Sucesiones con Números Primos entre sus Términos Consecutivos, Teoremas y Conjeturas José Acevedo Jiménez Santiago, Rep. Dom. divulgadoresrd@hotmail.com Los matemáticos han intentado en vano, hasta la actualidad, descubrir algún orden en la secuencia de números primos, y tenemos razones para creer que se trata de un misterio que la mente humana nunca resolverá. Leonhard Euler (1713 1783), matemático suizo. En cuanto a los misterios que guardan los números primos, hasta el mismísimo Euler parecía sentirse atenuado ante ellos. Si bien es cierto que hemos logrado dar uno que otro paso por la senda que conduce hacia el gran cofre lleno de oro, pues es lo que representan tales guarismos para los matemáticos, aun no contamos con un mapa exacto que nos conduzca hasta el punto exacto donde se marca la x. Existen conjeturas, que de resultar ciertas, podrían acercarnos bastante hacia ese intricado mundo que forman los números primos. Entre tales conjetura podemos destacar la hipótesis de Riemann y la conjetura de Goldbach. Quien logre demostrar alguna de las conjeturas, antes mencionadas, sin duda alguna escribirá su nombre con letras dorada en el gran libro de la historia matemática. Conjeturas como las citadas nos hacen pensar que quizás realmente exista alguna vía matemática que nos conduzca al total entendimiento de los hasta hoy indomables números primos, por lo que debemos ser optimistas. Que no hayamos podido encontrar el secreto que durante tanto tiempo nos han ocultado
los números primos, no significa que realmente sean indomables y que no vale la pena seguir sus rastros. Muy por lo contrario, mientras sigan resistiéndose al ingenio humano existirán motivos de sobra para seguir adelante e ir tras su búsqueda. Tras el rastro de los indomables Un paso importante en la carrera por conocer los números primos fue dado por Euclides en la antigüedad. Euclides fue el primero en demostrar la existencia de infinitos números primos. Otro paso agigantado fue dado por los matemáticos Legendre y Gauss al conjeturar lo que hoy conocemos como: Teorema de los números primos. Dicho teorema trata sobre la distribución de los números primos. Defínase como el número de primos menores o iguales a. El teorema afirma que: Siguiendo con el orden de los avances logrados por los matemáticos hacia el total entendimiento de los números primos, no podemos dejar de mencionar el teorema de Bertrand-Chebyshov o postulado de Bertrand como se conoce comúnmente. En 1845 el matemático francés Joseph Bertrand conjeturó que existe por lo menos un número primo entre y. Lo dicho se expresa matemáticamente de la siguiente forma: tal que:
En 1850, el matemático ruso Pafnuti Chebyshov dio una demostración de la conjetura formulada por Bertrand, elevando su estatus al de teorema. A simple vista el teorema de Bertrand-Chebyshov parece ser poco interesante, pero tratándose de los números primos, por el interés que suscitan entre los matemáticos y por lo caóticos que aparentan ser, todo lo que a ellos concierne es de interés. El teorema nos indica un claro patrón seguido por los números primos, y eso es algo muy importante, ya que tendemos a pensar que el comportamiento de los primos es caótico y aleatorio. Sin embargo dicho pensamiento va en contraposición con el postulado de Bertrand y conjeturas que se han presentado sobre los números primos, estas nos sugieren un orden entre los indomables y sólo es cuestión de tiempo para que la mente humana pueda resolver un misterio que en antaño parecía imposible. Sucesión de números Por el postulado de Bertrand sabemos que existe por lo menos un número primo entre: Por lo que podemos erigir sucesiones que contengan siempre al menos un número primo entre dos de sus términos consecutivos. Una de tales sucesiones es la siguiente: 4, 6, 10, 18, 34 Se puede demostrar que: tal que: Y de esto sacamos la siguiente sucesión:
4; 6; 9; 13.5; 20.25; 30.375; 45.5625 Como los primos son números enteros podemos redondear las cifras decimales y convertir la sucesión resultante en: 4; 6; 9; 14; 20; 30; 46 La sucesión ideal. Una sucesión en la cual exista un único número primo entre dos términos consecutivos sería la sucesión ideal. Si encontramos un método que nos genere dicha sucesión, entonces, es lo mismo que decir que hemos descubierto un orden en la secuencia de los números primos, lamentablemente parece ser que dicho orden no está al alcance de nuestro conocimiento matemático actual. Dicha sucesión sería de la siguiente manera: 2, 4, 6, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30 Conjeturando. En la siguiente sucesión infinita de números pares, existe siempre un número primo entre dos de sus términos consecutivos? 4, 6, 10, 16, 24, 34, 46 En la sucesión dada podemos observar un patrón recurrente, el primer término es: 4; el segundo ; el tercero ; el cuarto ; el quinto y así sucesivamente.
Dar respuestas a conjeturas como la mostrada podría ser la clave que nos permita finalmente domar lo indomable.