2 OBJETIVOS TERMINALES. Como resultado del proceso de aprendizaje activo del curso, el estudiante estará en capacidad de:

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1 MATERIA: Matemáticas para Economía CÓDIGO: REQUISITOS: Cálculo integral (08301), Teoría de Probabilidades (08131) PROGRAMAS: Economía y Negocios Internacionales, Economía con énfasis en Políticas Públicas PERÍODO ACADÉMICO: INTENSIDAD HORARIA: 4 Horas por semana CRÉDITOS 3 1 OBJETIVO GENERAL. Al finalizar el curso el estudiante estará en capacidad de utilizar la técnica matemática necesaria para formalizar la teoría microeconómica, macroeconómica y econometría e interpretar las predicciones de los modelos económicos. 2 OBJETIVOS TERMINALES. Como resultado del proceso de aprendizaje activo del curso, el estudiante estará en capacidad de: 2.1 Utilizar las técnicas propias del Álgebra Lineal para manipular matrices, sistemas de ecuaciones, valores y vectores propios, y determinar cuándo un modelo matemático en contextos económicos, descrito por ecuaciones lineales, tiene solución. 2.2 Utilizar las técnicas propias de la estática comparativa para analizar los comportamientos de variables económicas frente a cambios en los parámetros que las definen. 2.3 Identificar y resolver los problemas cuya solución requiere del análisis marginal y del concepto de elasticidad parcial en economía como herramienta de solución. 2.4 Establecer si se cumplen o no condiciones para la resolución de problemas de Optimización en varias variables en dominios abiertos (optimización clásica). 2.5 Establecer si se cumplen o no condiciones para la resolución de problemas de Optimización en varias variables con restricciones, y, en particular, conceptualizar y resolver problemas de programación no lineal. 3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE FORMACIÓN ACADÉMICA. 3.1 UNIDAD 1: Álgebra Lineal Realizar operaciones básicas (suma, resta, multiplicación por escalar) con vectores en R n el espacio, y calcular el producto punto entre vectores para determinar longitudes o relaciones de ortogonalidad Realizar operaciones básicas con matrices. Identificar un sistema de ecuaciones lineales, escribir su matriz asociada y resolverlo utilizando eliminación gaussiana Calcular el determinante de una matriz cuadrada y asociar el valor del determinante con la existencia de la matriz inversa Identificar conjuntos de vectores linealmente independientes Relacionar los conceptos de dependencia lineal, rango de una matriz, ecuaciones sobrantes y grados de libertad, con el análisis y solución de sistemas de ecuaciones lineales Formular el teorema espectral para matrices simétricas y relacionarlo con el análisis de los sistemas de ecuaciones lineales asociados a esta clase de matrices.

2 3.2 UNIDAD 2: Funciones de varias variables y estática comparativa Identificar los conjuntos especiales asociados a funciones de dos o más variables: dominio, codominio, rango, gráfica y conjuntos de nivel Calcular las derivadas parciales de funciones simples de varias variables, utilizando la técnica extendida del cálculo de una variable Calcular las derivadas parciales de funciones compuestas de varias variables utilizando la regla de la cadena Utilizar las derivadas parciales en el análisis de formas cuadráticas en varias variables, en contextos de la economía Calcular derivadas direccionales y derivadas de funciones definidas implícitamente Calcular Elasticidades de funciones compuestas en contextos económicos y aplicar los resultados en el análisis del comportamiento de las variables económicas implicadas Calcular la diferencial de una función de varias variables y utilizar el principio de la invariancia de la diferencial en la solución de algunos sistemas de ecuaciones Identificar funciones homogéneas generales y funciones homotéticas en contextos económicos. 3.3 UNIDAD 3: Optimización Identificar condiciones suficientes y necesarias para la existencia de puntos óptimos de una función de varias variables Reconocer propiedades topológicas básicas en R n para identificar conjuntos abiertos, cerrados, acotados, compactos Hallar los valores máximo y mínimo de una función diferenciable definida en un subconjunto cerrado y acotado de R n Conocer los tests para concavidad y convexidad en el caso de n variables (n>1) y utilizarlos en la identificación de óptimos locales Identificar la función objetivo y las funciones de restricción asociadas a un problema de optimización en varias variables con restricciones Identificar las condiciones suficientes para la existencia de puntos óptimos en un problema con restricciones Conocer los pasos a seguir para resolver un problema de programación no lineal Interpretar los problemas de programación no lineal en contextos económicos. 4 CONTENIDO: El contenido total del curso se detalla por temas en la parcelación que se adjunta a este programa. 5 METODOLOGIA. 5.1 El enfoque: En concordancia con los propósitos de la Universidad, en desarrollo de este curso se considera que el aprendizaje es el resultado de un proceso que tiene como centro al estudiante y como guía al profesor. Por lo anterior, en la última media hora de cada sesión de clase el profesor presentará a los estudiantes los conceptos y ejemplos de los ejercicios que se trabajarán en la siguiente sesión. El estudiante, por su parte, deberá estudiarlos, aprenderlos y aplicarlos para responder las preguntas y resolver los ejercicios que se plantean para la clase siguiente. Esta actividad del estudiante será revisada durante la primera media hora de la clase bien sea individual o colectivamente, para conformar la calificación de preparación para la clase (10%). En la hora restante de clase se trabajarán ejercicios que permitan la apropiación y consolidación de los conceptos y técnicas estudiados, con base en la retroalimentación de la primera parte de la clase. 5.2 Los momentos de la clase: Las sesiones de dos horas de duración tendrán los siguientes momentos: Recordar los objetivos de la sesión de clase. Al inicio de cada clase, el profesor recordará los objetivos específicos de aprendizaje que se trabajarán durante la sesión, y motivará el trabajo individual y colectivo del grupo.

3 Presentación y evaluación de la actividad de preparación desarrollada por el estudiante. Las preguntas y los ejercicios asignados por el profesor en la clase previa serán revisados de manera constructiva al inicio de cada sesión de clase, individual o colectivamente. El propósito fundamental de esta actividad es motivar a los estudiantes para el estudio y la preparación permanentes de los temas asignados, con los consiguientes beneficios en los conocimientos esperados y en las diferentes evaluaciones. No todas estas evaluaciones conllevan una calificación numérica, pero sí algunas de ellas, no anunciadas previamente. Trabajo en clase En esta actividad, la de mayor duración en desarrollo de la clase, se resuelven diversos ejercicios y problemas de aplicación que permitan consolidar el tema asignado. Presentación del tema para la clase siguiente. Como se dijo antes, en la última media hora de clase el profesor presentará a los estudiantes los conceptos y ejemplos de los ejercicios que se trabajarán en la siguiente sesión. Además, asignará los ejercicios para realizar cuando hayan comprendido y estudiado tales conceptos. 5.3 Las actividades del estudiante: Para el logro de los objetivos de aprendizaje, el estudiante debe desarrollar, con total responsabilidad, el conjunto de actividades antes, durante y después de la clase, que se describen a continuación. Se le recomienda encarecidamente utilizar las horas de tutoría de Cálculo, espacios a cargo de profesores del Departamento de Matemáticas y Estadística, para la solución de dudas sobre conceptos y ejercicios sobre el tema. Antes de la clase Estudiar el tema que el profesor explicó para esta clase. Esta actividad incluye el comprender y memorizar los conceptos presentados, establecer relación con conceptos previamente estudiados, hacer los ejercicios que se asignaron y resolver las preguntas que se hayan incluido en los ejercicios por discutir. Es necesaria su disposición y trabajo individual para el éxito en esta primera actividad. Durante la clase Participar activamente en el desarrollo de la clase, presentar inquietudes o aportes que hayan surgido durante el proceso de estudio previo. Abstenerse de distraer la atención del grupo, o parte de él, en actividades que no son propias de la clase, en particular, y no utilizar los recursos tecnológicos en asuntos no pertinentes a la clase. Después de la clase Buscar la consolidación del nuevo conocimiento mediante la solución de ejercicios complementarios, y establecer relaciones con el tema de la siguiente clase. No conformarse con entender, sino profundizar en lo aprendido, para lo cual se sugiere destinar un tiempo en su agenda personal y hacer un seguimiento de su proceso de aprendizaje. 6 EVALUACIÓN. Preparación para la clase 15% Primer Parcial 20% Segundo Parcial 20% Examen Final 25% Todo el contenido del curso Pruebas cortas 20% Por lo menos tres; se elimina la de menor calificación. NO HAY supletorio de pruebas cortas. EXAMEN FINAL: Noviembre 29 de 2016, 9:30 a 12:00 EXÁMENES SUPLETORIOS: Octubre 29 de 2016, 9:30 a 12:00, (exámenes parciales) Diciembre 5 de 2016, 9:30 a 12:00, (examen final)

4 OBSERVACIÓN IMPORTANTE: Si un estudiante obtiene una nota mayor o igual a 3.3 en el examen final y la nota así acumulada está entre 2.8 y 3.0, la nota final del curso será de BIBLIOGRAFÍA Texto Guía: Matemáticas para el análisis económico. Sydsaeter, Hammond, Carvajal, PEARSON Prentice Hall. Segunda edición Cálculo diferencial aplicado a la administración y a la economía. Aria/Lardner/Ibarra. Pearson Edición Álgebra Lineal. Kolman Bernard. Octava edición.

5 MATEMÁTICAS PARA ECONOMÍA. PERÍODO ACADÉMICO S#: Sesión número. SAE: Sección del texto guía asignada al estudiante para la clase siguiente S# TEMA 1 PRESENTACIÓN DEL PROGRAMA. Sistemas de ecuaciones lineales Modelos de Leontief (sección 12.1) 2 Independencia lineal. El rango de una matriz. Ejercicios recomendados para programar la discusión en clase (*1) 12.1: 1 al 4 Tarea: repaso de álgebra matricial 14.1:3 a :2 a 4 SAE Sistemas de ecuaciones lineales. 14.3:3 a Autovalores 14.4:3 a Diagonalización 14.5:2, Ejercicios recomendados para que el estudiante confronte su manejo previo de los temas. ES OBLIGATORIO EL ESTUDIO DE LOS EJEMPLOS DE CADA SECCIÓN DEL TEXTO 14.1:1 a : :1,2 14.4:1,2 14.5: :1 Pruebas Cortas 5 Diagonalización (continuación). El teorema espectral para las matrices simétricas 14.5: 14.6:2, :1 a :1,2,3 6 Funciones de dos o más variables Representación geométrica de funciones de varias variables (hasta curvas de nivel). 7 Más de representación geométrica (hasta continuidad). Derivadas parciales en dos variables. 8 Derivadas parciales y planos tangentes. Derivadas parciales de funciones de varias variables (El teorema de Young. Y definiciones formales) 9 Derivadas parciales en economía. Modelos lineales con objetivos cuadráticos. 15.1:5 a :4,5,6 15.2: 15.3:4 a :3 a :4 a :3 a :2 a 4 10 Formas cuadráticas en dos variables. 15.8:3 a : 15.3:1,2,3 15.4:1,2 15.5:1 a :1,2 15.7: :1, PRIMER PARCIAL: hasta la sesión :1,2 12 Formas cuadráticas en varias variables. 15.9:3 a ,2,3 13 La regla de la cadena. Derivadas direccionales. 16.1:4 a :1 a :1,2,3 14 Generalizaciones de la regla de la cadena Derivadas de funciones definidas implícitamente. 16.2:5 a :4 a :1 a :1,2,3 15 Elasticidades parciales. 16.4:5 a ,2,3 Funciones homogéneas de dos variables. 16.5:4 a Funciones homogéneas generales y funciones 16.6:4 a :1,2 homotéticas. Aplicaciones económicas :1 a 4 17 Más sobre derivación implícita. Aproximaciones lineales y diferenciales. 16.7:3 a :5 a : : Sistemas de ecuaciones. El teorema de la función implícita. 19 Optimización en dos variables. Condiciones necesarias. Optimización en dos variables. Condiciones suficientes. 16.9:2 a :2 17.1:6 a :4 a :1 a :1 a :1 a 4

6 20 Óptimos locales. 17.3:5 a Máximos y mínimos con nociones de topología. 17.4:3 a 7 El teorema de los valores extremos. 17.5:2 a 5 22 SEGUNDO PARCIAL: sesiones 10 a :1,2 17.5:1 17.6:1,2 17.7:1 23 Conjuntos convexos. Funciones cóncavas y convexas. 24 Condiciones útiles de concavidad y convexidad Test de la segunda derivada: 2 variables. 17.6:3 a :2 a :2,3 17.9:4 a : : 1 a :1 25 Test de la segunda derivada: n variables :2, El método de los multiplicadores de Lagrange 18.1:3 a Interpretación del multiplicador de Lagrange. 18.2:3 a :1,2 18.2:1,2 18.3:1,2 18.4:1 27 Múltiples candidatos a solución. Por qué funciona el método de Lagrange. 18.3:3 a :2 a :1 18.6: 28 Condiciones suficientes. 18.5:2 a 4 Problemas más generales. 18.6:3 a Programación no lineal: un caso sencillo. 18.9:3 a :1, Programación no lineal: un caso sencillo. 18.9: : 1 31 Programación no lineal: más variables y más restricciones. 32 Programación no lineal: más variables y más restricciones (continuación) :3,4, : (*1) En el desarrollo de la clase el profesor puede proponer ejercicios y ejemplos adicionales para apoyar y complementar el trabajo con el texto guía. El estudiante debe responder en cada clase, como mínimo, por haber estudiado los ejemplos de las secciones asignadas previamente.