SISTEMAS DINÁMICOS APLICADOS A LA ECONOMÍA

SISTEMAS DINÁMICOS APLICADOS A LA ECONOMÍA Fernández Rodríguez, Fernando 1 García Artiles, María Dolores 2 Resumen En este trabajo se desarrolla una asignatura de Sistemas Dinámicos aplicados a la Economía correspondiente al primer cuatrimestre del tercer curso de la Licenciatura en Economía impartida actualmente en la Universidad de Las Palmas de Gran Canarias. El objetivo de ésta asignatura es introducir a los alumnos en el análisis dinámico de las variables económicas utilizando los sistemas dinámicos continuos y discretos como herramientas. La Dinámica Económica trata de hacer más realista los métodos de la estática comparativa estudiando la convergencia temporal de las variables hacia los valores de equilibrio. En ésta asignatura concurren numerosos conceptos macroeconómicos que aparecen en las aplicaciones. No obstante, la ordenación del programa sigue una motivación directamente ligada a las propias herramientas matemáticas. Esta asignatura puede constituir un complemento ideal para otra de Macroeconomía superior. 1. PROGRAMACIÓN DEL CURSO Tema 1.- Ecuaciones Diferenciales. Ecuaciones lineales de 1 er orden. Ecuaciones lineales de orden superior. Introducción a las ecuaciones no lineales. Tema 2.- Ecuaciones en Diferencias. Ecuaciones lineales de 1 er orden. Ecuaciones lineales de orden superior. Introducción a las ecuaciones no lineales. Tema 3.- Sistemas Dinámicos Continuos. Sistemas de dos ecuaciones lineales. Sistemas de más de dos ecuaciones lineales. Tema 4.- Sistemas Dinámicos Discretos. 1 Departamento de Economía Aplicada. Universidad de Las Palmas de Gran Canaria 2 Dirección para correspondencia: Saulo Torón, 4 (Urb. Zurbarán). Campus Universitario de Tafira. Tels: 928-451800/02. Fax: 928-451829/32 1

Fernández Rodríguez, F. y García Artiles, Mª D. Sistemas de dos ecuaciones lineales. Sistemas de más de dos ecuaciones lineales. Tema 5.- Sistemas Dinámicos no lineales. Puntos de equilibrios. Estabilidad. Linealización. Funciones de Lyapunov. Tema 6.- Teoría del Control Óptimo. Cálculo de variaciones. El principio del máximo de Pontryagin. Control óptimo en tiempo discreto. El tiempo dedicado a cada bloque temático es aproximadamente 4 sesiones de hora y media por tema. 2. DESCRIPCIÓN DE LA ASIGNATURA En el análisis económico se utiliza el término "dinámico" para hacer referencia a un tipo de análisis cuyo objeto general es determinar las trayectorias temporales de ciertas variables y estudiar su convergencia a ciertos valores. Este tipo de análisis permite investigar la accesibilidad del estado de equilibrio, la cual se da por supuesta cuando se aplica un análisis estático o estáticocomparativo. Mediante un análisis dinámico se estudia la trayectoria temporal de alguna variable en base a un forma conocida de cambio en el tiempo. Esta trayectoria queda perfectamente determinada a partir de unas condiciones iniciales o de contorno. El tiempo puede intervenir en forma continua o discreta utilizándose diferentes elementos matemáticos. En el caso continuo, los problemas dinámicos más sencillos pueden resolverse mediante la integración de funciones, en situaciones más complejas se aplican los sistemas de ecuaciones diferenciales. Para problemas de carácter discreto se emplean los sistemas de ecuaciones en diferencias. Desde el punto de vista económico, que el tiempo sea una variable discreta quiere decir que sólo nos interesa lo que sucede al final de cada período de manera que toda la actividad económica relevante estará concentrada en un determinado instante temporal, al final de un período que es también el comienzo del siguiente. Si el tiempo actúa como una variable continua indica que "sucede algo" en cada instante. Las ecuaciones en diferencias constituyen una formulación discreta de las ecuaciones diferenciales. Conceptualmente hablando, la teoría de las ecuaciones diferenciales está más desarrollada que la de las ecuaciones en diferencias. Las relaciones existentes entre estos dos tipos de ecuaciones permiten exponer las teorías correspondientes siguiendo una línea similar para los dos tipos de análisis, continuo y discreto. Tanto las ecuaciones diferenciales como las ecuaciones en diferencias tienen una amplia aplicación en la Economía. Así, en el primer caso señalamos como ejemplos más paradigmáticos 2

el modelo de Harrod Domard, el análisis dinámico del modelo de Leontief, la teoría de los ciclos económicos, el modelo de Solow, los modelos poblacionales, el estudio de la estabilidad de los puntos de equilibrio, etc. Entre los numerosos modelos en donde intervienen ecuaciones en diferencias de extendido uso en la Economía podemos señalar el modelo de la telaraña, el modelo de Samuelson para la interacción multiplicador-acelerador, el modelo dinámico de Leontief en el caso discreto, aplicaciones en el análisis de la estabilidad y convergencia al equilibrio, aplicaciones en matemáticas financieras, crecimiento poblacional, etc. Los sistemas de ecuaciones diferenciales y en diferencias surgen por la necesidad de resolver los distintos fenómenos descritos por dos o más ecuaciones y que deben satisfacerse simultáneamente. Los sistemas dinámicos tienen especial interés en la economía porque son capaces de dar una primera explicación al problema del equilibrio y la estabilidad de los precios de un mercado con diferentes mercancías. La idea de estabilidad se refiere al efecto que sobre la solución de un problema dinámico producen pequeñas variaciones en su formulación. Estas variaciones pueden ocurrir en las condiciones iniciales y también en la estructura del problema (estabilidad estructural). Si nos referimos a la estabilidad respecto a las condiciones iniciales, el hecho de que la solución de un sistema lineal sea estable quiere decir que si los valores iniciales están suficientemente próximos, ocurre lo mismo con las soluciones del sistema. La teoría de la perturbación o la estabilidad estructural están enfocadas al análisis de los cambios que se producen en las soluciones cuando se modifica la estructura del problema. Igual que los métodos de resolución para las ecuaciones en diferencias guardan una gran similitud con los existentes para ecuaciones diferenciales, la teoría de la estabilidad transcurre en ambos contextos por cauces paralelos. La condición de Schur, por ejemplo, es una réplica para las ecuaciones en diferencias de la condición de Routh-Hurwitz introducida previamente para ecuaciones diferenciales. Los sistemas en diferencias permiten modelizar una infinidad de fenómenos económicos. Como muestra señalamos los modelos de poblaciones estratificados, por ejemplo, el estudio dinámico de los grupos de edad de la población española en los próximos veinte años. Es preciso también distinguir entre la estabilidad local, que se refiere al mantenimiento de las trayectorias del sistema en el entorno de un punto de equilibrio para unas condiciones iniciales suficiente próximas a él, y la estabilidad global. En los sistemas no lineales la distinción entre estos tipos de estabilidad es fundamental. Según sea el caso, el equilibrio podrá ser local o globalmente estable. Citamos como ejemplo paradigmático de un modelo no lineal con ciclo límite, el modelo de ciclo económico de Kaldor (1940) que resulta ser estructuralmente estable. Con el fin de resolver problemas de Optimización Dinámica incorporamos la Teoría de Control. En líneas generales, el problema de control óptimo consiste en elegir trayectorias temporales para ciertas variables (variables de control) dentro de un conjunto dado de trayectorias (conjunto de control). Esta elección lleva asociada, mediante un conjunto de ecuaciones diferenciales de movimiento, ciertas variables que describen el sistema (variables de estado). Las trayectorias de las variables de control se seleccionan de manera que optimicen un funcional dado dependiente de éstas y del estado (funcional objetivo). Existen variantes del problema general 3

Fernández Rodríguez, F. y García Artiles, Mª D. inicial ya sea respecto a las condiciones de contorno o en relación a la introducción de restricciones en el problema. La aplicación de la Teoría del Control es crucial en distintas áreas de la Economía como el crecimiento, gestión de recursos naturales, etc. 3. COMENTARIOS FINALES El objetivo de ésta asignatura es introducir a los alumnos en el análisis "dinámico" de las variables económicas. Se trata de hacer más realista los métodos de la estática comparativa estudiando la convergencia temporal de las variables hacia los valores de equilibrio. Una característica fundamental del análisis dinámico de la economía es la intervención de la variable tiempo. El tiempo puede intervenir en forma continua o discreta utilizándose diferentes herramientas matemáticas según sea el caso (ecuaciones diferenciales y ecuaciones en diferencias). En el caso lineal, se busca seguir un desarrollo paralelo entre los conceptos relativos a las ecuaciones en diferencias y las ecuaciones diferenciales. En el caso no lineal el análisis de los sistemas discretos, por ejemplo, es mucho más complejo que los continuos. El objetivo en éste caso es sólo introducir al alumno en la dinámica no lineal. Los métodos matemáticos que se emplean en esta asignatura son muy útiles en otras áreas del Análisis Económico. Su manejo resultará especialmente interesante para los alumnos a la hora de cursar otras disciplinas como la Macroeconomia y la Econometría. Los dos primeros temas de la asignatura tienen un desarrollo paralelo y enseñarán a los alumnos la resolución de ecuaciones diferenciales y en diferencias. Siempre se pondrá especial énfasis en las múltiples aplicaciones a modelos económicos dinámicos como por ejemplo modelos de mercado con diferentes tipos de expectativas, modelos de ciclo económico, modelos de crecimiento, modelos de poblaciones, etc. Los temas 3 y 4 amplían los dos primeros y posibilitan el estudio de sistemas de ecuaciones en diferencias y diferenciales. En éstos dos temas se hace especial énfasis a los sistemas lineales. Se estudia tanto el caso de coeficientes constantes como de coeficientes variables. El tema 5 aborda el problema de los sistemas dinámicos no lineales. Inicialmente se estudia su posible simplificación convirtiéndolos en sistemas lineales; pero también se considera características dinámicas propias de la no linealidad como los "ciclos límites" que tienen en la economía especial aplicación en modelos como el ciclo económico de Kaldor. Por último, el tema 6 aborda la teoría del control óptimo, que trata del problema de maximizar un funcional que depende de ciertas variables que se mueven en una trayectoria temporal que viene dada por un determinado sistema dinámico. En ésta asignatura se realiza una mera introducción al caso no lineal. En el curso monográfico de Tercer Ciclo impartido en la Universidad de Las Palmas de Gran Canaria titulado "Dinámica Económica No Lineal, Caos e Inestabilidad", se aborda con más amplitud el problema no lineal y sus aplicaciones en la Economía. 4. BIBLIOGRAFÍA 1. Bellman, R. (1965): Introducción al Análisis Matricial. Ed. Reverté. S.A. 2. Brock, W. y A. Malliaris (1989): Differential Equations, Stability and Chaos in Dynamic Economic. Ed. North Holland. 4

3. Cerdá Tena E. (1992): Sistemas Dinámicos y Optimización Dinámica. Material de trabajo de un curso de doctorado de la Universidad Carlos III. Madrid 4. Chiang, A. (1992): Métodos Fundamentales de Economía Matemática. 3ª Ed. Mc Graw Hill. 5. Chiarella, C. (1990) The Elements of a Nonlinear Theory of Economic Dinamics. Ed. Springer-Verlag. 6. Gandolfo, G. (1996): Economics Dynamics: Methods and Models.Springer Verlag. 7. Goodwin, R.M. (1990): Chaotic Economic Dynamics, Ed Oxford University Press. 8. Guckenheimer, J. y Holmes, P. (1983): Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields. Springer-Verlag. New York. 9. Hirsch, M.W. y Smale, S. (1974): Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra. Academic Press: New York. 10. Kamien y Schwartz (1981): Dynamics Optimization. The Calculus of Variations and Optimal Control in Economics and Management. North Holland. 11. Levy, A. (1992): Economic Dynamics. Averbury. 12. Lorenz, H.W.(1993): Nonlinear Dynamical Economics and Chaotic Motion, 2ª ed. Springer- Verlag, Berlín-Heidelberg. 13. Luenderberger, D. (1979): Introduction to Dynamic Systems. Theory, Models and Applications. John Wiley. 14. Puu, T. (1991): Nonlinear Economic Dynamic. Ed. Springer-Verlag. Seierstad, A. y K. Sydsaeter (1993): Optimal Control Theory with Economic Applications. Noth Holland. 15. Tu, P.N.V. (1991): Introductory Optimization Dynamics. 2ª Ed. Springer-Verlag. Heilderberg. 16. Tu, P.N.V. (1994): Dynamical System. 2ª Ed. Springer-Verlag. Heilderberg. 5