MATRICES Y DETERMINANTES.

MATRICES Y DETERMINANTES. Estas a punto de entrar en el maravilloso mundo de las matrices y un carajo! Intenta seguirme. Una matriz es una tabla de números ordenados de la manera siguiente. Las matrices se escriben entre corchetes [ ] o paréntesis (). Las matrices están formadas por filas y columnas siendo: La primera fila: La segunda fila: Y la tercera fila: Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Matrices y determinantes. Página 1

Y puedes deducir que la primera columna es la que contienen los números 1, 4, 7; la segunda columna los números 2, 5, 8; y la tercera columna 3, 6 y 9. Así se puede clasificar esta matriz 3x3 porque tiene 3 filas y 3 columnas. Las matrices se suelen representar con letras y números de acuerdo a su posición en la matriz. A = a1 a12 a13 a21 a22 a23 Siendo a1 (a sub uno), el primer elemento de la fila 1, y a23 (a sub-dos tres), el último elemento de la fila 2 y la columna 3. Así que el tamaño de la matriz viene dado por el número de filas y columnas y se representa por M 3x2 (definiendo primero las filas y luego las columnas). TIPOS DE MATRICES. Se dicen que dos matrices son iguales si los elementos de ambas ocupan la misma posición. Así las siguientes matrices son iguales: A = 2 5 4 6 B = 7 3 5 2 Porque tienen dos filas y dos columnas. Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Matrices y determinantes. Página 2

Matriz fila es una matriz de dimensión 1 x n. A = 1 2 3 Matriz columna es igual que la anterior pero en columna. A = Matriz cuadrada es cuando tiene el mismo número de filas que de columnas. Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Matrices y determinantes. Página 3 2 3 7 A = 1 2 2 5 Diagonal principal de una matriz cuadrada es la formada por los elementos de las columnas en diagonal. En el caso anterior, los elementos a1(1) y a22(5). Matriz triangular es una matriz en la que los elementos situados a un mismo lado de la matriz son nulos (ceros). Así se distingue matriz triangular superior cuando están en la parte superior y matriz triangular inferior cuando están en la parte inferior de la matriz. A = 1 0 0 4 5 0 6 2 1 B = 2 3 5 0 5 8 0 0 6 Matriz diagonal es cuando en una matriz, salvo los elementos de la diagonal principal, todos los elementos son ceros. A = 1 0 0 0 2 0 0 0 3

Matriz unidad es cuando los elementos de diagonal principal valen uno y el resto cero. A = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Matriz nula es cuando todos los elementos de la matriz son todos ceros. A = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Matriz opuesta es otra matriz en la que los elementos tienen los mismos números que la primera, pero inversos. A = 1 5 2 8 B = 1 5 2 8 Matriz traspuesta es cuando se intercambian las filas por las columnas cambiando el orden de la matriz. Así por ejemplo, una matriz 2 x 3 se convertiría en una matriz 3 x 2. A t = 3 4 5 8 3 6 B = 3 8 4 3 5 9 Matriz simétrica es una matriz cuadrada que coincide su traspuesta (filas = colunas). A = 2 3 3 4 B = 2 3 3 4 Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Matrices y determinantes. Página 4

Matriz antisimétrica es aquella matriz cuadrada que coincide con la opuesta de su traspuesta. A = 0 3 0 3 0 6 0 6 0 B = 0 3 0 3 0 6 0 6 0 OPERACIONES CON MATRICES. La suma y sustracción de matrices se realiza con matrices de mismo orden, sumando o restando (según operación) cada elemento de su posición específica de la primera matriz con los elementos de la posición equivalente en la otra matriz. A = 2 3 6 7 A = 2 3 6 7 B = 5 2 5 0 B = 5 2 5 0 A + B = 7 5 11 7 A - B = 3 1 1 7 La multiplicación de una matriz por un número, se multiplica dicho número por todos los elementos de la matriz. -3 x A = 4 1 3 3 7 2 = 12 3 9 9 21 6 Una matriz fila se puede multiplicar por una matriz columna multiplicando los elementos de la fila por los de la columna y se suman: Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Matrices y determinantes. Página 5

A = 1 4 7 B = 3 2 4 A x B = 3 8 28 =39 La operación se realiza: primer elemento de la fila por el primer elemento de la columna + el segundo elemento de la fila por el segundo de la columna + el tercero por el tercero. Para la multiplicación de una matriz fila por una matriz se ha de proceder igual que en el anterior ejercicio pero para cada columna de la matriz: A = 2 5 6 B= 3 4 2 1 6 4 A x B = 52 37 = 89 Pero cuando ocurre al revés, se puede realizar la operación? 3 B = 2 6 4 1 4 A = 2 5 6 B x A =? Para eso hay que mirar las formas de la matriz. La primera tiene una forma de 3x2 y la segunda de 1x3. Si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz (traspuesta), se puede realizar la operación. En este caso, como el número de columnas de la matriz A, no es igual al número de filas de la matriz B, no se puede realizar la operación BxA. Observa que la operación AxB si se podía hacer porque el número de columnas de A era igual al número de filas de B. Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Matrices y determinantes. Página 6

Dada la siguiente matriz: A = 1 2 3 4 B = 1 3 Se puede realizar la operación? La matriz A es una matriz de forma 2x2 y la matriz B, 2x1, por lo que coincide el número de columnas de la primera con el número de filas de la segunda (eso deberá de ser siempre así para que tenga solución). Entonces si se puede realizar. El resultado será una matriz 2x1 (2x2 ---- 2x1): A = 1 2 3 4 La forma de proceder es: B = 1 3 AxB = 7 15 A=[ a11 a12 a21 a22 ] B=[b11 x b11) + (a12 x b21) ] AxB=[(a11 b21 (a21 x b11) + (a22 x b21) Resuelve AxB: A=[1 0 2] 2 4 B=[ 1 3] 0 2 AxB=[(1x2 + 0x( 1) + ( 2)x0) (1x4 + 0x3 + ( 2)x2)]= 2 0 Puede realizarse el producto de BxA? No, porque el número de columnas (1 columna) no es igual al número de filas de las segunda (2 filas). En la multiplicación de matrices es muy importante que tengas en cuenta la forma de las matrices a la hora de realizar el cálculo. Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Matrices y determinantes. Página 7

A= 1 2 3 4 5 6 1 0 B= 7 2 3 4 Sabes que la matriz resultante será (2x3 ---- 3x2) de 2x2. La forma de proceder es. AxB = 24 8 57 14 b11 b12 a11 a12 a13 A = [ a21 a22 a23 ] B = [ b21 b22] b31 b32 AxB=[ [(a11 x b11) + (a12 x b21) + (a13 x b31)] [(a21 x b11) + (a22 x b21) + (a23 x b31)] ] [(a11 x b12) + (a12 x b22) + a13 x b32)] [(a21 x b12) + (a22 x b22) + (a23 x b32)] Hay que prestar especial cuidado a la hora de realizar la operación ya que es muy fácil confundirse al realizar los cálculos pertinentes. Ahora realizamos la matriz BxA. 1 0 A= 7 2 3 4 B= 1 2 3 4 5 6 Lo primero que debemos conocer es si la matriz es operable y la forma de la matriz. Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Matrices y determinantes. Página 8

3x2 --- 2x3 Coinciden las columnas de la primera y las filas de la segunda, por lo tanto si se puede operar y tendrá una solución de 3x3. Para la operación de dicha matriz, se realiza la operación de la primera fila (1-0) de la primera matriz, por la primera columna (1 4). Después la segunda fila (7-2), por la misma columna. A continuación la tercera fila (3 (-4)) por la misma columna. Por cada columna de la segunda matriz, se realiza la misma operación. Así nos saldrá un resultado de: Procedimiento: BxA: 1 2 3 15 24 33 13 14 15 BxA=[ [a11 x b11) + (a12 x b21)] [(a11 x b12) + (a12 x b22)] [(a11 x b13) + (a12 x b23)] [(a21 x b11) + (a22 x b21)] [(a21 x b12) + (a22 x b22)] [(a21 x b13) + (a22 x b23)] [(a31 x b11) + (a32 x b21)] [(a31 x b12) + (a32 x b22)] [(a31 x b13) + (a22 x b23)] ] Como puedes ver es una auténtica locura de fila por columna. Una matriz potencia es aquella matriz que se multiplica por ella misma el número de veces que esté elevada a la potencia. Así: 2 1 3 1 3 = 5 2 5 2 x 1 3 5 2 = 1 9 25 4 Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Matrices y determinantes. Página 9

Resuelve los siguientes ejercicios. Dadas las siguientes matrices: A = 2 2 1 3 B=1 0 3 1 2 5 Determinar las matrices: 3 2 C= 1 7 0 2 y D= 2 5 2 1 10 19 1. 2A + 3D (solución 8 3 ) 2. AxB (solución 4 4 16 4 6 18 ) 5 4 19 3. CxB (solución 8 14 38) 2 4 10 4. A 2 3D 2 36 5 (solución 1 22 ) Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Matrices y determinantes. Página 10

A ver por donde empiezo DETERMINANTES Los determinantes van unidos a las matrices de tal manera que la resolución de la determinante va ligada a la matriz. Sabes que una matriz se puede operar con un número o con otra matriz y que pueden tener varias formas. El determinante de una matriz es la resolución de la propia matriz. Así una matriz A = [10] se representa por det(a) o A y se escribe el resultado del determinante, y que como en este caso solo hay un valor en la matriz es igual al valor: A = 10 Para el cálculo de determinantes solo se utiliza matrices cuadradas. ORDEN DE UN DETERMINANTE. Se dice orden de un determinante a la operación de la determinante en relación a su tamaño. Así un determinante de orden 2, estará formado por un determinante similar a una matriz de 2x2; una de orden 3, por matriz de 3x3; orden 4, 4x4, etc., etc. La matriz A=( 1 3 1 3 ), representa la determinante A = 5 4 5 4 Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Matrices y determinantes. Página 11

RESOLUCIÓN DE DETERMINANTES. Resolver determinantes tiene procesos diferentes de acuerdo al orden de la determinante. La resolución más fácil de una determinante es cuando la matriz es 1x1. Pero eso no se suele dar mucho. La siguiente más difícil es la determinante de orden 2 y para ello, se procede de acuerdo a lo siguiente: Dada una determinante A = 1 2, la forma de resolución 3 4 es multiplicar los elementos de la diagonal principal y después restarle la multiplicación de los elementos de la diagonal inversa es decir en cruz, según el dibujo: Así la solución de A = 4 6 = -2 Para las determinantes de orden 3 la cosa se complica un poco. Sabes jugar al ajedrez? Pues bien, eso será tu salvación. La determinante de orden 3 se realiza sumando al producto de los elementos de la diagonal principal, el producto de 2 saltos de caballo en las posiciones que te voy a indicar, Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Matrices y determinantes. Página 12

menos el producto de la diagonal inversa menos los 2 saltos de caballos que te voy a indicar. Según la imagen la resolución se procede de la forma dada la determinante siguiente: Primero los números de la diagonal principal: (a11 x a22 x a33) Se suman a dos saltos de caballo posicionándose en la casilla inferior del inicio de la diagonal principal (a31), haciendo la L del caballo tumbada y luego la prolonga, para obtener los tres números que se multiplican: Así el segundo término es (a31 x a23 x a12). Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Matrices y determinantes. Página 13

Para el último término te posicionas en la casilla inversa al inicio de la diagonal principal y realizas la misma L con la forma de la primera y obteniendo la casilla del medio y su prolongación el último término: Así el último termino es (a13 x a21 x a32) Esto es la primera parte de la resolución y que da el valor de la determinante principal: [(a11 x a22 x a33) + (a31 x a23 x a12) + (a13 x a21 x a32)] Y eso se resta al resultado de la otra matriz inversa que, obviamente hay que realizar lo mismo, siendo el primer término de la diagonal inversa: (a13 x a22 x a31) Así el segundo término, nos posicionamos en la parte inferior de la diagonal inversa y hacemos la L tumbada igual que lo hicimos anteriormente: Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Matrices y determinantes. Página 14

Obteniendo el segundo término (a33 x a21 x a12). Ahora posicionándonos en el extremos contrario (en la casilla de inicio de la diagonal principal, realizamos la L otra vez tumbada para que nos salga: El último termino (a11 x a23 x a32). Así ahora ya podemos resolver el determinante de orden 3 sabiendo que los 3 primeros términos se suman y los 3 restantes se restan tal cual la fórmula: Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Matrices y determinantes. Página 15

a11 a12 a13 Det(A) =[ a21 a22 a23] = a31 a32 a33 A = [(a11 x a22 x a33) + (a31 x a23 x a12) + (a13 x a21 x a32) (a13 x a22 x a31) (a33 x a21 x a12) (a11 x a23 x a32)] Así que aplicando la fórmula anterior a la determinante siguiente: 1 2 1 Det(A) =[ 0 2 3 ] = 2 1 1 [(1 x 2 x (-1)) + ((-2) x 3 x 2) + ((-1) x 0 x 1) ((-1) x 2 x (-2)) ((-1) x 0 x 2) (1 x 3 x 1) ] = (-2) + (-12) + 0 (4) 0 (3) = -21 Existe otra forma de realizarlo y también es sencilla: Coges la determinante anterior y duplicas las dos primeras columnas (empezando por la izquierda), y las pones en la última columna de la determinante: 1 2 1 1 2 Det(A) =[ 0 2 3 ] 0 2 2 1 1 2 1 A continuación suma el producto de todas las diagonales principales que hay en la nueva determinante (observa que hay 3 diagonales principales). Y luego le restas el producto de las diagonales invertidas. Así que nos queda: A = [(1 x 2 x (-1)) + (2 x 3 x (-2)) + ((-1) x 0 x 1) (2 x 0 x (-1)) (1 x 3 x 1) ((-1) x 2 x (-2))] = Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Matrices y determinantes. Página 16

A = [(-2) + (-12) + 0 0 (3) (4)]= -21 NOTA: Ten mucho cuidado pues aunque éste método es más sencillo, al final se lía la vista y te puede hacer una faena cuando haces las diagonales. MATRIZ COMPLEMENTARIA. Se dice matriz complementaria de un elemento específico a la matriz resultante que se queda cuando eliminas la fila y la columna específica de dicho elemento en una matriz cuadrada. Así en una matriz 3x3 siguiente: A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Si queremos calcular la matriz complementaria del 1, eliminamos la primera fila y la primera columna (quitamos todos los elementos compañeros del elemento que queremos calcular, quedando como resultado una matriz de 2x2 de valor: A = 5 6 8 9 La matriz complementaria se representa mediante M y el elemento eliminado; por lo que como el elemento eliminado el de la primera fila y la primera columna, se designa: M 11 = 5 6 8 9 Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Matrices y determinantes. Página 17

Si de la matriz complementaria, calculamos el determinante, obtenemos el menor complementario, y que en este caso es: A = [ 5 6 ] = (5 x 9) (6 x 8) = 45 48 = -3 8 9 Se dice adjunto del elemento de una matriz dada al número (-1) elevado a la posición de la fila y la columna, restado al determinante del menor complementario de dicho elemento. Se representa mediante A mayúscula y la fila y columna del elemento: A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Vamos ahora a calcular el adjunto del elemento del número 4. Se representa A 21 (fila 2, columna 1) y se asigna a (-1) elevado a 2 + 1: A 21 = (-1) 2+1 Ahora se calcula el menor complementario de 4: M 21 = [ 2 3 ] = (2 x 9) (3 x 8) = 18 24 = -6 8 9 Ahora ya se resuelve el adjunto: A 21 = (-1) 3 - (-6) Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Matrices y determinantes. Página 18

A 21 = (-1) (-6) = 5 Si lo has entendido, enhorabuena porque esto es una rayada considerable por lo que resumiré este punto: Una matriz complementaria es cuando quitas un elemento de la matriz cuadrada y eliminas la fila y la columna de dicha matriz en la que se sustenta el elemento. Un menor complementario es la resolución de dicha matriz complementaria. El adjunto del elemento es cuando se eleva a (-1) una potencia de fila + columna del mismo y se resta el valor del su menor complementario. Para volverse loco DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR ADJUNTOS. Se dice que el valor de un determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea cualquiera por los adjuntos respectivos. Veámoslo con ejemplos: 1 2 1 A = [ 0 3 2 ] 1 4 1 Primero se calcula la determinante de la matriz: A = (3) + (-4) + 0 (-3) 0 (8) = -6 Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Matrices y determinantes. Página 19

Ahora nos dice el anterior enunciado que si desarrollamos la determinante por cada línea (columna), y multiplicamos los elementos específicos por su menor complementario, nos debe de salir el mismo resultado que el resultado de la determinante: A 1 = 1 x 3 2 = 1 x [(3) 8 = (-5)] =-5 4 1 A 0 = 0 x 2 1 = 0 x [(2) 4 = (-2)] = 0 4 1 A 1 = 1 x 2 1 = 1 x [(-4) (-3) = (-1)] =-1 3 2 (-5) + (0) + (-1) = -6 Si ahora hacemos lo mismo con cualquier fila: A 0 =0 x 2 1 = 0 x [(2) 4 = (-2)] = 0 4 1 A -3 = (-3) x 1 1 = (-3) x [(-1) 1 = (-2)] = 6 1 1 A 2 = 2 x 1 2 = 2 x [(4) (-2) = 6] = 12 1 4 0 + (6) + 12 = 18 Y sale otro número porque aquí hay que aplicarse otra tontada del idiota que inventó las matrices: Dado un determinante cualquiera: 1 2 1 A = [ 0 3 2 ] 1 4 1 Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Matrices y determinantes. Página 20

Se puede elegir el signo de un elemento de la forma que teniendo en cuenta la primera posición de la fila 1 y la columna 1, asignas un positivo; para el siguiente elemento (a12), el negativo; para el a13, el positivo otra vez; para el siguiente elemento a21, el negativo, y así hasta que todos los elementos tengan un signo delante: Así que aplicando a la fila 2 esta norma absurda: (-)(0) + (+)(6) + (-)(12) = 6 12 = -6. Ahora me dices si esto de las matrices no te parece una mierda tan grande como la copa de un pino. Observa que en la primera columna si coincides los cálculos: (+)(-5) + (-)(0) + (+)(-1) = -6 Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Matrices y determinantes. Página 21

Veamos el cálculo de 3 determinantes: A = 2 2 1 3 1 0 3 B = [ 1 2 5] 3 5 1 Para la primera se realiza de manera directa: A = (2 x 3) (2 x 1) = 4. Para la segunda se utiliza los del salto de caballo (método de Sarrus) o lo de copiar las dos primeras columnas. B = (2) + (15) (18) (25) = -26 Para el desarrollo del determinante C, aplicamos el desarrollo anterior de una fila o una columna. En este caso cogeré la primera fila. NOTA: Aquí tienes que tener en cuenta la porquería de los signos. Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Matrices y determinantes. Página 22

3 2 2 C 1 = (+)1 x [ 4 2 1 ] = (+)1 x [(-24) + (-40) +2 (-4) -15 (-32)] = -41 1 5 4 0 2 2 C 0 = (-)1 x [ 2 2 1 ] = (-)0 x [(-20) + 6 (-12) (-16)] = 0 3 5 4 0 3 2 C- 1 = (+)-1 x [ 2 4 1 ] = (+)(-1) x [(-4) + 9 - (-24) (-24)] = -53 3 1 4 0 3 2 C 2 = (-)2 x [ 2 4 2] = (-)2 x [4 + 18-24 - 30] = 64 3 1 5 Ahora sumando todos los menores complementarios: -41 + 0-53 + 64: C = -30 Como puedes ver, esto difícil no es, pero lioso de pelotas un tanto. Éste último método se aplica para determinantes a partir de 4x4 o superiores. CONSEJO: Desarrolla siempre por la fila o la columna que tenga más ceros para así poder reducir el número de operaciones. Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Matrices y determinantes. Página 23