CAMPO MAGNETICO 1. Ianes naturales; La agnetita es un El agnetiso es uno de los aspectos del potente ián natural, tiene la electroagnetiso, que es una de las propiedad de atraer todas las fuerzas fundaentales de la naturaleza. Las sustancias agnéticas. Su fuerzas agnéticas son producidas por el oviiento de partículas cargadas, coo por característica de atraer trozos de hierro es natural. Está copuesta por ejeplo electrones, lo que indica la estrecha óxido de hierro. Las sustancias relación entre la electricidad y el agnetiso. El arco que enlaza abas fuerzas, es el tea de este curso, se denoina teoría agnéticas son aquellas que son atraídas por la agnetita. 2. Ianes artificiales peranentes; Son electroagnética La anifestación ás las sustancias agnéticas que al conocida del agnetiso es la fuerza de frotarlas con la agnetita, se atracción o repulsión que actúa entre los ateriales agnéticos coo el hierro. Sin ebargo, en toda la ateria se pueden convierten en ianes, y conservan durante ucho tiepo su propiedad de atracción. observar efectos ás sutiles del agnetiso. 3. Ianes artificiales teporales; Recienteente, estos efectos han Aquellos que producen un capo proporcionado claves iportantes para agnético sólo cuando circula por coprender la estructura atóica de la ellos una corriente eléctrica. Un ateria. ejeplo es el electroián. Magnetiso Los fenóenos agnéticos se observaron por priera vez al enos hace 2500 años, en fragentos de aterial de hierro agnetizados en la antigua ciudad de Magnesia (hoy Manisa al este de Turquía). Estos fragentos eran lo que hoy conoceos coo ianes peranentes. Los ianes pueden ser iaes naturales e ianes artificiales. (Figura 1. Ián Natural) Los ianes son cuerpos con un agnetiso significativo, de tal anera que pueden atraer a otros ianes o cualquier aterial ferroagnetico. (Por ejeplo, hierro, cobalto, níquel y aleaciones de estos) 1
El capo agnético B, en un punto del espacio se define en función de la agnitud de la fuerza que sería ejercida sobre un objeto de prueba colocado en ese punto, el objeto de prueba es una partícula cargada que se ueve a una velocidad v en dicho capo. Propiedades (Figura2. Ianes Artificiales) Los ianes están copuesto por dos polos (polo Norte y polo sur), los polos iguales se repelen y los polos distintos se atraen. La tierra isa es un gigantesco ián. Su polo norte geográfico está próxio a un polo norte agnético y su polo sur geográfico está próxio a un polo sur agnético, ese eje no es del todo paralelo a su eje geográfico (su eje de rotación), este eje no es fijo se ueve constanteente actualente se ueve a una velocidad de aproxiadaente de 60 k por año. Por eso la lectura de una brújula se desvía un poco del eje geográfico y parece que oscilara ligeraente, esta desviación que varia con la ubicación geográfica se conoce coo declinación agnética o variación agnética. El prier indicio entre la relación del agnetiso y las cargas en oviiento fue descubierto por el científico Danés Hans Cristian Oersted quien encontró que un alabre conductor de corriente desviaba la aguja de una brújula. La fuerza agnética es proporcional a la carga q y la velocidad v, que lleva la partícula cargada en el capo agnético La agnitud y la dirección de la fuerza agnética dependen de la dirección y la agnitud del capo agnético y de la velocidad de la partícula Cuando la partícula se ueve en dirección paralela o anti paralela al capo agnético la fuerza agnética sobre la carga es cero Cuando la velocidad v de la partícula cargada fora un ángulo θ con la dirección del capo agnético B, la fuerza agnética es perpendicular al plano forado por v y B y proporcional al senθ. La fuerza agnética F, sobre una carga positiva en oviiento en un capo agnético B, tiene el sentido opuesto a la fuerza que actúa sobre una carga negativa en oviiento en el iso capo agnético B. Todas estas propiedades se resuen ateáticaente en: F = q (vxb ) producto vectorial Capo agnetico 2
F = qe + qv xb = q(e + v xb ), llaada fuerza de Lorentz Diferencias entre la fuerza eléctrica y la fuerza agnética Donde su agnitud es: F B = q v Bsenθ La dirección de la fuerza agnética F B, la deterina la regla de la ano derecha al hacer girar con los dedos extendidos el vector v sobre el vector B por el caino ás corto, el pulgar indica la dirección de la fuerza. Casos especiales: Si la velocidad v, es perpendicular al capo agnético B, entonces la fuerza agnética es F = qvbsen90 = qvb es áxia Si la velocidad v es paralela al capo B, entonces la fuerza agnética es: F = qvbsen0 = 0 N Si la velocidad v es anti paralela al capo B, entonces la fuerza agnética es: F = qvbsen180 = 0 N La ecuación de Lorentz Si una partícula cargada se ueve en una región donde existe siultáneaente un capo eléctrico coo un capo agnético entonces sobre la carga actúan dos fuerzas La fuerza eléctrica F e siepre está en la dirección de E (Capo eléctrico ) La fuerza agnética F B es perpendicular al capo agnético La fuerza eléctrica actúa sobre la carga q 0 esté o no esté en oviiento La fuerza agnética actúa sobre la carga q 0 solaente si está en oviiento La fuerza eléctrica realiza un trabajo sobre la carga cuando esta se desplaza en un capo eléctrico La fuerza agnética asociada a un capo agnético estacionario no realiza trabajo alguno porque siepre es perpendicular a B. Unidades de capo agnético En el sistea internacional (SI) Tesla (T) 1T = 1 Webber 1 2 = N C /s = En el sistea cgs se utiliza el Gauss 1T = 10 4 Gauss Líneas de Capo Magnético N A. Fuerza eléctrica Fe = qe Fuerza agnética F B = qv xb Las cuales originan una fuerza resultante 3
Si un electrón se dispara a una cierta velocidad hacia un capo agnético entrante sobre este actuara una fuerza agnética perpendicular a su velocidad que lo hará desviarse en Flujo Magnético ϕ B a través de una superficie una trayectoria circular en dicho capo. La agnitud de la aceleración que experienta esta partícula cargada para el oviiento circular es una aceleración radial cuya agnitud esta dada por a c = v2 R - dφ B = B da = Bcosθ da = B da Luego el flujo total a través de la superficie será Φ B = B da Moviiento de circular de cargas en un capo agnético constante Si proyectaos una carga de prueba a partir de un punto P, con una velocidad constante v, a través de un capo agnético B saliente la partícula cargada experienta una fuerza lateralente esto es en ángulo recto a la dirección de la velocidad, describiendo una trayectoria circular en el plano perpendicular a B. Donde R es el radio de la trayectoria circular de la partícula cargada, luego la agnitud de la fuerza debe ser F = a = v2 R (1) Por otro lado coo la fuerza agnética está dada por Y su agnitud es F = q vx B F = qvb Luego igualando con la ecuación (1) teneos que qvb = v2 R Donde finalente teneos qvbr = v R = v qb Esta ecuación es válida solo si v perpendicular a B es 4 De donde se puede observar que R es perpendicular a v (cantidad de oviiento lineal P = v ), e inversaente proporcional a las agnitudes de B y q.
Mientras ayor sea B, ayor será la fuerza eléctrica, y estando este iso aterial en el agnética F B, pero enor será el radio de la seno de un capo agnético, se coprueba curvatura de la trayectoria R. que aparece una fuerza agnética en los portadores de carga que los reagrupa dentro Este oviiento circular tiene un periodo T el del aterial, esto es, los portadores de carga cual está dado por. se desvían y agrupan a un lado del aterial T = 2πR conductor o seiconductor, apareciendo así un capo eléctrico perpendicular al capo v agnético y al propio capo eléctrico Y coo generado por la batería (F). Este capo R = v eléctrico es el denoinado capo Hall (EH), y ligado a él aparece la tensión Hall, que se qb puede edir ediante un voltíetro. Teneos que T = 2πv vqb = 2π qb Y la frecuencia está dada por f = 1 T = qb 2π frecuencia ciclotrónica Y su energía cinética a las partículas es: K = 1 2 v2 = 1 2 (qbr M )2 = 1 2 El efecto Hall q 2 B 2 R 2 En el año de 1879 Edwin Hall llevo a cabo un experiento que peritió la edición directa del signo y la densidad de los portadores de carga en un conductor eléctrico. Calculeos el signo de los portadores de carga de la figura anterior Sea el punto a en la parte superior este esté un potencial positivo, y sea b un punto ubicado en la parte inferior la cual tiene un potencial negativo tal cual indica la figura, esto indica que V A V B > 0 Supongaos que los portadores de carga son negativos, entonces para deostrar que esto sea cierto debeos calcular la dirección de la fuerza y esta debe estar dirigida hacia abajo en el eje y (negativo), veaos Por la grafica observaos que La dirección del capo agnético B es en el eje x (positivo) hacia afuera y debido al sentido de la corriente podeos concluir que la dirección de la velocidad de arrastre es contraria a la corriente debido a que se supuso que el signo de dicha carga era negativo, esto es hacia la izquierda en el eje y (negativo). De esta anera teneos que según F B = q v x B = ( )q v( j )x B(i ) F B = qvb( k ) Cuando por un aterial conductor o seiconductor, circula una corriente Esto deuestra que sin son negativos los portadores de carga. 5
Fuerza agnética sobre una corriente eléctrica Una corriente es un conjunto de cargas en oviiento y debido a que un capo agnético B ejerce una fuerza lateral sobre un conductor por el cual fluye una corriente, coo los electrones no pueden escapar del conductor lateralente la fuerza debe aplicarse al conductor iso. Observaos en la figura que la corriente se ueve hacia la izquierda lo que indica que los electrones se overán hacia la derecha coo se observa en la figura, sea A el área de la sección transversal del alabre y sea V el voluen V = A. L Sea n el núero de electrones por unidad de voluen entonces el núero total de electrones N en el segento de alabre es N = n AL, coo F = Nev d x B = nalev d xb Definaos al vector L en la dirección de la corriente pero opuesto en dirección a la la velocidad de deriva v d, luego podeos decir que F = nal ev d xb Por otro lado sabeos que: Finalente teneos i = naev d F B = il xb Si el alabre no es recto o el capo no es unifore Supongaos que teneos un trozo de alabre conductor de longitud L en un capo agnético, por el cual circula una corriente i. Iaginaos el conductor dividido en pequeños segentos de longitud ds, los haceos suficienteente pequeños para poder considerarlos rectos y el capo 6
agnético sea aproxiadaente unifore luego teneos: df = i dl xb Moento de torsión en una espira con corriente dentro un capo agnético Entonces podeos ver que la fuerza en los segentos 2 y 4 de la espira será cero ya que: df = i dl xb En el trao 2 podeos observar que: El ángulo que existe entre dl y B es igual a 180 lo que nos dará coo resultado una fuerza cero En el trao 4 podeos observar que el ángulo que existe entre dl y B es igual a 0 lo que nos da una fuerza de cero Newton. Observeos que sucede ahora en los traos 1 y 3 Para el trao 1 teneos que: Cuando una espira de alabre que porta una corriente eléctrica se coloca dentro de un capo agnético esta espira puede experientar un oento de torsión el cual puede o tiende a hacer girar la espira alrededor de un eje particular el cual podeos considerarlo que pasa por el centro de la espira. El ángulo que hay entre dl y B es igual a 90, entonces la fuerza agnética será: df = idl. B sen90 = i dl B Integrando teneos: L F 1 = ib dl = ibl 0 De igual anera para el trao 4 df = idl. B sen90 = i dl B L F 2 = ib dl = ibl 0 Ahora el torque o oento de torsión esta dado por τ = r x F Debido a que según F B = il xb τ ax = F 1 ( a 2 ) + F 2 ( a 2 ) = IbB (a 2 ) + IbB (a 2 ) = IbBa Coo ab es el área de la espira τ ax = IBA τ = I(AxB ) 7
Dipolo agnético 3. La agnitud de db es proporcional a τ = IBAsenθ la corriente I y a la longitud dl (del eleento de longitud) Definios μ = IA entonces 4. La agnitud de db es proporcional al τ = μbsenθ μx B senθ, donde θ es el ángulo forado por dl y r μ = MOMENTO DIPOLAR MAGNETICO Y la energía es: db = K I (dl x r) r 2 U = μb cosθ = μ. B Ley de Biot Savart Joul Poco tiepo después de que Hand Oesrted descubriera que las agujas de una brújula eran desviadas por un conductor que conducía una corriente eléctrica, Jean Baptiste Biot y Felix Savart, establecieron esta ley. Esta ley establece que si un alabre conduce una corriente estable I, el capo agnético db en un punto P a una distancia r debido a un eleento de longitud dl, tiene las siguientes características. donde K es una constante K = 10 7 TA K tabién es igual a: K = μ 0 / db = μ 0 o 10 7 Wb/A (dl x r ) I r 2 Es iportante observar que la ley de Biot y Savart proporciona el capo agnético en un punto solo para un pequeño eleento del conductor, para encontrar el capo agnético B creado en algún punto del conductor de taaño finito debeos suar las contribuciones de todos los eleentos de corriente que conforan el conductor. B = μ 0 (dl x r ) I r 2 1. El valor de db es perpendicular a dl ( que siepre tiene la dirección de I), db tabién es perpendicular al vector unitario r dirigido desde el eleento dl al punto P. 2. La agnitud de db es inversaente proporcional a r 2 (donde r es la distancia desde el eleento de longitud dl al punto P) Capo agnético alrededor de un conductor recto Veaos la figura siguiente y supongaos que db = μ 0 (dl x r ) I r 2 db = μ 0 I dlsenθ r 2 Ya que dlx r = dl(1)senθ dl = ds = dx 8
Considerando dos alabres rectos y largos separados por una distancia a y por los cuales circula una corriente I 1 e I 2 en la isa dirección db = μ 0I dx r 2 senθ senθ = a/r r = a/senθ tanθ = a/x x = a(ctgθ) dx = a( csc 2 θdθ) dx = acsc 2 θdθ El alabre 2 el cual conduce una corriente I 2 crea un capo agnético B 2, en una posición del alabre 1, y B 2 es perpendicular al alabre 1, luego F 1 = IlxB 2 F 1 = I 1 LB 2 sen90 = I 1 LB 2 Ahora db = μ 0I acsc 2 θ r 2 senθdθ Coo B = μ 0I 2πa Entonces db = μ 0I acsc 2 θ csc 2 θ(a 2 ) senθdθ θ 2 db = μ 0I senθdθ a B = μ 0I a senθdθ = μ 0 I a (cosθ 2 cosθ 1 ) θ 1 Caso especial si el alabre es infinito B = μ 0I a (cos0 cosπ) = 2μ 0I a Fuerza agnética entre dos conductores Y Ley de Apere F 1 = I 1 LB 2 sen90 = I 1 ( μ 0I 2 2πa ) F 2 = I 2 LB 1 sen90 = I 2 ( μ 0I 1 2πa ) Supongaos un conductor por el cual circula una corriente eléctrica, el sentido del capo agnético B producido se deterina utilizando el étodo de la ano derecha, se toa el conductor con la ano derecha de 9
odo que el pulgar apunte en la dirección de es tangencial al círculo que encierra la la corriente los dedos de la ano al cerrarlos corriente. indican el sentido del capo agnético. El capo agnético disinuye inversaente con la distancia al conductor. B. ds = μ 0 I Ejercicio1. Dos iones con la isa asa y carga q 1 y q 2 donde (q 1 > q 2 ) salen del punto M y son acelerados a través de un par de placas las cuales están a una diferencia de potencial V 0. Luego entran en una región donde existe un capo agnético B, saliente. Los iones son recogidos en los puntos P y P. Deterinar: a) Cuál de los dos iones llega al punto P b) Cuál es su relación q/. P P En física del agnetiso, la ley de Apère, odelada por André-Marie Apère en 1826, relaciona un capo agnético estático con la causa que la produce, es decir, una corriente eléctrica estacionaria. Jaes Clerk Maxwell la corrigió posteriorente y ahora es una de las ecuaciones de Maxwell, forando parte del electroagnetiso de la física clásica. La ley de Apere explica, que la circulación de la intensidad del capo agnético en un contorno cerrado es igual a la corriente que lo recorre en ese contorno. El capo agnético es un capo vectorial con fora circular, cuyas líneas encierran la corriente. La dirección del capo en un punto F = a r = qvb v2 R = qvb R = v qb Llegará a P el ion con ayor radio. R 1 = v 1 q 1 B R 2 = v 2 q 2 B Usando conservación de la energía teneos que: 10
k i + U i = k f + U f Ejercicio 2 La energía cinética inicial es cero y la energía potencial final tabién será cero qv = 1/2v 2 Despejando la velocidad teneos que: v = 2qV v 1 = 2q 1V Se tiene una espira de la fora ostrada en la fig. Por la cual circula una corriente I. Deterinar el capo agnético en el punto O. C R R R O B v 2 = 2q 2V Solución A R 1 = 2q 1V q 1 B = 22 q 1 V q 1 B Trao: OA B = μ 0I dl x r r 2 Ahora R 1 R 2 = Coo (q 1 > q 2 ) R 1 = 2V q 1 B 2 R 2 = 2V q 2 B 2 2V q 1 B 2 2V = q 2 B 2 R 1 R 2 < 1 R 1 < R 2 q 2 q 1 Esto quiere decir que el ion 2 es el que llega al punto P, por tener ayor radio. Para este trao el ángulo que existe entre dl y r es 180 entonces el capo es B 1 = 0 Ya que dl tiene la dirección de la corriente y r esta dirigido desde el dl al punto O. Trao AB B = μ 0I a (cosθ 1 cosθ 2 )û B B = μ 0I (cos45 cos135 )k a θ 1 = 45, θ 2 = 135 Por ser un triangulo Isósceles Por otro lado r O θ 1 dl a θ 2 a =Rsenθ 1 = R 2 2 11
μ 0 I B = R 2 (cos45 cos135 )k 2 B = μ 0 I 2πR 2 ( 2 2 + 2 2 )k B AB = μ 0I 2πR k 12