FICHA BLOQUE. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS Y FÓRMULAS MATEMÁTICAS. Resuelve las siguiente ecuaciones: a) sen 6sen
b) sen sen 0 5 8 8 5 6 6 69 6 60 9 k k k k 60 80 siendo 60 56" 0' 08 60 " 9' 5 8 5 Z c) 0 d)
e) f)
g) sen sen sen 0 sen sen sen 0 sen sen sen sen sen sen sen 0 0 0 0 sen 0 0 0 60 k 80 60 k 80 60 k Por tanto, las soluciones son: 60 k 80 60 k siendo k Z h) sen + = 8
. Demuestra que: sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen tg tg Sabemos que tg tg tg sen sen
. Las diagonales de un paralelogramo miden 0 y cm. Uno de los ángulos que forman éstas al cortarse es de 5º. Halla el perímetro. b 0 cm 5º a cm ) Para hallar el valor del lado a utilizamos el Teorema del Coseno: a a b c bc Aˆ 6 95,5 9,768 6 cm 5 cm 5º a 5 6 5 5º 6 5 60 5 95,5 ) Para hallar el valor del lado b utilizamos el Teorema del Coseno: b 55º 5 cm b a c bc Bˆ 6 5 a 95,5 5,56 ) Hallamos el Perímetro del paralelogramo P 9,768 5,56 6, 8cm 6 cm 6 5 55º 6 5 60 55º 6,585
. Un avión vuela entre dos ciudades, A y B, que distan 80 km. Las visuales desde el avión a A y a B forman ángulos de 9 y con la horizontal, respectivamente. A qué altura está el avión? º 9º h B 80 km A Solución Aplicamos el teorema del seno, para calcular la distancia a cada ciudad: C = 80º - (9º + º) = 08º C AB = AC sen08º sen º AC = 80 sen º sen08º AB BC 80 sen 9º = BC = sen08º sen 9º sen08º 57,6 km 0, 78 km B h º 9º 80 km A Para calcular la altura: º h º sen 9 h AC sen9 7, 8km AC
CURSO 0/0 5. Para localizar una emisora clandestina, dos receptores, A y B, que distan entre sí 0 km, orientan sus antenas hacia el punto donde está la emisora. Estas direcciones forman con AB ángulos de 0 y 65. A qué distancia de A y B se encuentra la emisora? 6. En un entrenamiento de fútbol se coloca el balón en un punto situado a 5 m y 8 m de cada uno de los postes de la portería, cuyo ancho es de 7 m. Bajo qué ángulo se ve la portería desde ese punto? José Aurelio Pina Romero. www.pinae.es 8
CURSO 0/0 7. Un barco B pide socorro y se reciben sus señales en dos estaciones de radio, A y C, que distan entre sí 50 km. Desde las estaciones se miden los siguientes ángulos: BAC = 6 y BCA = 5. A qué distancia de cada estación se encuentra el barco? 8. En dos estaciones de radio, A y C, que distan entre sí 50 km, son recibidas señales que manda un barco, B. Si consideramos el triángulo de vértices A, B y C, el ángulo en A es de 65 y el ángulo en C es de 80. A qué distancia se encuentra el barco de cada una de las dos estaciones de radio? Hallamoselángulo Bˆ : Bˆ Â Ĉ 80 5 Hallamos los valores de a y c aplicando el teorema de los senos: a sen65 c sen80 50 sen5 50 sen5 50sen65 a sen5 50sen80 c sen5 79 km 85, 85 km Por tanto, el barco está a 79 km de la estación C y a 85,85 km de la estación A. José Aurelio Pina Romero. www.pinae.es 9
CURSO 0/0 9. Para medir la altura de una torre nos situamos en un punto del suelo y vemos el punto más alto de la torre bajo un ángulo de 60. Nos acercamos 5 metros a la torre en línea recta y el ángulo es de 80. Halla la altura de la torre. tg 80 tg 60 h h 5 h h tg 80 5tg 60 tg 80 5 tg 60 tg 80 tg60 5 tg 60 tg 80 tg 60 tg 80 tg 60 5tg 60 5tg 60 5tg 60 tg 80 tg 60, 0 m h tg 80,7 m La torre tiene una altura de,7 metros. José Aurelio Pina Romero. www.pinae.es 0
CURSO 0/0 0. Halla los valores de, y, h en el siguiente triángulo: h sen50 h sen50, 0 cm a 50 a 50, 9 cm Si consideramos el otro triángulo, tenemos que: h, 0, 0 sen0, 58 cm sen0 0 b b b, 580 7, 58, Por tanto:,58 cm y a b,9,7,67 cm h,0 cm. Si sen a = 0,5 y 0 < a < 90 halla (sin calcular a): a) sen 80 b) 80 Necesitamos saber cuánto vale a: sen 0,5 0,5 0,8775 0,9 (es positivo, pues 0 90 ) José Aurelio Pina Romero. www.pinae.es
CURSO 0/0 Por tanto, 80 0,9. Las circunferencias de la figura tienen radios que se diferencian en cm. El ángulo que forma la tangente a las circunferencias con la línea que une sus centros es de 50. Sabiendo que la distancia entre sus centros es de 6, cm, calcula los radios de las circunferencias. Llamamos: Radio de la circunferencia pequeña Radio de la otra circunferencia En el triángulo AMP se cumple: sen 50 AP En el triángulo BNP se cumple: sen 50 PB AB AP 6, AP Resolvemos el sistema formado: sen 50 AP sen 50 6, AP AP sen50 6, AP sen50 6, sen50 AP sen50 6, sen 50 6 8 cm cm Por tanto, los radios de las circunferencias miden 8 cm y cm. José Aurelio Pina Romero. www.pinae.es