los lenguajes WHILE y LOOP X2 := X1; while X2 0 do X1 := X1 + 1; X2 := X2 1 od

los lenguajes WHILE y LOOP X2 := X1; while X2 0 do X1 := X1 + 1; X2 := X2 1 od

índice de materias introducción histórica modelos de cálculo lenguajes WHILE y LOOP funciones µ-recursivas teorema de equivalencia indexaciones y universalidad problemas no resolubles sintaxis, semántica y capacidad expresiva

WHILE y LOOP están basados en el bucle indefinido y el bucle definido WHILE LOOP veremos: - sintaxis - semántica informal - semántica formal? 15

sintaxis del lenguaje WHILE identificadores X 1, X 2, X 3,..., X i,... instrucciones de asignación código X i := X j secuencia finita no vacía de X i := X i + 1 instrucciones separadas X i := X i 1 ( 0 1 = 0 ) por ";" X i := 0 instrucción de control programa bucle indefinido: while X i 0 do (cabecera) od (n, p, código) p n código (cuerpo) ambos naturales (cola) Nota: el índice de anidamiento siempre es finito

ejemplo de programa WHILE Ejemplo 1: Sea el programa WHILE (1, 2, código) con código: X 2 := X 1 ; while X 2 0 do X 1 := X 1 + 1 ; X 2 := X 2 1 od

ejemplo de programa WHILE Ejemplo 2: Sea el programa WHILE (1, 1, código) con código: X 1 := X 1 + 1 ; while X 1 0 do od X 1 := X 1

trabaja sólo con naturales semántica informal del lenguaje WHILE no hay instrucciones de entrada ni de salida para un programa (n, p, código) n variables de entrada: X 1, X 2,..., X n 1 variable de salida: X 1 p variables de uso: X 1, X 2,..., X p con p n las variables que no son de entrada se inicializan implícitamente a cero una única función (que puede ser parcial) de N n en N se puede asociar a cada programa

ejemplo de programa WHILE Semántica del programa del ejemplo 1: Sea el programa WHILE (1, 2, código) con código: X 2 := X 1 ; while X 2 0 do od X 1 := X 1 + 1 ; X 2 := X 2 1 Este programa tiene una variable de entrada (X 1 ), usa dos variables (X 1, X 2 ), y X 2 se inicializa implícitamente a cero. Calcula: f(n)= 2n n N

ejemplo de programa WHILE Semántica del programa del ejemplo 2: Sea el programa WHILE (1, 1, código) con código: X 1 := X 1 + 1 ; while X 1 0 do od X 1 := X 1 Este programa tiene una variable de entrada (X 1 ), que es la única que usa. Calcula: f(n)= n N (función que siempre diverge)

semántica formal del lenguaje WHILE versión etiquetada de un programa WHILE Dado un programa WHILE (n, p, código) lo escribimos de manera que cada línea contenga una de las siguientes cosas: una instrucción de asignación una cabecera de (bucle) while: while X i 0 do una cola de (bucle) while: od Además: numeramos las líneas consecutivamente empezando por el 1 tras una cabecera de while ponemos el número que le ha correspondido a su cola tras una cola de while ponemos el número que le ha correspondido a su cabecera

ejemplo de programa WHILE Versión etiquetada del programa WHILE del ejemplo 1 Sea el programa WHILE Q = (1, 2, código) con código 1: X 2 := X 1 ; 2: while X 2 0 do :5 3: X 1 := X 1 + 1 ; 4: X 2 := X 2 1 5: od :2

concepto de configuración de un programa WHILE sea Q = (n, p, código) un programa WHILE, con líneas numeradas de 1 a f, una configuración de Q es una (p+1)-tupla (s, x) con s {1, 2, 3,, f, f +1} y x N p una configuración es inicial si s=1 y x n+1 = = x p = 0 una configuración es final si s = f +1 C Q denota al conjunto de las configuraciones de Q

ejemplos de configuraciones Sea el programa WHILE Q = (1, 2, código) con código 1: X 2 := X 1 ; 2: while X 2 0 do :5 3: X 1 := X 1 + 1 ; 4: X 2 := X 2 1 5: od :2 (1,3,5) es configuración, no inicial y no final (1,5,0) es configuración, inicial y no final (6,8,3) es configuración final, y no inicial (2,2,2) es configuración, no inicial y no final (0,3,5) no es configuración

concepto de cálculo en un paso Sea Q = (n, p, código) un programa WHILE, con líneas numeradas de 1 a f. Diremos que la configuración c 1 =(s, x) se transforma en la configuración c 2 =(t, y) en un paso de cálculo (representado por c 1 Q c 2 ) sii

concepto de cálculo en un paso (para la asignación) < (s, x) Q (t, y) > Si s: asignación aparece en la versión etiquetada de Q, entonces t = s + 1 y i 0 xj = xi + 1 xi 1 si "asignación" es si "asignación" es si "asignación" es si "asignación" es Xi : = 0 Xi : = X Xi : = X Xi : = X + 1 1 yr = xr para todo r tal que 1 r p y r i j i i

concepto de cálculo en un paso (para el bucle) < (s, x) Q (t, y) > Si s: while X i 0 do :s aparece en la versión etiquetada de Q, entonces y = x si xi 0 entonces t = s + 1 si xi = 0 entonces t = s + 1 Si s: od :s aparece en la versión etiquetada de Q, entonces y = x si xi 0 entonces t = s + 1 ( x i está en la cabecera s ) si xi = 0 entonces t = s + 1

ejemplos de cálculo en un paso Sea el programa WHILE Q = (1, 2, código) con código 1: X 2 := X 1 ; 2: while X 2 0 do :5 3: X 1 := X 1 + 1 ; 4: X 2 := X 2 1 5: od :2 (1, 2, 0) Q (1, 2, 2)? (1, 2, 0) Q (2, 2, 2)? (3, 4, 6) Q (4, 5, 6)? (2, 6, 0) Q (6, 6, 0)? (1, 6, 0) Q? (2, 3, 7) Q? (5, 4, 2) Q? (5, 8, 0) Q?

extendemos el cálculo en un paso función siguiente configuración sea Q = (n, p, codigo) un programa WHILE y C Q el conjunto de todas las configuraciones de Q la función siguiente SIG Q : N p+1 N p+1 es SIG Q ( c) = c' c si si c Q c C Q c' c' / c Q c'

siguiente para el programa Q ya visto > = = = = = + = = = = = = 5 si ) ( 0 5 si ) (6 0 5 si ) (3 4 si 1) (5 3 si ) 1 (4 0 2 si ) (6 0 2 si ) (3 1 si ) (2 0 si ) ( ) ( a a,b,c c a,b,c c a,b,c a,b,c a,c,b c a,b,c c a,b,c a,b,b a a,b,c a, b, c SIG Q

función cálculo de un programa (configuración alcanzada tras i pasos) sea Q = (n, p, c) un programa WHILE, con líneas numeradas de 1 a f, la función cálculo del programa Q es la función CAL Q : N p+1 N p+1 CAL Q (a, i) = (t, b), siendo a N p y (1, a) Q c 1 Q c 2 Q Q c i = (t, b) el cálculo de Q en i pasos, que comienza con valores a de las variables que usa el programa (las de no entrada inicializadas) se define recursivamente en función de SIG Q CAL Q (1, a) ( a, i) = SIGQ ( CAL Q ( a, i 1)) si i si i = > 0 0

ejemplo de función cálculo dado el programa Q ya visto, encontrar el valor de CAL Q (6, 0, 4) solución: (1, 6, 0) Q (2, 6, 6) Q (3, 6, 6) Q (4, 7, 6) Q (5, 7, 5) CAL Q (6, 0, 4) = (5, 7, 5)

función complejidad temporal (nº de pasos de un programa, según la entrada) sea Q = (n, p, código) un programa WHILE, con líneas numeradas de 1 a f, la función complejidad temporal de Q es la función T Q : N n N T Q ( x) p+ 1 = µ j[ π1 ( CALQ ( x,0, j)) = f + 1] siendo x N n, 0 un vector de p n ceros y π 1 p+1 la función proyección de la primera componente de un vector de p+1 componentes ( µj el menor j tal que)

ejemplo de función complejidad temporal dado el programa Q ya visto, determinar la complejidad temporal solución: (1, a, 0) Q (2, a, a) Q (3, a, a) Q (4, a+1, a) Q (5, a+1, a 1) Q (3, a+1, a 1) Q (4, a+2, a 1) Q (5, a+2, a 2) Q (3, a+2, a 2) Q (3, 2a 1, 1) Q (4, 2a, 1) Q (5, 2a, 0) Q (6, 2a, 0) T Q (a) = 3a+2

concepto de función calculada por un programa WHILE sea Q = (n, p, código) un programa WHILE, la función calculada f Q : N n N se define por f Q p+ 1 ( x) = π 2 ( CALQ ( x,0, TQ ( x))) siendo x N n y 0 un vector de p n ceros expresado informalmente: dados unos valores para las variables de entrada (x), se inicializan a cero las demás variables, se realizan pasos de cálculo hasta alcanzar una configuración final, y se toma como resultado la segunda componente (variable X 1 ); si no es posible alcanzar tal configuración final, entonces el programa no acaba para esos valores de entrada, y la función está indefinida (diverge)

la clase de funciones WHILE-calculables F n (WHILE) es el conjunto de todas las funciones f:n n N tales que existe un programa WHILE, con n variables de entrada, que calcula f F(WHILE) es la unión de todas las F n (WHILE), para n 0 si f F(WHILE) diremos que f es una función WHILE-calculable

ejercicios de WHILE-calculabilidad Demostrar (dando programa y funciones SIG, CAL, T y f ) que cada una de las siguientes funciones es WHILE-calculable: - suma - resta ( x y = 0 si x < y ) - valor absoluto de la resta ( x y si x y, y x si x < y ) - signo ( 0 si x = 0, 1 si x > 0 ) - complementario del signo ( 0 si x > 0, 1 si x = 0 ) - producto - función que siempre diverge - la función identidad de N en N - función constante C k j : N k N, C k j(x) = j x N k

lenguaje WHILE ampliado utilización de denominaciones libres para las variables de entrada y para la variable de salida (hay que especificar cuáles son de entrada y cuál es de salida) permitiremos en el lenguaje ampliado incluir instrucciones de asignación cuyo miembro de la derecha implica la activación de otras funciones while-calculables (macroinstrucción) inclusión de líneas de comentarios una función en WHILE ampliado es WHILE-calculable

ejemplo de WHILE ampliado Ejemplo de denominaciones libres y de comentario : Entradas: dato Salida: doble (* = 2 dato *) Código: doble := dato ; while dato 0 do doble := doble + 1 ; dato := dato 1 od

ejemplo de WHILE ampliado Ejemplo de activación de funciones while-calculables. Sea el programa doble = (1, 2, código) con código X 2 := X 1 ; while X 2 0 do X 1 := X 1 + 1 ; X 2 := X 2 1 od Sea el programa (macroprograma) exp = (1, 2, código) con código X 2 := X 2 + 1 ; while X 1 0 do X 2 := doble( X 2 ) ; macroinstrucción X 1 := X 1 1 od ; X 1 := X 2 ( exp calcula f(n)=2 n )

conversión a WHILE: variables y comentarios un programa con denominaciones libres para las variables se convierte en un programa WHILE haciendo las siguientes transformaciones: reemplazar la primera variable de entrada por X 1, la segunda por X 2,, la n-ésima por X n reemplazar la variable de salida por X n+1 reemplazar las variables de uso interno, según su orden de aparición por X n+2, añadir al final del código resultante la instrucción X 1 := X n+1 los comentarios se eliminan sin efecto para el código

ejemplo de conversión a WHILE Entradas: dato Salida: doble (* 2 dato *) Código: doble := dato ; while dato 0 do doble := doble + 1 ; dato := dato 1 od (1, 2, código-doble) código-doble: X 2 := X 1 ; while X 1 0 do X 2 := X 2 + 1 ; X 1 := X 1 1 od ; X 1 := X 2

conversión a WHILE: macroinstrucciones las macroinstrucciones se eliminan como sigue sea la macroinstrucción X i := f ( X j1,, X jn ), donde f es calculada por el programa (n, p, código) sea Q un macroprograma que usa q variables en el cual aparece la macroinstrucción anterior, la expansión PQ de la macroinstrucción en Q da lugar a: X q+1 := X j1 ; X q+2 := X j2 ; X q+n := X jn ; X q+n+1 := 0 ; X q+n+2 := 0 ; X q+p := 0 ; el código de P sustituyendo X i por X q+i, con 1 i p X i := X q+1 cada macroinstrucción se expande independientemente

ejemplo de conversión a WHILE exp = (1, 2, cod) cod: X 2 := X 2 + 1 ; while X 1 0 do X 2 := doble( X 2 ) ; X 1 := X 1 1 od ; X 1 := X 2 doble = (1, 2, cod) cod: X 2 := X 1 ; while X 2 0 do X 1 := X 1 + 1 ; X 2 := X 2 1 od exp = (1, 4, cod) cod: X 2 := X 2 + 1 ; while X 1 0 do X 3 := X 2 ; X 4 := 0 ; X 4 := X 3 ; while X 4 0 do X 3 := X 3 + 1 ; X 4 := X 4 1 od ; X 2 := X 3 ; X 1 := X 1 1 od ; X 1 := X 2

lenguaje WHILE ampliado Podemos combinar variables libres y macroinstrucciones Ejemplo: Entradas: x, y Salida: prod (* = x y *) Código: while y 0 do prod := suma(prod, x) ; y := y 1 od

lenguaje WHILE ampliado Para las macroinstrucciones relativas a funciones conocidas y con representación infija, estándar en matemáticas, usaremos dicha representación Así, las macros z := suma(x,y) z := resta(x,y) z := producto(x,y) z := exp(x) se escribirán z := x + y z := x y z := x y z := 2 x Permitiremos más de una función while-calculable en una macroinstrucción p.e.: z := x + ( x (z - y))

ejemplos con WHILE ampliado Demostrar que las siguientes funciones son while-calculables: máximo ( max(x,y) ) diferencia en valor absoluto ( x - y ) igualdad ( igualdad(x,y), o bien x=y ) (calcula 1 si son iguales, 0 si son distintos) potencia ( x y ) soluciones: potencia: max(x,y) := ( x y ) + y Entradas: x, y x - y := ( x y ) + ( y - x ) Salida: z igualdad(x,y) := csg( x - y ) Código: ( csg complemento del signo) z := z + 1 ; while y 0 do z := z x ; y := y 1 od

composición de funciones sean f y g dos funciones de N en N, ambas while-calculables; la composición de ellas g f también es una función while-calculable sea (1, p f, Q) el programa while que calcula f : N N y (1, p g, R) el programa que calcula g: N N, el siguiente macroprograma calcula g f Entrada: x Salida: y Código: x := f(x) ; y := g(x)

capacidad expresiva de WHILE: estructuras de control do x times S od z := x; while z 0 do S z := z 1 od (* z es una nueva variable *) if x 0 then S fi y := sg (x); do y times S od (* y es una nueva variable *) if x 0 then S else T fi y := sg (x); z := csg(x); do y times S od do z times T od

C capacidad expresiva de WHILE: expresiones booleanas para cualquier condición booleana C existe una expresión EC tal que si la condición es verdadera toma el valor 1 y si es falsa toma el valor 0 X = Y E C 1 [(Y X) + (X Y)] X > Y (X Y) [(X Y) 1] X < Y (Y X) [(Y X) 1] C 1 C 2 sg(e C 1 + E C2 ) C 1 C 2 (E C 1 + E C2 ) 1 C 1 E C while C do S od z := E C ; while z 0 do S z := E C ; od

capacidad expresiva de WHILE: expresiones con funciones siendo f y g funciones de N en N while-calculables y S, S1 y S2 códigos, permitiremos escribir instrucciones de la forma: instrucción do f(x) times S od expansión w := f(x); do w times S od while f(x) 0 do S od if f(x) g(x) then S1 else S2 fi if f(x) 0 then S fi w := f(x); while w 0 do S; w := f(x) od w := f(x) g(x) ; if w 0 then S1 else S2 fi w := f(x); if w 0 then S fi

identificadores sintaxis del lenguaje LOOP X 1, X 2, X 3,..., X i,... instrucciones de asignación X i := X j X i := X i + 1 código X i := X i 1 ( 0 1 = 0 ) por ";" X i := 0 instrucción de control secuencia finita no vacía de instrucciones separadas programa bucle definido: (n, p, código) do X i times (cabecera) p n código (cuerpo) ambos naturales od (cola) Nota: el índice de anidamiento siempre es finito

clase de funciones LOOP-calculables F n (LOOP) es el conjunto de las funciones f: N n N tales que existe un programa LOOP, con n variables de entrada, que calcula f F(LOOP) es la unión de todas las F n (LOOP), para todo n 0 si f F(LOOP) decimos que f es una función LOOP-calculable

lenguajes LOOP i para cada i 0, se define el lenguaje LOOP i como el sublenguaje de LOOP formado por los programas que tiene nivel de anidamiento de bucles a lo sumo i F(LOOP i ) es la clase de funciones calculadas por programas LOOP i si una función pertenece a una clase, entonces pertenece a todas las que están por encima de ella F(LOOP 0 ) F(LOOP 1 ) F(LOOP 2 ) F(LOOP) cómo son los programas escritos en LOOP 0 y las funciones de F(LOOP 0 )?