible indeterminat i la solució general és 8x 8y 4z D 8x 8. z/ 4z D H y z D y D z H x D z = y D z ; Per tant, el subespai de vectors propis amb valor propi és Nuc. I / D h.; ; /i De la mateixa manera es calculen els vectors propis corresponents als valors propis i 3 I x y z D 5z D F F 8F F 3 F 3 F H x D y z D Per tant, el subespai de vectors propis amb valor propi és Nuc. I / D h. ; ; /i 3I x y z D 5y 5z D F F F F 3 F 3 F H x. z/ z D y D Per tant, el subespai de vectors propis amb valor propi z 3 és Nuc. 3I / D h.; ; /i F3F3F ' H x D y D z 5 5

128 8 Transformacions lineals leshores, l endomorfisme f és diagonalitzable i la matriu de f en la base de vectors propis B D f.; ; /;. ; ; /;.; ; /g és D 3 La relació entre les matrius, D i és la mateixa que en la fórmula del canvi de base per a endomorfismes.r 3 ; B/.R 3 ; B c /.R 3 ; B c /.R 3 ; B/ Eu Eu f.eu/ f.eu/ D D on és la matriu del canvi de base de B a B c, és a dir, D nalitzeu si la matriu digonalitza i, en cas afirmatiu, trobeu una base de vectors propis i la matriu diagonal. (a Polinomi característic i valors propis Els coeficients del polinomi característic d una matriu també es poden calcular a partir dels determinants dels seus menors p.x/ D x 4 t x 3 t x t 3 x t 4 ;

129 Àlgebra Lineal. Problemes resolts on t k és la traça d ordre k de la matriu. 3 5 t 4 D D 3 5 ˇ ˇ ˇ 3 ˇ D D D ; ˇ ˇ ˇ ˇ t 3 D ˇ ˇ ˇ D 3 D ; t D 3 ˇ 3 ˇ 5 ˇ ˇ ˇ D D ; t D 3 D ˇ ˇ 5 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 3 6 ˇ ˇ 3 4 ˇ ˇ ˇ Per tant, el polinomi característic d aquesta matriu és p.x/ D x 4 arrels les podem buscar pel mètode de Ruffini x. Les dues primeres Les altres dues arrels són les solucions de l equació x x D x D p4 ( 4 D D Per tant, els valors propis d aquesta matriu són D amb multiplicitat i D, també amb multiplicitat. És a dir, la descomposició en factors del polinomi característic d aquesta matriu és p.x/ D.x /.x /

130 3 Transformacions lineals (b Vectors propis Els vectors propis de la matriu són els nuclis dels endomorfismes I D B 6 3 ' 3x 3y 5z t D 8z 8t D ' H F 3F F F 3 3F 3 F F 4 3F 4 F x 3y 5t t D z D t I i I. leshores, F 3 F 3 F F 4 4F 4 F H x D y t z D t Per tant, Nuc. I / D h. ; ; ; /;.; ; ; /i. àlcul de Nuc. I / I D x 3y 5z t D y 4z D ' H F F F F 3 F 3 F F 4 F 4 F ' x 3.z/ 5z t D y D z F 3 F 3 F F 4 F 4 F H x D z t y D z Per tant, Nuc. I / D h. ; ; ; /;. ; ; ; /i. Les dimensions de Nuc. I / i Nuc. I / coincideixen amb les multiplicitats dels valors propis corresponents; per tant, la matriu és diagonalitzable. És a dir, si f és l endomorfisme de R 4 definit en la base canònica per la matriu, aleshores la matriu de f en la base B D f. ; ; ; /;.; ; ; /;. ; ; ; /;. ; ; ; /g

131 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 3 és omproveu que la matriu és diagonalitzable i calculeu k (a Valors propis El polinomi característic d aquesta matriu és p.x/ D x 3 t x t x t 3 ; on t k és la traça d ordre k de la matriu 6 6 t 3 D 3 4 D D ; ˇ 5 6 ˇ t D ˇ 6 3 ˇ 6 ˇ 6 ˇ 3 4 ˇ 5 6 ˇ D 6 D ; t D 3 6 D El polinomi característic és p.x/ D x 3 x x. La primera arrel podem calcular-la pel mètode de Ruffini 3 3 Les altres dues arrels són solució de l equació x 3x D x D 3 p 8 D 3 p D 3 D (

132 3 Transformacions lineals Per tant, els valors propis de la matriu són D, D i 3 D. En ser els tres diferents, podem assegurar que la matriu és diagonalitzable. (b Vectors propis Els vectors propis són els nuclis dels endomorfismes I, I i I. àlcul de Nuc. I / 6 6 I x y 4z D 6y 6z D F F F F F 3 F 3 F H x. z/ 4z D y D z F3F3F ' 6 6 H x D z y D z Per tant, Nuc. I / D h. ; ; /i. àlcul de Nuc. I / 6 6 I x 6y 6z D y z D F F F F 3 F 3 F H 6 6 x 6. z/ 6z D y D z F3F3 F ' 6 H x D y D z Per tant, Nuc. I / D h.; ; / i. àlcul de Nuc. I / I x 6y 6z D 3y D F 3F F F 3 3F 3 F H x 6z D y D F3F3F ' H x D z y D Per tant, Nuc. I / D h. ; ; / i.

133 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 33 Si f és l endomorfisme de R 3 que respecte a la base canònica té associada la matriu, aleshores la matriu associada a f en la base B D f. ; ; /;.; ; /;. ; ; /g és D En aquest canvi de base, la matriu del canvi és per tant, D D, o bé D D. (c àlcul de k I D una banda, és evident que D k / k ;. / k i, de l altra D.D /.D / D D 3 D.D /.D / D D 3 4 D.D 3 /.D / D D 4 i en general n D D n Per poder calcular k, abans hem de calcular la inversa de la ˇ ˇ Per ˇ F F F F 3 F 3 F F F 3 F F F F 3 ˇ F 3 F 3 F

134 34 Transformacions lineals i per calcular k només hem de multiplicar aquestes tres matrius / / k / k. / k. / k. / / k. / k. / k. / k. / k. / k. / k. / k. / k. / k / / 3. Estudieu la diagonalització de la matriu segons els valors del paràmetre R. En primer lloc, hem de calcular el polinomi característic i els valors propis d aquesta matriu x 3 p.x/ D x ˇ x ˇ D.x /.x /.x /. /.x / D.x /.x /.x / D.x /.x / D.x /.x / Les arrels del polinomi característic són D, D p i 3 D p, aleshores per estudiar la diagonalització de hem de distingir els casos següents

135 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 35 (a Si >, el polinomi característic té una arrel real i dues arrels complexes conjugades; per tant la matriu no és diagonalitzable (sobre els reals. (b Si D, p.x/ D.x /x i els valors propis de la matriu són D i D amb multiplicitat ; aleshores, és diagonalitzable si, i només si, dim Nuc. I / D. àlcul de Nuc. I / 3 3 I F3F3F x y 3z D x y 3. y/ D H H x D y y z D z D y z D y Per tant, Nuc D h. ; ; /i i la matriu no és diagonalitzable. (c Si < i 5, els tres valors propis són diferents; per tant, la matriu és diagonalitzable. (d Si D 5, p.x/ D.x /.x 4/ D.x /.x / i els valors propis de la matriu són D amb multiplicitat i D. Per tant, és diagonalitzable si, i només si, dim Nuc. I / D. àlcul de Nuc. I / 3 3 F F F F 3 F 3 F 3 La solució general d aquest sistema és y D 3z H Nuc. I / D h.; ; /;.; 3; /i Per tant, és diagonalitzable. 4. Sabent que la matriu associada a l endomorfisme f W R 3! R 3 respecte a la base B D f.4; 4; /;.; 4; /;.; ; /g és diagonal i que compleix f.; ; / D.6; canònica. 4; 4/, calculeu la matriu de f en la base

136 36 Transformacions lineals Sigui la matriu associada a f respecte a la base canònica i D la matriu diagonal associada a f respecte a la base B, que és una base de vectors propis. Evidentment, D és de la forma a D b c on a, b i c són els valors propis dels vectors.4; 4; /,.; 4; / i.; ; /, respectivament. La matriu del canvi de base és i tenim que D D o bé D D. ; D altra banda, sabem que f.; ; / D.6; 4; 4/, és a dir, 4 4 Si expressem aquesta igualtat en termes de la matriu D i multipliquem els dos costats de la igualtat per tenim que H La inversa de la matriu és aleshores, substituint a la igualtat anterior resulta que 4 4 c 4 6 Multiplicant aquestes matrius obtenim la igualtat b c 8 I

137 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 37 Per tant, els valors propis de l endomorfisme f són a D, b D i c D 4 i la matriu és La matriu associada a l endomorfisme f W R 3! R 3 respecte a la base canònica a b c d e f 3 i B és la base formada pels vectors.; ; /,.; ; /,.; ; /. Sabent que f diagonalitza en aquesta base, calculeu els coeficients a, b, c, d, e, f i els valors propis de f. El procediment per resoldre aquest exercici és el mateix que el de l exercici anterior. Siguin D ˇ i la matriu associada a f respecte a la base B D f.; ; /;.; ; /;.; ; /g i la matriu del canvi de base, respectivament. leshores és evident que D D o bé D D a c D ˇ e f 3 Multiplicant aquestes matrius obtenim a b a b d c c d ˇ e 3 e f f 3 i igualant els coeficients d aquestes matrius obtenim les equacions següents a b D >= d D >= e 3 D >= a D ˇ >; I c D ˇ >; I e f D >; b D c d D f 3 D

138 38 Transformacions lineals En primer lloc, és evident que b D i d D i de les tres últimes equacions tenim que D e 3 >= D f 3 >= D 6 >= e D f >; H e D f >; H e D f >; f D 3 f D 3 f D 3 Substituint a les equacions anteriors tenim que ˇ D c H ˇ D c D c D c 8 Finalment, substituint a les dues primeres equacions a D c 8 H a D c 8 a D c a D H a D 5 c D 4 leshores, és clar que les solucions d aquest sistema d equacions són a D 5; b D ; c D 4; D 4; ˇ D 6; D ; d D ; e D i f D I és a dir, la matriu associada a f respecte a la base canònica és 4 3 i els seus valors propis són 4, 6 i.

139 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 3 6 Endomorfismes de l espai vectorial euclidià 6. Endomorfismes simètrics i diagonalització ortogonal. Diagonalitzeu ortogonalment la matriu simètrica El polinomi característic d aquesta matriu és p.x/ D x 3 t x t x t 3 ; on t k és la traça d ordre k de la matriu 5 t 3 D 4 D ˇ 4 ˇ D 8 ;

140 4 Endomorfismes de l espai vectorial euclidià t D ˇ 5 t D 5 D ˇ ˇ 5 ˇ ˇ 4 4 Per tant, el polinomi característic de la matriu és ˇ D 6 6 D ; p.x/ D x 3 x 8 La primera arrel l hem de calcular pel mètode de Ruffini i les altres dues arrels són solució de l equació x 3x 8 D x D 3 p 7 D 3 p8 D 3 D ( 6 3 Els valors propis de la matriu són 6 amb multiplicitat i dels endomorfismes 6I i 3I. 3 i els vectors propis són els nuclis àlcul de Nuc. 6I / 6I La solució general d aquest sistema és F F F F 3 F 3 F x D y z H Nuc. 6I / D h. ; ; /;.; ; /i Per trobar una base ortonormal de vectors propis, hem d ortonormalitzar aquesta base de Nuc. 6I / pel mètode de Gram-Schmidt. En primer lloc hem de trobar una base ortogonal d aquest subespai, i per això prenem Ev D. ; ; / I Ev D.; ; / D.; 4; 5/ '.; 4; 5/ 5.; ; /. ; ; /. ; ; /. ; ; /. ; ; / D.; ; / 4. ; ; / 5

141 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 4 Per tant, els vectors. ; ; / i.; 4; 5/ formen una base ortogonal de Nuc. cada vector per la seva norma, n obtenim una d ortonormal 6I /. Dividint Nuc. 6I / D h p 5. ; ; /; p 45.; 4; 5/i àlcul de Nuc. 3I / 3I F 4F F F 3 4F 3 F F 8 F F 3 F 3 F 8 La solució d aquest sistema és 8x y z D y z D H 8x. z/ z D y D z H x D z= y D z Per tant, Nuc. 3I / D h. ; ; /i D h 3. ; ; /i. Hem dividit el vector. ; per un vector unitari. ; / per la seva norma per tenir una base de Nuc. 3I / formada Sabem que els vectors propis d una matriu simètrica corresponents a valors propis diferents són perpendiculars; per tant, la base p 5. ; ; / ; p.; 4; 5/ ; ; és una base ortonormal de vectors propis de la matriu simètrica. ; / En aquest cas, si D 45 p p p i D ; tenim que D D D t ja que és una matriu ortogonal i, per tant, D t.

142 4 Endomorfismes de l espai vectorial euclidià. La matriu associada a un endomorfisme f W R 4! R 4 respecte a la base canònica és D Trobeu una base ortonormal en la qual f diagonalitza. El polinomi característic de la matriu és x p.x/ D x x Restem la quarta columna a les tres primeres ˇ x ˇ x D x x Sumem les tres primeres files a la quarta ˇ x x x x ˇ x D x x D.x / 3.x 3/ ˇ x 3 ˇ Els valors propis d aquest endomorfisme són D amb multiplicitat 3 i D propis són els nuclis dels endomorfismes I i 3I. 3. Els vectors àlcul de Nuc. I / I D ' F F F F 3 F 3 F F 4 F 4 F x D y z t H Nuc. I / D h.; ; ; /;.; ; ; /;.; ; ; /i

143 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 43 alculem ara una base ortogonal de Nuc. I / aplicant el mètode de Gram-Schmidt Ev D.; ; ; / I Ev D.; ; ; /.; ; ; /.; ; ; /.; ; ; /.; ; ;.; ; ; / D.; ; ; /.; ; ; / D.; ; ; / '.; ; ; / I Ev 3 D.; ; ; / D.; ; ; /.; ; ; /.; ; ; /.; ; ; /.; ; ;.; ; ; /.; ; ; /.; ; ; /.; ; ; /.; ; ; /.; ; ; /.; ; ; / 6.; ; ; / D.; ; ; 3/ '.; ; ; 3/ 3 Per tant, els vectors.; ; ; /,.; ; ; /,.; ; ; 3/ formen una base ortogonal del subespai Nuc. I /. Dividint cada vector per la seva norma obtenim una base ortonormal Nuc. I / D h p.; ; ; /; p 6.; ; ; /; p.; ; ; 3/i àlcul de Nuc. 3I / 3I D ' B 8 4 F 3F F F 3 3F 3 F F 4 3F 4 F F 4 F F 3 F 3 F 4 F 4 F 3 3 ' B ' 3x y z t D >= 3x y t t D >= x D t y z t D >; H y t t D >; H y D t z t D z D t z D t F 3 F 3 F F 4 F 4 F >= >; Per tant, Nuc. 3I / D h.; ; ; /i D h.; ; ; /i. L endomorfisme f diagonalitza en la base ortonormal B D p.; ; ; /; p.; ; ; /; p.; ; ; 6 3/;.; ; ; /

144 44 Endomorfismes de l espai vectorial euclidià i la seva matriu en aquesta base és D D 3 3. La matriu en la base B D f.; ; /;.; ; /;.; ; /g de l endomorfisme T W R 3! R 3 és omproveu que T és un endomorfisme simètric i trobeu una base ortonormal de vectors propis de T. Representem per Eu, Eu i Eu 3 els vectors de la base B. Hem de comprovar que es compleixen les igualtats Eu f.eu / D f.eu / Eu Eu f.eu 3 / D f.eu / Eu 3 i Eu f.eu 3 / D f.eu / Eu 3 Eu f.eu / D Eu Eu D.; ; /.; ; / D f.eu / Eu D.Eu 5Eu 3Eu 3 / Eu D.; ; /.; ; / D ; Eu f.eu 3 / D Eu.3Eu Eu 3 / D.; ; /.; ; / D f.eu / Eu 3 D.Eu 5Eu 3Eu 3 / Eu 3 D.; ; /.; ; / D ; Eu f.eu 3 / D Eu.3Eu Eu 3 / D.; ; /.; ; / D 3 f.eu / Eu 3 D Eu Eu 3 D.; ; /.; ; / D 3 Per tant f és un endomorfisme simètric. Per trobar una base de vectors propis de f, diagonalitzem la matriu. El seu polinomi característic és x p.x/ D 5 x 3 D.x / ˇ x 3 ˇ 3 x ˇ x ˇ D.x /.x /.x / ; és a dir, tenim els valors propis simples, i.

145 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 45 alculem ara els vectors propis I x D y 5z D x D y D 3z = ; Nuc.f I / D h 3Eu Eu 3 i. I I x D Nuc.f I / D heu i z D 5x y 3z D x D z 3y 6z D y D z Nuc.f I / D heu Eu Eu 3 i. Per tant, B D f 3Eu Eu 3 ; Eu ; Eu Eu Eu 3 g és una base ortogonal de vectors propis que corresponen a tres valors propis diferents. Per a obtenir una base ortonormal de vectors propis, expressem aquesta base en termes de la base canònica B D f. ; ; /;.; ; /;.; ; /g i dividim cada un d aquests vectors per la seva longitud. Resumint, és una base ortonormal de vectors propis de f. B D fp. ; ; /; p.; ; /;.; ; /g 4. Sigui f W R 3! R 3 l endomorfisme que en la base ortonormal B D fee ; Ee ; Ee 3 g ve definit per la matriu Trobeu, si és possible, una base ortonormal de vectors propis de f. om que la base B és ortonormal i la matriu és simètrica, podem afirmar que l endomorfisme f és simètric i, en conseqüència, diagonalitzable en una base ortonormal.

146 46 Endomorfismes de l espai vectorial euclidià El polinomi característic de f és x p.x/ D x ˇ x ˇ D x 4 x 4 x D.x 4/ x ˇ x 4 x ˇ ˇ x D.x 4/ x ˇ x ˇ D.x /.x / ˇ Els valors propis són D amb multiplicitat i D. continuació calculem els vectors propis I z D x y Nuc.f I / D hee Ee 3 ; Ee Ee 3 i D altra banda, Nuc.f I / és el suplementari ortogonal del subespai Nuc.f I /, per tant, Nuc.f I / D hee Ee Ee 3 i. Una vegada trobats els subespais de vectors propis, podem dir que B D fee Ee 3 ; Ee Ee 3 ; Ee Ee Ee 3 g és una base de vectors propis de f. Per obtenir-ne una d ortonormal, en primer lloc hem d aplicar el mètode de Gram-Schmidt al subespai Nuc.f I /. Ev D Ee Ee 3 I Per tant, la base Ev D Ee Ee 3.Ee Ee 3 /.Ee Ee 3 /.Ee Ee 3 /.Ee Ee 3 /.Ee Ee 3 / D Ee Ee 3.Ee Ee 3 / D. Ee Ee Ee 3 / ' Ee Ee Ee 3 B D fp.ee Ee 3 / p. Ee Ee Ee 3 / ; p.ee Ee Ee 3 /g 6 3 és una base ortonormal de vectors propis de f. D altra banda, la matriu de f en aquesta base és D

147 Àlgebra Lineal. Problemes resolts Sigui B D fee ; Ee ; Ee 3 g una base de R 3 tal que k Ee k D, k Ee k D p, k Ee 3 k D p 3, Ee Ee D, Ee Ee 3 D i Ee Ee 3 D. onsiderem l endomorfisme T de R 3 que en aquesta base té matriu associada omproveu que és simètric i trobeu una base ortonormal de vectors propis. Recordem que un endomorfisme T és simètric si, i només si, es compleix que Eu T.Ev/ D T.Eu/ Ev per a qualsevol parella de vectors diferents d una base qualsevol. Per tant, només cal comprovar que, Ee T.Ee / D T.Ee / Ee Ee T.Ee 3 / D T.Ee / Ee 3 i Ee T.Ee 3 / D T.Ee / Ee 3 Ee T.Ee / D Ee. Ee Ee 3 / D D T.Ee / Ee D. Ee Ee 3 / Ee D D ; Ee T.Ee 3 / D Ee Ee 3 D T.Ee / Ee 3 D. Ee Ee 3 / Ee 3 D 3 D ; Ee T.Ee 3 / D Ee Ee 3 D T.Ee / Ee 3 D. Ee Ee 3 / Ee 3 D 4 6 D Per tant, T és un endomorfisme simètric. Per trobar una base de vectors propis, diagonalitzem la matriu. És evident que el polinomi característic d aquesta matriu és p.x/ D.x /.x / i els seus valors propis D i D amb multiplicitat. Pel que fa als vectors propis tenim que I I 3 x D y D x D y 3z Nuc.T I / D hee 3 i Nuc.T I / D h Ee Ee ; 3Ee Ee 3 i leshores, B D fee 3 Ee Ee ; 3Ee Ee 3 g és una base de vectors propis de T i, a més, el primer vector ja és perpendicular als altres dos, ja que corresponen a valors propis diferents.

148 48 Endomorfismes de l espai vectorial euclidià Finalment, apliquem el mètode de Gram-Schmidt als vectors que formen la base del subespai Nuc.T I / Ev D Ee Ee I Ev D 3Ee Ee 3. Ee Ee /. 3Ee Ee 3 /. Ee Ee /. Ee Ee /. Ee Ee / D 3Ee Ee 3 3. Ee Ee / i, com que, D. 3Ee Ee 3 / ' 3Ee Ee 3 k Ee 3 k D p 3 ; k Ee Ee 3 k D p i k 3Ee Ee 3 k D p 6 ; resulta que B D f p 3 Ee 3 ; p. Ee Ee 3 / ; p. 3Ee Ee 3 /g 6 és una base ortonormal de vectors propis de T. 6. alculeu les matrius associades respecte a la base canònica de R 3 a la projecció ortogonal i a la simetria respecte al subespai H D h.; ; /;.; ; /i. Per calcular la matriu de P H en la base canònica, necessitem una base de R 3 formada per vectors de H i de H?. L enunciat ja ens dóna una base de H. Per obtenir una base de H? només cal que calculem el producte vectorial d aquests dos vectors, i j k Ew D D.; ; / ˇ ˇ i resulta que H? D h.; ; /i. leshores la matriu associada a P H en la base B D f.; ; /;.; ; /;.; ; /g és D i, com és habitual, ho representem questa base és una base de vectors propis de P H i els seus valors propis són, i, respectivament

149 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 4.R 3 ; B/ D.R 3 ; B/ Eu P H.Eu/ Mitjançant la fórmula del canvi de base podrem obtenir la matriu de P H en la base canònica.r 3 ; B c /.R 3 ; B/.R 3 ; B/.R 3 ; B c / Eu Eu P H.Eu/ P H.Eu/ D D D D Una vegada coneguda la matriu de P H en la base canònica, és immediat calcular la matriu de la simetria S H en aquesta mateixa base M.S H ; B c / D M.P H ; B c / I Observació també haguéssim pogut calcular la matriu de la simetria en la base canònica tenint en compte que la matriu de S H en la base B D f.; ; /;.; ; /;.; ; /g és D questa base tambe és una base de vectors propis de S H amb valors propis, i, respectivament

150 5 Endomorfismes de l espai vectorial euclidià i de manera semblant a la projecció ortogonal B D @ Sigui P la projecció ortogonal de R 3 sobre la recta R d equacions x y z D x z D alculeu la matriu de P en la base canònica. En primer lloc, és immediat obtenir bases dels subespais R i R? R D h. ; 3; /i i R? D h.; ; /;.; ; /i La matriu de P en la base B D f. ; 3; /;.; ; D i, com és habitual, ho representem /;.; ; /g és.r 3 ; B/ D.R 3 ; B/ Eu P.Eu/ Mitjançant la fórmula del canvi de base podrem obtenir la matriu de P H en la base canònica.r 3 ; B c /.R 3 ; B/.R 3 ; B/.R 3 ; B c / Eu Eu P.Eu/ P.Eu/ D

151 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 5 D D Observació La base B D f. ; 3; /;.; ; amb valors propis, i, respectivament. /;.; ; /g és una base de vectors propis de P 8. Sigui S la simetria de R 3 respecte al pla H d equació x z D. Trobeu una base ortonormal de vectors propis de S i la seva matriu en la base canònica. D entrada sabem que aquesta simetria té els valors propis D amb multiplicitat i D. més, el pla H és el subespai de vectors propis amb valor propi i H? és el subespai de vectors propis amb valor propi i, és evident que, H D h.; ; /;.; ; /i i H? D h.; ; /i leshores, f.; ; /;.; ; /;.; ; /g és una base de vectors propis de S i, com que els seus vectors ja són perpendiculars entre ells, B D f p.; ; /;.; ; /; p.; ; /g és una base ortonormal de vectors propis de S. La matriu de S en aquesta base és.r 3 ; B/ D.R 3 ; B/ Eu S.Eu/ on D i mitjançant la fórmula del canvi de base podrem obtenir la matriu de S en la base canònica

152 5 Endomorfismes de l espai vectorial euclidià.r 3 ; B c /.R 3 ; B/ D.R 3 ; B/.R 3 ; B c / Eu Eu S.Eu/ S.Eu/ B D D D D t ja que la matriu del canvi de base D p és una matriu ortogonal. Per tant, D D t D p p. Sigui B D fee ; Ee g una base de R tal que k Ee k D, k Ee k D i l angle format per aquests vectors és de 6 ı. alculeu la matriu de la simetria respecte a la recta R D hee Ee i en la base B. om tota simetria de R respecte a una recta, aquesta té els valors propis i. més, el subespai de vectors propis amb valor propi és R D hee Ee i i el subespai de vectors propis amb valor propi és R?. Per a obtenir una base de R? hem de trobar els vectors de R, Ew D xee yee tals que.xee yee /.Ee Ee / D Desenvolupant aquesta igualtat obtenim.xee yee /.Ee Ee / D x.ee Ee /. x y/.ee Ee / y.ee Ee / D x x y 4y D x D y

153 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 53 Per tant, R? D hee Ee i. leshores, la matriu de la simetria S en la base B D fee Ee g és D D i ho representem Ee ; Ee.R ; B / D.R ; B / Eu S.Eu/ Novament, mitjançant la fórmula del canvi de base podrem obtenir la matriu de S en la base canònica.r ; B/.R ; B / D.R ; B /.R ; B/ Eu Eu T.Eu/ T.Eu/ D D D D D D 4 4 Observació tot i que és la matriu d una simetria respecte a una recta, no és ni simètrica ni ortogonal. ixò és degut a que és la matriu d una simetria en una base no ortonormal. En canvi, com tota matriu d una simetria en una base qualsevol, té determinant i compleix que D I.. Els vectors de la base B D feu ; Eu ; Eu 3 g compleixen que k Eu k D k Eu k D, k Eu 3 k D, Eu i Eu formen un angle de 6 ı, Eu i Eu 3 són perpendiculars i Eu i Eu 3 formen un angle de ı. Trobeu la matriu de la simetria S respecte a la recta R generada pel vector heu Eu Eu 3 i en la base canònica. Els productes escalars dels vectors de la base B entre ells són els que apareixen a la taula següent Eu Eu D cos ı D Eu Eu D cos 6 ı D = Eu Eu 3 D cos ı D Eu Eu D cos ı D Eu Eu 3 D cos ı D Eu 3 Eu 3 D cos ı D 4

154 54 Endomorfismes de l espai vectorial euclidià El subespai de vectors de S amb valor propi és R, mentre que el subespai de vectors propis de S amb valor propi és R?. Per a obtenir una base d aquest últim subespai hem de trobar els vectors Ew D x Eu y Eu z Eu 3 tals que.x Eu y Eu z Eu 3 /.Eu Eu Eu 3 / D En desenvolupar aquesta expressió fent servir els productes de la taula anterior obtenim x Eu.Eu Eu Eu 3 / y Eu.Eu Eu Eu 3 / z Eu 3.Eu Eu Eu 3 / D x 3y 5z D x 3y z D D aquí resulta evident que R? D h3eu Eu ; és i ho representem Eu Eu 3 i. leshores, la matriu de S en la base B D feu Eu Eu 3 ; 3Eu Eu ; Eu Eu 3 g D 3 ; B / D.R 3 ; B / Eu S.Eu/ om ja és habitual, mitjançant la fórmula del canvi de base podrem obtenir la matriu de S en la base B..R 3 ; B/.R 3 ; B / D.R 3 ; B /.R 3 ; B/ Eu Eu S.Eu/ S.Eu/ D D

155 Àlgebra Lineal. Problemes resolts Isometries lineals. alculeu la matriu associada en la base canònica a la rotació de 45 ı al voltant del vector.; ; /. Sabem que si B D f Ew; Eu ; Eu g és una base ortonormal positiva de R 3 tal que Ew té la mateixa direcció i sentit que el vector.; ; /, aleshores la matriu de la rotació R de al voltant del vector.; ; / és cos sin sin cos om a vector Ew escollim el vector p.; ; /, com a vector Eu un vector unitari i perpendicular a l anterior, per exemple Eu D.; ; / i com a vector Eu el producte vectorial dels dos anteriors Eu D Ew ^ Eu D p i j k ˇ ˇ D p. ; ; / Per tant la matriu de R en la base B D p.; ; /;.; ; /; p.; ; /g és i ho representem = p = p = p = p D p.r 3 ; B/.R 3 ; B/ Eu R.Eu/ Mitjançant la fórmula del canvi de base podrem obtenir la matriu de R en la base canònica.r 3 ; B c /.R 3 ; B/.R 3 ; B/.R 3 ; B c / Eu Eu R.Eu/ R.Eu/ D D t

156 56 Endomorfismes de l espai vectorial euclidià ja que és una matriu ortogonal. D p Per tant, D t D D p p p p p p D p p p p p p p p p Multiplicant numeradors i denominador per p, obtenim que la matriu associada a aquesta rotació en la base canònica 4 p p p p p. Quin angle hem de fer girar el vector. ; ; 3/ al voltant de.; ; / per obtenir el vector.3; ; /? De manera semblant a l exercici anterior, escollim una base adaptada al problema, és a dir, B D f Ew; Eu ; Eu g ha de ser una base ortonormal positiva de R 3 tal que Ew té la mateixa direcció i sentit que el vector.; ; /. om a vector Ew escollim el vector p 3.; ; /, com a vector Eu un vector unitari i perpendicular a l anterior, per exemple Eu D p.; ; / i com a vector Eu el producte vectorial dels dos anteriors i j k Eu D Ew ^ Eu D = p 3 = p 3 = p 3 ˇ = p = p ˇ D p.; ; / 6

157 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 57 leshores la matriu de la rotació R d angle al voltant del vector.; ; / en la base és B D f p 3.; ; /; p.; ; /; cos sin sin cos p 6.; ; /g D altra banda, les components dels vectors. ; ; 3/ i.3; ; / en la base B són. = p 3; 3= p ; 7= p 6/ i. = p 3; 5 = p ; = p 6/, respectivament. Per tant, s ha de complir cos sin cos = p 3 3= p 7= p 6 = p 3 5= p = p 6 Igualant el segon i el tercer terme d aquest producte de matrius s obté 3 p cos p 7 sin D 5 p >= p cos p sin D p >; 6 6 És immediat que la solució d aquest sistema d equacions és p 3 sin D ; cos D i l únic angle que compleix aquestes igualtats és D ı. 3. La matriu de l endomorfisme T W R 3! R 3 en la base canònica és p p p p (a omproveu que T és una isometria. (b alculeu la imatge del pla P d equació 4x y z D. (a Únicament hem de comprovar que t D I p p 4 t p p p p p 3 3 4

158 58 Endomorfismes de l espai vectorial euclidià D Per tant, la matriu és una matriu ortogonal i T és una isometria. (b El subespai ortogonal al pla és la recta R D P? D h.4; ; /i i la imatge d aquesta recta és la recta generada pel vector.; ; /, ja que 6 p p p p om que T és una isometria, transforma el suplementari ortogonal d un subespai en el suplementari ortogonal de la imatge. En el nostre cas, T.R? / D T.R/?, o dit d una altra manera, la imatge del pla P és el suplementari ortogonal del subespai h.; ; /i, és a dir, el pla d equació y D. 4. La matriu associada en la base ortonormal B D fee ; Ee ; Ee 3 g a l endomorfisme f de R 3 és omproveu que f és una isometria. 3 om que la base B és ortonormal, l únic que hem de comprovar és que la matriu és ortogonal 3 3 D Per tant, f és una isometria. 5. Trobeu totes les isometries de R que transformen la recta y D en la recta x 3y D.

159 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 5 Hem de trobar totes les isometries de R que transformen el subespai h.; /i en el subespai h.3; /i. leshores, la imatge del vector.; / ha de ser un vector que pertany al subespai h.3; /i i que té norma, per tant tenim dues possibilitats 8 ˆ< p.3; / f.; / D ˆ p. 3; / D altra banda, en ser f una isometria, transforma vectors perpendiculars en vectors perpendiculars, aleshores la imatge del vector.; / haurà de ser un vector perpendicular a.3; / i de norma. Per tant, tenim també dues possibilitats 8 ˆ< p.; 3/ f.; / D ˆ p. ; 3/ En total hi ha quatre possibilitats, per tant, hi ha quatre isometries de R que transformen la recta y D en la recta x3y D i les seves matrius associades en la base canònica són respectivament (a (c p 3 3 p 3 3 I I (b (d p 3 3 p 3 3 I 6. Una isometria f W R 3! R 3 compleix que f.3; 6; / D. ; ; / f.3; ; 3/ D.4; ; / Trobeu les possibles matrius associades a f respecte a la base canònica. Sabem que les isometries transformen vectors perpendiculars en vectors perpendiculars i que conserven la norma. Per tant la imatge d un vector perpendicular als vectors.3; 6; / i.3; ; 3/

160 6 Endomorfismes de l espai vectorial euclidià haurà de ser un vector perpendicular als vectors. ; ; / i.4; ; /. La manera de trobar vectors perpendiculars a dos vectors donats és calcular el seu producte vectorial i j k.3; 6; / ^.3; ; 3/ D 3 6 D.8; 36; 8/ I ˇ 3 3 ˇ i j k. ; ; / ^.4; ; / D D.; 6; 4/ ˇ 4 ˇ leshores, tenim dues possibilitats (a La imatge del vector.8; 36; 8/ és el vector.; 6; 4/. (b La imatge del vector.8; 36; 8/ és el vector. ; 6; 4/. Observem que, en tractar-se d isometries, les normes d aquests vectors coincideixen. Per tant, hi ha dues isometries que compleixen les condicions de l enunciat, la primera és la que compleix f.3; 6; / D. ; ; / >= f.3; ; 3/ D.4; ; / >; f.8; 36; 8/ D.; 6; 4/ i la segona la que compleix f.3; 6; / D. ; ; / >= f.3; ; 3/ D.4; ; / >; f.8; 36; 8/ D. ; 6; 4/ Finalment, és immediat obtenir les matrius d aquestes isometries en la base canònica. Per a la primera, tenim que ; és a dir Per a la segona, tenim ;

161 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 6 és a dir Un endomorfisme f W R 3! R 3 té associada respecte a la base canònica la matriu omproveu que f és una isometria i classifiqueu-la. Per comprovar que f és una isometria només hem de calcular el producte de matrius t i comprovar que dóna la identitat t D D 44 D I Per tant, f és una isometria. D altra banda, la matriu és simètrica, aleshores podem assegurar que es tracta d una simetria. Per saber si la simetria és axial o plana hem de calcular el determinant de la matriu det./ D ˇ 5 4 ˇ D / D 6 Llavors, f és una simetria plana respecte al subespai de vectors propis de valor propi. àlcul de Nuc. I / F 5 F F 5F 4F F 3 5F 3 F I

162 6 Endomorfismes de l espai vectorial euclidià La solució d aquest sistema és z D 5x 4y H Nuc. I / D h.; ; 5/;.; ; 4/i Per tant f és la simetria plana respecte al pla F D h.; ; 5/;.; ; 4/i 8. lassifiqueu la isometria de R 3 definida en la base ortonormal B D fee ; Ee ; Ee 3 g per la matriu D En aquest cas la matriu també es simètrica i el seu determinant és det./ D 3 ˇ ˇ D / D 438 leshores la isometria és una simetria axial respecte a la recta de vectors propis de valor propi. àlcul de Nuc. I / F 5F 8F F 3 5F F F F 74 F F 3 3F 3 4F I

163 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 63 5x 8y 6z D 3y 4z D H 5x 8y 6. z D 3y 4 3y 4 / D >= x D >; H y 4 z D 3y 4 >= >; Per tant, Nuc..; 4; 3/. I / és el subespai de R 3 generat pel vector que en la base B té components leshores, aquesta isometria és una simetria axial respecte a la recta F D hee 4Ee 3Ee 3 i. lassifiqueu la isometria f W R 3! R 3 que respecte a una base ortonormal positiva B D feu ; Eu ; Eu 3 g té associada la matriu om que la base B és ortonormal, podem procedir de la mateixa manera que en el cas de la base canònica. La matriu no és simètrica i el seu determinant és igual a det./ D ˇ 4 3 ˇ D.8 45/ D 5 leshores la isometria f és una rotació al voltant d un vector Eu, que és un vector propi de valor propi. àlcul de Nuc. I I F 4 F F 5 F F 3 F 3 5 F3F3F ' I

164 64 Endomorfismes de l espai vectorial euclidià La solució d aquest sistema és x y D y z D H x D y= z D y Per tant, Nuc. I / D heu Eu Eu 3 i i f és una rotació amb eix de rotació determinat pel vector Eu Eu Eu 3. Per calcular l angle de rotació sabem que cos D tr H cos D 3 5 H cos D 4 5 L angle entre i 8 ı graus que compleix que aquesta igualtat és 433 ı. Finalment, per determinar si l angle de rotació és de 433 ı o de 687 ı, hem de trobar la imatge d un vector que no estigui a l eix de rotació, per exemple, Eu és a dir f.eu / D 5. 3Eu 4Eu 3 / om que la orientació de la base feu Eu Eu 3 ; Eu ; 5. 3Eu 4Eu 3 /g és positiva, ja que 3 5 ˇ 4 ˇ D 8 5 > podem afirmar que f és la rotació d angle D 433 ı al voltant del vector Eu Eu Eu 3.. lassifiqueu la isometria de R 3 que en la base canònica ve definida per la matriu La matriu no és simètrica i el seu determinant és ; per tant, es tracta de la composició d una rotació i una simetria plana. L eix de rotació és el subespai Nuc. I /, del que a continuació trobem una base I ;

165 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 65 és a dir, Nuc. I / D h.; ; /i. Per calcular l angle de rotació sabem que cos D tr H cos D H cos D ; d on resulta que és ı o 7 ı. Per saber de quin angle es tracta, escollim un vector que no estigui sobre l eix de rotació, per exemple el vector.; ; /, calculem la i calculem l orientació de la base f.; ; /;.; ; /;.; ; /g ˇ ˇ D < om que l orientació és negativa, la isometria és la composició d una rotació de 7 ı al voltant del vector.; ; / i la simetria plana respecte al pla z D.. Sigui B D f.; ; /;.; ; /;.; ; /g una base de R 3. La matriu de l endomorfisme T en aquesta base és 3 omproveu que T és una isometria i classifiqueu-la. Hem de comprovar que T.Eu/T.Ev/ D Eu Ev per a qualsevol parella de vectors d una base qualsevol.

166 66 Endomorfismes de l espai vectorial euclidià En el nostre cas, si representem per Eu, Eu i Eu 3 els vectors de la base B tenim que Eu Eu D.; ; /.; ; / D 3 T.Eu / T.Eu / D. Eu /. Eu / D. ; ; /. ; ; / D 3 Eu Eu D.; ; /.; ; / D T.Eu / T.Eu / D. Eu /.4Eu Eu 3Eu 3 / D. ; ; /. ; ; / D Eu Eu 3 D.; ; /.; ; // D 4 T.Eu / T.Eu 3 / D. Eu /. Eu 3 / D. ; ; /. ; ; / D 4 Eu Eu D.; ; /.; ; / D T.Eu / T.Eu / D.4Eu Eu 3Eu 3 /.4Eu Eu 3Eu 3 / D. ; ; /. ; ; / D Eu Eu 3 D.; ; /.; ; / D T.Eu / T.Eu 3 / D.4Eu Eu 3Eu 3 /. Eu 3 / D. ; ; /. ; ; / D Eu 3 Eu 3 D.; ; /.; ; / D 6 T.Eu 3 / T.Eu 3 / D. Eu 3 /. Eu 3 / D. ; ; /. ; ; / D 6 per tant, T és una isometria. Per classificar-la, calculem el polinomi característic de la matriu p.x/ D ˇ x 4 x 3 x ˇ D.x /.x / om que els valors propis de T són D amb multiplicitat i D, T és una simetria axial i l eix (subespai de dimensió de simetria és precisament el subespai de vectors propis Nuc.T I /. Per trobar aquest subespai, triangulem la matriu I x 4y D 3y z D x D y z D 3y = ; Nuc.T I / D h4eu Eu 3Eu 3 i. Per tant, T és la simetria axial respecte a la recta és a dir, la recta generada pel vector.; ; /. h4eu Eu 3Eu 3 i ;

167 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 67. Una base amb orientació positiva B D fee ; Ee ; Ee 3 g de R 3 compleix que k Ee k D, k Ee k D p, k Ee 3 k D p 3, Ee Ee D, Ee Ee 3 D i Ee Ee 3 D i la matriu de l endomorfisme f W R 3! R 3 en aquesta base és omproveu que f és una isometria i classifiqueu-la. De manera semblant a l exercici anterior, comprovem que es compleix per a qualsevol parella de vectors de la base B. leshores, f és una isometria. Ee Ee D T.Eu/ T.Ev/ D Eu Ev f.ee / f.ee / D. Ee Ee 3 /. Ee Ee 3 / D Ee Ee D f.ee / f.ee / D. Ee Ee 3 /.Ee Ee Ee 3 / D Ee Ee 3 D f.ee / f.ee 3 / D. Ee Ee 3 / Ee 3 D Ee Ee D f.ee / f.ee / D.Ee Ee Ee 3 /.Ee Ee Ee 3 / D Ee Ee 3 D f.ee / f.ee 3 / D.Ee Ee Ee 3 / Ee 3 D Ee 3 Ee 3 D 3 f.ee 3 / f.ee 3 / D Ee 3 Ee 3 D 3 Per classificar-la calculem el polinomi característic de la matriu x p.x/ D x D.x / ˇ x ˇ x ˇ x ˇ D.x /.x x /

168 68 Endomorfismes de l espai vectorial euclidià om que aquest polinomi característic té l arrel i dues arrels complexes conjugades, ja que de la igualtat x x D tenim x D p 4 D p 3 D ( i p 3 i p 3 ; podem assegurar que f és una rotació. L eix de rotació és el subespai Nuc.f I /, que trobem a continuació x D I 3 y D Nuc.f I / D hee 3 i. Per calcular l angle de rotació sabem que cos D tr H cos D H cos D ; d on resulta que és ı o 4 ı. Finalment, hem de determinar el sentit de la rotació, és a dir, quin és l angle de rotació. Per això, escollim un vector qualsevol que no sigui múltiple de Ee 3, per exemple Eu D Ee i calculem la H f.ee / D Ee Ee 3 om que la base fee 3 ; Ee ; Ee Ee 3 g té orientació negativa ja que ˇ ˇ D < ; podem assegurar que f és la rotació de 4 ı al voltant del vector Ee 3.

169 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 6 7 Geometria lineal 7. L espai afí. alculeu les coordenades del punt a D.; / en el sistema de referència S D fp I Eu; Evg, on p D. 4; /, Eu D.; / i Ev D. ; /. Si.x; y/ són les coordenades d un punt en el sistema de referència canònic i.x ; y / són les coordenades del mateix punt en la referència S, les equacions del canvi de coordenades són x 4 x D y y Si les coordenades del punt a en el sistema de referència S són.a ; b /, s ha de complir que 4 a D b ; és a dir, 6 3 D a b

170 7 Geometria lineal om que la inversa de la matriu tenim que a b D 3 és D ; 4 i les coordenades del punt a en el sistema de referència S són.; 4/.. Donats els sistemes de referència S D fp I Eu ; Eu g i S D fq I Ev ; Ev g on p D.4; /, Eu D.; /, Eu D.; /, q D. 5; 5/, Ev D.3; / i Ev D. ; 3/, calculeu les equacions del canvi de coordenades de S a S. Siguin.x; y/ les coordenades d un punt en el sistema de referència rectangular,.x ; y / les coordenades del mateix punt en el sistema de referència S i.x ; y / les seves coordenades en S. leshores tenim que x 4 x D y x y D y x y D altra banda, la inversa de la matriu per tant, x y D 5 x 4 y és D 5 ; 5 x y Finalment, substituint a l altra igualtat obtenim que x y D 5 3 x y 3 x D y 5 x D y

171 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 7 És a dir, les equacions del canvi de coordenades de S a S són x 5 x y D y 3. alculeu les coordenades dels punts a, b, c, d, e i f de la figura 8.7. en els sistemes de referència S D fa I! ab;! adg i S D fb I! bd;! beg. més, calculeu les equacions del canvi de coordenades de S a S. f d e a b c Figura 7. (a En el sistema de referència S, és evident que els punts a, b i d tenen coordenades.; /,.; / i.; /, respectivament. D altra banda,! af D! ad! ae D! ab! be D! ab! ad! ac D! ab ; per tant, f té coordenades.; /, e té coordenades.; / i c té coordenades.; /. (b En el sistema de referència S, és evident que els punts b, d i e tenen coordenades.; /,.; / i.; /, respectivament.

172 7 Geometria lineal D altra banda,! ba D bd! da! D bd!! be! bc D ba! D bd!! be! bf D bd! df! D bd!! be ; per tant, a té coordenades.; /, c té coordenades. ; / i f té coordenades.; /. Siguin.x ; y / les coordenades d un punt en el sistema de referència S i.x ; y / les coordenades del mateix punt en la referència S. Les coordenades del punt b en el sistema S són.; / i els vectors! bd i! be són! bd D ad!!! be D ad! ab D! ab! ad Per tant, les equacions del canvi de coordenades són x D y x y 4. alculeu les equacions de la recta x 3y D en el sistema de referència S D fp I Eu ; Eu g, on p D.; /, Eu D.; / i Eu D. ; /. Siguin.x ; y / les coordenades d un punt en el sistema de referència S, aleshores les equacions del canvi de coordenades són x x D y y ; és a dir, x D x y y D x y Per calcular les equacions de la recta en el nou sistema de coordenades hem de substituir la x i la y a l equació de la recta.x y / 3.x y / D grupant els termes obtenim l equació de la recta en el sistema de referència S x 5y D

173 Àlgebra Lineal. Problemes resolts Donat l hexàgon regular de la figura 8.7., calculeu les coordenades del punt intersecció de les rectes bc i de en el sistema de referència S D ff I! fa;! feg. e d f c a b Figura 7. Hexàgon regular alculem, en primer lloc, les coordenades dels punts b, c, d i e en el sistema de referència S. Si o és el centre de l hexàgon, tenim que! f b D! fo! ob D! fa! ao! ob D! fa! fe! fc D! fo D! fa! ao D! fa! fe! fd D! fe! ed D! fe! eo! od D! fe! fa ; és a dir, les coordenades dels punts b, c, e i d en la referència S són.; /,.; /,.; / i.; /, respectivament. És evident que l equació de la recta bc és x D, mentre que la de la recta de és x y ˇ ˇ D H x y D questes dues rectes es tallen en el punt.; 3/.

174 74 Geometria lineal 6. alculeu les equacions de la recta que passa pel punt.; 3; / i pel punt mitjà del segment ab on, a D.; 3; / i b D. ; ; 5/. Recordem que en general el punt mitjà del segment ab, on a D.a ; a ; a 3 / i b D.b ; b ; b 3 / és el punt de coordenades a b ; a b ; a 3 b 3 En el nostre cas, tenim que el punt mitjà del segment ab és el punt.; ; /. leshores, la recta que passa pels punts.; 3; / i.; ; / té vector director Eu D.; ; 3/, i les seves equacions són Equació vectorial.x; y; z/ D.; 3; /.; ; 3/ Igualant component a component obtenim les equacions paramètriques de la recta x D >= y D 3 >; z D 3 ïllant de cada una d aquestes equacions el paràmetre i igualant, tenim l equació contínua x D y 3 D z 3 Finalment igualant en primer lloc les dues primeres fraccions i en segon lloc la primera i la tercera, obtenim les equacions implícites d aquesta recta x y D 3x z D 7. alculeu les equacions del pla que passa pel punt.; ; 3/ i té vectors directors Eu D. ; ; 3/ i Ev D.; ; /.

175 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 75 Equació vectorial.x; y; z/ D.; ; 3/. ; ; 3/ ˇ.; ; / Equacions paramètriques x D ˇ >= y D ˇ >; z D 3 3 L equació general del pla s obté en eliminar els paràmetres i ˇ d entre aquestes tres equacions. om que són lineals en i ˇ, els podem eliminar amb el següent determinant d ordre 3 ˇ x y 3 z 3 ˇ x y 3 z 3 ˇ D D 4.z 3/ 3.y / 6.x /.z 3/ ˇ D 4z 3y 6 6x 6 z 3 D 6x 3y 5z 5 D Per tant, l equació general del pla és 6x 3y 5z 5 D 8. Quina és l equació general del pla que passa pels punts.; ; /,.; ; 5/ i. ; ; 3/? És evident que aquest pla passa pel punt.; ; / i té vectors directors Eu D.; ; 4/ i Ev D. ; ; /. Els vectors Eu i Ev estan continguts en el pla, per tant, el vector Eu ^ Ev és perpendicular al pla, i a partir d aquest podrem trobar directament l equació general del pla i j k Eu ^ Ev D 4 ˇ ˇ D 4 ˇ ˇ i 4 ˇ ˇ ˇˇˇˇ j ˇ k D.6; ; 4/

176 76 Geometria lineal leshores, l equació general del pla és de la forma 6x y 4z D D om que sabem que ha de passar pel punt.; ; /, podem calcular el coeficient D, ja que 6 4 D D H D D 8 Simplificant ens queda l equació general del pla 3x 5y z D. alculeu el punt d intersecció de la recta x 3y z D x y 3z D 6 i el pla d equació 5x y z D. Per calcular la intersecció d una recta i un pla hem de resoldre el sistema d equacions format per les equacions implícites de la recta i l equació general del pla. En aquest cas, x 3y z D >= x y 3z D 6 >; 5x y z D Si el volem resoldre pel mètode de Gauss hem de triangular la matriu d aquest ˇ 6 F F F F 3 F 3 5F ˇ 6 4 ˇ 6 46 F 3 F 3 F

177 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 77 leshores la solució del sistema és x 3y z D >= 7y. / D 6 >; H z D x 3./. / D >= y D >; H z D x D >= y D >; z D Per tant, el punt d intersecció de la recta i el pla és.; ; /.. omproveu que les quatre rectes x 3 D y es tallen en un punt. x D y D z D D z t t 4 t ;.x; y; z/ D.; ; /.; ; / ; >= >; ; i x y D 5 z D Per comprovar que quatre rectes es tallen en un punt és suficient comprovar que les dues primeres es tallen en un punt i que aquest punt també pertany a les altres dues. (a Intersecció de les dues primeres rectes x 3 D y D z i.x; y; z/ D.; ; /.; ; / Substituint x, y i z de la segona recta a l equació de la primera, tenim que 3 D D D aquestes tres igualtats resulta que D, per tant, les dues primeres rectes es tallen en el punt a D.; ; /.; ; / D.; ; / (b omprovació que aquest punt també pertany a les altres dues rectes

178 78 Geometria lineal Per comprovar que pertany a la tercera recta hem de veure que el sistema D t >= D t >; D 4 t és compatible, i això és evident amb t D. Finalment, per comprovar que pertany a la quarta recta hem de veure que x D, y D, z D és solució del sistema d equacions implícites que defineixen la recta. / D 5 D Per tant, les quatre rectes es tallen en el punt.; ; /.. Trobeu l equació de la recta paral. lela als plans x y 3z D i x y z D que passa pel punt.; ; /. (a Primer mètode Els vectors associats als dos plans són Ev D.; ; 3/ i Ev D. ; ; /, respectivament. Si la recta ha de ser paral. lela als dos plans, el seu vector director Eu ha de ser perpendicular als vectors Ev i Ev. leshores per trobar un vector perpendicular a Ev i Ev hem de calcular el seu producte vectorial i j k Ev ^ Ev D 3 D. 5; 4; / ˇ ˇ És a dir, la recta que busquem és la que passa pel punt.; ; / i té vector director.5; 4; /. Per tant, la seva equació contínua és i les seves equacions implícites x 5 D y 4 D z 4x 5y 6 D x 5z 4 D

179 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 7 (b Segon mètode La recta és paral. lela als dos plans, per tant, es pot obtenir com a intersecció de dos plans paral. lels als inicials. leshores, les equacions implícites de la recta també poden ser de la forma equacions són de la forma x y 3z d D x y z D D Per calcular els coeficients d i D imposem que la recta ha de passar pel punt.; ; /, és a dir,./ 3./ d D H d D D D D D Unes altres equacions implícites de la recta són x y 3z D x y z D. Quina és la posició relativa de la recta 3x y z D 3 x y z D i el pla x y 3z D? alculem en primer lloc la intersecció de la recta i el pla; per això hem de resoldre el sistema format per les equacions cartesianes de la recta i la general del pla 3x y z D 3 >= x y z D >; x y 3z D Resolem aquest sistema pel mètode de Gauss 3 3 ˇ F 3F F F 3 3F 3 F ˇ F 3 4F 3 5F

180 8 Geometria lineal leshores, la solució del sistema és 3x y z D 3>= 3x 4 D 3>= 4y 4./ D 4 >; H y D 4 >; H z D z D La recta i el pla es tallen en el punt. 3; 4; /. ˇ x D 3 >= y D 4 z D >; 3. Quina és la posició relativa de les rectes x D y 3 D z i x y z D? x y 3z D Les equacions implícites de la primera recta són x y D 7 y z D 5 Per calcular la intersecció de les dues rectes hem de resoldre el sistema d equacions format per les seves equacions implícites x y D 7 y z D 5 >= x y z D >; x y 3z D Triangulant la matriu d aquest sistema tenim que 7 B ' 5 3 ˇ 3 ' 6 ˇ F 3 F 3 F F 4 F 4 F 7 5 F 4 3F 4 F 3 ˇ ' 6 ˇ F 3 F 3 5F F 4 F 4 F 7 5

181 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 8 Evidentment aquest sistema és incompatible, per tant, les dues rectes s encreuen. 4. Quina és la posició relativa de la recta x y z D x 3y z D i el pla 7x y 7z D 7? Per calcular la intersecció de la recta i el pla hem de resoldre el sistema d equacions x y z D >= x 3y z D >; 7x y 7z D 7 Triangulant la matriu d aquest sistema tenim ˇ 7 5 F F F F 3 F 3 7F ˇ ˇ F 3 F 3 5F quest sistema és compatible indeterminat, per tant, la recta està continguda en el pla. 5. Trobeu a de manera que les rectes d equacions 3x y z D a i ax 3y az D x 3y az D ax z D 3 siguin paral. leles. Dues rectes són paral. leles si els seus vectors directors són linealment dependents. El vector di-

182 8 Geometria lineal rector de la primera recta és i j k Eu D 3 D.a 3; 5a; a / ˇ a 3 a ˇ i el vector director de la segona és i j k Ev D 3 a ˇ a ˇ D.6; a 4; 3a/ quests dos vectors són linealment dependents si, i només si, a 3 6 5a a 4 D a 3a i aquesta matriu té rang si, i només si, ˇ a 3 6 5a a 4 ˇ D a3 6a 6a D ˇ a 3 6 a 3a ˇ D 3a a 54 D Les solucions d aquesta segona equació són a D p p8 D 6 D 33 6 D ( ; de les quals únicament a D és solució de l equació a 3 6a rectes són paral. leles quan a D. 6a D. Per tant, les Per comprovar si són paral. leles i diferents o si coincideixen, hem de resoldre el sistema 3x y z D 4x 3y z D >= x 3y 4z D >; x z D 3 Triangulant el sistema d equacions tenim 3 B ˇ 3 F 3F 4F F 3 3F 3 F F 4 F 4 F 3 3 ' B ˇ 5 F 3 5F 3 7F F 4 5F 4 3F

183 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 83 3 ' B ˇ quest sistema és incompatible, per tant, quan a D les dues rectes són paral. leles i diferents. 6. Estudieu la posició relativa dels plans 3ax.a /y.a /z D a.a /x.a /y.a /z D a.4a /x 3ay az D en funció del paràmetre a. Per estudiar la posició relativa d aquests tres plans hem d estudiar el sistema format per les equacions implícites d aquests plans en funció del paràmetre a 3ax.a /y.a /z D a >=.a /x.a /y.a /z D a >;.4a /x 3ay az D El determinant d aquest sistema és 3a a a a a a ˇ 4a 3a a ˇ D 6a.a /.a /.4a /.a / 3a.a /.a /.a /.a /.4a / a.a / a.a /.a / D a 3 a a Si aquest determinant és diferent de zero, el sistema és compatible determinat. Els valors de a per als quals s anul. la el determinant són les solucions de l equació de tercer grau a 3 a a D. La primera solució podem calcular-la pel mètode de Ruffini

184 84 Geometria lineal i evidentment les altres solucions són a D. (a Si a 6D, els tres plans es tallen en un punt. (b Si a D, el sistema format per les equacions dels tres plans és 3x 3y z D >= x y z D >; 3x 3y z D i és evident que el primer pla i el tercer coincideixen i que aquest pla i el segon es tallen en una recta. (c Si a D, el sistema format per les equacions dels tres plans és 3x y D >= 3x 3y 3z D >; 5x 3y z D i podem estudiar aquest sistema triangulant la matriu ˇ F F F F 3 3F 3 5F ˇ 6 ˇ 8 F 3 F 3 F quest sistema és incompatible i no hi ha cap parell de plans paral. lels, per tant, els plans es tallen dos a dos en tres rectes paral. leles. 7. L espai afí euclidià 7. alculeu l equació del pla P que passa pels punts.; ; / i.3; ; / i és perpendicular al pla d equació 3x y z D. En primer lloc el vector Eu D.; ; /, que té origen en el punt.; ; / i extrem.3; ; /, ha d estar contingut en el pla P, per tant, ha de ser perpendicular al vector associat a aquest pla.

185 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 85 En segon lloc el pla P ha de ser perpendicular al pla d equació 3x vector associat ha de ser perpendicular al vector.3; ; /. y z D, per tant, el seu És a dir, tenim que el vector associat al pla P ha de ser perpendicular als vectors.; ; / i.3; ; /, per tant, el podem calcular fent el producte vectorial d aquests dos vectors i j k.; ; / ^.3; ; / D D. ; 5; / ˇ 3 ˇ leshores l equació implícita del pla P és de la forma x 5y z D D i atès que passa pel punt.; ; / obtenim que D D z 5 D. 5, per tant, P és el pla d equació x 5y 8. alculeu l equació del pla perpendicular a la recta x y 3z D 5 x y z D que passa pel punt.; ; 3/. El vector director de la recta Eu és perpendicular al pla, per tant, és un vector associat al pla (figura 7.. La recta ve donada com a intersecció de dos plans, aleshores el seu vector director és el producte vectorial dels vectors associats a aquests plans i j k Eu D.; ; 3/ ^.; ; / D 3 D.; 5; 3/ ˇ ˇ Finalment, si Eu D.; 5; 3/ és un vector associat al pla P, la seva equació és de la forma x 5y 3z D D Per calcular el coeficient D, fem servir que aquest pla passa pel punt.; ; 3/. És evident que D D. Per tant, l equació implícita del pla és x 5y 3z D

186 86 Geometria lineal R Eu P Figura 7.3 Pla i vector associat. alculeu l equació del pla que conté la recta x i és perpendicular al pla x y 3z D. D y D z 3 om que el pla que busquem ha de contenir la recta de l enunciat, ha de passar pel punt.; ; / i un dels seus vectors directors ha de ser.; ; 3/. D altra banda, el fet de ser perpendicular al pla x y 3z D, implica que ha de contenir el vector.; ; 3/. ixí doncs, ja tenim un punt de pas i dos vectors directors de pla. Per tant, la seva equació serà ˇ x y 3 3 z D 3x y 5z D ˇ. alculeu la projecció ortogonal i el simètric del punt.3; 6; 5/ respecte al pla d equació general x y 3z D.

187 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 87 La projecció ortogonal d un punt sobre un pla és la intersecció del pla i la recta perpendicular al pla que passa per aquest punt. El vector associat al pla és Eu D.; ; 3/, per tant, l equació vectorial de la recta perpendicular al pla que passa pel punt.3; 6; 5/ és.x; y; z/ D.3; 6; 5/.; ; 3/ Substituint a l equació del pla D H 4 D 8 H D Per tant, la intersecció de la recta i el pla és el punt.3; 6; 5/.; ; 3/ D.; ; / És a dir, la projecció ortogonal del punt.3; 6; 5/ sobre el pla x y 3z D és el punt.; ; /. D altra banda, si posem a D.3; 6; 5/ i b D.; ; /, el simètric a del punt a respecte al pla compleix que b és el punt mitjà del segment aa. leshores, si a D.a ; a ; a 3 /, s ha de complir que a 3 a 6 a 3 5 D ; D i D Per tant, el simètric del punt.3; 6; 5/ respecte al pla és el punt a D. ; ; 7/.. alculeu la projecció ortogonal i el simètric del punt.3; 5; / respecte a la recta d equacions x 3y z D 5 x y 3z D La projecció ortogonal d un punt sobre una recta és la intersecció de la recta i el pla perpendicular a la recta que passa per aquest punt. El vector director de la recta és i j k.; 3; / ^.; ; 3/ D 3 D. ; 4; / ˇ 3 ˇ

188 88 Geometria lineal Per tant, l equació del pla perpendicular a aquesta recta és de la forma 5x y z D D i com que aquest pla ha de passar pel punt.3; 5; /, obtenim que D D 4. leshores, la projecció ortogonal del punt.3; 5; / sobre la recta s obté en resoldre el sistema format per les equacions de la recta i l equació del pla perpendicular x 3y z D 5 >= x y 3z D >; 5x y z D 4 Triangulant la matriu del sistema tenim que ˇ F F F F 3 F 3 5F ˇ ˇ 5 6 F 3 F 3 7F La solució del sistema és x 3y z D 5>= y 4 D 6 >; H z D x 3 D 5>= y D >; H z D x D >= y D >; z D Per tant, la projecció ortogonal és el punt.; ; /. De la mateixa manera que a l exercici anterior, si a D.a ; a ; a 3 / és el simètric del punt.3; 5; / respecte a la recta s ha de complir que a 3 D ; a 5 D i a 3 D leshores, el simètric de.3; 5; / respecte a la recte és el punt a D. ; 3; 3/.. alculeu la distància del punt.; 3; / al pla d equació x y 5z D.

189 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 8 Si Eu és el vector associat al pla P i b un punt d aquest pla, la distància entre un punt i el pla ve donada per d D j! ba Eu j k Eu k En aquest cas, tenim que Eu D.; ; 5/ i per trobar un punt del pla hem de trobar una solució de l equació x y 5z D. om que tenim tres incògnites i només una equació, podem donar valors arbitraris a la y i a la z, per exemple y D, z D i obtenim x D, és a dir, b D.; ; /. leshores és clar que! ba D.; 3; / i que la distància entre el punt i el pla és d D j p 6 j D p 6 D 8p alculeu la distància del punt.; ; / a la recta x y z D 5 x y 3z D Si Eu és el vector director de la recta i p un punt d aquesta recta, la distància entre un punt a i la recta ve donada per d D k! pa ^ Eu k k Eu k El vector director de la recta és i j k Eu D.; ; / ^.; ; 3/ D ˇ 3 D. ; ; / ˇ i per trobar un punt de la recta donem a la z el valor z D i resolem el sistema x y D 5 H x D 7 i y D ; x y D

190 Geometria lineal per tant, p D.7; ; /. leshores! pa D. 6; ; / i! pa ^ Eu D ˇ i j k 6 D. ; 4; 6/ ˇ Per tant, la distància entre el punt i la recta és d D p 37 p 6 D p 6 4. alculeu la distància entre les rectes x y z D x y z D i x y 3z D ; x 3z D i l equació de la perpendicular comuna que les talla. El vector director de la primera recta és Eu D.; ; / ^. ; ; / D ˇ i j k D. 5; 4; 3/ ˇ i el vector director de la segona i j k Ev D.; ; 3/ ^.; ; 3/ D 3 ˇ 3 D.3; 3; / ˇ Per trobar un punt de la primera recta donem el valor z D i resolem el sistema x y D H x D 3 i y D ; x y D 4 per tant, p D.3; ; /. I per trobar un punt de la segona recta donem el valor z D i obtenim directament x D i y D, per tant, p D.; ; /.

191 Àlgebra Lineal. Problemes resolts leshores, Eu ^ Ev D ˇ i j k D. 5; 4; 7/ ; ˇ! p p D. ; ; / i! p p.eu ^ Ev/ D 6 Per tant, la distància entre les dues rectes és d D j p 6 j D p 6 D 8p D altra banda, la perpendicular comuna que talla aquestes dues rectes es pot obtenir com a intersecció dels plans P i Q, on P és el pla que passa pel punt p i té vectors directors Eu i Eu ^ Ev i Q és el pla que passa pel punt p i té vectors directors Ev i Eu ^ Ev. Ev Q p Eu ^ Ev P Eu p R Figura 7.4 Recta perpendicular comuna L equació del pla P és ˇ i l equació del pla Q és ˇ 5 5 x y 3 7 z 3 5 x 3 4 y 7 z D 5x 5y 5z 5 D ˇ D 5x 76y 57z 5 D ˇ

192 Geometria lineal Per tant, l equació de la recta perpendicular a les dues de l enunciat que les talla és 3x 3y z D 5x 76y 57z D 5 5. alculeu l àrea del triangle de vèrtexs.; ; 3/,.; ; / i. ; 4; /. L àrea d un triangle de vèrtexs a, b i c és S D k! ab k k! ab ^!ac k k! ab k D k! ab ^!ac k En aquest cas, tenim que a D.; ; 3/, b D.; ; / i c D. ; 4; /. Per tant,! ab D.; ; 4/ i! ac D. ; ; 5/. leshores i l àrea del triangle és! ab ^!ac D ˇ S D i j k 4 5 p 37 D p 37 D. 3; 8; / ˇ 6. El punt p té coordenades. 6; ; 6/ en el sistema de referència S D fo I Eu ; Eu ; Eu 3 g i el pla P té equació x y 3z D. Sabent que aquests vectors tenen longitud, que Eu i Eu formen un angle de 6 ı, Eu i Eu 3 de ı i que Eu i Eu 3 són perpendiculars, calculeu la projecció ortogonal de p sobre P i la distància del punt al pla. En primer lloc, observem que el vector de components.; ; 3/ no és perpendicular al pla P ja que la referència no és rectangular. D altra banda, tenim que els productes escalars entre els vectors de la base són Eu Eu D 4 Eu Eu D 4 Eu Eu D 4 Eu Eu D Eu Eu 3 D Eu Eu 3 D

193 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 3 D altra banda, el subespai director del pla té equació implícita x y 3z D, per tant, podem prendre com a vectors directors del pla Eu D.; ; / i Ev D.; 3; /, on aquestes components estan referides a la base B D feu ; Eu ; Eu 3 g. Un vector Ew és perpendicular al pla si, i només si, Eu Ew D i Ev Ew D. Si les components de Ew en la base B son.a; b; c/, aquests productes escalars són Eu Ew D.Eu Eu /.aeu b Eu c Eu 3 / D 4a b c 4a 8b D 8a b c D Ev Ew D.3Eu Eu 3 /.aeu b Eu c Eu 3 / D 6a b a 4c D 4a b 4c D Per tant, per a obtenir el vector Ew (les seves components en la base B, hem de resoldre el sistema d equacions 8a b c D I 4a b 4c D una possible solució del qual és Ew D.8; 5; 7/, expressat en la base B. leshores, les equacions paramètriques de la recta perpendicular al pla que passa pel punt p en la referència S són x D 6 8 >= y D 5 z >; D 6 7 i la intersecció d aquesta recta amb el pla P s obté en resoldre l equació. 6 8/. 5/ / D 4 D 4 D Per tant, la projecció ortogonal de p sobre el pla és el punt q D.; 5; /. Finalment, la distància del punt al pla és d.p; P / D k! pq k D q!pq! pq, on és a dir, d.p; P / D p 4.! pq! pq D.8Eu 5Eu Eu 3 /.8Eu 5Eu Eu 3 / D 68 ;

194 4 Geometria lineal

195 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 5 8 òniques i quàdriques 8. òniques. alculeu l equació de l el. lipse que té els focus en els punts F D.; / i F D.; 3/ i el semieix major és a D. El centre de l el. lipse és el punt mitjà del segment FF, és a dir, el punt D.; /, la distància entre el centre i un dels focus és c D d.; F / D p i el semieix menor és b D p p p a c D 4 D. Per tant, l equació canònica de l el. lipse és x 4 y D Multiplicant aquesta equació per 4 tenim l equació equivalent x y D 4. questa és l equació de l el. lipse en la referència R D f.; /I p.; /; p.; /g ;

196 6 òniques i quàdriques ja que l origen d aquesta referència és el centre de l el. lipse, l eix de les x és la recta que passa pel centre i els focus (té vector director.; / i l eix de les y és la recta perpendicular a l anterior que passa pel centre (té vector director.; /. L equació del canvi de coordenades és x y D p x y Si aïllen.x ; y / en funció de.x; y/ obtenim x y D p 3 p x y ; és a dir, x D x y p y D x y 3 p >= >; Substituint a l equació x y D 4 obtindrem l equació de l el. lipse.x y /.x y 3/ D 4 x y xy x y.x y xy 6x 6y/ D 8 3x xy 3y x 4y D Una altra manera de trobar l equació de l el. lipse és fer servir la seva definició, és a dir, és el conjunt de punts del pla tals que d.p; F / d.p; F / D a. leshores, l equació és q q.x /.y / x.y 3/ D 4 Si passem la segona arrel a l altre costat de la igualtat i elevem els dos termes al quadrat tenim que q.x /.y / D 4 x.y 3/ ; q x 4x 4 y y D 6 8 x.y 3/ x y 6y

197 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 7 grupant els termes, tenim que 4x 4y D 8 p x.y 3/, aleshores simplifiquem per 4 i tornem a elevar al quadrat q.x y 5/ D x.y 3/ ; x xy y x y 5 D 4.x y 6y / ; x xy y x y 5 D 4x 4y 4y 36 Finalment, agrupant els termes obtenim l equació de l el. lipse 3x xy 3y x 4y D la figura 8. podem veure el gràfic d aquesta el. lipse. Figura 8. El. lipse d equació 3x xy 3y x 4y D. alculeu l equació de la hipèrbola que té els focus en els punts F D. ; / i F D.3; / i el semieix real és a D. El centre de la hipèrbola és el punt mitjà del segment FF, és a dir, el punt D.; /, la distància entre el centre i un dels focus és c D d.; F / D p 5 i el semieix imaginari és b D p p c a D 5 4 D. Per tant, l equació canònica de l el. lipse és x y 4 D

198 8 òniques i quàdriques Multiplicant aquesta equació per 4 tenim l equació equivalent x 4y D 4. questa és l equació de la hipèrbola en la referència R D f.; /I p.; /; p.; /g ; 5 5 ja que l origen d aquesta referència és el centre de la hipèrbola, l eix de les x és la recta que passa pel centre i els focus (té vector director.; / i l eix de les y és la recta perpendicular a l anterior que passa pel centre (té vector director.; /. L equació del canvi de coordenades és x y D p 5 x y Si aïllem.x ; y / en funció de.x; y/ obtenim x y D p 5 3 p 5 x y ; és a dir, Substituint a l equació x x D x y p 5 y D x y 3 p 5 >= >; 4y D 4 obtindrem l equació de la hipèrbola.x y / 4.x y 3/ D x y 4xy 4x y 4.x 4y 4xy 6x y/ D xy 5y x 5y 55 D 4xy 3y 4x y D Una altra manera de calcular l equació de la hipèrbola és fent servir la seva definició, és a dir, és el conjunt de punts del pla tals que jd.p; F / d.p; F / D a. leshores l equació és q j q.x /.y /.x 3/ y j D 4

199 Àlgebra Lineal. Problemes resolts questa igualtat també es pot posar sense el valor absolut q.x /.y / q.x 3/ y D 4 Si passem la segona arrel a l altre costat de la igualtat i elevem els dos termes al quadrat tenim q.x /.y / D. 4.x 3/ y / ; q x x y 4y 4 D 6 8.x 3/ y x 6x y grupant els termes, tenim que 8x 4y D 8 p.x 3/ y, aleshores simplifiquem per 4 i tornem a elevar al quadrat q.x y 5/ D.x 3/ y ; 4x 4xy y x y 5 D 4.x 6x y / ; 4x 4xy y x y 5 D 4x 4x 36 4y Finalment, agrupant els termes obtenim l equació de la hipèrbola 4xy 3y 4x y D la figura 8. podem veure el gràfic d aquesta hipèrbola. 3. alculeu l equació de la paràbola que té el focus en el punt F D. ; / i la recta directriu és la recta d equació R W x y 3 D. En aquest cas, calculem l equació de la paràbola fent servir la seva definició, és a dir, és el conjunt de punts del pla tals que jd.p; F / D d.p; R/. leshores l equació és q.x /.y / jx y 3j D p 5 Elevant els dos termes de la igualtat al quadrat tenim.x /.y /.x y 3/ D ; 5 5.x 4x 4 y y / D x 4xy 4y 6x y ; 5x x 5y y 5 D x 4xy 4y 6x y

200 òniques i quàdriques Figura 8. Hipèrbola d equació 4xy 3y 4x y D Finalment, agrupant els termes obtenim l equació de la paràbola 4x 4xy y 6x y 6 D la figura 8.3 podem veure el gràfic d aquesta paràbola. 4. Donada la cònica d equació x xy 6y x y D, lassifiqueu-la i calculeu-ne la seva equació reduïda i els seus elements geomètrics. En primer lloc, comprovem si aquesta és una cònica amb centre o sense centre. Per això, hem de resoldre el sistema d equacions QX L D ; on Q és la matriu de la part quadràtica de la cònica i L la part lineal Q D i L D Evidentment, la solució del sistema d equacions x 6y 6 D 6x 6y 6 D 6 6

201 Àlgebra Lineal. Problemes resolts Figura 8.3 Paràbola d equació 4x 4xy y 6x y 6 D és x D i y D. És a dir, es tracta d una cònica amb centre en el punt.; /. En segon lloc hem de trobar els valors i els vectors propis de la matriu Q. Polinomi característic de la matriu Q p.x/ D ˇ x 6 6 x 6 ˇ D.x /.x 6/ 36 D x 4x 6 Valors i vectors propis Les arrels del polinomi característic són x D 4 p6 384 D 4 p4 D 4 D ( 8 ; per tant, els valors propis de la matriu Q són i 8. Sabem que l equació reduïda de la cònica és x 8y t D on t D F.; / D././. / 6. /./. / D 3 ; és a dir, l equació reduïda de la cònica és x 8y 3 D i aquesta cònica és una hipèrbola.

202 òniques i quàdriques Els vectors propis d aquesta matriu són els nuclis de les matrius Q I i Q8I, respectivament 6 3 Q I D ' H x D 3y H Nuc.Q I / D h.3; /i ; Q 8I D ' H y D 3x H Nuc.Q 8I / D h.; 3/i 6 leshores, l equació del canvi de coordenades que passa de l equació inicial de la cònica a l equació reduïda és x D 3 x p y 3 y Els eixos de la hipèrbola, que coincideixen amb els eixos de coordenades.x ; y / són les rectes que passen pel centre i tenen vectors directors els vectors propis de la matriu Q. L eix de les x és la recta que passa pel centre i té vector director.3; /, és a dir, la recta d equació x 3y 3 D, mentre que l eix de les y és la recta que passa pel centre i té vector director.; 3/, és a dir, la recta d equació 3x y D. la figura 8.4 podem veure el gràfic d aquesta hipèrbola. Figura 8.4 Hipèrbola d equació x xy 6y x y D 5. alculeu l equació reduïda de la cònica x xy y 8x 8y 6 D. lassifiqueu-la i calculeu-ne l eix o eixos de simetria.

203 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 3 Per saber si la cònica té centre, hem de resoldre el sistema d equacions QX L D, és a dir, x y 4 D ; x y 4 D que és incompatible. questa cònica no té centre i és una paràbola. Polinomi característic de la matriu Q p.x/ D ˇ x x ˇ D.x /.x / D x x Valors i vectors propis Les arrels del polinomi característic són i, per tant, els valors propis de la matriu Q són i. Els vectors propis d aquesta matriu són els nuclis de les matrius Q I i Q, respectivament Q I D ' H x D y H Nuc.Q I / D h.; /i ; Q D ' H x D y H Nuc.Q/ D h. ; /i L equació reduïda de la paràbola és x `y D on ` D Ee.`; `/, on Ee és el vector propi unitari amb valor propi nul que apareix com a segon vector de la referència principal de la cònica i l equació reduïda de la paràbola és ` D p. ; /.4; 4/ D 8 p x 6 p y D H x 4 p y D Per calcular el vèrtex de la paràbola, necessitem el seu eix de simetria, que té equació U t.qx L/ D ; on U és un vector (columna propi amb valor propi no nul. En aquest cas,.; /.x y 4; x y 4/ D, és a dir, x y D. leshores, el vèrtex s obté com a intersecció de la paràbola i l eix de simetria x xy y 8x 8y 6 D x y D

204 4 òniques i quàdriques Substituint y D x a la primera equació, obtenim El vèrtex de la paràbola és el punt. ; /. x x. x/. x/ 8x 8. x/ 6 D 6x 6 D x D Els eixos de la paràbola són les rectes que passen pel vèrtex i tenen vectors directors els vectors propis de la matriu Q, és a dir, les direccions determinades per la base del nou sistema de referència. L eix de les x és la recta que passa pel vèrtex i té vector director.; /, és a dir, la recta d equació x y D, mentre que eix de les y és la recta que passa pel vèrtex i té vector director. ; /, és a dir, la recta d equació x y D (de fet, és l eix de simetria de la paràbola. L expressió del canvi de coordenades és x y D p la figura 8.5 podem veure el gràfic d aquesta paràbola. x y Figura 8.5 Paràbola d equació x xy y 8x 8y 6 D 6. Estudieu la cònica d equació 3x xy 3y 6x 6 D, calculeu tots els seus elements geomètrics, l equació canònica i representeu-la gràficament.

205 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 5 om sempre comencem comprovant si es tracta d una cònica amb centre o sense resolent el sistema d equacions QX L D 3x y 8 D x 3y D La solució d aquest sistema és x D 3, y D, és a dir, el centre de la cònica és el punt. 3; /. Polinomi característic de la matriu Q p.x/ D ˇ x 3 x 3 ˇ D.x 3/ D x 6x 8 Valors i vectors propis Les arrels del polinomi caràcterístic són x D 6 p36 3 D 6 p4 D 6 D ( 4 Per tant, els valors propis de la matriu Q són 4 i. L equació reduïda de la cònica és 4x y t D on t D F.3; / D 3. 3/. 3/./ 3./ 6. 3/ 6 D 8 ; és a dir, l equació reduïda de la cònica és 4x y 8 D i aquesta cònica és una hipèrbola. Per obtenir l equació canònica, només cal aïllar el terme independent i dividir 4x y D 8 H 4x 8 y 8 D H x y 4 D partir d aquesta equació tenim que el semieix major és Q D, el semieix menor és b D p i la distància focal és p (c D p a b D p 4 D p. Els vectors propis de la matriu Q són els nuclis de les matrius Q 4I i Q I, respectivament Q Q 4I D I D ' ' H x D y H Nuc.Q 4I / D h.; /i ; H x D y H Nuc.Q I / D h. ; /i

206 6 òniques i quàdriques L eix de les x és la recta que passa pel centre i té vector director.; /, és a dir, x y 4 D, mentre que l eix de les y és la recta que passa pel centre i té vector director. ; /, és a dir, x y D. Les equacions del canvi de coordenades són x 3 D p y x y Els focus de l el. lipse són els punts de coordenades.; p/ en la referència principal R de la cònica, mentre que els vèrtex són els punts de coordenades.; / i. p; / (són els valors de la y quan x D i els valors de x quan y D en aquesta mateixa referència. Substituint a les equacions del canvi de coordenades, obtenim que els focus tenen coordenades. 4; / i. ; / i que els quatre vèrtexs de l el. lipse són. 3 p ; p /,. 3 p ; p /,. ; / i. 4; /. Una vegada calculats tots els elements d aquesta el. lipse, a la figura 8.6 podem veure la seva representació gràfica. Figura 8.6 El. lipse d equació 3x xy 3y 6x 6 D 7. Estudieu la cònica d equació 4x 4xy y 3x 34y D, calculeu tots els seus elements geomètrics, l equació canònica i representeu-la gràficament.

207 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 7 omprovem si es tracta d una cònica amb centre resolent el sistema d equacions 4x y 6 D x y 7 D quest sistema és incompatible i la cònica és una paràbola. Polinomi característic, valors i vectors propis de la matriu Q p.x/ D ˇ x 4 x ˇ D.x 4/.x / 4 D x 5x Les arrels del polinomi característic són 5 i. Per tant, els valors propis de la matriu Q són 5 i i els vectors propis d aquesta matriu són els nuclis de les matrius Q 5I i Q, respectivament Q 5I D ' H x D y H Nuc.Q 5I / D h.; /i ; 4 4 Q D ' H y D x H Nuc.Q/ D h.; /i L equació reduïda de la paràbola és 5x `y D, on Per tant, l equació reduïda és ` D p 5.; /.6; 7/ D 5 p 5 x p 5 y D o x p 5 y D i l equació canònica El paràmetre de la paràbola és p D p 5. y D p 5 x L eix de simetria de la paràbola té equació.; /.4x y 6; x y 7/ D ; és a dir, x 5y 5 D, o bé x y 3 D. El vèrtex de la paràbola és el punt d intersecció entre aquesta i l eix de simetria. Per tant, hem de resoldre el sistema 4x 4xy y 3x 34y D x y 3 D

208 8 òniques i quàdriques Substituint y D x 3 a la primera equació tenim 4x 4x.x 3/.x 3/ 3x 34.x 3/ D 4x 8x x 4x x 3x 68x D x D El vèrtex de la paràbola és el punt. ; /. L eix de les y és l eix de simetria de la paràbola, és a dir, x y 3 D, mentre que l eix de les x és la recta que passa pel vèrtex i té vector director.; /, és a dir, x y D. Les equacions del canvi de coordenades són x y D p 5 x y El focus de la paràbola és el punt de coordenades.; 5 p 5/ en la referència R i la recta directriu té equació y D 5 p 5. Desfent el canvi de coordenades s obté que el focus de la paràbola és el punt. 6; / i la recta directriu té equació x y D 6. La representació gràfica d aquesta paràbola es pot veure a la figura 8.7. Figura 8.7 Paràbola d equació 4x 4xy y 3x 34y D 8. Estudieu la cònica d equació 3x 4xy 8x 8y D, calculeu tots els seus elements geomètrics, l equació canònica i representeu-la gràficament.

209 Àlgebra Lineal. Problemes resolts Resolem el sistema d equacions QX L D per saber si aquesta cònica té centre. 3x y 4 D x 4 D Evidentment, la solució d aquest sistema d equacions és x D, y D, és a dir, el centre de la cònica és el punt.; /. Polinomi característic, valors i vectors propis de Q p.x/ D ˇ x 3 x ˇ D.x 3/x 4 D x 3x 4 Les arrels del polinomi característic són x D 3 p 6 D 3 p5 D 3 5 D ( 4 Per tant, els valors propis de la matriu Q són 4 i. Tenint en compte que F.; / D 3./ 4././ 8./ 8./ D 4 ; resulta que l equació reduïda de la cònica és 4x y 4 D i l equació canònica x y 4 D La cònica és una hipèrbola. El seu semieix real és Q D, el semieix imaginari és b D i la distància focal és p 5 (c D p a b D p 4 D p 5. Els vectors propis de la matriu Q són els nuclis dels endomorfismes Q 4I i Q I, respectivament Q 4I D ' H x D 4 y H Nuc.Q 4I / D h.; /i ; 4 Q I D ' H y D x H Nuc.Q I / D h.; /i L eix de les x és la recta que passa pel centre i té vector director.; /, és a dir, x y 4 D, mentre que l eix de les y és la recta que passa pel centre i té vector director.; /, és a dir, x y 3 D.

210 òniques i quàdriques Les equacions del canvi de coordenades són x D p y 5 x y Els focus de la hipèrbola són els punts de coordenades. p5; / en la referència principal R de la cònica, mentre que els vèrtex són els punts de coordenades. ; / (són els valors de la x quan y D en aquesta mateixa referència. Substituint a les equacions del canvi de coordenades, obtenim que els focus tenen coordenades.4; / i.; / i que els dos vèrtexs de la hipèrbola són. p ; p / i. p ; p / Finalment, les components dels vectors directors de les asímptotes de la hipèrbola en la referència principal són.a; b/ on a i b són els semieixos real i imaginari. En el nostre cas.; /. Per calcular les seves components en la base canònica, hem de fer el canvi de base (no el canvi de coordenades x y D p 5 x Per tant, els vectors directors de les asímptotes de la hipèrbola són.4; 3/ i.; /. Les asímptotes són les rectes que passen pel centre de la hipèrbola i tenen aquests vectors directors; en conseqüència, les seves equacions són 3x 4y D i x D. y La representació gràfica d aquesta hipèrbola es pot veure a la figura omproveu que la cònica d equació x 4xy 3y 8x 4y 5 D és un parell de rectes secants i calculeu les seves equacions. alculem en primer lloc en centre d aquesta cònica. x y 4 D x 3y 7 D La solució d aquest sistema d equacions és x D, y D. Per tant, el centre de la cònica és el punt.; /. Polinomi característic, valors i vectors propis de Q p.x/ D ˇ x x 3 ˇ D.x /.x 3/ 4 D x 4x

211 Àlgebra Lineal. Problemes resolts Figura 8.8 Hipèrbola d equació 3x 4xy 8x 8y D Les arrels del polinomi característic són x D 4 p6 4 D 4 p D 4 p 5 ( p 5 D p 5 Per tant, els valors propis de la matriu Q són p 5 i p 5. Tenint en compte que F.; / D./ 4././ 3./ 8./ 4./ 5 D i que un valor propi de la matriu Q és positiu i l altra negatiu, resulta que la cònica és una parell de rectes secants. Per calcular les seves equacions, expressem l equació de la cònica com a producte de dues equacions de primer grau x 4xy 3y 8x 4y 5 D.x By /.ax by c/

212 òniques i quàdriques Igualant coeficient a coeficient obtenim que a D b Ba D 4 Bb D 3 >= c a D 8 Bc b D 4 >; c D 5 Si escollim D i a D, de la segona i tercera equacions tenim que b B D 4 Bb D 3 i en substituir B D 4 b a la segona equació, ens queda l equació de segon grau b 4b 3 D, que té solucions b D 3 i b D. Si escollim b D 3, de la tercera equació tenim que B D i la quarta i cinquena equacions ens queden c D 8 c 3 D 4 quest sistema té solució c D 5 i D 3. Per tant, les equacions de les dues rectes són x y 3 D i x 3y 5 D. Observació Si haguéssim escollit b D 3, haguéssim obtingut la mateixa solució. Una altra manera de calcular les equacions de les dues rectes és tractar l equació de la cònica com una equació de segon grau amb incògnita y. grupem el termes de la cònica, la seva equació es pot escriure 3y.4x 4/y x 8x 5 D

213 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 3 Resolent aquesta equació de segon grau, obtenim y D 4x 4 p. 4x 4/ 4.3/.x 8x 5/ 6 D 4x 4 p6x x 6 x 6x 8 6 D 4x 4 p4x 6x 6 6 D 4x 4 p.x 4/ 6 4x 4.x 4/ D 8 < D 6 x 6 6x < D x 5 3 x 3 Per tant, les equacions de les dues rectes són x 3y 5 D i x y 3 D 8. Quàdriques. Estudieu la quàdrica d equació 6x 5y 7z 4xy 4xz 6y 4z 4 D. Per a aquesta quàdrica tenim que 6 Q 5 i L 7 alculem, en primer lloc, el centre d aquesta quàdrica, resolent el sistema d equacions QX L D. 6x y z D >= x 5y 3 D >; x 7z D quest sistema és compatible determinat i el centre de la quàdrica és el punt.; ; /. Valors i vectors propis És immediat que el polinomi característic de la matriu Q és p.x/ D x 3 8x x 6 i podem calcular una de les seves arrels mitjançant la regla de Ruffini 3

214 4 òniques i quàdriques Les altres arrels s obtenen a partir de l equació x 5x 54 D x D 5 p5 p 6 5 D D 5 3 D ( 6 Els valors propis de la matriu Q són 3, 6 i. D altra banda, tenim que F.; ; / D 3, per tant, l equació reduïda de la quàdrica és 3x 6y z 3 D i es tracta d un el. lipsoide. la figura 8. es pot veure la seva representació gràfica. z x y z x Figura 8. El. lipsoide y Els vectors propis de Q són els nuclis de les matrius Q 3I, Q 6I i Q I Q 3I x D z H Nuc.Q 3I / D h.; ; /i y D z Q 6I

215 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 5 y D x z D x H Nuc.Q 6I / D h.; ; /i Q I 3 4 x D y z D y H Nuc.Q I / D h. ; ; /i Hem escollit el vector. ; ; / en lloc del vector.; ; / per tal que la nova referència tingui orientació positiva..; La referència principal de l el. lipsoide és R D.; ; /I 3 ; /; 3.; ; /; 3. ; ; / i les equacions del canvi de coordenades que transformen l equació inicial de la quàdrica en la seva equació reduïda són y x y z. Estudieu la quàdrica d equació x y 4xz 4yz 6x 6y 3 D. omproven en primer lloc si aquesta quàdrica té centre o no, resolent el sistema d equacions QX L D x z 3 D >= y z 3 D >; x y D quest sistema és compatible indeterminat i la seva solució és x D z 3 ; y D z 3 és a dir, tots els punts d aquesta recta són centres de simetria de la quàdrica.

216 6 òniques i quàdriques Polinomi característic de la matriu Q x p.x/ D x ˇ x ˇ D x3 x Les arrels d aquest polinomi i, per tant, els valors propis de la matriu Q són 3, 3 i. L equació reduïda de la quàdrica és 3x 3y t D i per obtenir t hem de substituir qualsevol dels centres de la quàdrica a la seva equació inicial. Si escollim el centre.3; 3; /, tindrem que t D F.3; 3; / D.3/.3/ 4.3/./ 4.3/./ 6.3/ 6.3/ 3 D 3 ; l equació reduïda de la quàdrica és 3x 3y 3 D i la quàdrica és un cilindre hiperbòlic. Vectors propis de Q Q 3I 4 3 = 4 4 x D z y D z H Nuc.Q 3I / D h.; ; /i ; Q 3I x D z = y D z ; H Nuc.Q 3I / D h. ; ; /i Q 4 x D z y D z H Nuc.Q/ D h. ; ; / i om a origen de coordenades de la referència principal del cilindre hiperbòlic escollim el punt.3; 3; / (qualsevol dels centres, de manera que aquesta referència és R D.3; 3; /I 3.; ; /; 3. ; ; /; 3.; ; / La seva representació gràfica es pot veure a la figura 8.. Les equacions del canvi de coordenades

217 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 7 z z y x y x Figura 8. ilindre hiperbòlic que transformen l equació inicial de la quàdrica en la seva equació reduïda són x y y 3 z z Observem que l eix de les z coincideix amb la recta de centres del cilindre hiperbòlic.. Estudieu la quàdrica d equació x y 4z xy xz x 4y 4z 5 D. Per saber si la quàdrica té centres, resolem el sistema d equacions QX L D x 6y 6z D >= 6x y D >; 6x 4z 7 D quest sistema és incompatible i la quàdrica no té centre. Per saber de quina tipus és, hem de calcular els valors propis de la matriu Q. Polinomi característic de la matriu Q x 6 6 p.x/ D 6 x ˇ 6 x 4 ˇ D x3 7x 8x

218 8 òniques i quàdriques Evidentment és una arrel d aquest polinomi, les altres són solució de l equació x 7x 8 D ( 4 x D 7 p4 3 D 7 p44 D 7 D 7 ; és a dir, els valors propis són 4, 7 i. La quàdrica és un paraboloide hiperbòlic. Vectors propis de Q Q 4I z = x D Q 7I Q y D 3 z ; = x D 3 y ; z D 3y x D 3 z = ; y D z H Nuc.Q 4I / D h.6; 3; /i H Nuc.Q 7I / D h.3; ; 6/i H Nuc.Q/ D h. ; 6; 3/i El vèrtex d aquest paraboloide és l intersecció de l eix de les z amb el mateix paraboloide. De moment, l únic que sabem de l eix de les z és que és la intersecció dels dos plans de simetria del paraboloide. Les equacions d aquests plans de simetria són U t.x L/ D ; on U són els vectors (columna propis amb valors propi no nul. El primer pla de simetria (el que conté els eixos y i z té equació.6; 3; /.x 6y 6z ; 6x y ; 6x 4z 7/ 6x 3y z 4 D ;

219 Àlgebra Lineal. Problemes resolts mentre que l altre pla de simetria (el que conté els eixos x i z té equació.3; ; 6/.x 6y 6z ; 6x y ; 6x 4z 7/ 3x y 6z D om que la solució del sistema format per aquestes dues equacions és x D 5 z = 3 ; ; y D z resulta que l eix de les z té vector director. ; 6; 3/ (ja ho sabíem, ja que el vector propi amb valor propi nul de la matriu Q té aquesta direcció i passa pel punt. ; 6; 4/. La seva equació paramètrica és.x; y; z/ D. ; 6; 4/. ; 6; 3/ El vèrtex del paraboloide és la intersecció d aquest eix amb el paraboloide, per tant, hem de resoldre el sistema d equacions x y 4z xy xz x 4y 4z 5 D.x; y; z/ D. ; 6; 4/. ; 6; 3/ Substituint x, y i z a la primera equació tenim x y 4z x.6y 6z / 4y 4z 5 D ;. /. 6 6 / /. / / / / / 5 D ; 8 8 D H D Per tant, el vèrtex del paraboloide és el punt.; ; /. leshores, la referència principal del paraboloide és R D.; ; /I 7.6; 3; /; 7.3; ; 6/; 7. ; 6; 3/ nàlogament al cas de la paràbola, l equació reduïda del paraboloide hiperbòlic és 4x 7y `z D, on ` D Ee 3.`; `; `3/ i Ee 3 és el vector propi unitari amb valor propi nul que apareix com a tercer vector de la referència principal. ` D. ; 6; 3/. ; ; 7/ D 7 7

220 òniques i quàdriques Per tant l equació reduïda del paraboloide hiperbòlic es 4x 7y 4z D o bé x y z D Finalment, les equacions del canvi de coordenades que transformen l equació inicial de la quàdrica en la seva equació reduïda són y y 7 z 6 3 z La seva representació gràfica es pot veure a la figura 8.. z z y x x y Figura 8. Paraboloide hiperbòlic 3. Estudieu la quàdrica d equació x y 4z xy 4xz 4yz 48x 4y 84 D. om que el sistema d equacions QX L D, és a dir, x y z 4 D >= x y z D >; x y 4z D és incompatible, la quàdrica no té centre. Polinomi característic de la matriu Q x p.x/ D x ˇ x 4 ˇ D x3 6x

221 Àlgebra Lineal. Problemes resolts Els valors propis de Q són 6 i amb multiplicitat. Per tant, la quàdrica és un cilindre parabòlic. continuació, calculem els vectors propis de la matriu Q Q 6I x D y H Nuc.Q 6I / D h.; ; /i z D y Q x D y z H Nuc.Q/ D h. ; ; /;. ; ; /i El pla d equació U t.x L/ D, on U és un vector (columna propi amb valor propi no nul és l únic pla de simetria del cilindre parabòlic. La seva equació és.; ; /.x y z 4; x y z ; x y 4z/ D x y z D 6 El vèrtex del cilindre parabòlic, que serà l eix de les y de la referència principal és la intersecció d aquest pla amb el mateix cilindre, per tant, hem de resoldre el sistema d equacions x y 4z xy 4xz 4yz 48x 4y 84 D x y z D 6 Substituint x D 6 y z a la primera equació tenim.6 y z/ y 4z.6 y z/y 4.6 y z/z 4yz 48.6 y z/ 4y 84 D ; 4y 6z 68 D Per tant, l eix de les y és la recta x y z D 6 y 4z D 7 El vector director d aquesta recta és.; 4; /, i com a nou origen de coordenades, podem prendre qualsevol punt d aquesta recta, per exemple el punt.; 3; /.

222 òniques i quàdriques L eix de les x és la recta que passa pel punt.; 3; / i té vector director.; ; / i l eix de les z és la recta que passa pel punt.; 3; / i el seu vector director ha de ser perpendicular als vectors directors dels eixos de les x i de les y i j k D.; 3; 6/.3; ; / ˇ 4 ˇ Per tant, la referència principal del cilindre parabòlic és n R D.; 3; /I p.; ; /; 6 p.; 4; /; o p.3; ; 4 / Finalment, l equació reduïda del cilindre parabòlic és 6x `z D, on ` D Ee 3.`; `; `3/ i Ee 3 és el tercer vector de la referència principal ` D p 4.3; ; /. 4; ; / D 84 p 4 D 6 p 4 Per tant, l equació reduïda del cilindre parabòlic és 6x p 4 z D o bé x p 4 z D i les equacions del canvi de coordenades que transformen l equació inicial de la quàdrica en la seva equació reduïda són y 3 z p p p p 6 4 p p 4 p p p 6 4 La seva representació gràfica es pot veure a la figura x y z 4. Estudieu la quàdrica d equació 4x 4y z xy4yz 4xzx y4z 6 D. om que el sistema d equacions QX L D, és a dir, 4x y z D >= x 4y z D >; x y z D és compatible determinat i la seva solució és x D, y D punt.; ; /., z D, el centre de la quàdrica és el

223 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 3 z y x x y z Figura 8. ilindre parabòlic Polinomi característic de la matriu Q x 4 p.x/ D x 4 ˇ x ˇ D x3 x 5x 5 alculem la primera de les arrels d aquest polinomi mitjançant la regla de Ruffini Les altres s obtenen a partir de l equació x x 5 D x D p D és a dir, els valors propis de Q són 5 amb multiplicitat i. D ( 5 5 ; D altra banda, tenim que F.; ; / D, per tant, l equació reduïda de la quàdrica és 5x 5y z D i es tracta d un con real. Els vectors propis de la matriu Q són Q 5I 4

224 4 òniques i quàdriques x D y z H Nuc.Q 5I / D h.; ; /;. ; ; /i quests dos vectors no són perpendiculars. om que necessitem una base ortogonal d aquest subespai de vectors propis, apliquem el mètode de Gram-Schmidt Ev D.; ; / és a dir, Nuc.Q Ev D. ; ; / Q. ;;/.;;/.;;/.;;/.; ; / D. ; ; /.; ; / D. ; ; / ; 5I / D h.; ; /;. ; ; /i I x D y H Nuc.Q I / D h. ; ; / i z D y Per tant, la referència principal del con és n R D.; ; /I p.; ; /; p 3. ; ; /; La representació gràfica del con real es pot veure a la figura 8.3. o p. ; ; 6 / z z y x x y Figura 8.3 on Les equacions del canvi de coordenades que transformen l equació inicial de la quàdrica en la seva equació reduïda són y z p p3 p6 p p3 p6 p 3 x y z

225 Àlgebra Lineal. Problemes resolts 5