Capítulo 5 Cálculo elemental de ites... Vamos a dedicar este capítulo a tratar de mejorar nuestra relación con los ites, desarrollando el método que ya hemos anunciado, que nos permitirá calcular el ite y demostrar a la vez que ese cálculo es correcto. Este capítulo es necesaria e inevitablemente técnico. Pero no parece haber alternativa: si queremos ser capaces de calcular derivadas, necesitamos este lenguaje y estos resultados. Animamos al lector a que tenga paciencia, con la promesa de que el esfuerzo tendrá su recompensa en posteriores capítulos. 5.1. Operaciones elementales con ites La idea es fácil de entender. La mayoría de las funciones que encontraremos se construyen haciendo operaciones a partir de funciones elementales. Ejemplo 5.1.1. Consideremos una función, tal como: f(x) = 3x2 + sen x x 3 cos lnx Esta función puede obtenerse a partir de varias piezas más sencillas, funciones elementales como son x, sen x, cos x,lnx Y esas funciones sencillas se combinan mediante operaciones. Por ejemplo, en el numerador, 3x 2 se obtiene de x con la operación de multiplicación así: 3x 2 = 3 x x Y a partir de 3x 2 y sen x el numerador se obtiene con la operación suma. Lo que queremos hacer es estudiar cómo se comportan los ites cuando las funciones se combinan mediante esas operaciones, el producto, la suma, el cociente, la composición, etc.y además tendremos que estudiarcomo se comportanalpasaralitelas funcioneselementalesqueutilizamoscomo piezasbásicas de la construcción: las potencias de x, las funciones trigonométricas, las exponenciales y logaritmos, etcétera. Empezaremos esta tarea por las operaciones aritméticas y las funciones más sencillas. 35
5.1.1. Límites de sumas y productos. Polinomios. Límite de cocientes sencillos. El primer resultado teórico es tan sencillo que realmente casi parece que no hay nada que demostrar aquí. Teorema 5.1.2 (Límite de sumas y productos). Si se cumple entonces también se tiene: f(x) = A, y g(x) = B, (f(x) + g(x)) = A + B, y (f(x)g(x)) = AB. En lenguaje informal, lo único que dice este teorema es que si, para x cerca de x 0, el valor de la función f(x) se parece mucho a A y el de g(x) a B, entonces la suma qué remedio! se parece mucho a A + B, y el producto se parece mucho a AB. A pesar de lo sencillo y evidente que es esto, es una buena idea que el lector interesado trate de construir una demostración formal de este teorema. Dejamos esa demostración para los ejercicios del curso. La función f(x) = x, tiene evidentemente la propiedad de que: f(x) = x = x 0 Es decir, f(x) = x es continua en x 0, sea cual sea x 0. Abreviamos esto diciendo que f(x) es continua en todo R. De aquí se deduce, usando el teorema que acabamos de ver, que, puesto que x 2 = x x, también se cumple el siguiente resultado: x 2 = x 2 0 Es decir, f(x) = x 2 define una función continua en todo R. Y lo mismo sucede en general con todas las potencias naturales x 3, x 4, etcétera 1. Además es evidente que todas las funciones constantes son igualmente continuas en todo R. Y por tanto, usando de nuevo nuestro teorema, todas las funciones de la forma f(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 es decir, todos los polinomios en x, son funciones continuas en todo R sean cuales sean los coeficientes a n,...,a 0 del polinomio. Ejemplo 5.1.3. Quizá convenga detenerse un momento en este punto. Habíamos dicho que los resultados que estamos obteniendo permiten calcular y demostrar la vez. Veamos que, en efecto, es así: la continuidad de los polinomios nos permite responder a preguntas como esta: x 2 4x3 2x 2 + x 1 =?? Porque la continuidad del polinomio nos garantiza que el ite es precisamente el valor del polinomio en ese punto: x 2 4x3 2x 2 + x 1 = 4 2 3 2 2 2 + 2 1 = 25 Y la teoría nos permite asegurar que 25 es el ite sin que tengamos que preocuparnos de cuál es la relación concreta entre ε y δ en este caso. Si el lector no está convencido de la ventaja de proceder así, le sugerimos que busque en este caso esa relación. 1 Para el lector escéptico: la demostración rigurosa de ese etcétera que acabamos de escribir se puede conseguir utilizando el método de inducción, que veremos más adelante. 36
Si en lugar de la suma o el producto consideramos el cociente, las cosas se complican. Porque podemos sumar y multiplicar por cualquier número real, pero no podemos dividir por cero. El primer resultado sobre cocientes que vamos a ver nos dice que, salvo en ese caso, las cosas funcionan bien. Teorema 5.1.4 (Límite de cocientes, primera parte.). Si se cumple f(x) = A, y g(x) = B, y además B 0 entonces también se tiene: f(x) g(x) = A B. Y qué sucede si el denominador es 0? Entonces las cosas se complican. Lo veremos con detalle en la siguiente sección. 5.2. Límite infinito Vamos a empezar con un ejemplo, para ilustrar lo que queremos decir. Ejemplo 5.2.1. Consideremos el comportamiento de la función f(x) = 1 x 2 en x 0 = 0. Cuando sustituimos x en esta expresión por un valor cercano a cero se obtiene un valor muy grande. De hecho, cuanto más cerca de 0, más grande es el resultado. Esto se traduce en que la gráfica de f cerca del origen tiene este aspecto: Esta situación se presenta muy a menudo en el estudio de las funciones, así que conviene desarrollar un lenguaje para referirnos a ella con precisión. La idea clave es la que hemos resaltado en este ejemplo: cuanto más cerca de x 0 esté x, más grande es el valor de f(x) que se obtiene, más grande que cualquier valor elegido de antemano. O dicho con más precisión, podemos conseguir que f(x) sea tan grande como se desee, si tomamos x suficientemente cerca de x 0. Elaborando un poco esta idea podemos dar una 37
definición claramente similar a la definición de ite que ya hemos visto. Definición 5.2.2 (Límite infinito). 1. Decimos que f(x) = + si sea cual sea el número K que se elija, existe un δ tal que si 0 < x x 0 < δ, entonces f(x) > K 2. Del mismo modo, decimos que f(x) = si sea cual sea el número K que se elija, existe un δ tal que si 0 < x x 0 < δ, entonces f(x) < K Esta definición, sin embargo, deja sin cubrir algunas situaciones parecidas, como la de este ejemplo. Ejemplo 5.2.3. El comportamiento de la función f(x) = 1 x en x 0 = 0 es muy parecido al que hemos visto en el anterior ejemplo, pero a diferencia de lo que ocurría entonces, ahora el signo de x influye; y hace que, cuando x es positivo y cercano a cero se obtenga un valor muy grande y positivo, mientras que si x es negativo y cercano a cero se obtiene un valor muy grande pero negativo. La gráfica de f cerca del origen tiene este aspecto: El comportamiento a la izquierda de cero es como el de una función con ite, mientras que a la derecha es como en los casos de ite +. En una situación como la de este ejemplo podemos decir simplemente que x x0 f(x) = ±. Pero pronto veremos otros ejemplos en los que el comportamiento de la función a la izquierda y a la derecha de x 0 es distinto. Para poder describir lo que ocurre en esos casos con detalle introducimos más notación en el siguiente apartado. 38
5.3. Límites laterales Veamos un par de ejemplos interesantes: Ejemplo 5.3.1. 1. La función f(x) = x tiene esta gráfica: x + x3 (Animamos al lector a que trate de convencerse de que es así). Cuando x es positivo y cercano a cero se obtiene un valor muy próximo a 1, mientras que si x es negativo y cercano a cero se obtiene un valor cercano a 1. 2. Sin necesidad de recurrir al valor absoluto, sucede algo parecido con la función f(x) = 1 1 + e 1/x Animamos al lector a que compruebe que en este caso, cuando x es positivo y cercano a cero se obtiene un valor muy próximo a 1, mientras que si x es negativo y cercano a cero se obtiene un valor cercano a 0. La próxima definición es una ligera modificación de la definición de ite, que sirve para describir lo 39
que sucede en estos casos: Definición 5.3.2 (Límites laterales). Decimos que el ite por la derecha de h en x 0 es L si, sea cual sea el error máximo ε que hayamos fijado, se puede elegir un número δ tal que, para todos los x que cumplen x > x 0 y además x x 0 < δ se puede garantizar que se cumple h(x) L < ε En tal caso escribimos f(x) = L x x + 0 Del mismo modo, decimos que el ite por la izquierda de h en x 0 es L si, sea cual sea el error máximo ε que hayamos fijado, se puede elegir un número δ tal que, para todos los x que cumplen x < x 0 y además x x 0 < δ se puede garantizar que se cumple h(x) L < ε Y escribimos f(x) = L x x 0 Qué relación hay entre los ites laterales y el ite que hemos estudiado antes? Es muy sencillo de entender: Proposición 5.3.3. Decir que h(x) = L es lo mismo que decir que los dos ites laterales existen y que ambos valen L. La definición de ite lateral se extiende de forma natural a una definición de continuidad lateral, cuyos detalles dejamos confiadamente al lector. Con estas definiciones es fácil describir comportamientos como elqueveíamosenelejemplo5.2.3. Ydehecho, esta definiciónnospermiteavanzarennuestroanálisisde lo que sucede al estudiar el ite de un cociente. Teorema 5.3.4 (Límite de cocientes, segunda parte.). Si se cumple f(x) = A, y g(x) = 0, y además A 0 entonces los dos ites laterales de f(x) g(x) en x 0 son infinitos, aunque sus signos pueden ser distintos. Observación. El único caso de ite de cociente que este teorema deja pendiente es el de la indeterminación 0/0, que es precisamente, como hemos visto, el que se presenta al tratar de calcular la derivada de una función continua. Lo único que se puede hacer, ante una indeterminación, es buscar otro método para analizar el ite. Veremos varios de estos métodos a lo largo del curso. 5.4. Otras dificultades en relación con los ites Hay otras razones que pueden hacer que el ite de una función no exista. En el siguiente ejemplo veremos un caso que ilustra a la perfección cómo de complicado puede ser el comportamiento de algunas funciones dadas por expresiones muy sencillas. 40
Ejemplo 5.4.1. Como sin duda sabe el lector, la función f(x) = sen x es periódica, de periodo 2π. Cuando el valor de x recorre cualquier intervalo de la forma (2πn, 2π(n + 1)), con n = 0, 1,2,..., los valores del seno recorren el intervalo [ 1, 1] como se muestra en esta figura: Pensemos ahora en la función que se representa en esta figura: f(x) = sen ( ) 1 x Para entender lo que le ocurre a esta función cuando x se acerca a 0 debe entenderse que el argumento 1/x de la función seno recorre todos los valores del ángulo posibles cada vez que x recorre un intervalo de la forma [ ] [ ] [ ] 1 2π, 1 1, 4π 4π, 1 1,..., 6π 2kπ, 1 (2k + 2)π Pero estos intervalos son cada vez más pequeños y están más cerca de cero cuanto más grande sea k. Entonces podemos concluir que esta función oscila muy bruscamente entre -1 y 1 cuando x está muy cerca de 0, y por lo tanto es imposible asignarle un ite cuando x tiende a cero. 5.5. Límite en el infinito De la misma forma que f(x) 41
es la forma matemática de preguntarse si f(x) se parece a algún número cuando x se parece mucho a x 0, también podemos preguntarnos si hay algún valor al que f(x) se parezca mucho cuando x es muy grande y positivo. Esa pregunta se escribe: x f(x) Y si existe algún número L al que f(x) se parece cada vez más a medida que x se hace más grande y positivo entonces decimos que ese número es el ite de f cuando x tiende a infinito. La existencia de un ite en el infinito tiene un significado fácil de entender en la gráfica de f. En efecto, si existe el ite y vale L, trazamos la línea horizontal a altura L. La existencia del ite entonces significa que a medida que nos desplazamos hacia la derecha en la gráfica de f, hacia valores de x cada vez más grandes y positivos la gráfica se acerca más y más hacia la recta horizontal que hemos dibujado, como en los siguientes ejemplos, en los que el ite es 1/2: De forma análoga se define el ite cuando x tiende hacia menos infinito, que se escribe: f(x) x Y que consiste en preguntarnos si existe algún valor al que f se parece cada vez más a medida que x va siendo un número negativo cada vez más grande (en valor absoluto). Con la experiencia que hemos adquirido en las anteriores secciones, debería resultar un sencillopara el lector escribir la definición formal antes de leer la nuestra. Se trata de ir a la definición original de ite, y cambiar la idea para x suficientemente cerca de x 0 por la idea para x suficientemente grande. Definición 5.5.1 (Límite en el infinito). La función f tiene ite L en + si, sea cual sea el número ε, se puede encontrar un valor K tal que si x es mayor que K se tiene f(x) L < ε La función f tiene ite L en + si, sea cual sea el número ε, se puede encontrar un valor K tal que si x es menor que K se tiene f(x) L < ε Los métodos para calcular ites en el infinito son muy parecidos a los que usamos para los ites ordinarios. A veces es suficiente tratar de determinar el comportamiento de f(x) cuando x es muy grande. Sin embargo, este tipo de ites también nos puede conducir a una indeterminación. Ejemplo 5.5.2. Tratemos de estudiar 4x 2 + 2x + 1 x x 2 3x + 2 A medida que x es más grande, el numerador 4x 2 +2x+1 es cada vez más grande. Pero lo mismo ocurre con el denominador. Es decir: x 4x2 + 2x + 1 = x x2 3x + 2 = En este caso no podemos usar el teorema que dice que el ite del cociente es el cociente de los ites. Estamos ante lo que se conoce como indeterminación del tipo (infinito partido por infinito). 42
5.6. Indeterminaciones polinómicas Veamos como se pueden resolver de manera elemental algunas de las indeterminaciones asociadas con cocientes de polinomios. Son de dos tipos: 5.6.1. Indeterminaciones por raíces de los polinomios Supongamos que queremos estudiar el ite: con P(x) y Q(x) polinomios, y que se cumple: P(x) x a Q(x) { P(a) = 0 Q(a) = 0 En ese caso estamos ante una indeterminación de la forma 0 0. La forma de resolverla consiste en utilizar el hecho de que si a es una raíz de ambos polinomios entonces estos polinomios se descomponen en la forma: { P(x) = (x a) r P(x) donde P(a) 0, Q(a) 0. Con lo cual: P(x) x a Q(x) = x a Q(x) = (x a) s Q(x) (x a) r P(x) P(x) = (x a)r s (x a) s Q(x) x a Q(x) Y ahora todo depende de los tamaños de r y s, ya que los polinomios P, Q no se anulan en a. Hay tres posibilidades: 1. r > s; en este caso el ite es cero. 2. r < s; en este caso el ite es de tipo infinito. 3. r = s; este es el caso más interesante. El ite es P(a) Q(a) 5.6.2. Comportamiento en el infinito de un cociente de polinomios El ite: P(x) x Q(x) es siempre una indeterminación de la forma. Para resolverla, supongamos que el grado de P(x) es s, y el grado de Q(x) es r; sea p = máx(r,s). Dividimos entonces el numerador y el denominador entre x p. Es fácil ver que de nuevo hay tres posibilidades: 1. p = r > s; en este caso el ite es infinito. 2. r < s = p; en este caso el ite es cero. 3. p = r = s; también aquí es el caso más interesante. El ite es a r b r donde a r y b r son los coeficientes de los términos de grado más alto de P y Q respectivamente. 43
5.7. Continuidad de algunas funciones elementales. Composición. Después de tratar el ite de sumas, productos y cocientes, volvemos a la idea de desarrollar un método que nos permita agilizar el cálculo de ites todo lo posible. Recordemos que, como hicimos en el apartado 5.1.1 para el caso de polinomios, se trataba de estudiar la continuidad de algunas funciones, y garantizar que al combinar esas funciones se obtienen nuevas funciones continuas. Para avanzar en esta idea necesitamos nuevos ingredientes. El siguiente resultado nos garantiza un buen repertorio de funciones continuas: Teorema 5.7.1 (Continuidad de algunas funciones elementales). Las siguientes funciones son continuas en todos los puntos donde están definidas: 1. Las funciones seno y coseno. 2. Las funciones x a para a real. 3. Las funciones e x y lnx Obsérvese que algunas de estas funciones no están definidas para todos los valores de x. Por ejemplo, el logaritmo neperiano sólo está definido para números positivos. Lo que dice el anterior teorema en el caso del logaritmo es que, si x 0 es cualquier número real positivo, f(x) = ln x es continua en x 0. En el caso de x a hay que tener en cuenta que, según cual sea el valor de a, la función sólo estará definida en valores positivos de x. Por el contrario, las funciones seno y coseno y la exponencial están definidas sea cual sea el valor de x. Dentro de un momento, en este mismo capítulo, volveremos sobre este tema y ampliaremos un poco el vocabulario para referirnos a este tipo de situaciones. Observación. En este capítulo vamos a dar una argumentación de la continuidad del seno y el coseno por medios elementales. Los argumentos que vamos a dar no se pueden considerar una demostración completamente rigurosa, ya que se basan en una definición geométrica del seno y el coseno, que no resulta satisfactoria. Pero los argumentos geométricos, incluso si no son una demostración, tienen la virtud de iluminar la discusión del problema en cuestión. Para las funciones exponenciales y logarítmicas se pueden buscar tratamientos elementales, pero son más complicados que en el caso trigonométrico, y no los veremos aquí para no alargar inútilmente la discusión. Más adelante en el curso volveremos sobre este punto. Con esta lista de funciones continuas, y los polinomios, podemos resolver muchas cuestiones sobre ites, pero aún nos tropezamos con dificultades en casos muy sencillos, como el de este ejemplo: Ejemplo 5.7.2. Supongamos que tenemos una función como f(x) = sen(x 2 ) y queremos saber cuál es su ite en x 0 = 0, es decir la pregunta es: x 0 sen(x2 + π 4 ) =?? Si el lector repasa lo que hemos hecho hasta ahora comprobará que ninguno de los teoremas que hemos establecido en este capítulo se puede aplicar directamente a esta situación. Y sin embargo, la situación parece muy sencilla de entender: cuando x sea acerca a 0, el valor de x 2 + π 4 se acerca a π 4, y el seno de 2 un número cercano a π 4 es un número muy parecido a. Así que nos gustaría poder decir que 2 x 0 sen(x2 ) = Pero a pesar de que sabemos que tanto los polinomios como la función seno son continuos en R, todavía no hemos visto un teorema que nos permita combinarlos como se hace en este ejemplo. Vamos a ponerle remedio a la situación que acabamos de ver. Empecemos por ponerle nombre a la 44 2 2
operación que aparece en este ejemplo para combinar funciones: Definición 5.7.3 (Composición de funciones). Sean f y g dos funciones. La función h definida así: h(x) = g(f(x)) se denomina la composición de f con g. Esta función se representa con el símbolo g f. Es decir, para calcular la composición de f con g primero calculamos y = f(x), y luego calculamos g, pero aplicado al valor y. Podemos pensar en las funciones f y g como teclas de una calculadora. Para calcular la composición, después de introducir el valor de x pulsamos la tecla f y, cuando aparece el resultado en pantalla -al que hemos llamado y, entonces pulsamos la tecla de la función g. Hay un pequeño problema de notación con la composición. Desde el principio del curso venimos utilizando la notación y = f(x) para indicar que, usando la función f, a partir del número x se calcula el número y. Pero ahora, al componer, queremos utilizar la función g con ese número y que es el resultado de f, paracalcular g(y) =g(f(x)). Así que, para evitar confusiones vamos a seguir escribiendoy=f(x), pero escribiremos u = g(y). En el siguiente esquema subrayamos como se relacionan estos números x,y, u a través de las funciones f y g: x f y g f El siguiente resultado nos dice como se comporta la continuidad al formar una función mediante la composición: Teorema 5.7.4 (Composición y continuidad). Supongamos dadas dos funciones mediante y = f(x), u = g(y). Dado un valor x 0, sea y 0 = f(x 0 ), y sea entonces u 0 = g(y 0 ) = g(f(x 0 )), el valor obtenido mediante la composición de f con g. Pues bien, si la función y = f(x) es continua en el punto x 0, y la función g es continua en el punto y 0, entonces la composición g f es continua en x 0. La demostración de este teorema es un ejercicio sencillo, usando esta indicación: fijado un ε, se obtendrá un δ para g, que hay que usar como el ε para f, con el que a su vez se obtiene el δ definitivo. Con este resultado, y con nuestro actual repertorio de funciones elementales se puede abordar el análisis inicial de la continuidad de prácticamente todas las funciones que se presentan en la práctica del cálculo. Ejemplo 5.7.5. Por ejemplo, supongamos que queremos estudiar la continuidad de una función tal como g u f(x) = x3 6x 2 + 11x 6 x 2 7x + 6 Puesto que el numerador y el denominador son polinomios, ambos son funciones continuas en todo R. Y el cociente de funciones continuas define una función continua, salvo tal vez en aquellos puntos en los que el denominador se anula. Descomponiendo en factores numerador y denominador se obtiene: f(x) = (x 1)(x 2)(x 3) (x 1)(x 6) De manera que sin ningún esfuerzo adicional podemos concluir que f es continua en cualquier valor de x salvo tal vez cuando x = 1 o x = 6. De hecho, puesto que el numerador no se anula para x = 6 podemos concluir que f no es continua en ese punto (sus ites laterales en ese punto serán ± ). En x = 1 se obtiene una indeterminación 0/0, que se puede estudiar por los métodos del apartado 5.6.1 de la página 43; volveremos sobre este tipo de situaciones en el último apartado (??) de este capítulo. Como muestra este ejemplo, gracias al método que hemos desarrollado, el análisis de la continuidad de una función consiste básicamente, en los ejemplos comunes, en localizar una cantidad finita de puntos en los que el ite no se deja analizar de modo elemental mediante los teoremas que hemos visto. Y por otra parte, a menudo esos casos son precisamente los ites interesantes, los que contienen información no trivial! A lo largo del curso vamos a desarrollar algunas técnicas para tratar esos casos difíciles, empezando por la siguiente sección. 45
5.8. Límites mediante desigualdades: el teorema del embudo Elresultadoquevamos apresentaren esta secciónpermiteanalizaralgunosindeterminacionesdifíciles, como los que veremos más abajo en los ejemplos. Teorema 5.8.1. (Teorema del embudo). Supongamos que f, g, h son tres funciones definidas en el intervalo [a,b] salvo tal vez en x 0, un punto interior de este intervalo (es decir, x 0 (a,b)). Si se cumple: f(x) g(x) h(x) para todos los puntos del intervalo [a,b] (de nuevo con la posible excepción de x 0 ) y además: f(x) = L = h(x) (los ites de las funciones f,h existen y son iguales) entonces también existe g(x) y vale lo mismo: Esta propiedad se ilustra en esta figura: g(x) = L Como puede verse, la desigualdad fuerza a la función g a pasar por el embudo que forman en x 0 las otras dos funciones, de ahí el nombre que le hemos dado a esta propiedad. La justificación de esta propiedad es muy sencilla; de las desigualdades f(x) g(x) h(x) se obtiene f(x) L g(x) L h(x) L Y ahora basta tener en cuenta que una desigualdad de la forma a b c siempre implica que el valor absoluto del número intermedio es menor que el máximo de los otros dos: b máx( a, c ) En nuestro caso, se obtiene g(x) L máx( f(x) L, h(x) L A partir de aquí es un ejercicio sencillo construir una demostración formal (ε,δ) del teorema. Dejamos esa demostración como un ejercicio útil para el lector. 46
Aplicación a las funciones trigonométricas Vamos a utilizar este resultado para demostrar varias propiedades interesantes de las funciones trigonométricas. Para empezar, vamos a argumentar la continuidad de las funciones seno y coseno que enunciamos en el teorema 5.7, usando para ello la construcción geométrica de estas funciones. Para ello consideramos la siguiente figura, en la que el círculo es de radio 1: En esta figura se muestra el arco circular AC determinado por el ángulo x. La ventaja de utilizar la medida en radianes de los ángulos es que en tal caso el arco circular AC mide precisamente x (la longitud delarco es (ánguloen radianes) (radio)) Esalongitudx es obviamentemayorqueelsegmentorectilíneo AC, porque la recta es el camino más corto entre ambos puntos. Y, finalmente, puesto que AC es la hipotenusa del triángulo rectángulo ABC, también está claro que la longitud de AC es mayor que la de AB. Y, puesto que la longitud de AB es sen x, hemos establecido la desigualdad: 0 < sen x < x Esta desigualdad es justo lo que necesitábamos para poder aplicar el teorema del embudo con x 0 = 0 y concluir que f(x) = 0, g(x) = sen x, h(x) = x sen x = 0 x 0 En esa misma figura puede verse que el cateto AB, cuya longitud es 1 cos x, es también menor que x. Por lo tanto se tiene 0 < 1 cos x < x y con otra aplicación del teorema del embudo se puede concluir que Y por tanto (1 cos x) = 0 x 0 cos x = 1 x 0 Una vez analizado el comportamiento del seno y el coseno en el origen, es muy fácil trasladar este conocimiento a otros puntos. Para ello vamos a emplear un truco de cambio de variable que volveremos a usar muchas veces. Para analizar sen x introducimos una nueva variable: u = x x 0 47
Entonces, cuando x tiende a x 0, el valor de u tiende a 0; es esta propiedad precisamente la que vamos a aprovechar para reducir el problema de un punto x 0 cualquiera al caso del origen que ya hemos estudiado. Es decir, que sen x = sen(u + x 0 ) u 0 Y ahora usamos una identidad trigonométrica: sen(u + x 0) = (sen u cos x 0 + cos u senx 0 ) = 0 cos x 0 + 1 sen x 0 = sen x 0 u 0 u 0 Aquí hemos usado la identidad trigonométrica del seno de una suma, los teoremas sobre ites de sumas y productos y además hemos usado los ites en el origen que hemos argumentado geométricamente. En definitiva hemos mostrado que, sea cual sea x 0 se tiene: sen x = sen x 0 Es decir, que el seno es continuo en todo R, como dijimos en el teorema 5.7 en la página 44. Dejamos para el lector como ejercicio repetir este razonamiento en el caso del coseno. Una indeterminación trigonométrica importante: la derivada del seno Si queremos usar el método de Newton para calcular con la función seno tendremos que calcular sus rectas tangentes. Y para eso hay que responder a esta pregunta: cuál es la derivada de la función seno? La clave de la respuesta empieza por calcular la derivada de la función seno en el origen: después se puede utilizar ese resultado para calcular el resto de las derivadas, como hemos hecho en el apartado anterior para reducir la continuidad al caso del origen. Y cómo se calcula la derivada en el origen? Apliquemos la definición a la función f(x) = sen x: f f(x) f(0) sen x (0) = = = 0 x 0 x 0 x 0 x 0 Hemos llegado a una indeterminación; ese hecho en sí no es ninguna sorpresa. El problema es que esta indeterminación no se deja resolver por medios elementales como los que hemos usado hasta ahora. Vamos a terminar de calcular el ite: sen x x 0 x En esta figura (el círculo es de radio 1): podemos ver que para los ángulos x cercanos a cero el área del triángulo OCD es más pequeña que el área del sector circular OAC (sombreado) que a su vez es menor que el área del triángulo OAB. Escribiendo las fórmulas para estas áreas 2, tenemos esta desigualdad: 1 2 sen xcos x < x 2 < 1 2 tanx 2 El área de un sector circular dado por una ángulo x (en radianes, desde luego) se calcula mediante la fórmula x 2 r2. En nuestro caso r = 1 48
Hemos usado que AB = tan x y que el área de un triángulo es, por supuesto: 1 2 bh donde b es la base y h la altura. Si multiplicamos por 2 y después dividimos todas las desigualdades por sen x (que es positivo para x positivo y cercano a 0) se obtiene: cos x < x sen x < 1 cos x Hemos establecido esta desigualdad para x > 0. Dejamos para el lector el trabajo de comprobar que la misma desigualdad es cierta si x < 0 es un valor negativo y cercano a 0. Por tanto, podemos aplicar el teorema del embudo, ya que: para concluir que: cos x = 1, x 0 x 0 x 0 x sen x = 1 1 cos x = 1 5.9. El dominio de una función, y el ite. Tipos de discontinuidades. Los siguientes ejemplos ilustran lo que vamos a discutir en este apartado: Ejemplo 5.9.1. 1. En el anterior apartado nos hemos encontrado con la función f(x) = sen x x Supongamos que alguien nos pregunta cuál es el valor de f(0). Sin duda alguna, decir que f(0) = 0 0 no es una respuesta. Así que la fórmula que define a f no se puede aplicar directamente. Hemos visto que sen x = 1 x 0 x Así que parece razonable, en algún sentido, decir que debería ser f(0) = 1 2. Si hemos definido la función f(x) = lnx y nos preguntan cual es el valor de f( 3), nos encontramos conladificultadevidentedequenoexisteellogaritmodeunnúmeronegativo. Además, en estecaso, no tiene sentido plantearse el ite, porque a diferencia de lo que ocurría en el ejemplo anterior f no está definida en ninguno de los valores cercanos a 3. En los dos casos de este ejemplo hay algo en común: una función está definida mediante una fórmula, pero esa fórmula no se puede utilizar para todos los valores de x. Es decir, que hay valores x 0 para los que no sabemos darle sentido a f(x 0 ). Vamos a utilizar la siguiente terminología para referirnos a estas situaciones: [ Definición 5.9.2 (Dominio de una función). El dominio de una función f es el conjunto de puntos en los que el valor f(x) está definido. El dominio forma de hecho parte de la definición de la función: no se puede considerar una función completamente definida si no se ha especificado cual es su dominio. Hasta este punto del curso no hemos necesitado entrar en esta discusión, pero ahora queremos dejar claro que, al definir una función y = f(x), es esencial saber cuáles son los valores de x para los que la expresión f(x) tiene sentido. 49
Ejemplo 5.9.3. Por lo tanto, cuando decíamos que f(x) = lnx, nos faltaba definir el dominio de la función f. Lo hacemos ahora, diciendo que el dominio de esa función son los valores x positivos. De manera que si alguien nos pregunta cuál es f( 3) podemos responder diciendo que ese valor x = 3 no pertenece al dominio de f, y zanjar así la cuestión. Dicho esto, a veces las cosas no son tan sencillas. Ejemplo 5.9.4 (Continuación de 5.9.1). Cuál es el dominio de la función f que hemos visto en el ejemplo inicial de este apartado? Recordemos que era: f(x) = sen x x Más concretamente: está 0 en el dominio de esta función? La pregunta contiene una pequeña trampa: hemos dicho que la función no está definida del todo mientras no se define su dominio. Es decir, que la expresión anterior, por si misma, no define completamente una función. Lo que sí está claro es que, si queremos incluir el valor x = 0 en el dominio de la función, tenemos que darle un valor a f(0). Es importante entender que esa decisión es nuestra, porque somos nosotros los que definimos la función f. Es decir, que para incluir x = 0 en el dominio de f podemos escribir sen x x 0 f(x) = x a x = 0 y elegir un valor de a = f(0). En principio, esa elección es completamente arbitraria. Sin embargo, muy a menudo las funciones que estudiamos tienen interés en alguna aplicación, por ejemplo en algún problema físico o técnico. Y en esos casos puede que haya buenas razones para desear que la definición de f produzca una función continua; a menudo los procesos físicos transcurren de forma continua y es bueno que los modelos matemáticos se comporten asimismo con continuidad. Si decidimos que, por los motivos que sean, queremos definir f de manera que se obtenga una función continua, entonces tenemos que ver si es posible elegir un valor de a que haga continua en 0 a la función f. Para que suceda eso, recordando la definición de continuidad, debe ser a = f(0) = x 0 f(x) Pero hemos visto que f(x) = 1. Y por tanto, si queremos definir f para que sea continua en x = 0, x 0 no tenemos otro remedio más que hacer: a = 1, y definir: { senx x 0 f(x) = x 1 x = 0 Por supuesto, no es obligatorio hacer esto. Puede que por alguna razón, alguien prefiera elegir otro valor de a, y definir otra función, a la que vamos a denominar f para no confundirlas. Por ejemplo, eso se puede hacer diciendo que { senx x 0 f(x) = x 8 x = 0 Naturalmente, al hacer esto se obtiene una función que no es continua en 0. La decisión vendrá dada por el uso que queramos hacer de esa función. Para describir la situación que hemos descrito al final de este ejemplo se utiliza la siguiente terminología; supongamos que existe el ite f(x) pero que f(x 0 ) no coincide con ese ite. Por supuesto, en tal caso f no es continua en x 0, pero se dice que se trata de una discontinuidad evitable. Eso significa que bastaría cambiar la definición de f en x 0 haciéndola igual al ite, para obtener una función continua. Cuando no existe el ite en x 0 la función puede naturalmente definirse en x 0, pero en cualquier caso se obtendrá una función que no es continua en x 3 0 Esas discontinuidades se denominan no evitables. Esas 3 Naturalmente, si existe alguno de los ites laterales en x 0, puede ser interesante definir f de manera que se obtenga una función continua por la derecha o por la izquierda. 50
discontinuidades no evitables incluyen los casos en que alguno de los ites laterales es infinito, o cuando los ites laterales no coinciden (en ese caso se habla de una discontinuidad de salto, ver el ejemplo 5.3.1 de la página 39) y, en general, cualquier otro caso en el que el ite no exista (recordar el ejemplo 5.4.1 en la página 41) Observación (Determinación del dominio en la práctica). En general, en la práctica, cuando se dice sea f la función definida por y = f(x), se está asumiendo tácitamente que el dominio coincide con el conjunto más grande en el que la fórmula f(x) produce un valor bien definido. Si, para algún valor x 0 esa fórmula produce una indeterminación, es conveniente en cualquier caso aclarar si el ite en x 0 existe, en cuyo caso estaremos ante una discontinuidad evitable y deberemos definir explícitamente el valor de f en x 0. Por supuesto, lo más sencillo es describir completamente el dominio al definir la función, pero no siempre nos tomamos tantas molestias... 5.10. *Definición de función Observación. Esta sección, y en general todos los marcados con asterisco, puede ( debe?) omitirse en una primera lectura. En el anterior apartado hemos discutido que la definición de una función no está completa mientras no se hace explícito cuál es su dominio. Lo cual nos lleva a una pregunta natural, que hemos soslayado desde el comienzo del curso: cómo se define una función? Para el trabajo que vamos a hacer en este curso, es suficiente con una idea bastante informal. Podemos pensar, a ese nivel informal, que una función viene dada por una fórmula y = f(x) que nos dice que operaciones hay que hacer con el número x para calcular el número y. Esa idea informal es suficiente para muchos propósitos, pero no es muy precisa, ni cubre todas las posibilidades. Porque la relación entre x e y puede ser difícil de expresar con la idea de fórmula. Por ejemplo, puede que el número y se obtenga de x mediante un algoritmo, como un programa de ordenador. Es eso exactamente una fórmula? Por esta y otras razones similares, los matemáticos han buscado una definición de función que les permita liberarse del concepto de fórmula. Lo esencial en la idea de función no es eso, sino el hecho de que exista una relación entre x e y, de manera que una vez conocido un valor de x en el dominio de la función, sólo haya un valor posible de y. Esto es esencial! El resultado o valor f(x) de la función tiene que quedar perfectamente determinado por x. Es decir, volviendo a la idea del programa de ordenador, para que ese programa de verdad defina una función, siempre que ejecutemos el programa utilizando x como dato, la respuesta del programa debe ser y. Si distintas ejecuciones del programa conducen a resultados distintos 4, entonces ese programa no define una función. En un ejemplo más cercano a la matemática elemental, la expresión y = ± x no define una función. En cambio y = x (es decir, la raíz positiva), sí define una función. La definición de función que vamos a dar recoje todas estas ideas. Definición 5.10.1 (Definición de función). Una función f con dominio A, donde A es un subconjunto de R, es un conjunto de pares de números (x,y), con la propiedad de que en el conjunto no hay dos parejas de la forma (x,y 1 ) y (x,y 2 ) con y 1 y 2. Es decir, no hay dos parejas con el mismo x pero distintos valores de y. Larelaciónentreesta definiciónylaideainformalestáclara. Dadaunafórmulay = f(x), condominioa, la función f es el conjunto de parejas de la forma (x,f(x)), siendo x un elemento del conjunto A. Es decir, la función f la forman las parejas (x,y) en las que la y se calcula usando la fórmula f(x), naturalmente. 4 Como sucedería si el programa emplea valores aleatorios o que dependen del instante de tiempo en que comienza la ejecución, por ejemplo 51
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