Aplicaciones lineales.

Tema 4 Aplicaciones lineales. Definición 4. Sea f: V W una aplicación entre los espacios vectoriales reales V y W. Se dice que f es una aplicación lineal si: a f(u + v = f(u + f(v; u, v V, b f(ku = kf(u; u V y k IR. Estas dos propiedades se pueden reunir en: En general, se tiene que: f(ku + lv = kf(u + lf(v; u, v V, k, l IR. f(k u + k 2 u 2 + + k r u r = k f(u + k 2 f(u 2 + + k r f(u r u, u 2...., u r V, k, k 2,..., k r IR Si una aplicación f: V W es lineal y biyectiva, se dice que f es un isomorfismo entre los espacios V y W. Si V = W, entonces la aplicación lineal f: V V recibe el nombre de operador lineal o endomorfismo. Y si f es además biyectiva se dice que f es un automorfismo. 4. Propiedades de las aplicaciones lineales. Núcleo e imagen. Proposición 4.2 Si f: V W es una aplicación lineal, entonces: a f(0 V = 0 W ; 0 V, 0 W son los ceros de V y W. b f( v = f(v; v V. Definición 4.3 Dada una aplicación lineal f: V W, se define el núcleo de f, que se denota por ker(f ó ker f, como el conjunto: ker f = {v V : f(v = 0} y se define la imagen de f, que se denota por img(f ó img f, como el conjunto img f = {w W : v V tal que f(v = w} Es sencillo probar que ker f es un subespacio vectorial de V e img f es subespacio vectorial de W. Definición 4.4 Si f: V W es una aplicación lineal, entonces la dimensión del núcleo se denomina la nulidad de f y la dimensión de la imagen de f se denomina el rango de f. Álgebra Lineal. 48

4. Propiedades de las aplicaciones lineales. Núcleo e imagen. Si f: V W es una aplicación lineal y B = {v, v 2,..., v n } es una base de V, la aplicación lineal queda perfectamente determinada si conocemos las imágenes por f de los vectores de la base B, ya que para todo v V existen k, k 2,..., k n IR únicos, tales que v = k v + k 2 v 2 + + k n v n, con lo que f(v = f(k v + k 2 v 2 + + k n v n = k f(v + k 2 f(v 2 + + k n f(v n Nótese, que de ésto se deduce que img f = lin{f(v, f(v 2,..., f(v n } Teorema de la dimensión 4.5 Si f: V W es una aplicación lineal, con V un espacio vectorial de dimensión n, entonces: dim(ker f + dim(img f = n = dim(v Si la dim(ker f = n, entonces ker f = V, y f(v = 0 v V, luego img f = {0} que tiene dimensión cero, por lo que se cumple dim(ker f + dim(img f = dim V (n + 0 = n Si la dim(ker f = r < n, sea B ker = {u,..., u r } una base del ker f. Por la Proposición 3., ésta base puede completarse hasta una base de V, B V = {u,..., u r, v r+,..., v n }, y el conjunto imagen será por tanto img f = lin{f(u,..., f(u r, f(v r+,..., f(v n } = lin{0,..., 0, f(v r+,..., f(v n } = lin{f(v r+,..., f(v n } Si probamos que el conjunto formado por esos n r vectores es linealmente independiente, será una base de la img f y habremos probado que dim(ker f + dim(img f = dim V (r + n r = n ; como queríamos. Probar la cuestión pendiente es sencillo, sean λ r+,..., λ n tales que y por ser f una aplicación lineal por lo que el vector λ r+ f(v r+ + + λ n f(v n = 0, f(λ r+ v r+ + + λ n v n = 0 λ r+ v r+ + + λ n v n ker f Ahora bien, como B ker es una base del ker f, se tiene que para ciertos µ,..., µ r. Luego λ r+ v r+ + + λ n v n = µ u + + µ r u r µ u µ r u r + λ r+ v r+ + + λ n v n = 0 y µ = = µ r = λ r+ = = λ n = 0 por formar esos vectores una base de V. En particular, con λ r+ = = λ n = 0 se prueba que el conjunto {f(v r+,..., f(v n } es un conjunto linealmente independiente de vectores, que por ser también generador de la img f es una base de ella. Álgebra Lineal. 49

4.2 Aplicaciones matriciales 4.2 Aplicaciones matriciales Consideremos la aplicación f: IR n IR m definida por f(x = Ax, siendo A una matriz fija m n y x IR n, x = (x, x 2,..., x n t. Como consecuencia de las operaciones sobre las matrices, la aplicación es lineal. A este tipo de aplicaciones se les denomina aplicaciones matriciales. El estudio de estas aplicaciones es fundamental ya que, como veremos, todas las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales de dimensión finita acaban siendo aplicaciones matriciales al usar coordenadas. El núcleo de estas aplicaciones será: ker f = {x IR n : Ax = 0}, es decir, el conjunto de soluciones del sistema homogéneo Ax = 0. La imagen de f coincide con el espacio de las columnas de la matriz A, E c (A, pues b img(f x IR n tal que Ax = b es decir, si tiene solución el sistema a a 2 a n a 2 a 22 a 2n... a m a m2 a mn x x 2. x n b = b 2. b m a x + a 2 x 2 + + a n x n b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a m x + a m2 x 2 + + a mn x n b m a a 2 a n b a 2 x. + x a 22 2. + + x a 2n n. = b 2. b E c(a a m a m2 a mn b m 4.3 Matrices que representan aplicaciones lineales Veremos que toda transformación o aplicación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita, se puede considerar como una aplicación matricial. 4.3. Aplicaciones lineales de IR n en IR m Proposición 4.6 Si f: IR n IR m es una aplicación lineal, entonces f es una aplicación matricial (es decir existe una matriz A tal que f(x = Ax. Sea B = {e, e 2,..., e n } la base canónica de IR n, y sea A la matriz m n que tiene a los vectores f(e, f(e 2,..., f(e n de IR m como sus vectores columna. Vamos a probar que f(x = Ax; x IR n. Álgebra Lineal. 50

4.3 Matrices que representan aplicaciones lineales Se tiene que x = (x, x 2,..., x n = x e + + x n e n y por la linealidad de f, Por otra parte Ax = a a 2 a a 2 a n a 2 a 22 a 2n... a m a m2 a mn a 2 a 22 f(x = x f(e + + x n f(e n. x x 2. x n = a n a 2n a x + a 2 x 2 + + a n x n a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n a m x + a m2 x 2 + + a mn x n = = x. + x 2. + + x n. = x f(e + + x n f(e n = f(x a m a m2 a mn Luego efectivamente, f(x = Ax, para A definida como indicamos. A esta matriz A se la llama matriz estándar de f. 4.3.2 Aplicaciones lineales entre espacios cualesquiera Vamos ahora a demostrar que a cualquier aplicación lineal f: V W, con dim V = n y dim W = m, se le puede asociar una aplicación matricial. Sean B = {v, v 2,..., v n } una base del espacio V y B = {w, w 2,..., w m } una base de W. Todo v V se escribe de forma única como combinación lineal de los vectores de la base, v = k v + k 2 v 2 + + k n v n, luego f(v = k f(v + k 2 f(v 2 + + k n f(v n. Supongamos que conocemos las imágenes de f(v, f(v 2,..., f(v n expresadas en la base B, por lo tanto f(v = a w + a 2 w 2 + + a m w m f(v 2 = a 2 w + a 22 w 2 + + a m2 w m f(v n = a n w + a 2n w 2 + + a mn w m f(v = k (a w + a 2 w 2 + + a m w m + k 2 (a 2 w + a 22 w 2 + + a m2 w m + + k n (a n w + a 2n w 2 + + a mn w m = (k a + k 2 a 2 + + k n a n w + (k a 2 + k 2 a 22 + + k n a 2n w 2 + + (k a m + k 2 a m2 + + k n a mn w m que expresado en coordenadas [f(v] B = k a + k 2 a 2 + + k n a n k a 2 + k 2 a 22 + + k n a 2n k a m + k 2 a m2 + + k n a mn = a a 2 a n a 2 a 22 a 2n... a m a m2 a mn k k 2. k n Luego, hemos encontrado que ( [f(v] B = [f(v ] B [f(v 2 ] B [f(v n ] B [v] B = A[v] B Álgebra Lineal. 5

4.4 Composición de aplicaciones lineales Por tanto fijadas las bases B y B en los espacios V y W, a cada aplicación lineal f se le puede asociar una única matriz, A m n, que recibe el nombre de matriz de f respecto de las bases B y B. Si tenemos un operador lineal f: V V y consideramos que tenemos la misma base B en el espacio de partida y en el de llegada, entonces se habla de matriz de f respecto de la base B. Si tenemos que nos dicen que la matriz A m n es la matriz de la aplicación lineal f: V W respecto de las bases B y B. Cómo calcularemos ker f e img f? Cálculo de ker f ker f = {v V : f(v = 0} = {v V : [f(v] B = [0] B } = {v V : A[v] B = [0] B } Luego para calcular ker f hallaremos las soluciones del sistema homogéneo Ax = 0, y esas soluciones constituirán las coordenadas de los vectores del ker f en la base B. El paso de coordenadas a vectores es inmediato. Cálculo de img f Hemos visto que img f = lin{f(v, f(v 2,..., f(v n } luego para calcular una base de la imagen hay que encontrar una base de ese subespacio. Pero un conjunto de vectores de un espacio vectorial es base si lo es el conjunto formado por los vectores de coordenadas (ejercicio 3.5, luego basta con encontrar una base para el espacio de las columnas de la matriz A. 4.4 Composición de aplicaciones lineales Definición 4.7 Sean f: V W y g: W U aplicaciones lineales. Llamaremos aplicación compuesta de f y g, a la aplicación g f: V U definida por (g f(v = g(f(v, v V. Proposición 4.8 Sean f: V W y g: W U aplicaciones lineales, con dim V = n, dim W = m y dim U = p, y sean B, B y B bases de V, W y U, respectivamente. Entonces: a g f es una aplicación lineal. b Si A m n es la matriz asociada a f respecto de las bases B y B, y C p m es la matriz asociada a g respecto de las bases B y B, entonces CA es la matriz asociada a g f respecto de las bases B y B. a (g f(ku + lv = g(f(ku + lv = g(kf(u + lf(v = kg(f(u + lg(f(v = k(g f(u + l(g f(v. b Teniendo en cuenta que [g(w] B = C[w] B y [f(v] B = A[v] B, [(g f(v] B = [g(f(v] B = C[f(v] B = CA[v] B ; v V. 4.5 Teorema de Semejanza Teorema de semejanza 4.9 Sean f: V V, con dim V = n, un operador lineal, A la matriz de f respecto de la base B de V y A la matriz de f respecto de la base B. Entonces A = P AP siendo P la matriz de paso de la base B a la base B. Álgebra Lineal. 52

4.6 Ejercicios A [v] B = [f(v] B = P [f(v] B = P A[v] B = P AP [v] B Como lo verifica para todo v V, (ver ejercicio 2.2 se llega a que A = P AP. Este resultado es un caso particular del siguiente más general: Proposición 4.0 Si f: V W es una aplicación lineal, A la matriz de la aplicación f respecto de las bases B de V y B 2 de W y A es la matriz de f respecto de las bases B de V y B 2 de W, entonces A = Q AP siendo P la matriz de paso de la base B a la base B y Q la matriz de paso de B 2 a B 2. Definición 4. Dadas dos matrices A y B de orden n se dice que A y B son semejantes si, y sólo si existe una matriz P inversible tal que B = P AP. Proposición 4.2 Dos matrices A y B son semejantes si y sólo si representan al mismo operador lineal respecto a dos bases. = Es el Teorema de Semejanza. = A y B son semejantes P inversible tal que B = P AP. Consideremos el operador lineal f: IR n IR n definido por f(x = Ax, luego A es la matriz de f respecto de la base canónica. P es inversible luego sus columnas forman una base de IR n, y por lo tanto P es la matriz de paso de la base formada por las columnas de P a la base canónica. Por el Teorema de Semejanza B = P AP es la matriz de f respecto a esa base y A y B representan al mismo operador lineal respecto a bases distintas. Corolario 4.3 Si A y B son matrices semejantes, entonces tienen el mismo rango. 4.6 Ejercicios 4. Determinar si las siguientes aplicaciones son o no lineales: a F : IR 2 IR 2 / F (x, y = ( 3 x, 3 y b F : IR 3 IR 2 / F (x, y, z = (2x + y, 3y 4z. ( a b c F : M 2x2 IR / F = a c d 2 + b 2. 4.2 Sea T : IR 3 W la proyección ortogonal de IR 3 sobre el plano W que tiene por ecuación x + y + z = 0. Hallar una fórmula para T y calcular T (3, 8, 4. 4.3 Sean V un espacio vectorial y T : V V la aplicación lineal tal que T (v = 3v. Cuál es el núcleo de T? Cuál es la imagen de T?. 4.4 Consideramos la base S = {v, v 2, v 3 } de IR 3 donde v = (, 2, 3, v 2 = (2, 5, 3 y v 3 = (, 0, 0. Encontrar una fórmula para la transformación lineal T : IR 3 IR 2 para la que T (v = (, 0, T (v 2 = (0, y T (v 3 = (0,. Calcular T (,,. 4.5 Sea A una matriz de tamaño 5 7 con rango 4. Álgebra Lineal. 53

4.6 Ejercicios a Cuál es la dimensión del espacio de soluciones de Ax = 0?. b Ax = b es compatible para todo b perteneciente a IR 5? Por qué?. 4.6 Sea T : IR 3 IR 3 la aplicación lineal dada por la matriz A = 3 4 3 4 7 2 2 0 a Demostrar que el núcleo de T es una recta y encontrar sus ecuaciones paramétricas. b Demostrar que la imagen de T es un plano y hallar su ecuación. 4.7 Sea f: V W una aplicación lineal. Se dice que una aplicación lineal es inyectiva si a cada vector de la imagen le corresponde un único original (es decir, si f(u = f(v u = v. Demostrar que f es inyectiva si y sólo si ker(f = {0}. 4.8 Encontrar la matriz estándar de cada una de las aplicaciones lineales siguientes: x x x + 2x 2 + x x 4 3 x a T x 2 = x + 5x 2 b T 2 x x 3 x 3 = x x 3 3 x 4 x x 3 4.9 Sea T : IR 2 IR 3 la transformación lineal definida por T ( x x 2 = x + 2x 2 x 0 a Encontrar la matriz de T respecto de las bases: B = {u = (, 3, u 2 = ( 2, 4} y B = {v = (,,, v 2 = (2, 2, 0, v 3 = (3, 0, 0}. b Usar la matriz obtenida en el apartado a para calcular T (8, 3. 4.0 Se considera la aplicación f: ( M 2 2 (IR M( 2 2 (IR definida ( por: a a f 2 2 a a = 2 a 2 a 22 0 a 2 a 22 a Demostrar que f es lineal. b Hallar la matriz asociada a la aplicación lineal respecto de la base canónica de M 2 2 (IR. c Hallar el núcleo y la imagen de f así como sus dimensiones y bases. d Hallar la matriz {( de f respecto ( de la ( base: ( 0 0 2 0 0 0 B =,,, 0 0 0 2 0 0 4. Considerar la aplicación lineal T : IR 4 IR 3 dada por la matriz 3 2 0 A = 6 2 3 0 7 respecto de las bases: B = {v = (0,,,, v 2 = (2,,,, v 3 = (, 4,, 2, v 4 = (6, 9, 4, 2} y } B = {w = (0, 8, 8, w 2 = ( 7, 8,, w 3 = ( 6, 9, }. Álgebra Lineal. 54

4.6 Ejercicios a Hallar [T (v ] B, [T (v 2 ] B, [T (v 3 ] B, [T (v 4 ] B. b Encontrar T (v, T (v 2, T (v 3, T (v 4. c Hallar T (2, 2, 0, 0. ( ( 4.2 Sea T : IR 2 IR 2 x x + 7x la aplicación lineal definida por T = 2. x 2 3x + 4x 2 Hallar la matriz de T respecto de la base B y aplicar el teorema de semejanza para calcular la matriz de T respecto de la base B, siendo B = {u = (2, 2, u 2 = (4, } y B = {v = (, 3, v 2 = (, }. 4.3 Probar que si A y B son matrices semejantes entonces det(a = det(b. 4.4 Probar por inducción que si A y B son matrices semejantes entonces A n y B n también lo son para cualquier n IN. 4.5 Dado el operador lineal T : IR 3 IR 3 tal que [T (x] B = A[x] B siendo: 2 a A = 2a y B = {u = (,, 0, u 2 = (0,,, u 3 = (, 0, 0} a 2 a Hallar la matriz estándar de T. b Calcular los subespacios ker(t y img(t según los valores de a. 4.6 Sean T : V W una transformación lineal y S = {v, v 2,..., v n } un conjunto de vectores de V. Demostrar que si el conjunto {T (v, T (v 2,..., T (v n } es linealmente independiente, entonces S es linealmente independiente. Es cierto el recíproco?. Justificar la respuesta. 4.7 Sea T : IR 3 IR 3 la aplicación lineal T = x x 2 x 3 = λx + µx 2 + x 3 x + λµx 2 + x 3 x + µx 2 + λx 3. Se pide: a Encontrar los valores de λ y µ para los cuáles la imagen de T sea IR 3. Quién es en ese caso el núcleo?. b Sea λ =. Encontrar una base del núcleo en ese caso. c Sea λ = y µ = 0. Se pide: c.. Encontrar la matriz de T respecto de la base B = {u = (, 0,, u 2 = (0,, 0, u 3 = (4,, 2}. c.2. Dada la base B = {v = (,, 2, v 2 = (,, 0, v 3 = (,, }, encontrar la matriz de paso de B a B. c.3. Encontrar la matriz de T en la base B aplicando el teorema de semejanza. 4.8 Sea T : IR 3 IR 2 la aplicación lineal talque: { 0 x + 2y + z = 0 (i ker(t = (ii T 0 2x + y + z = 0 = ( 0 (iii T 0 = ( 2 a Calcular la matriz estándar. b Calcular las ecuaciones paramétricas de la imagen del subespacio x + y + z = 0. 4.9 Sea T un operador lineal sobre el espacio vectorial V. Demostrar que T T = 0 img(t ker(t. (Aquí 0 representa la aplicación nula. Álgebra Lineal. 55

4.6 Ejercicios 4.20 En el espacio vectorial real IR 4 se definen los subespacios: S = lin{(, 4,,, (2, 3, 2, 3}, S 2 = lin{(,,, 3, (3, 2, 3, 4}, { x2 x S 3 tiene por ecuaciones implícitas 4 = 0 2x 2 + 3x 4 = 0 y S 4 = lin{(0,, 0, 0, (, 0,, 2}. Se considera la aplicación lineal f: IR 4 IR 4 que cumple: i f(0,, 0, 0 = (, 3, 0, ii ker(f = S S 2 iii f(s 3 = S 4 iv f(,, 0, 3 = (m, 5, n, 2 v f(,,, = (, 2, a, b Se pide hallar la matriz estándar de f. 4.2 Dado el espacio vectorial P 3 (IR, de las funciones polinómicas de grado menor o igual que tres, se considera la aplicación f: P 3 (IR P 3 (IR definida por f[p (x] = P (x + + P (x 2P (x. Se pide: a Probar que f es lineal. b Demostrar que img(f = ker(f. c Si fuera f: P 4 (IR P 4 (IR, se podría dar img(f = ker(f?. Razonarlo sin calcular la imagen y el núcleo de f. d Probar que: Q(x img(f, existe un único P (x P 3 (IR que verifica que f[p (x] = Q(x y P (0 = P (0 = 0. 4.22 Sea f: IR 4 IR 4 un operador lineal, del que se sabe que: f(,, 0, 0 = (0,, 0, y f(, 0,, 0 = (,,, 0. Hallar la matriz estándar de f en cada uno de los siguientes supuestos: a ker f = img f. b f f = Id (la identidad. c f f = f. Álgebra Lineal. 56