3. PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES. Si desarrollamos la multiplicación de (a + b) por (a b) (producto de dos binomios), vamos a obtener: (a + b)(a b) = a 2 ab + ab b 2 = a 2 b 2, y entonces podremos concluir que: (a + b)(a b) = a 2 b 2 Como vemos, el resultado es una diferencia de cuadrados. De lo anterior extraemos la siguiente regla: El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual a: el cuadrado del minuendo (en la diferencia) menos el cuadrado del sustraendo. Ejemplos: Desarrollar aplicando la regla: (3x + y) (3x y) = ( 3x ) 2 ( y ) 2 = 9x 2 y 2 (xy 1) (xy + 1) = ( xy ) 2 ( 1 ) 2 = x 2 y 2 1 ( 7 b9 + 3 7 t ) ( 7 b9 3 7 t ) = ( 7 b9 ) 2 ( 3 7 t ) 2 = 49 2 b18 9 49 t10 (x 2 9y) (x 2 + 9y) = ( x 2 ) 2 ( ) 2 = (a m + 1 2b n ) (a m + 1 + 2b n ) = ( ) 2 ( 8 ) 2 = (m 3 + 3n 4 ) (m 3 3n 4 ) = ( ) 2 ( ) 2 = (a n + 1 + 3a m ) (3a m a n + 1 ) = ( ) 2 ( ) 2 = Completar los siguientes ejercicios propuestos, colocando signos y términos faltantes: (a + x) (a x) = ( x 3 y 2 + 2x) (2x + x 3 y 2 ) = ( 2 3 a2 + 6 b3 ) ( 2 3 a2 6 b3 ) = Prof. Carlos A. Gómez P. / Profa. Mari Rubiela Tello D. Página 6
4. PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON UN TÉRMINO EN COMÚN (x + a)(x + b) Si desarrollamos la multiplicación de (x + a) por (x + b), producto de dos binomios con el primer término en común y coeficiente uno, vamos a obtener: (x + a)(x + b) = x 2 + ax + bx + ab = x 2 + (a + b) x + ab, y entonces podremos concluir que: (x + a)(x + b) = x 2 + (a + b)x + ab Analizando el producto, podemos concluir la siguiente regla: El primer término es el cuadrado de la variable. El segundo término es la suma algebraica de los términos constantes por la variable. El tercer término es el producto de los términos constantes o independientes. OBSERVACIÓN: En los pasos y es importante el dominio de la ley de los signos de la adición y la multiplicación algebraica. Ejemplos: Hallar los siguientes productos aplicando la regla respectiva: (x + 7)(x + 6) = ( x ) 2 + (7 + 6) x + (+ 7)(+ 6) = x 2 + 13x + 42 (y + 11)(y 9) = ( y ) 2 + (11 9) y + (+ 11)( 9) = y 2 + 2y 99 (a 2 3)(a 2 8) = ( a 2 ) 2 + ( 3 8) a 2 + ( 3)( 8) = a 4 11a 2 + 24 (m 4 )(m 4 + 4) = ( m 4 ) 2 + ( + 4) m 4 + ( )(+ 4) = m 8 m 4 20 Completar los siguientes ejercicios propuestos, colocando signos y términos faltantes: (m + 10)(m 12) = ( m ) 2 + ( ) m + ( 10 )( ) m 2 120 (x 2)(x + 7) = ( ) 2 + ( 2 + 7 ) x + ( )( ) = x Prof. Carlos A. Gómez P. / Profa. Mari Rubiela Tello D. Página 7
(y 2x + 3 11)(y 2x + 3 6) = ( ) 2 + ( ) y 2x + 3 + ( )( ) =. PRODUCTO DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA (mx + a)(nx + b) Si desarrollamos la multiplicación de (mx + a) por (nx + b), producto de dos binomios en los cuales los términos en x tienen al menos un coeficiente distinto de uno, vamos a obtener: (mx + a)(nx + b) = mnx 2 + anx + bmx + ab = mnx 2 + (an + bm)x + ab, y entonces podremos concluir que: (mx + a)(nx + b) = mnx 2 + (an + bm)x + ab Este tipo de producto puede hallarse fácilmente siguiendo los pasos que se indican en el siguiente ejemplo: Ejemplos: Hallar el producto de: (2x + 3)(4x + ) PRIMER TÉRMINO 8x 2 + 1 TERCER TÉRMINO ( 2x + 3 ) ( 4x + ) + 12x + 10x SEGUNDO TÉRMINO Reduciendo términos semejantes tenemos: + 22x Así tenemos que: (2x + 3)(4x + ) = 8x 2 + 22x + 1 Hallar el producto de: (3x 2 + )(4x 2 6) 12x 4 30 ( 3x 2 + ) (4x 2 6 ) Reduciendo términos semejantes tenemos: + 20x 2 18x 2 + 2x 2 Así tenemos que: (3x 2 + )(4x 2 6) = 12x 4 + 2x 2 30 Prof. Carlos A. Gómez P. / Profa. Mari Rubiela Tello D. Página 8
Hallar el producto de: (7m x + 1 8)(m x + 1 3) 7m 2x + 2 + 24 ( 7m x + 1 8 ) (m x + 1 3 ) 8m x+1 21m x+1 Reduciendo términos semejantes tenemos: (7m x + 1 8)(m x + 1 3) = 7m 2x + 2 29m x + 1 + 24 Completar los siguientes ejercicios propuestos, colocando signos y términos faltantes: (4m + 10)(3m 12) = 12m 2 120 (6x )(2x + 7) = 3 (8a 2 9)(a 2 3) = 40a 4 (m 2x + 3 + 11)(7m 2x + 3 + 6) = + 66 PRÁCTICA # 3 Hallar, aplicando la regla respectiva, el producto de: 1. (n + 9)(n 9) 2. (3x 6y)(3x + 6y) 3. (x 2a + 3 + y 3a )( x 2a + 3 y 3a ) 4. (3x + a) (3x a). (1 2ax)(2ax + 1) 6. (x a + 3y n )(x a 3y n ) 7. (7 + 3n)(7 3n) 8. (y 4 + 4y)( y 4 + 4y) 9. ( 6x 2 + 7y 2 )(6x 2 + 7y 2 ) 10. ( 3a + 4)(3a + 4) 11. (m a + 2 + 6m)(m a + 2 6m) 12. (a x b x 1 )(a x + b x 1 ) 13. (m 2 + n 3 )(m 2 n 3 ) 14. (a 2 + b 3 )(a 2 b 3 ) 1. (abc 11)(abc + 11) 16. (a 3 b 2 + 13)(a 3 b 2 13) 17. ( 7y + 4x)(4x + 7y) 18. (x a 1 + y b )(x a 1 y b ) 19. ( 3 a2 7 8 n ) ( 3 a2 + 7 8 n ) 20. (11m 4 4 ) (11m + ) 9 9 21. (2x + )(2x ) 22. (11n 2 8b 3 )(8b 3 + 11n 2 ) 23. (ab 4)(ab + 4) Prof. Carlos A. Gómez P. / Profa. Mari Rubiela Tello D. Página 9
PRÁCTICA # 4 Hallar, aplicando la regla respectiva, el producto de: 1. (n + 3)(n ) 2. (a 3)(a 1) 3. (a n + 8)(a n 3) 4. (y )(y + 6). (x + 2)(x + 1) 6. (x a + 6)(x a + ) 7. (mn 7)(mn 3) 8. (y 4 + 4)(y 4 9) 9. (x 7 + 7)(x 7 12) 10. (a + 10)(a + 4) 11. (m a + 2 6)(m a + 2 + 7) 12. (b x 1 13)(b x 1 6) 13. (m 2 + 17)(m 2 10) 14. (a 3 + 1)(a 3 20) 1. (ab 3 c 1)(ab 3 c + 3) 16. (a 3 b 2 11)(a 3 b 2 + 12) 17. (z )(z 9) 18. (x a 2 + 6)(x a 2 8) 19. (xy 2 9)(xy 2 + 7) 20. (n 2 1)(n 2 + 20) 21. (y 2x 30)(y 2x 3) 22. (m 6)(m ) 23. (n x + 3 + 21)(n x + 3 1) PRÁCTICA # Hallar, aplicando la regla respectiva, el producto de: 1. (2n + )(2n + 8) 2. (3a 2)(4a + 10) 3. (4ab + 1)(3ab + 9) 4. (9y 4 2k 2 )(9y 4 3k 2 ). (2x + )(3x + 11) 6. (3x a + b n )(x a + b n ) 7. (7ax 2)(2ax 4) 8. (3y 4 + 4)(2y 4 1) 9. (2x 7 + 9)(7x 7 4) 10. (x 2t)(2x + 4t) 11. (2m 6 4)(3m 6 + ) 12. (7x 2 2b 2 )(x 2 3b 2 ) 13. (4x + )(2x 3) 14. (2a 3 + )(12a 3 20) 1. (b 3 7c)(3b 3 + 8c) 16. (9a 3 2y)(7a 3 + 2y) 17. (3z + 2)(2z + 1) 18. (9x + y)(x 3b) 19. (3x )(2x + 7) 20. (n 2 6)(2n 2 + 10) 21. (4y 2x + 30)(2y 2x + 3) 22. (7y 2 6)(3y 2 10) 23. (8a 12)(12a + 8) Prof. Carlos A. Gómez P. / Profa. Mari Rubiela Tello D. Página 10
PRÁCTICA # 6 Coloque en la raya, que antecede a cada ejercicio, la letra que contenga el nombre del producto notable que corresponde y desarrolle en su cuaderno. A. Cuadrado de la suma de dos cantidades. B. Cubo de la suma de dos cantidades. C. Cuadrado de la diferencia de dos cantidades. D. Cubo de la diferencia de dos cantidades. E. Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades. F. Producto de la forma ( x + a )( x + b ). G. Producto de la forma ( mx + a )( nx + b ). 1. (3x 2) (4x + 10) 2. (2m 4m) 3 3. (2x + 3y) 3 4. (m 3 + 8) 2. (2m + ) (12m 20) 6. (4m + 3n) (4m 3n) 7. (2m 3 n 4 + 8mn 3 ) 2 8. (y 3 7) (y 3 + 4) 9. (3x a+2 + x 3 ) 2 10. (x a+3 + ) (x a+3 10) 11. (s 6t)(2s + 4t) 12. (9x y)(x 16y) 13. (6x 3 7) (6x 3 + 7) 14. (m 3 9) 3 1. (4x ) (2x 3) 16. ( 8 + x 2 y 2 ) (x 2 y 2 + 8) 17. (6x 6 ) (x 6 + 8) 18. (m y+2 10) (m y+2 + 9) 19. (x 3 y 2xy) 2 20. (a 2 b 3 + 9)(a 2 b 3 7) 21. (x 2 2y)(3x 2 + 6y) 22. (x m + 2x ) 3 23. (3x a+2 + x 3 ) 2 24. (9x + 16y)(x + y) Prof. Carlos A. Gómez P. / Profa. Mari Rubiela Tello D. Página 11