TEMA 4. SCILACINES 4.1 El oviiento arónico siple:.a.s. 4. Ecuación del.a.s. 4.3 Representación vectorial del.a.s. 4.4 Velocidad y la aceleración en el.a.s. 4. 5 La fuerza elástica 4.6 Dináica del oviiento arónico siple 4.7 Energía potencial del oscilador arónico siple 4.8 Energía cinética del oscilador arónico siple 4.9 Energía ecánica del oscilador arónico siple 4.1 Fenóenos periódicos 4.11 scilaciones de un uelle 4.1 Estudio del péndulo siple ACTIVIDADES ACTIVIDADES EXPERIMENTALES Medida de g con el péndulo Estudio de las oscilaciones de un uelle INFFÍSICA Polución por ruidos 1
4.1 El oviiento arónico siple:.a.s. En la naturaleza se presentan uchos fenóenos, en los que ciertas agnitudes físicas cabian con el tiepo, ediante oscilaciones realizadas a uno y otro lado de un cierto valor. Algunos de estos fenóenos pueden observarse fácilente, coo las oscilaciones de un uelle o el oviiento de un péndulo, pero otros no son observables por nuestros sentidos, coo las oscilaciones de las oléculas y átoos que constituyen la ateria. Sin ebargo, estos fenóenos tienen en coún unas propiedades características que periten estudiarlos con una ecuación uy siilar. El ejeplo ás sencillo que se puede considerar lo constituye el oscilador arónico siple, fig.4.1, que está forado por un uelle unido a una asa, que puede oscilar en línea recta a uno y otro lado de la posición. 4. La fuerza elástica Los cuerpos pueden cabiar sus diensiones cuando se le aplican fuerzas, a pesar de que eisten fuerzas interiores que se oponen a estos cabios. Un cuerpo se llaa elástico, cuando adquiere la fora priitiva al cesar la acción deforadora. El ejeplo ás sencillo lo constituye un uelle, que se puede alargar bajo una fuerza de tracción, o encoger si ésta es de copresión. El uelle deforado reacciona contra la fuerza eterior, con otra fuerza de sentido contrario que se llaa fuerza recuperadora. Considereos un uelle de longitud natural l, al que se le aplica una fuerza de intensidad creciente en el etreo, por edio de un gancho de asa despreciable, fig.4.. El uelle se va alargando y representando gráficaente los valores de la fuerza aplicada F en ordenadas y el alargaiento (l - l o ) en abscisas, se obtiene una gráfica coo la de la fig.4.3, cuya ecuación es la de la recta, F = k(l l o ) = k ; conocida coo ley de Hooke. La agnitud k es la constante recuperadora o elástica del uelle y se deterina eperientalente ediante la pendiente de la recta. Cuando el uelle está deforado, fig.4.9, a la fuerza F aplicada al gancho el uelle responde con otra, la fuerza recuperadora F, aplicada tabién al gancho, igual y de sentido contrario a la anterior, que lo deja en equilibrio. ( ) F = F' = k l l = k (4.1) o F Fig.4.1. Un uelle oscilando a uno y a otro lado de una posición de equilibrio, constituye un oscilador arónico. F = k l l = Fig.4.3 En un uelle deforado, las fuerzas aplicadas son proporcionales a los alargaientos que producen ley de Hooke. De ec.(4.8) se deduce que F, tiene signo negativo si es > y el uelle está alargado y F tiene signo positivo si < y el uelle está copriido. l l F r r l r F l F r F r. < > < > Fig.4.. La fuerza recuperadora F cabia de sentido según que el uelle esté estirado o copriido. En cualquier caso siepre apunta hacia la posición de equilibrio.
Ejeplo Un uelle de longitud natural 5 c, se estira con una fuerza de N, alargándose hasta 3 c. Halla la longitud que tendrá este uelle cuando se suspenda de él una asa de 1,5 kg en un lugar donde la intensidad de la gravedad vale 9,8 N/kg. De la ley de Hooke se obtiene la constante elástica del uelle: F N N k = = = 4 l l,3,5 El peso es ahora la fuerza deforadora. Al suspenderlo se origina un alargaiento: P 1,5 kg 9,8 N kg = l l = = =,37 = 3,7 c, N k 4 La longitud del uelle estirado es: l = l + = 5 c + 3,7 c = 8,7 c 4.3 Dináica del oviiento arónico siple Considereos un uelle horizontal de asa despreciable, unido a un cuerpo de asa, que se encuentra situado sobre una superficie ideal sin rozaiento. Si aplicaos a la asa una fuerza F el uelle se alarga y ejerce sobre ésta una fuerza recuperadora F, fig.4.4a. Fotografía del puente sobre el río Tacoa. F F F r a) b) Fig.4.4. a) La fuerza F aplicada a la asa, alarga el uelle. b) Cuando cesa de actuar F, la fuerza recuperadora F, pone al sistea en oviiento. Si haceos que la fuerza aplicada F deje de actuar, se rope el equilibrio entre las dos fuerzas y entonces la fuerza recuperadora F proporcionará a la asa, una aceleración de acuerdo con la segunda ley de Newton F = a Coo adeás de ec.(4.1) es F = - k, igualando abas epresiones resulta para la aceleración.: - k = a ; sustituyendo: dv d Pero la aceleración es a = = dt dt d d k k = que se escribe coo: + = (4.) dt dt Que recibe el nobre de ecuación diferencial del oscilador arónico siple. Se deuestra que las soluciones de esta ecuación son las funciones arónicas: = Asen( ω t + θ ) o bien la función coseno = Acos( ω t + ϕ ) Que se diferencian en la fase inicial θ ó ϕ o En la fotografía se ve el estado en que quedó el puente sobre el río Tacoa en los Estados Unidos, al entrar en vibraciones de gran aplitud. Las vibraciones ecánicas se transiten a través de las áquinas, edificios, terreno, puentes etc. Pueden resultar uy perjudiciales cuando su frecuencia coincide con la natural o propia del objeto que entra en vibración, pues entonces las vibraciones son de etraordinaria aplitud y el cuerpo puede llegar a roperse. Generalente se prefiere toar coo ecuación del.a.s. ( ω t + θ ) = A sen (4.3) o 3
es la elongación. Distancia que separa a la asa oscilante en cualquier instante t, de la posición de equilibrio. Aparece representada en la fig.4.4. ω es la pulsación o frecuencia angular, se ide en rad/s. (ωt +θ ) es la fase. θ es la fase inicial. Perite en la ecuación (4.) situar la posición que ocupa la asa oscilante, en el instante inicial t =. Para deterinar el valor de la pulsación ω vaos a calcular la derivada segunda de respecto del tiepo al cuadrado en (4.3) y después vaos a sustituirla en la ecuación diferencial, junto con el valor de la elongación de (4.3).. d dt = Aω cos ( ωt + ) ; = Aω sen( ωt + θ ) θ Sustituyendo en la ecuación diferencial: d dt A t Coo Asen( t θ ) k Aω sen k ω + Asen( ωt + θ ) = ( ωt + θ ) + Asen( ωt + θ ) = ω + no es cero en todo instante de tiepo t, necesariaente debe ser cero el paréntesis para que se satisfaga la ecuación anterior. k + = ; ω de donde se obtiene despejando, La pulsación está relacionada con el periodo T, por Sustituyendo (4, 4) resulta π T = = π (4.5) ω k = k ω (4,4) π T =. ω - A Fig.4.4. Representación gráfica de la elongación en función del tiepo t, cuando es cero la fase inicial. bserva que es coo la función seno, variando únicaente, en el valor de la aplitud que en lugar de 1, vale A.. El periodo de oscilación depende de la asa oscilante y de la constante recuperadora del uelle, aunque coo se ve en (4.5) no depende de la aplitud de la oscilación. Ejeplo Una asa de,4 kg, está unida a un uelle situado horizontalente de constante recuperadora k = 4 N/. Se separa de la posición de equilibrio y se deja oscilar libreente. Deterina el periodo de oscilación y la frecuencia. Aplicando ec. (4.11) resulta.,4 1 1 k 4 T 3,16.1 s T = π = π = 3,16.1 s ; F = = = 31,6 Hz 4
tras agnitudes características del.a.s. son: El periodo T, que es el tiepo que eplea la partícula en efectuar una vibración de ida y vuelta copleta. La frecuencia f, que es el núero de oscilaciones copletas que da la partícula oscilante en la unidad de tiepo. La unidad de frecuencia es el hertz, Hz, que corresponde con la frecuencia de una partícula que da una vibración copleta por segundo. P A - A A La frecuencia y el periodo son agnitudes inversaente proporcionales: 1 f = (4.4) T La frecuencia angular ω, está relacionada con el periodo y la frecuencia por las ecuaciones: π ω = = π f (4.5) T ω se ide en rad/s. Ejeplo Un.a. s. viene epresado con la ecuación: = sen ( πt - π/4), donde se ide en ilíetros y t en segundos. Deterina: a) Aplitud, valor de la fase y de la fase inicial. b) Pulsación, periodo y frecuencia. c) Elongación, en el instante t =,5 s. Fig.4.5. Si consideraos un punto P que recorre la circunferencia con oviiento circular unifore (ω constante), y proyectaos sobre un diáetro las distintas posiciones A que en la circunferencia va ocupando. El oviiento de la proyección del punto P sobre el diáetro, designada por en la figura, es en línea recta entre A y A, y constituye un oviiento arónico siple. a) Por coparación con ec.(4.1) se coprueba que: A = ; fase: θ = ωt + θ = πt - π/4 ; fase inicial: θ o = - π/4 rad b) La frecuencia angular: La frecuencia: c) La elongación es: rad ω = π ; el periodo: s 1 1 f = 1Hz T = 1s = rad T = π π 1s ω = π rad s = = sen (πt - π/4) = sen ( π,5 - π/4) = sen (π - π/4) = sen 3π/4 = 1,41 Y y P ( o, y o ) A r θ o X 4.4 Representación vectorial del.a.s. Fijeos nuestra atención en un vector A r que tiene su origen en un punto fijo, donde heos situado un sistea cartesiano XY. uuur Inicialente el vector Po, fora un ángulo θo con la dirección positiva del eje X, fig. 4.5a, y sus coponentes cartesianas son las coordenadas del punto P que designaos por (, y ). Estas coordenadas se relacionan con uuur el ódulo del vector, P = A, por: o Fig.4.5a. El vector de posición del punto P fora con el eje X un ángulo θ o = A cos θ o ; y = A sen θ o 5
Iagineos que desde esta posición P o el vector A r epieza a girar, con velocidad angular constante ω, fig.4.5b. En un instante de tiepo t, el ángulo que forará con el eje X será θ = ω t + θ, y el etreo del vector habrá recorrido un arco de circunferencia hasta situarse en la posición P. Ahora sus coponentes cartesianas son: = A cos (ωt +θ o ); y = A sen (ωt + θ o ) Resultando que tanto las funciones seno, coo coseno, son igualente válidas para representar un oviiento arónico siple. En consecuencia, las coponentes cartesianas de un vector giratorio de ódulo constante A r, que gira con velocidad angular constante ω, representan a dos oviientos arónicos siples, efectuados según dos ejes perpendiculares entre sí. Y y P A r ωt+θ X Ejeplo Un vector giratorio de ódulo c, rota con velocidad angular ω = rad/s anteniendo su origen sobre un punto fijo. Deterina las coponentes cartesianas del vector giratorio en función del tiepo, sabiendo que en el instante inicial fora con el eje X, un ángulo de 3º. Epreseos θ o = 3º, en radianes: π rad π θ o = 3 = rad 18 6 = A cos (ωt +θ o ) =, cos ( t + 6 π ) ; y = A sen (ωt + θo ) =, sen ( t + 6 π ) Fig.4.5b. Cuando el vector giratorio uuur r P = A rota con velocidad angular constante ω, entonces sus coponentes cartesianas, e y proyectadas, según los ejes X e Y, representan sendos oviientos arónicos siples. Ejeplo Un.a.s. tiene de aplitud A = 5.1 -, frecuencia F = 4 Hz y en el instante t =,1 s, la elongación vale 1,9.1 -. Deterina la fase inicial y la ecuación de la elongación, en función del tiepo. Toando la ecuación ás habitual, = A sen (ωt + θ o ) = A sen (πf t + θ ) sustituyendo: y ( π θ ) ( π θ ) 1,9.1 = 5.1 sen 4,1 + = 5.1 sen,8 + 1,9.1,8π + θ = arc sen = arc sen,38 =,39 rad ; θ =,39,8π =,1 rad 5.1 = 5.1 - sen ( 8 π t,1) 4.5 Velocidad y la aceleración en el.a.s. La posición de una partícula que se encuentre oscilando con un oviiento arónico siple en el eje X, tiene una ecuación que viene dada por ec. (4.3) = A sen ( ω t + θ o ) La velocidad, al igual que en todos los oviientos, es la derivada de la ecuación de la posición respecto del tiepo. 6
d d v = = A sen( ω t + θ ) = Aω cos ( ω t + θ ) (4.6) dt dt Cuando la partícula va hacia la derecha, fig. 4.6, en el sentido del vector unitario i r, la velocidad tiene signo positivo pues el cos (ω t +θ o ) >, pero cuando llega a la posición etrea en +A, su velocidad se anula y el óvil cabia el sentido del oviiento, hasta alcanzar la posición A, siendo la velocidad negativa por resultar cos (ω t +θ o ) <. Al paso por el origen, la velocidad alcanza en valor absoluto, su valor áio. La aceleración se obtiene derivando la velocidad respecto del tiepo. d v d a = = Aω cos ( ω t + θ ) = Aω sen( ω t + θ ) (4.7) d t dt -A v (+) +A -v i r Fig. 4.6. La velocidad de la partícula que efectúa un.a.s. por el eje X, se considera positiva cuando se desplaza en el sentido del vector unitario i r, y negativa cuando se desplaza en sentido contrario. Las ecuaciones: (4.3), (4.6) y (4.7) son dependientes de senos y cosenos. Estas funciones son periódicas de odo que los valores que van toando se repiten una y otra vez, a edida que el tiepo se increenta en un periodo T. Adeás, la velocidad y la aceleración tienen igual periodo que la elongación, pero sus valores áios y ínios no coinciden en el iso instante. Se dice que estas funciones están desfasadas. Fig.4.7. Por otra parte, los valores que toan la velocidad en valor absoluto y la aceleración, se repiten al volver a pasar la partícula por la isa posición, de odo que resulta uy práctico encontrar nuevas ecuaciones para estas agnitudes, en función de la citada elongación. v a t En la ec.(4.6) se epresa el coseno en función del seno con la ecuación fundaental de la trigonoetría. Después con ec.(4.3) se pone en función de. A v = Aω 1 sen ( ω t + θ ) = Aω 1 = Aω A A Por cabiar la velocidad de sentido cada edio periodo se debe epresar: v ω A = ± (4.8) El valor áio de la velocidad es en = ; siendo su valor v = ± ω A. Por el contrario, en los etreos es = ± A ; y la velocidad es nula, v =. Relacionar la aceleración a con la elongación, es todavía ás sencillo, basta con reeplazar la ec.(4.3) en la ec.(4.7), resultando. a = Aω sen ω t + θ = ω A sen ω t + θ = ω (4.9) ( ) ( ) En el oviiento arónico siple, la aceleración es en cada instante proporcional a la elongación y de signo contrario. El signo enos indica que cuando es negativo la aceleración es positiva y el vector aceleración apunta en el sentido del vector unitario i r, fig.4.8. Por el contrario cuando es positiva, la aceleración tiene signo negativo y el vector aceleración apunta en sentido contrario al anterior. -A Fig.4.7. Representación de la elongación, velocidad v y aceleración a, de un.a.s., en función del tiepo. Las tres agnitudes tienen el iso periodo. bserva que la velocidad va adelantada π/ respecto de la elongación, ientras que la aceleración va en oposición de fase con la elongación, (ientras que una toa su valor áio la otra lo toa ínio). a - a < > +A Fig.4.8. En el oviiento arónico siple, la aceleración que actúa sobre la partícula está apuntando siepre hacia la posición de equilibrio. Se trata adeás, de un oviiento con aceleración no constante. i r 7
Ejeplo La ecuación del.a.s. de una partícula es: = sen (3t 5), donde se ide en y el tiepo en s). Deterina: a) Velocidad en el instante t= s. b) Velocidad cuando la posición del óvil sea = 1,5. c) La velocidad áia. a) La ecuación de la velocidad la obteneos derivando la ecuación de la elongación respecto del tiepo. d v = = 3 cos 3t 5 = 6 cos 3t 5 dt ( ) ( ) v = 6 cos 3 5 = 6 cos 1rad = 3,4 s En el instante t = s ; ( ) ( ) b) En la posición = 1,5, la velocidad se calcula por la ec. (4.6), donde la pulsación ω se deterina de la ecuación de la elongación, puesto que es el coeficiente de t,. En este caso toa el valor ω = 3 rad/s. Sustituyendo : v = ± ω A = ± 3 1,5 = ± 3,97 s c) La velocidad áia se puede deterinar de la ecuación de la velocidad en función del tiepo, cuando el coseno toe su valor áio, que es la unidad. Resulta entonces v = 6 /s. Por otra parte, la velocidad es áia en =, de odo que sustituyendo. rad v = ± ω A = ± ω A=± 3 =± 6 s s Ejeplo Deterina la aceleración de la partícula que efectúa el.a.s. del ejeplo 4, en los siguientes casos: a) En el instante t = s. b) Cuando pasa por la posición = 1,5.. c) La aceleración áia. a) La aceleración es la derivada respecto del tiepo de la velocidad. dv a 3 6 sen 3t 5 18 sen 3t 5 dt b) a 18 sen 3 5 15,15 s = = ( ) = ( ) ; = ( ) = a = ω = 3 1,5 = 13,5 s c) La aceleración áia es: a = ω A= 3 = 18 s 8
4.6 Energía potencial del oscilador arónico siple Es un hecho eperiental que un uelle alargado o copriido, si se deja libre, espontáneaente se pone en oviiento. La energía ligada con estas situaciones, se conoce coo energía potencial elástica y ha de ser igual al trabajo epleado para alargarlo o copriirlo. Si aplicaos al uelle una fuerza F uy lentaente de anera que vaya actuando a través de uchos estados de equilibrio, fig.4.9, conseguireos alargar el uelle sin que gane energía cinética. De este odo todo el trabajo realizado por F para alargar el uelle en una longitud, se va a invertir en energía potencial elástica del iso. La fuerza aplicada varía a lo largo del caino de acuerdo con la ley de Hooke F = k, de odo que se trata de una fuerza no constante y el trabajo se tiene que deterinar ediante una integración. La fuerza F realiza trabajo desde la posición de equilibrio, hasta una cierta posición. 1 W = F d cos = k d k = El trabajo realizado sobre el uelle queda alacenado coo energía potencial elástica. 1 U E = k (4.1) La energía potencial elástica es áia en la aplitud =± A y nula en la posición de equilibrio =. De otro odo, cuando la fuerza aplicada F no supera el líite elástico del uelle, entre la fuerza y los alargaientos se verifica la ley de Hooke. La representación gráfica del ódulo de ésta fuerza en función de los alargaientos es una línea recta, fig. 4.1. El área entre esta recta y el eje X, proporciona tabién el valor del trabajo. En efecto: 1 1 1 1 W = base altura = F = k = k 4.7 Energía cinética del oscilador arónico siple F =k F F r d Fig.4.9. El trabajo realizado por la fuerza aplicada, actuando a través de sucesivos estados de equilibrio, se acuula en el uelle coo energía potencial elástica. Recuerda El trabajo que hace una fuerza, es el producto del ódulo de la fuerza por el ódulo del desplazaiento por el coseno del ángulo que foran. Cuando el uelle oscila libreente la asa unida al iso tiene una cierta velocidad, si eceptuaos las dos posiciones etreas. En consecuencia adeás de energía potencial posee energía cinética. En una cierta posición, conocereos el valor de la energía cinética haciendo uso de la ecuación (4.8). 1 1 1 Ec = v = ω A = ω A ( ) Ahora bien de ec.(4.4) deducios que ω = k. Sustituyendo: 1 Ec = k ( A ) (4.11) Fig.4.1. El trabajo realizado por la fuerza aplicada se calcula por el valor del área del triángulo, bajo la recta y el eje horizontal, de aarillo en la figura. Área = ½ Base altura. 9
La ecuación (4.11) indica que la energía cinética es nula en =± A, es decir en las posiciones correspondientes a la aplitud, y áia en la posición de equilibrio =. 4.8 Energía ecánica del oscilador arónico siple Cuando el uelle oscila unido a una cierta asa, tiene dos energías la cinética y la potencial. La sua de abas es la energía ecánica y vaos a deterinarla en una posición cualquiera. 1 1 1 1 E E U k ( A ) k k A A ω = + = + = = (4.1) c E La energía ecánica no depende de la posición que ocupa la asa oscilante, únicaente, de la constante recuperadora k y de la aplitud de la oscilación A. En consecuencia, la energía ecánica del oscilador es constante y cuando esto sucede se dice que la fuerza que actúa durante el oviiento, es una fuerza conservativa. El oscilador arónico en ausencia de fuerzas de rozaiento, (coo las de fricción con el aire y con la superficie horizontal), después de que haya epezado a oscilar, antendría las oscilaciones indefinidaente. En la fig.4.11 se representan las energías: cinética, potencial y ecánica. bserva que en cada punto, la energía ecánica es la sua de las ordenadas correspondientes a la energía potencial y a la cinética, valiendo lo iso (es la línea horizontal). e - Átoo E E C Energías Los electrones ligados a los átoos vibran coo los osciladores, cuando son ecitados por las coponentes del capo eléctroagnético de las ondas luinosas. -A U E Elongación +A El oscilador arónico siple es un ecelente odelo en uchos capos de la Física. Fig.4.11. Energías del oscilador arónico siple. En verde la energía potencial elástica, en azul la energía cinética y en rojo la energía ecánica. Ejeplo 8 Un uelle de k = 1 N/ oscila con una aplitud de,1. Deterina sus energías: potencial, cinética y ecánica, cuando pasa por la posición =,5. 1
1 1 U E k 1,5 1,5 J 1 1 E = k A = 1,1,5 = 3,75 J = = = ; C ( ) ( ) 1 1 E = k A = 1,1 = 5, J Nota coo la energía ecánica es la sua de las energías cinética y potencial. 4.9 Fenóenos periódicos En la Naturaleza eisten uchos fenóenos que se repiten una y otra vez a intervalos iguales de tiepo, se llaan fenóenos periódicos, por ejeplo, la rotación de la Tierra alrededor de su eje, su oviiento de traslación alrededor del Sol, las vibraciones de un resorte, el oviiento de un péndulo, etc. (+) 4.1 scilaciones de un uelle Vaos a estudiar las oscilaciones que eperienta un uelle, cuando estando vertical y en equilibrio con su longitud natural, se le suspende una asa, que lo alarga y le obliga a realizar oscilaciones, fig.4.11. A) o = e B) (-) Toareos un origen de referencia o = en la posición inicial A, de odo que al colgar la asa ésta se ueve hasta el punto B, de posición, cuyo signo no prejuzgaos de anteano. El uelle epieza a oscilar entre dos posiciones etreas, peraneciendo así indefinidaente. Desde el punto de vista de la energía, la asa suspendida odifica sus energías, potencial gravitatoria y cinética, ientras que el uelle considerado de asa despreciable, solo varía su energía potencial elástica. Fig.4.11. Al suspender del uelle la asa, en el punto A, la asa epieza a oscilar entre los puntos A y B, situados equidistantes del punto e. bserva que se considera positivo el signo de, por encia de o = y negativo por debajo. Sobre la asa suspendida fig.4.1, actúan el peso y la fuerza elástica del resorte siendo abas conservativas, por lo que la energía ecánica del sistea se conserva y en consecuencia su variación total será nula. ( ) ( ) E gra vitatoria + E cinética + U ( elástica ) = P c E ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E B E A + E B E A + U B U A = P P Grav. C c E E Elást. F 1 1 g + v + k = ; [ ] e P rdenando la ecuación de segundo grado: 1 1 k + g + v = Para deterinar las posiciones etreas entre las que oscila la asa unida al resorte, debeos considerar que en éstas posiciones las velocidades son nulas, para lo que haceos v = en la ecuación anterior. 11 Fig.4.1. Fuerzas sobre una asa oscilando suspendida de un uelle. Cuando pasa por la posición de equilibrio e el peso P y la fuerza recuperadora del uelle F, son iguales y de sentidos contrarios, verificando sus ódulos: F = P = g
1 k 1 + g = ; k + g = Las soluciones son: g = ; = (4.13) k 1 La asa unida al uelle oscila en línea recta entre las posiciones indicadas 1 y ; siendo la coordenada del punto edio e, de valor. g + + k g k 1 e = = = (4.14) En esta posición la fuerza del uelle es igual y opuesta al peso, fig.4.1. g La asa acoplada al uelle oscila por arriba y por debajo del punto e =, con k una aplitud que vale en valor absoluto: g g A = k = k (4.15) bserva, que la asa no oscila arriba y abajo de la posición inicial, correspondiente con la longitud natural del uelle, punto A, donde habíaos situado o =. Ahora oscila a uno y otro lado del nuevo punto de equilibrio e. Ejeplo De un uelle cuya constante elástica es k = N/ se cuelga una asa de kg. Deterina la distancia áia que se separa de la posición inicial, la posición alrededor de la cual oscila y la aplitud de la oscilación. g 9,8 Epleando la ec.(4.15) : = = =,196 = 19,6 c k g 9,8 De la ec.(4.16) : e = = =,98 = 9,8 c k g 9,8 La aplitud se obtiene de aplicar ec.(4.17): A = = =,98 = 9,8 c k T 4.11 Estudio del péndulo siple Un péndulo siple es una partícula de asa, suspendida de un hilo inetensible de asa despreciable. Inicialente la partícula se encuentra en equilibrio por acción de la tensión T del hilo y el peso P, fig.4.13. Sin ebargo, si se separa de esta posición la partícula auenta su energía potencial gravitatoria y después al dejarla libre espontáneaente se pone en oviiento, transforándola en energía cinética y epezando a oscilar. Cuando alcanza de nuevo la posición de equilibrio, lleva velocidad y energía cinética por lo que rebasa esta posición y pasa al otro lado, hasta que toda la energía cinética se ha transforado de nuevo en energía potencial. El fenóeno se repite así de fora periódica, indefinidaente. P Fig.4.13. La asa está en equilibrio con las fuerzas T y P. 1
Desde un punto de vista dináico, sobre la asa, están actuando su peso P y la tensión de la cuerda T. Si estas fuerzas se descoponen en cada instante, en coponentes en la dirección del hilo y en la dirección de la tangente a la trayectoria, fig.4.14. Resulta: En la dirección del hilo la fuerza neta hacia suinistra la fuerza centrípeta que perite cabiar a la dirección de su vector velocidad. L T T P cos θ = F c θ θ En la dirección tangente a la trayectoria. F = - P sen θ = - g sen θ F El signo enos hay que introducirlo para tener en cuenta, que la fuerza F tiene sentido contrario al del creciiento del ángulo θ. De la ecua-ción fundaental de la Dináica resulta: θ P cos θ a = - g sen θ ; a = - g sen θ Se trata de un oviiento con aceleración no constante, que depende del seno del ángulo. P=g Estaos interesados, en considerar únicaente oscilaciones de pequeña aplitud, para valores del ángulo θ enores de diez grados. En estos casos se puede aproiar el seno del ángulo, por su valor en radianes, es decir, reeplazar sen θ θ (siendo el error inferior al,6%). Sustituyendo: a = - g θ (4.16) Coo el arco de una circunferencia es igual al ángulo en radianes por el radio, de la fig.4.18 se deduce que = θ L. Sustituyendo en ec.(4.16). g a = L El cociente g/l es constante y para la aproiación de ángulos uy pequeños, se obtiene una aceleración proporcional a la elongación, y de signo contrario, de odo que en estas condiciones, el oviiento del péndulo se puede aproiar al de un oviiento arónico siple. Coparando con la ec.(4.7) resulta para la frecuencia angular: Fig.4.14. Descoposición de fuerzas en el péndulo siple. Solaente actúan el peso P y la tensión de la cuerda T. BSERVA π rad 1º = =,1745 rad 18 1º =,1745 rad sen,1745 rad =,1736,1745,1736 1 % =,5%,1736 g g ω = ; ω = L L El periodo del péndulo T, que es el tiepo que eplea en una oscilación de ida y vuelta copletas, se deterina de la ec.(4.3). π L ω = ; T = π (4.17) T g El periodo de un péndulo siple que oscila con pequeña aplitud, depende de la longitud del hilo y del valor de la aceleración de la gravedad del lugar. 13
Finalente, si se suelta el péndulo desde un lateral situado a una altura h respecto del punto ás bajo de la trayectoria, cuánto vale su velocidad al pasar por este punto?, fig.4.15. El principio de conservación de la energía ecánica asegura que la energía potencial se transfora totalente en cinética. en el punto ás bajo de esa trayectoria. 1 = = ± = ( θ ) (4.18) g h v ; v g h g L 1 cos Ejeplo L θ L cos θ La longitud de un péndulo siple es L = 1,9 y oscila con un periodo T =,8s. Deterina: a) el valor de la aceleración de la gravedad, g, en el lugar. b) Si el hilo se separa de la posición de equilibrio un ángulo de 8º, la velocidad al pasar por la posición vertical. M h a) Aplicando la ec.(4.17), de la que se despeja g se obtiene: h= π L 4π 1,9 g = = = 9,57 T,8 s b) Aplicando la ec.(4.18) : v = g L ( 1 cosθ ) = 9,57 1,9 ( 1 cos 8º ) =,59 s Fig.4.15. El péndulo se deja libre desde un punto M, situado a una altura h sobre la posición ás baja de la trayectoria. Si en lugar de la altura h, se conociese el ángulo θ que ha sido desplazado el hilo. Entonces h se calcula restando de la longitud del hilo L, la distancia L cos θ, ver la figura. h = L L cos θ = L (1 - cos θ) 14