1 Magnetismo sola: un poco de teoía La actividad magnética del Sol ha ataído a los astónomos duante al menos años: pimeo, la apaiencia y vaiabilidad de las manchas, más tade, su estuctua, las potubeancias, vaiaciones coonales, eupciones, con sus consecuencias en Tiea, desde las auoas a los apagones en tansmisiones de adio, etc. Sabemos que la actividad sola es una consecuencia inmediata de la existencia de un campo magnético en el Sol. El magnetismo en el Sol sucede en todas las escalas: el diámeto de los más pequeños tubos de flujo magnético está en (o po debajo de) el límite infeio de esolución espacial actual, mientas que las mayoes manifestaciones del campo, las componentes de campo medio, pueden cubi todo un hemisfeio. Antes de descibi estuctuas magnéticas solaes expondemos algunos hechos fundamentales sobe la inteacción de la mateia conductoa de la electicidad con un campo magnético. La ecuación de inducción Patimos de las ecuaciones de Maxwell 1 1 Ley de Ampèe-Maxwell (o de Ampèe genealizada) = µ j + c De la Ley de Gauss paa el campo magnético = Ley de Faaday-Heny E = t ρ De la Ley de Gauss paa el campo eléctico E = ε E t Con µ = µ = pemeabilidad magnética del vacío = 4πx1-7 Nw/A (o henios/m) (en el Sistema Intenacional, con el campo magnético medido en Teslas. En el cgs, con la tansfomación de unidades queda µ = 4π, y el campo magnético se mide en Gauss, 1 Gauss=1-4 T). ε= ε = pemitividad eléctica del vacío = 1 7 /4π c = 8,854x1-1 Cul /Nw m (o faadios/m) c = 1/µ ε ρ* = densidad de caga eléctica Paa deduci la ecuación de inducción se hacen las siguientes suposiciones: en la ley de Ampèe-Maxwell despeciamos la coiente de desplazamiento, lo que es una muy buena apoximación paa fenómenos no elativistas o lentos, es deci, 1 Con esta descipción estamos tatando el plasma sola como un medio conducto: escibimos las ecuaciones de Maxwell paa el vacío, con E y en luga de D y H, y con los valoes µ y ε, peo incluiemos la conductividad eléctica σ que da cuenta de las coientes que ciculan po el medio.
con velocidades caacteísticas del movimiento del plasma << c, así que téminos v del oden de seán despeciables: c en oden de magnitud, siendo l una escala caacteística de vaiación del campo, v una velocidad caacteística del plasma, un campo típico, y t una escala caacteística de tiempo de los pocesos, 1 E 1 E 1 l E (poque, po la ley de Faaday) c t c t c t l t 1 l v c t l c, es deci, el segundo sumando de la ley de Ampèe es 1 E v v 1 E con <<1. Así que esulta despeciable fente a µ j, y c t c c c t la ley de Ampèe se puede escibi simplemente = µ j. Y utilizamos la siguiente foma simplificada de la Ley de Ohm: j = σ ( E + v ), paa un mateial conducto en movimiento, donde la densidad de coiente se mide en A m - = Cul s -1 m -, y donde σ es la conductividad eléctica del plasma, en ohm -1 m -1 o en s Cul m -3 kg -1. Esta expesión es válida bajo las suposiciones de v <<c, plasma suficientemente denso como paa que dominen las colisiones, coientes estacionaias, gadiente de pesión electónica despeciable, etc. La ecuación de inducción se obtiene combinando las ecuaciones de Maxwell: 1 = µ j = µσ ( E + v ) E = v µσ 1 E = ( ) ( v ) = µσ t 1 [ ( ) ] ( v ) = que, como =, queda µσ t t = ( v ) + η con η=1/σµ = difusividad magnética, con dimensiones L T -1 (m s -1 ). Se denomina así poque paa velocidad ceo la ecuación de inducción se conviete en una ecuación de difusión (es deci, la deivada tempoal es popocional al laplaciano de una magnitud). Conocido el movimiento del plasma, v, y su difusividad magnética η esta ecuación popociona el campo ; de éste se obtiene la densidad de coiente j = ; de ésta, µ j E el campo eléctico E = ( v ) ; y, po último, la densidad de caga ρ =. σ ε
El pime témino de la ecuación de inducción ( v ) es el témino advectivo (o convectivo o de inducción), que descibe el efecto del movimiento del plasma sobe el campo, sobe las líneas de fueza magnética: el movimiento del plasma aasta al campo magnético. El segundo témino η se denomina témino difusivo (o de decaimiento) y epesenta la destucción del campo, su difusión y disipación óhmica; dicho de oto modo, el decaimiento óhmico del campo debido a la esistencia eléctica finita del plasma, que disipa enegía al paso de coientes. Se define el númeo de Reynolds magnético R m, adimensional, como el cociente ente el témino advectivo y el difusivo: 1 v ( v ) l lv Rm = η η η l siendo l la escala de la vaiación espacial del campo magnético y v la velocidad caacteística de los movimientos del plasma. Se puede compoba que A mayo conductividad eléctica (σ), la disipación óhmica es meno, luego la difusividad magnética es meno, y el númeo de Reynolds magnético es mayo, es deci, pedomina el témino de advección sobe el de difusión. 3 Nota sobe el cálculo de la difusividad magnética Paa calcula la difusividad magnética es necesaio estima la conductividad eléctica σ. En todas pates del Sol hay suficiente númeo de electones libes como paa que pueda flui una coiente eléctica, que consiste en un desplazamiento de los electones elativo a los iones positivos. La facilidad con la que este desplazamiento puede sucede detemina la conductividad eléctica del plasma. Ésta depende de la fecuencia y natualeza de las colisiones ente las divesas patículas neutas y cagadas. Es usual calcula σ con un modelo de 3 componentes: electones, potones y átomos neutos. Paa un gas totalmente ionizado, Spitze et al. (196) dan la siguiente 3 / 3ε π (KT ) expesiónσ = γ E (ohm.m) -1 con Λ = D /p, D = adio de Debye, y p m e Z ln Λ e = paámeto de impacto de una colisión electón-ión positivo, con ángulo de salida=9º. Todo el pime facto se obtiene suponiendo los iones en eposo, y que los electones no inteaccionan ente ellos (lo que se llama gas de Loentz). El segundo facto, γ E incluye la coección po las colisiones ente electones. Paa Z=1, el caso más inteesante en el Sol, Spitze da γ E =,58. Po ejemplo, en la zona de convección, σ,3 x T 3/ (ohm.m) -1. El témino ln Λ depende débilmente de la densidad y la tempeatua.
4 1 7 3 / La difusividad magnética esulta: η = = 5, 1 ln ΛT µ σ m s -1 Lo más inteesante es su dependencia con la tempeatua. Paa ionización pacial: en la fotosfea y baja comosfea, donde la T es elativamente baja, los pincipales constituyentes, H y He, están casi totalmente neutos. Elementos más pesados con potenciales de ionización bajos donan suficientes electones paa que fluya una coiente eléctica, peo se educe mucho la conductividad debido a las escasas colisiones ente electones y átomos neutos. 3e ne Paa débil ionización, con n e <<n n (neutos) σ = siendo S la sección 1/ 8S(πm ekt ) nn eficaz de colisiones ente electones y átomos neutos, que es la mayo fuente de incetidumbe, hasta un facto. Se estima S en unos 1-19 m Sobe la conductividad eléctica conviene puntualiza que puede pesenta fuetes gadientes hoizontales; po ejemplo, en manchas, las fluctuaciones de T pueden hace vaia la σ hasta un oden de magnitud. σ también puede se anisótopa si las colisiones son aas y el campo es intenso, como en la comosfea y coona. En este caso de ionización pacial se puede demosta que τ ei η pac. ion. = ηtot. ion. (1 + ) siendo τ ei y τ en τ en los tiempos medios de colisiones ente electones e iones, y electones y átomos neutos, espectivamente, y τ ei 11 nn T 5, 1 τ n ln Λ en e Zona T n (m -3 ) ln Λ η=1/µσ Zona de 1 5 1 7 5 8 convección Fotosfea 6x1 3 1 3 5 Mínimo de T 4,x1 3 1 1 5 8,7x1 5 Comosfea 6x1 3-1 4 1 19-1 17 8-1 1 55 Región de 1 5 1 15 16,3 7 tansición Coona x1 6 5x1 14,4 (1 9 T -3/ m /s) Como puede vese, η tiene un máximo impotante en la egión del mínimo de tempeatua. Se puede asumi un valo medio de la difusividad magnética en la fotosfea de unos 1 5 m s -1.
Intepetación del númeo de Reynolds magnético: l lv η Rm = η = se puede entende como el cociente ente dos escalas de tiempo: l v τ D = l en el numeado,, es la escala de tiempo del decaimiento óhmico o η difusión. Cuanto mayo es η, meno es τ D, es deci, más ápidamente se poduce la disipación del campo en foma de coientes. Este tiempo es mínimo en la zona del mínimo de T l en el denominado, es la escala de tiempo de advección, del movimiento del v mateial que aasta al campo. Los plasmas de laboatoio pesentan R m <<1, es deci, la ápida difusión hace que no se pueda asigna una identidad pemanente a las líneas de campo, éste desapaece muy ápidamente. Po el contaio, en Física Sola y, en geneal, en plasmas astofísicos se cumple que R m >>1, lo que equivale a η << y σ >>. A menudo se dice simplemente que el plasma sola tiene una "alta conductividad": con ello se quiee significa en ealidad l que el númeo de Reynolds magnético es muy alto, es deci, que τ D >>, el tiempo de v decaimiento óhmico es mucho más lago que el de advección y que cualquie ota escala de tiempo de inteés, con lo que los campos magnéticos son "duadeos". Veamos algunos ejemplos: 5 Estuctua l v η (m s -1 ) R m Gánulos 1 3 Km 1 Km/s 1 5 1 14 Supegánulos 3x1 4 Km,5 Km/s 1 5 1,5x1 5 Viento sola 1 UA = 4 Km/s 1 6x1 14 1,5x1 11 m Disco galáctico 1 PC = 3x1 18 m 1 Km/s 1 5 3x1 17 Realmente la mayo difeencia ente los plasmas astofísicos y los de laboatoio adica en la enome escala de tamaños de los pimeos, no en las conductividades elécticas que, a menudo, son mucho mayoes en laboatoio (po ejemplo, las de los metales son del oden de 6x1 7 (ohm.m) -1 mientas que las de la fotosfea son del oden de 8 (ohm.m) -1 Aun así, pedomina el efecto del tamaño. Veamos ahoa en qué dos límites se puede estudia la ecuación de inducción:
(i) el límite difusivo Es válido en ausencia de movimientos, con velocidad= o, más geneal, cuando R m <<1. En ese caso la ecuación queda = η que, como se ve, es una ecuación de t difusión. Su solución pesenta modos nomales decayendo exponencialmente en un tiempo que es la escala de difusión definida antes, τ η La difusión en un plasma es análoga a la de un campo magnético en un electoimán: mientas está conectado a la ed, las coientes elécticas poducen el campo. Al desconectalo, el campo disminuye y, al cuza las espias, poduce a su vez coientes elécticas que disipan su enegía óhmicamente en el medio, hasta que toda la enegía magnética se conviete en calo. La gan difeencia es que en un electoimán esto sucede en segundos, mientas que en sistemas cósmicos, con enomes escalas, los campos magnéticos son muy duadeos, y acaban siendo independientes de las coientes que los ceaon inicialmente. Ejemplos: D = l 6 Objeto η (m s -1 ) l τ D Esfea de cobe,1 1 m 1 segundos Núcleo teeste 1 3 Km 3x1 4 años Mancha sola 1 5 3 Km 3 años Núcleo sola 1-3x1 5 Km 1 11 años (diámeto) Núcleo de una,3 x1 5 Km 4x1 9 años estella Disco galáctico 1 5 3x1 15 Km 3x1 4 años Comentaios: el núcleo teeste, con una edad de unos 45 Ma, debe egenea su campo magnético paa mantenelo, luego ha de existi un mecanismo dinamo una mancha sola dua semanas, no 3 años. La causa de su meno vida es que se fagmenta en tozos menoes, lo que disminuye el tiempo de difusión, y que se disgega y desapaece campo po otos mecanismos. el Sol y otas estellas podía, en pincipio, mantene un campo magnético pimodial si éste tiene una configuación estable. seguamente el campo magnético obsevado en galaxias sea un esto del pimodial, ya que éste es enomemente duadeo. En el Sol, genealmente el témino advectivo es >> témino difusivo, el númeo de Reynolds magnético es gande. La difusión es impotante en cietas situaciones concetas, po ejemplo, cuando las escalas espaciales de los pocesos son pequeñas: un cambio busco del campo en poco espacio, un cambio de polaidad. Po ejemplo, en las llamadas hojas de coiente (cuent sheets), R m 1, que se poducen tas un cambio busco en el campo. Po ejemplo, sea un cambio de polaidad en 1D, de a en t=, d 1 d a lo lago del eje x; eso significa j =, jx = : esulta una dx µ µ dx coiente concentada en un plano pependicula al campo, de ahí el nombe de hoja o
lámina de coiente. Al i tanscuiendo el tiempo, la configuación inicial de campo, que seía simplemente un escalón a lo lago de x, se va suavizando. (ii) el límite advectivo Es válido cuando R m >>1, ( v ) >> η, así que el segundo témino es despeciable y la ecuación de inducción queda = ( v ). Po ejemplo, el caso t más desfavoable es el de una mancha, con la meno conductividad eléctica, del oden de 1 (ohm.s)-1 y l 1 Km (la altua escala) y v 1 Km/s, esulta R m 16, que aún es alto. En las siguientes gáficas de Stix se puede ve el númeo de Reynolds magnético y la conductividad eléctica en distintas zonas del Sol: 7
Así que en el Sol R m siempe es alto y este límite advectivo es adecuado paa estudia muchos fenómenos. Es en este caso en el que suge el concepto de congelación de las líneas de campo magnético. Su significado es que el flujo magnético es tanspotado po el movimiento del mateial, es deci, que el flujo magnético que ataviesa una supeficie que se mueve con el plasma pemanece constante, en este límite (esto ecibe el nombe de Teoema de Alfvén). 8 Demostación: Sea S un áea limitada po una cuva ceada L. Sea un instante de tiempo después, dt. El nuevo límite L está hecho de las mismas patículas mateiales (en el sentido de la mecánica de fluidos), peo se puede habe defomado, estiado, encogido... según las tayectoias v dt de las patículas. El flujo magnético φ a tavés de S limitada po L puede se difeente del flujo φ poque el campo haya cambiado en el tiempo, o poque algo de flujo haya dejado el volumen ente S y S a tavés de las paedes lateales. En el límite de conductividad infinita el flujo magnético total a tavés de una cuva ceada L que limita una supeficie S, cualquiea, se conseva. Como ese flujo constante se puede epesenta po un númeo fijo de líneas de campo, se puede deci que éstas se compotan como si estuviean atadas, ancladas, congeladas en el fluido en movimiento: las podemos ve! Consideo positiva la diección del campo hacia aiba, luego el vecto nomal a S es positivo también hacia aiba, es deci, hacia el inteio del volumen ente S y S. Este sentido positivo hacia el inteio es aplicable a todos los vectoes supeficie.
Como consecuencias, dos elementos de fluido que están conectados en un momento po una línea magnética seguián conectados po una línea magnética en un tiempo posteio. Y el plasma puede movese libemente a lo lago de la línea magnética; peo si existe una componente de movimiento tansvesal, las líneas de campo seán aastadas po el plasma, o empujaán al plasma. 9 La fueza de Loentz Una patícula simple con caga e, velocidad v, que se mueve a tavés de un campo magnético expeimenta una fueza F = ev, pependicula a la velocidad y al campo, esponsable de las tayectoias espiales de las cagas en tono a las líneas de campo magnético. En el caso de un plasma no consideaemos los movimientos de patículas individuales, ni siquiea especies individuales (iones, electones, potones, átomos neutos...) con sus cagas espectivas, sino que lo tataemos como un fluido. Esto, junto con el hecho de despecia la coiente de desplazamiento en la Ley de Ampèe-Maxwell y utiliza la foma sencilla no elativista de la Ley de Ohm constituye la apoximación magnetohidodinámica (MHD). Sin demostación iguosa, suponemos que ev es tanspote de caga, que la patícula en movimiento contibuye a la coiente eléctica, de modo que sumando paa todas las patículas dento de un elemento de volumen, y calculando po unidad de volumen, obtenemos la densidad de coiente j. Se considea también que las fuezas sufidas po las patículas cagadas individuales se comunican al fluido como un todo mediante las colisiones. Así se llega a F L = j como expesión de la fueza de Loentz po unidad de volumen ejecida po un campo magnético sobe un fluido conducto. j = ; F = 1 1 1 L ( ) = µ + (. ) µ µ 1 Es deci F L = (. ) la fueza de Loentz se puede dividi en una tensión µ µ magnética, de magnitud, paalela al campo, que tiene un efecto esultante cuando µ las líneas de campo magnético están cuvadas, y un gadiente de pesión magnética, P =, que actúa en todas diecciones. Como la fueza de Loentz no tiene µ componente paalela al campo, la componente paalela de P debe cancelase con la tensión magnética, luego queda sólo una componente de P pependicula al campo. Gacias a la tensión magnética, cada línea se compota como una goma elástica tensa, infinitamente defomable, con una tendencia a acotase. El efecto de la tensión magnética se manifiesta cuando el campo está cuvado.
1 (Más genealmente, en vez de pesión y tensión se habla del tenso de esfuezos de 1 1 Maxwell: ik = ( δ ik i k ) donde la componente catesiana i de la fueza po µ ik unidad de volumen es ). x k NOTA impotante: aunque ya lo mencioné al pincipio, del tema, hablando de las unidades, conviene ecoda que la pesión magnética escita como P = coesponde al Sistema Intenacional, con el campo en Teslas y µ = µ = µ pemeabilidad magnética del vacío = 4πx1-7 Nw/A. Peo la expesión más utilizada en Astofísica y que veán a menudo es P = : son equivalentes, simplemente esta 8π última es la del Sistema cgs, con µ = 4π, y exige expesa el campo en Gauss. Tal como descibe el témino P, un tubo de flujo magnético, asimilable a una cueda tensa, ejece una pesión lateal sobe el gas en el que está inmeso. En equilibio, la pesión magnética se compensa con la del gas. Po ejemplo, una P gas 1 4 Pa típica paa la atmósfea sola supondía una intensidad de campo de unas,15 T = 15 Gauss paa se compensada exclusivamente po la pesión magnética. Ésa es pecisamente la intensidad de las concentaciones de campo obsevadas en la supeficie sola. En manchas vemos más pofundo (<T, < opacidad), un nivel con P gas x1 4 Pa, y paa compensa esta mayo pesión el campo puede alcanza los 3 Gauss, como efectivamente se obseva. Nótese que tanto la tensión como la pesión magnética popocionan una fueza estauadoa a petubaciones. Así que un tubo de flujo es capaz de sopota movimientos ondulatoios paticulaes, además de los que son estauados po pesión y gavedad. En el tatamiento de estas oscilaciones apaece la velocidad de Alfvén, que es la velocidad a la que se popaga una petubación a lo lago de una línea de campo. Se define como v A = y aumenta con la altua en la atmósfea sola. 1/ (µρ)
En la siguiente gáfica pueden vese distintos tipos de ondas que pueden popagase po tubos de flujo magnéticos: 11 Oto concepto fundamental en magnetohidodinámica es el de β del plasma: Pg Pg µ Pg se define como la azón de la pesión gaseosa a la magnética, β = = =. P µ A >> β, mayo dominio del plasma sobe el campo; y al contaio, a << β, mayo dominio del campo magnético sobe el plasma. Así, el plasma domina al campo en la fotosfea, con β >1 (excepto en los elementos magnéticos, con β <1), mientas que en la coona β<<<1, poque la pesión gaseosa decece exponencialmente, peo el campo no lo hace, así que tiende a ocupalo todo y domina totalmente al plasma. En la figua se epesenta la β del plasma fente a la altua en la atmósfea sola, paa distintos valoes del campo magnético:
1 Tubo de flujo magnético Aunque hemos mencionado en vaias ocasiones tubo de flujo magnético, vamos ahoa a definilo y a ve sus popiedades. Se define como el volumen enceado po un conjunto de líneas magnéticas que inteceptan una cuva ceada simple. Su intensidad viene dada po el númeo de líneas po unidad de supeficie, o bien po el flujo magnético que ataviesa una sección S del tubo.po ejemplo, Popiedades de los tubos de flujo: a) el flujo magnético que ataviesa sus secciones pemanece constante b) po consevación de flujo, si el tubo se estecha, la intensidad de campo cece; si el tubo se ensancha, la intensidad de campo decece. c) La compesión/expansión de un tubo de flujo aumenta el campo magnético y la densidad en la misma popoción: / ρ = cte. Poque d) la extensión/encogimiento de un tubo de flujo sin compesión (es deci, con ρ =cte) aumenta/disminuye la intensidad del campo magnético.
Es posible estudia la estuctua magnética y el movimiento de un tubo de flujo magnético aislado, es deci, de un "manojo" o gavilla de líneas de fueza odeado po plasma sin campo. El tatamiento completo de esta configuación implica esolve las ecuaciones apopiadas tanto en el inteio del tubo como en el exteio, y combinalas de manea adecuada a tavés del límite del tubo. Sin ealiza dicho estudio completo, mencionaemos algunos conceptos y esultados. Es muy utilizada la apoximación de tubo de flujo delgado, válida cuando las escalas de longitud a lo lago del tubo son gandes compaadas con su diámeto. Se puede expesa como sigue: si la sección del tubo en una altua z tiene adio s(z), en esta apoximación s/h<<1 siendo H la altua escala de cualquie magnitud en el tubo. También K.s << 1 con K = númeo de onda vetical de cualquie petubación que pueda popagase a lo lago del tubo. Ota foma de expesa la condición de tubo de flujo delgado es que el diámeto del mismo sea compaable o meno que el camino libe medio de los fotones. Debido a esto, es posible el tanspote adiativo desde el exteio, de modo que el tubo se calienta hasta hacese isotemo con el medio. Además, se despecia la estuctua intena del tubo, es deci, los paámetos que lo definen son constantes a una cieta altua, no dependen de la distancia adial al eje del tubo. Po el contaio, en la apoximación de tubo gueso, el diámeto del mismo es mucho mayo que el camino libe medio de los fotones; se considea entonces su estuctua intena (magnitudes como función de la distancia adial al eje), y que el tubo no puede se calentado desde el exteio, como mucho esto sucedeía en una estecha lámina supeficial del tubo, en su piel. Según Spuit la tansición de tubo delgado billante a gueso oscuo ocue en tono a los 6 km de diámeto. 13 A continuación se agumenta po qué es habitual epesenta los tubos de flujo abiéndose con la altua en la atmósfea sola. La explicación paa tubo delgado puede vese en la página siguiente, y se sigue inmediatamente del hecho de que el tubo sea isotemo con el medio y de la condición de equilibio magnetohidostático. Paa tubo gueso, la tempeatua en el inteio es meno que en el medio exteno po inhibición de la convección en pesencia de campo, y el tubo no puede se calentado hasta hacese isotemo con el medio. También a cada altua la pesión del plasma exteio se equiliba con la pesión del plasma inteio + la pesión magnética. En este caso, al no se iguales la tempeatua inteio y exteio, no es inmediato ve que también la densidad del gas dento del tubo es meno (con lo que vale la misma explicación que paa tubo delgado). Sin embago, esto es lo indicado po los modelos de tubo gueso, que popocionan la estatificación con la altua y la dependencia adial de las magnitudes de inteés como tempeatua, densidad, pesión, campo magnético El esultado es que las líneas de campo se aben con la altua, extendiéndose en foma de abanico.
Paa tubo de flujo delgado: 14
15 Algunos esultados inteesantes obtenidos en la apoximación de tubo delgado, consideando éste aislado, inmeso en un plasma no magnetizado: Como hemos visto, debido a la disminución de la pesión exteio, los tubos veticales se expanden con la altua (típicamente, un facto e en unos 5 km). Así que un tubo que es delgado en τ 5 =1 puede no selo ya en el nivel del mínimo de T; y al contaio, aunque algunos tubos obsevados en la fotosfea violen la apoximación de tubo delgado, ésta puede se satisfactoia en la zona de convección, debajo. Po los tubos se pueden popaga divesas petubaciones, po ejemplo, ondas longitudinales (que disminuyen y aumentan su diámeto, como una salchicha), ondas tosionales de Alfvén, ondas tansvesales. Se pueden estudia tubos cuvados en la apoximación de tubo delgado si el adio de cuvatua es gande compaado con el diámeto del tubo. Un caso paticulamente inteesante es el de un tubo hoizontal: supongamos que éste es petubado y se desplaza veticalmente po su pate cental (como en el caso teóico que mencionamos paa explica la flotabilidad). Paa tubo delgado, en equilibio témico con el medio exteno, el hecho de que la P inteio gas < P exteio gas poque dento hay, además, P magn implica que la densidad en el inteio del tubo es meno que fuea. Si el campo no es muy intenso y la longitud de onda espacial es gande, como vimos, la tensión magnética no compensa la fueza de ascenso 3 : ésta se llama flotabilidad magnética, vale F=(ρ int -ρ ext )g, y apunta en diección opuesta a la gavedad, poduciendo el ascenso del tubo como un todo. Es muy inteesante estudia la inestabilidad de estos tubos hoizontales: se deduce que en la zona de convección esultan inestables. Se obtiene la siguiente condición 1 Pg µ Pg suficiente de inestabilidad: β ( ext ad ) >, donde β = = y γ es γ P γ 1 el índice adiabático que veifica ad =.Es deci, la estabilidad de los tubos γ de flujo magnéticos ceca de la base de la zona de convección depende de cuánto se aleja la estatificación de tempeatua del medio de la adiabática (mediante la difeencia de nablas) y de la β del plasma (po tanto, de la pesión gaseosa extena, de la difusividad magnética y de la intensidad del campo). Incluso en zonas establemente estatificadas (con ext < ad ) un tubo hoizontal podía se inestable si el campo es muy intenso. El valo cítico del campo paa que el tubo sea inestable 1 µ γ ( ). c = P g ext ad esulta [ ] Las simulaciones indican que los tubos hoizontales pueden se estables en la egión de oveshooting bajo la zona de convección: a una pofundidad de unos x1 8 m, 3 Realmente se tata de esolve la ecuación de continuidad, la de inducción, la condición de movimiento adiabático como imponíamos en el tatamiento de la convección, y la ecuación de movimiento que, en un sistema de efeencia que se mueve con el plasma, es ρ + v ) v = F = P + ρg + j t Resulta que, de la fueza po unidad de volumen F sólo no se cancela la componente ( ρint ρ ) g (. que tiene sentido opuesto a la gavedad, hacia aiba, ya que paa tubo de flujo delgado T int =T ext, lo que implica que ( int ) <. Ésa es la flotabilidad magnética. ρ ρ ext ext
con una P g 1 13 Pa, y con ( ext ad ) 1-6 - 1-5, Pidatella & Stix (1986) demostaon que pueden existi tubos estables con una intensidad de vaias teslas. De ese modo es posible el almacenamiento de campo magnético intenso en dicha zona de oveshooting. Impotantes esultados geneales aceca de los tubos de flujo hoizontales estudiados en apoximación de tubo delgado son:. Anclaje: los tubos que comienzan desde una condición de equilibio mecánico ascienden a lo lago de la zona de convección quedando anclados en dos footpoints en la zona de oveshooting. Tiempos de ascenso: paa campos iniciales del oden de 1 5 Gauss la escala de tiempo del ascenso es compaable al peiodo de otación. Ángulos de inclinación: la fueza de Coiolis actúa sobe el tubo ascendente poduciendo una otación del plano vetical del tubo especto al ecuado. Los ángulos de inclinación calculados ajustan bastante bien con los obsevados. Asimetías p-f (peceding-following): las difeencias en la mofología y movimientos popios en las polaidades p y f de egiones activas pueden se consecuencia de la acción de la fueza de Coiolis sobe los tubos en ascenso. La intensidad del campo magnético tooidal en la base de la Z.C. tiene que se > eq necesaiamente a todas las pofundidades paa esisti la convección tubulenta, y > 4 eq paa popociona un buen ajuste con las egiones activas obsevadas. 16 ---------------- La MHD puede aplicase al estudio de la inteacción ente la convección y el campo magnético. Paa el estudio de estos pocesos es necesaio esolve el habitual sistema de ecuaciones: la ecuación de continuidad la ecuación de movimiento una ecuación de estado, po ejemplo, la del gas ideal la ecuación de la enegía (consideando a menudo pocesos adiabáticos y eventualmente incluyendo flujo de calo po conducción de patículas, adiación, disipación óhmica y otas posibles fuentes de calo) al que hay que añadi la ecuación de inducción, completa o en alguno de sus límites En la llamada apoximación cinemática, se impone un deteminado campo de velocidades y se despecia la influencia del campo sobe la velocidad a tavés de la fueza de Loentz, es deci, se despecia el efecto de aceleación o fenado de la F L sobe el movimiento, así como otas fuezas (como gavedad, fuezas viscosas, etc.) La apoximación dinámica, mucho más complicada, sí tiene en cuenta la pesencia de divesas fuezas.
Veamos algunos ejemplos sencillos de inteacción de la convección y el campo magnético: 1. Inhibición de la convección: Realmente, po congelación del campo, un campo magnético intenso impide la existencia de convección que suponga movimientos pependiculaes al mismo. Así, la convección odinaia no puede tene luga, ya que no son posibles los movimientos de ovetuning o los de ascenso-descenso del mateial, dependiendo de la oientación del campo. (Podían tene luga fomas de convección no pependiculaes a las líneas de campo, algo así como una oscilación a lo lago de dichas líneas).. Flotabilidad: Sea una capa hoizontal de plasma, calentado desde abajo, con un campo magnético unifome también hoizontal 17 Supongamos que el plasma es petubado po los movimientos convectivos y se desplaza una pequeña cantidad ξ veticalmente. Como el campo está congelado, también lo haá: las líneas de campo se cuvaán, supongamos que como sinusoides con cieta longitud de onda (K=π/λ). dy En este caso D sencillo y = ξ sin Kx, = Kξ cos Kx dx El campo en la nueva situación se puede estima, po ejemplo, así: = i + Kξ cos Kxj, con una nueva componente en diección vetical popocional a la defomación; al añadi esta componente y la intensidad del campo esulta amplificada 4. 4 De foma más ealista debeía evaluase imponiendo la consevación de flujo de modo que en la zona en que el cilindo asciende debeía ensanchase, po sopota una meno pesión gaseosa del medio exteno. La expesión del campo seía difeente, peo esta simplificación sive paa estima la tensión magnética y compaala con la fueza de flotabilidad.
La tensión magnética vale entonces 1 1 K ξ T = ( ) = ( x + y )( xi + y j) = sin Kxj. µ µ x y µ En λ/4, la posición de máximo desplazamiento, T K ξ = j. µ Es deci, apaece una tensión magnética vetical diigida hacia abajo que se opone a la defomación intoducida po la convección. Podía habe convección si la fueza de ascenso fuea supeio a la tensión magnética, es deci, si F = ρ ρ ) g > T : si el campo es pequeño o si K es pequeño, es asc ( ext int deci, si la longitud de onda espacial de la petubación es gande, se favoece que la convección actúe eficazmente sobe el tubo haciéndolo ascende. Esta situación equivale a un campo tooidal, en foma de donut, en el fondo de la zona de convección. Actualmente los modelos suponen que el campo se almacena pecisamente así, en foma de gandes tubos tooidales que odeaían al Sol, con intensidades de unos 1 a 1 Gauss, bajo la zona de convección. Paa esta en equilibio, el tubo tiene que mantene la pesión intena igual a la extena. Como en el inteio del tubo hay pesión gaseosa + pesión magnética, y esta última es muy gande, la pesión gaseosa es muy baja. A pesa de que las tempeatuas exteio e inteio son difeentes, la densidad inteio es meno que la extena, y el tubo tiende a flota. Al hacelo, se cuva y apaece la tensión magnética, que tata de ecupea la foma oiginal de las líneas de campo. En cualquie caso, paece que el tubo asciende, efectivamente, aunque disgegándose. En todo el poceso el plasma se mantiene congelado, no hay movimiento del mismo a tavés de las líneas de campo. 3. Concentación de flujo magnético: Se tata en este caso de ve la acción de los movimientos convectivos sobe campos magnéticos débiles. Tabajos elevantes en este tema son los teóicos de Pake (1963), Weiss (1964) y, más tade, la integación numéica de Weiss et al. (1964). A modo de ejemplo, veamos un expeimento numéico ealizado en apoximación cinemática (sin gavedad, sin gadiente de pesión extena negativo, que haía abise las líneas de campo con la altua). 18
La anteio figua pesenta cómo se concenta el flujo magnético en los bodes de celdas de convección. Este caso se ha esuelto con un númeo de Reynolds de 5, que es bajo paa el plasma sola. Es bastante usual esto, no pueden ponese valoes muy altos po poblemas numéicos. Se muestan cotes veticales de unas supuestas celdas convectivas que seían cilindos hoizontales, como ollitos de pimavea. Se pate de un campo vetical, inicialmente homogéneo, de intensidad, sobe el que actúa un flujo cicula de plasma en sentido de las agujas del eloj. Como el númeo de Reynolds magnético no es infinito, se va poduciendo un aaste paulatino del campo y una concentación del mismo hacia los bodes de las celdas (si fuea infinito, campo ealmente congelado, la concentación se poduciía al mismo tiempo que el movimiento, no se necesitaía cieto tiempo): el flujo toma el campo consigo, con lo que las líneas se van defomando cada vez más, hasta queda fuetemente cuvadas. Entonces el témino de difusión de la ecuación de inducción deja de se despeciable, poque la segunda deivada espacial,, se hace ceciente debido a la gan cuvatua. Al poducise cambios del campo en muy pequeño espacio = µ j se genean coientes que poducián disipación óhmica (ealmente, po la geometía de este poblema son hojas o láminas de coiente). Además, desapaece campo magnético po econexión de líneas de campo, fenómeno que finalmente domina casi todo el volumen. Así, el flujo magnético es expelido desde el inteio de la celda y se acumula en láminas ceca de los bodes de la misma. Con esta geometía, se poduce una amplificación del campo en un facto Rm. Con otas fomas de celdas (como las hexagonales de la siguiente figua, que concentan campo en sus vétices), la amplificación va como R. m 19
NOTA: esta concentación de campo en capas altas no se poduce nunca en ealidad, poque violaía el equilibio de pesiones: a gandes altuas la pesión gaseosa es muy pequeña, y el medio no seía capaz de sopota una concentación de campo ceciente con la altua. En estas simulaciones apaece poque no se ha esuelto la ecuación de movimiento, sino sólo la de inducción. En cualquie caso, la pegunta inteesante es hasta qué valo se puede amplifica el campo inicial? En apoximación cinemática, la espuesta es: hasta que se alcanza el equilibio ente el itmo de advección y el de difusión. Si se incluyen las fuezas, es deci, se pasa a la apoximación dinámica, el máximo de amplificación es el llamado campo de equipatición, que coesponde al equilibio ente la densidad de enegía cinética del movimiento de concentación del campo y la densidad de enegía magnética cuando empieza a se impotante la fueza de Loentz: eq 1 ρv =, es deci, eq = ρµ v. El valo de este campo de equipatición en la µ fotosfea está en tono a unos cientos de Gauss. Sin embago, se obsevan concentaciones de flujo magnético de unos 1-1 Gauss, es deci, po encima del campo de equipatición. Cómo pueden habese poducido? Se popuso hace algún tiempo el poceso llamado colapso convectivo, que consiste en la concentación de campo magnético intenso en tubos de flujo estechos a pati de un tubo con campo sobe el que actúan inestabilidades convectivas. eq Se pate de un campo magnético difuso que asciende desde el inteio sola, y que es baido hacia los vétices de vaias celdas convectivas (típicamente supegánulos) donde es concentado en tubos de flujo con valoes de equipatición (ente 1 y 6 Gauss). Se suponen tubos de flujo delgados (ve más adelante sus caacteísticas). Al actua sobe estos tubos petubaciones convectivas, las simulaciones indican que éstas son inestables cuando los campos son débiles (β >>), es deci, que las petubaciones son movimientos oscilatoios de la mateia, en diección vetical, cuya amplitud se amplifica exponencialmente. Habá un momento en que el mateial del inteio del tubo desciende, vaciándolo. Esto se explica como sigue: la pesencia de campo inhibe la convección; po habe meno tanspote convectivo de enegía la tempeatua en el inteio del tubo es meno que en su entono; el gas más pesado que sus alededoes cae, entonces, a lo lago de las líneas de campo, evacuando pácticamente el tubo, lo que hace disminui la pesión inteio. Entonces la P ext (compensada po la P int del plasma + P magn ) compime el tubo y amplifica el campo. Al llega a un campo del oden de 1-15 Gauss la situación se hace estable. Esos valoes del campo son pecisamente los que coesponden al equilibio ente P ext y P P magn, con un tubo completamente evacuado (P int =): P ext =. Genealmente este µ P >> eq, es deci, el valo del campo que coesponde al equilibio de pesiones es mucho mayo que el valo de equipatición, que coesponde a igualdad de densidad de enegía cinética y magnética.
Stix descibe el escenaio del campo magnético en la fotosfea como sigue: el campo es muy débil en la mayo pate de la supeficie sola, peo alcanza valoes del oden o supeioes a 1 Gauss en spots locales, los tubos de flujo. Se puede deci que el campo es intemitente. La pimea causa de esta estuctua es la concentación de flujo po los movimientos convegentes en el plasma sla altamente conducto. La segunda causa es el colapso convectivo, que conviete las concentaciones débiles en tubos estechos con campo intenso. Las obsevaciones (que pecedieon a esta intepetación teóica) confiman esta descipción. Peo ealmente hay que deci que esta idea del colapso convectivo está en entedicho: a medida que las simulaciones numéicas se hacen más sofisticadas y ealistas, este poceso no es necesaio, ya que paece que el campo magnético asciende desde la base de la zona de convección ya amplificado po encima del valo de equipatición, de modo que simplemente se fagmenta y es masajeado, peo no amplificado, po la convección y las oscilaciones. 1