APUNTS DE MATEMÀTIQUES II

APUNTS DE MATEMÀTIQUES II Gonzalo Rodríguez Departament de Matemàtica Econòmica, Financera i Actuarial Graus d ADE i d Economia

PRÒLEG Aquests Apunts de Matemàtiques II dels graus d ADE (Administració i Direcció d Empreses) i d Economia de la Facultat d Economia i Empresa tenen per objecte ser desenvolupats a les classes presencials d aquesta assignatura. Per tant s han de prendre com una guia, un resum, i no pas com a un substitut d elles. El contingut s ha estructurat segons el programa que hom troba al Pla Docent de l assignatura. Aquest programa contempla dos Blocs temàtics ben diferenciats: el primer d ells, anomenat Optimització, té a veure amb la cerca dels òptims -màims i mínims- de funcions escalars restringits o condicionats per igualtats (tema ) i per desigualtats (tema ); el segon, que porta per nom Anàlisi dinàmica, està dedicat a desenvolupar els conceptes d integral indefinida i integral definida d una funció amb algunes aplicacions econòmiques d interès (tema 3), i a estudiar, encara que de forma somera, les equacions diferencials ordinàries (tema 4) que són un tipus d equacions que juguen un paper important en el procés de matematització de la ciència econòmica. La majoria dels conceptes que aquí s eposen venen acompanyats d eemples il lustratius, aií com de puntualitzacions en forma de notes a peu de pàgina, que a ben segur facilitaran la seva comprensió per part de l estudiant. En aquest sentit també estan pensats els eercicis que hom troba al final de cada tema i que demanen ser resolts a les classes presencials. Val a dir que al final dels Apunts s ha inclòs una petita ressenya bibliogràfica aií com també un glossari de termes que té per objectiu ajudar en la cerca dels conceptes més importants. Per últim indicar que aquest document ha estat acceptat i arivat en el Dipòsit Digital de la UB dins la col lecció OMADO (http://diposit.ub.edu/dspace/handle/445/33364) i que el seu contingut, aií com les possibles errades que hom hi pugui trobar, són responsabilitat única i eclusiva de l autor.

ÍNDEX Bloc I: Optimització. Optimització amb restriccions d igualtat 4.. Programa d òptims restringits per igualtats 5.. Mètodes gràfic i directe de resolució 8.3. Mètode dels multiplicadors de Lagrange.4. Eercicis. Optimització amb restriccions de desigualtat.. Programa d òptims restringits per desigualtats 3.. Mètode gràfic de resolució 6.3. Introducció a la programació lineal 8.4. Eercicis 37 Bloc II: Anàlisi dinàmica 3. Integració de funcions reals d una variable 4 3.. Integral indefinida d una funció 4 3.. Mètodes d integració 45 3.3. Integral definida d una funció 49 3.4. Aplicacions de la integral definida 53 3.5. Eercicis 59 4. Equacions diferencials ordinàries 6 4.. Equacions diferencials ordinàries 6 4.. Equacions diferencials de primer ordre 64 4.3. Equacions diferencials de segon ordre 7 4.4. Aplicacions econòmiques 7 4.5. Eercicis 77 Bibliografia 79 Glossari 8 3

BLOC I: Optimització. OPTIMITZACIÓ AMB RESTRICCIONS D IGUALTAT L optimització matemàtica és un instrument clau en l àmbit de l economia i de l empresa. Hom pot dir que l optimització permet assignar, de manera eficient, recursos escassos entre activitats econòmiques alternatives. Doncs bé, quan aquests recursos, a més, cal esgotar-los, l optimització restringida ho serà per igualtats. Considerem el següent eemple econòmic: Se sap que la funció de producció d un fabricant d un cert producte P depèn de dos factors de producció, sent de tipus Cobb-Douglas: Q, y 4,5,5 = y unitats on i y indiquen, respectivament, les unitats emprades en cadascun dels dos factors. Si els costos unitaris d ambdós factors són constants i iguals a i 8 u.m., es tracta d esbrinar quin seria el cost mínim de produir 3 unitats de P aií com el nivell dels dos factors emprats. En aquest cas es tractaria de minimitzar la funció de costos: subjecta a la restricció de producció: C, y = + 8y u.m. Q y = y = unitats.,5,5, 4 3 Per tant, el que caldrà és resoldre és el programa d òptims restringits per igualtats: min C, y = + 8y,5,5 s.a: 4 y = 3 Demostrarem més endavant, i de dues maneres diferents, que les quantitats emprades en ambdós factors de producció per tal de minimitzar costos són 6 unitats del primer factor i 4 del segon. En altres paraules, que el mínim del programa és el punt: (, ) ( 6,4) y =. Notem, a més, que el valor monetari mínim del cost serà de: C 6,4 = 64u.m.. A partir d ara utilitzarem l abreviació s.a per indicar subjecta a o restringida a. 4

.. Programa d òptims restringits per igualtats... Programa d òptims restringits per igualtats o equacions Aií doncs podem definir ara, amb tota generalitat, la noció de programa: Definició: Un programa d òptims restringits o condicionats per igualtats (programa a partir d ara) és un problema d optimització que adopta la forma: on:. z f( ) ( n) ( ) Optimitzar z= f,, s.a: g,, n = b gm(,, n) = b m =,, n és la funció escalar objectiu..,, n són les n variables instrumentals o de decisió. 3. g ( ) i,, n són les m funcions escalars de restricció. 4. b,, bm són les m constants de restricció. La clàusula optimitzar de la definició ens diu es tractaria de maimitzar i/o minimitzar la funció objectiu subjecta a (s.a) un conjunt d equacions. Per regla general, el nombre m d equacions de restricció ha de ser menor que el nombre n de variables instrumentals. Com podem constatar el programa anterior: min C, y = + 8y,5,5 s.a: 4 y = 3 té n = variables instrumentals, i y, amb una funció objectiu lineal z= + 8y, i m= funció de restricció,5,5 g, y = 4 y, amb b= 3 com constant de restricció. 3 A partir d ara totes les funcions escalars a considerar tindran derivades parcials segones contínues. 3 És evident que les variables instrumentals d un programa de caire econòmic han de ser positives; és el que s anomena restricció de signe o positivitat. Tanmatei, i per no complicar els càlculs, considerarem eplícitament aquesta restricció quan sigui estrictament necessari. 5

... Conjunt i punt factible d un programa El procés de resolució d un programa ha de començar posant l èmfasi en els punts que satisfan les equacions de restricció ja que, òbviament, estem obligats a optimitzar la funció objectiu sobre ells. Aparei aií, de forma totalment natural, el concepte de conjunt factible: Definició: El conjunt factible (també dit admissible o d oportunitats) d un programa és el conjunt format pels punts que satisfan totes les restriccions d igualtat associades, i de tot punt que hi pertany en direm punt factible. Eemple: Determina el conjunt factible del programa econòmic anterior i prova que el punt ( 6,4) és un punt factible. SOLUCIÓ: El conjunt factible o admissible és el conjunt Com que: A R donat per la igualtat:,5,5 {(, ) :4 3} A= y R y =..5.5 Equivalent 4 y = 3 y= 64 hom deduei que A està format pels punts de la hipèrbola equilàtera: 4 i que, a més, el punt (, y ) = ( 6,4) és un punt factible ja que: ( y) implica, 6,4 y 6 4 64 = = =. 4 Notem que les variables instrumentals han de ser positives. 6

..3. Òptim i valor òptim d un programa Doncs bé, resoldre un programa d òptims condicionats per equacions consistei en optimitzar la funció objectiu, no sobre el seu domini de definició, sinó sobre el conjunt factible associat. En l eemple econòmic que estem veient, el que cal és trobar un punt (, ) y sobre la hipèrbola y= 64 del primer quadrant que minimitzi la funció objectiu C, y = + 8y. Aquest punt, si eistei, serà l òptim del programa: min C, y = + 8y,5,5. s.a: 4 y = 3 Definició: El punt (,, n) és un òptim del programa: ( n) ( ) Optimitzar z= f,, s.a: g,, n = b gm(,, n) = b m si és un punt factible que optimitza la funció objectiu sobre el conjunt factible associat. Per definició al valor que pren la funció objectiu en l òptim: li direm valor òptim del programa. ( ) z,, = f n Pensem que els òptims lliures (és a dir, els òptims de funcions escalars sense restriccions) i els òptims restringits no sempre coincideien. 5 Per eemple, el programa: ma z= y s.a: + y= té un òptim (màim) en el punt ( '5,'5 ) mentre que la funció objectiu: té un òptim (màim) lliure en el punt (, ). z= y 5 De fet gairebé mai ho fan. 7

.. Mètodes gràfic i directe de resolució... Mètode gràfic Sota certes condicions de regularitat, el mètode gràfic ens permet trobar els òptims de programes amb dues variables instrumentals i una restricció: Optimitzar z= f, y. s.a: g, y = b Aquest mètode es basa en una propietat relacionada amb el vector gradient que diu que l òptim d un programa com aquest, si eistei, es troba en el punt de tangència (, y ) entre la corba restricció g(, y) b Gràficament: = i una de les corbes de nivell c k de la funció objectiu. 6 En concret la propietat que caldrà aplicar és: Propietat: L òptim del programa: Optimitzar z= f, y s.a: g, y = b en el cas que eisteii, és el punt factible (, ) y pel qual eistei un escalar λ R tal que: (, ) = g(, y ) f y A més, el valor òptim associat serà igual a: λ. (, ) z = f y. 6 El valor numèric k és, precisament, el valor òptim del programa. 8

... Eemple d aplicació del mètode gràfic Anem a resoldre pel mètode gràfic el programa de l eemple econòmic inicial: min C, y = + 8y Eemple: Resol gràficament el programa econòmic inicial,5,5 s.a: 4 y = 3 SOLUCIÓ: Com que la corba de restricció és la hipèrbola y= 64, i les corbes de nivell de la funció objectiu són les rectes de la forma + 8y= k, amb k paràmetre, hom deduei que l òptim (, ) y serà el punt de tangència: Per la propietat anterior haurà d eistir una constant λ R tal que: En conseqüència: (, ) λ g(, y) C y C(, y ) = λ g(, y ), sent g, y = y 64. C g = λ = λy 8 λ C g 8= λ y = λ y y implica implica implica = = = i, per tant: 8 6 implica y= 64 = = λ= = 4y 64= y= ( 4y) y= 4y Solució y y = 4 Aií doncs l òptim (mínim) del programa és el punt: amb valor òptim (valor mínim) associat: (, y ) = ( 6,4) C = C 6,4 = 64. 7 7 Per tant, per a produir a cost mínim 3 unitats del producte P, cal emprar 6 unitats del primer factor i 4 del segon. Aquest cost mínim serà de 64 u.m. 9

... Mètode directe de resolució 8 Aquest mètode és adient quan les equacions de restricció són lineals. El que cal fer és aïllar algunes de les variables instrumentals en funció de la resta i resoldre el problema d òptims lliures que en resulta quan les introduïm en la funció objectiu. 9 Vegem un eemple: Eemple: Escriu el número com a suma de tres números tal que el seu producte sigui el màim possible. SOLUCIÓ: Si, yi z són aquests tres números caldrà resoldre el programa: ma P= yz s.a: + y+ z=. Ja que, per eemple, la variable z es pot escriure a partir de les altres dues com: z= y aleshores, substituint en la funció objectiu, s obté la funció escalar en i y : (,, ) (, ) P y y = y y y = p y. Cal doncs maimitzar lliurement aquesta funció auiliar. Com que: p = = = ( y) p = = y= ( y ) y y y y y i que la matriu hessiana en el punt ( 4,4 ): Punts crítics (, ) implica Hp( 4,4) Hp y (, ) i ( 4,4) y y 8 4 = = y 4 8 és definida negativa, deduïm que el punt crític ( 4,4 ) és un màim de (, ) l òptim del programa inicial serà el punt: z= y z= y z =. = y= 4 Òptim del programa 4,, 4,4,4 Notem que el valor òptim del programa, és a dir, el producte màim és: P ( 4,4,4) = 64.. p y. Per tant, 8 També dit de substitució o d eliminació de variables. 9 Si les restriccions no són lineals aquest mètode no sempre funciona. Veure l eercici 3 del paràgraf.4.

.3. Mètode dels multiplicadors de Lagrange.3.. Funció i multiplicadors de Lagrange associats a un programa L avantatge del mètode dels multiplicadors de Lagrange és doble: per una banda tenim que es poden resoldre programes amb moltes variables instrumentals i equacions de restricció, i, per l altra, que es poden interpretar econòmicament els resultats obtinguts. Aquest mètode gira al voltant de la funció de Lagrange associada a un programa; de fet aquesta funció ocupa el lloc de la funció objectiu de l optimització lliure (sense restriccions). Definició: La funció de Lagrange associada al programa: ( n) ( ) Optimitzar z= f,, s.a: g,, n = b gm(,, n) = b m és la funció escalar de n+ m variables definida per: m L,,,,, = f,, g,, b. ( λ λ ) λ n m n i i n i i= Les m variables λ,, λm són els multiplicadors de Lagrange del programa. Eemple: Determina la funció de Lagrange dels programes: min C = + 8y y =,5,5 s.a: 4 3 i ma f, y, z = y+ z+ yz s.a: + y+ z= 6 y= SOLUCIÓ: En el primer cas, com que només tenim una equació de restricció ( m= ) hi haurà un multiplicador de Lagrange:,5,5 L, y, λ = f, y λ g, y b = + 8y λ 4 y 3. En el segon cas, com que hi ha dues restriccions ( m= ), tindrem dos multiplicadors de Lagrange λ i λ associats: ( ) (,,, λ, λ ) (,, ) λ (,, ) λ,, = ( y+ yz+ z) λ ( + y+ z ) λ ( y ) L y z = f y z g y z b g y z b = 6.

.3.. Condició necessària d optimització restringida per igualtats. Punt crític És el primer resultat a considerar si volem trobar els òptims d aquest tipus de programes. Val a dir que per a que aquesta condició necessària sigui vàlida cal que la funció objectiu i les funcions de restricció tinguin les funcions derivades parcials segones contínues. Teorema: Si (,, n) és un òptim del programa: ( n) ( ) Optimitzar z= f,, s.a: g,, n = b gm(,, n) = b m eistiran m multiplicadors de Lagrange λ,, λm R tal que el vector gradient de la funció de Lagrange s anul la. És a dir, que: Per definició, tot punt (,, n) estacionari del programa. L (,, n, λ,, λm) = L (,, n, λ,, λm) = n. L (,, n, λ,, λm) = λ L (,, n, λ,, λm) = λm solució d aquest sistema d equacions se n diu punt crític o Notem que aquest teorema és semblant a la condició necessària d eistència d òptims lliures però, ara, amb la funció de Lagrange ocupant el lloc de la funció objectiu. Aquesta restricció també val per a la condició suficient que veurem més endavant. Val a dir que aquest òptim ha de ser un punt interior del domini de la funció objectiu. Per tant, tot punt crític d un programa portarà associats un conjunt de multiplicadors de Lagrange, tants com a equacions de restricció hi hagin. Les m darreres equacions ens asseguren que tot punt crític és, en particular, un punt factible del programa.

.3... Eemple d aplicació del la condició necessària d òptims restringits per igualtats Eemple: Determina els punts crítics del programa SOLUCIÓ: Com que la funció de Lagrange és: ma u= y+ z+ yz s.a: + y+ z= 6 y= (,,, λ, λ ) = + + λ ( + + 6) λ ( ) L y z y z yz y z y els punts crítics del programa s obtindrà com a solucions del sistema: L = = y+ z λ λ L = = + z λ + λ y L = = + y λ z. L = = ( + y+ z 6 ) λ L = = ( y ) λ Notem que les dues últimes equacions ens asseguren que aquestes solucions seran punts factibles. Anem a resoldre l directament. Si sumem la ª i la ª equacions obtenim: + y+ 3z λ = que, juntament amb la 3ª, ens proporciona l equació: 3+ y 3z=. Aquesta equació, juntament amb la 4ª i la 5ª, dóna lloc al sistema de Cramer: = 6 5 + y+ z= 8 λ = Solució 6 Substituint 5 y= y= 5 4 3+ y 3z= λ = 3 5 z = 5 Per tant l únic punt crític del programa és el punt: 6 3,, =,, 5 5 5 amb multiplicadors de Lagrange 8 4 λ = i λ =. 5 5 ( y z ) 3

.3.3. Matriu hessiana restringida d un programa La qüestió, ara, es veure sota quines condicions un punt crític d un programa és un òptim. Val a dir que aquestes condicions estan relacionades amb el signe de la matriu hessiana restringida de la funció de Lagrange en aquest punt. Definició: Donat un programa, la matriu hessiana restringida a les variables instrumentals de la funció de Lagrange associada és, per definició, la matriu simètrica: (,,, λ,, λ ) H L n n m L L n = L L n n. 3 Eemple: Calcula la matriu hessiana restringida en el punt crític del programa anterior. SOLUCIÓ: Ja que les derivades parcials de la funció de Lagrange d aquest programa són: 4 L L L = y+ z λ λ, = + z λ + λ i = + y λ y z la matriu hessiana restringida en general serà constant i igual a: L L L y z L L L HyzL(, y, z, λ, λ) = = y y y z. L L L z z y z Conseqüentment: 6 3 8 4 HyzL,,,, = 5 5 5 5 5. 3 En general caldrà considerar els multiplicadors de Lagrange ja queles derivades parcials segones de la funció de Lagrange respecte les variables instrumentals depenen, en molts casos, d ells. 4 Veure la plana anterior. 4

.3.4. Condició suficient d eistència d òptims restringits per igualtats Aquesta condició ens permet qualificar els punts crítics dels programes, és a dir, dir si són màims o mínims. Teorema: Sigui (,, n) un punt crític del programa: ( n) ( ) Optimitzar z= f,, s.a: g,, n = b gm(,, n) = b m amb multiplicadors de Lagrange associats λ,, λm R. Si la forma quadràtica de matriu associada: 5 (,, n, λ,, λm) (,, n, λ,, λm) L L n H L,,,,, n n λ λ m = L(,, n, λ,, λm) L(,, n, λ,, λm) n n restringida al subespai vectorial definit pel sistema de m equacions lineals homogènies: és: g(,, ) n g(,, ) n = g(,, n) = + + n n n g m(,, n) gm(,, n) = gm(,, n) = + + n n n definida positiva negativa llavors el punt crític(,, n) és un mínim màim del programa. 6 5 Com podem veure es tracta de la matriu hessiana restringida en el punt crític. 6 Cal emfatitzar el fet que aquesta forma quadràtica restringida, com en el cas de l optimització lliure, ha de ser definida per a poder afirmar que el punt crític és un òptim. 5

.3.4.. Eemple d aplicació de la condició suficient d òptims restringits per igualtats Eemple: Aplicant el mètode dels multiplicadors de Lagrange resol el programa: ma u= y+ z+ yz s.a: + y+ z= 6 y= SOLUCIÓ: Ja sabem que aquest programa té com a únic punt crític: 7 6 3,, =,, 5 5 5 amb multiplicadors de Lagrange 8 4 λ = i λ =. 5 5 ( y z ) Anem a veure si, efectivament, aquest punt és l òptim (màim) del programa. Per aiò cal considerar la matriu hessiana restringida en el punt que, com ja hem calculat, és: 6 3 8 4 HyzL,,,, = 5 5 5 5 5. Com que és indefinida 8 hem d estudiar el signe de la forma quadràtica que té associada: Q, y, z = y+ 4z+ yz restringida al subespai vectorial definit pel sistema d equacions lineals: 6 3 = g,, y = (,,) y = + y+ z 5 5 5 z z 6 3 = g,, y = (,,) y = y 5 5 5 z z Solució y = z = Ja que la forma quadràtica restringida a aquest subespai és definida negativa: y= z= Q y z y z yz Q i,, = + 4 +,, = < deduïm, pel teorema anterior, que el punt: 6 3,, =,, 5 5 5 ( y z ) és un màim del programa amb valor màim associat igual a: 6 3 79 u = u,, =. 5 5 5 5 i. 7 Veure l eemple d aplicació el paràgraf.3... 8 Els menors principals d ordre són nuls i el determinant de la matriu és 4. 6

.3.5. Interpretació econòmica dels multiplicadors de Lagrange Aquesta interpretació fa possible estimar la variació del valor òptim d un programa quan alguna de les seves constants de restricció varia. 9 En efecte: Propietat: Sigui(,, n) l òptim del programa: ( n) ( ) Optimitzar z= f,, s.a: g,, n = b. gm(,, n) = b m Aleshores si la constant de restricció i-èsima bi R eperimenta una petita variació bi, el increment z que repercutei en el valor òptim del programa: és aproimadament igual a: ( ) z,, = f n z λ b i i on λi R és el multiplicador de Lagrange i-èsim associat a l òptim. Esquemàticament: a. Si λ < i si i b. Si λ > i si i Augmenta Disminuei Aproimadament b i b z λ b Disminuei i. Augmenta i i Augmenta Augmenta Aproimadament b i b z λ b Disminuei i. Disminuei i i c. Si λ = i si i Augmenta Disminuei Aproimadament bi bi z no varia. 9 Cal tenir present que aquesta interpretació només fa referència a les variacions del valor òptim del programa i no de l òptim pròpiament dit. Des d un punt de vista econòmic, els multiplicadors de Lagrange mesuren el grau de sensibilitat del valor òptim d una funció econòmica respecte petits canvis en els valors dels recursos (constants de restricció). És per aquest motiu que solen rebre el nom de preus ombra ja que, en cert sentit, valoren aquests recursos en l òptim. 7

.3.5.. Eemple d aplicació de la interpretació econòmica dels multiplicadors de Lagrange min C = + 8y Eemple: Resol pel mètode de Lagrange el programa de producció,5,5 s.a: 4 y = 3 indicant si és rendible produir una mica més de 3 unitats del producte P. SOLUCIÓ: Ja que la funció de Lagrange és L(, y, λ ) (,5,5 8y λ 4 y 3) ( λ ( y ) ) ( ) = + llavors: L,5,5 = = λ y = / L,5,5 implica 4 y implica = = 8 λ y = 4 λ / y = λ= = 4y. y y L,5,5 = = ( 4 y 3) = 4( 8 y) λ Conseqüentment: = y = y = y = y = y= λ =. implica implica 4 8 8 4 8 6, 4 i Aií doncs ( 6,4 ) és un punt crític amb un multiplicador de Lagrange associat λ =. Ara, com que la matriu hessiana restringida en aquest punt crític és semidefinida positiva: y.5.5.5.5 λ y λ y /6 / 4 = y = /4 implica (,, λ ) H L( 6,4,) H L y.5.5.5.5 λ y λ y caldrà aplicar la condició suficient. En efecte, ja que: g y y y y Solució = 6,4 =,4 = + 4 = 4 i que la forma quadràtica associada a la matriu anterior i restringida és definida positiva: = 4y Q( y) y y Q( y y) y 6, = + 4, = 4 > deduïm que ( 6,4 ) és un mínim del programa. Finalment, degut a que el multiplicador de Lagrange és estrictament positiu no interessa produir cap unitat més ja que el cost mínim de C C = 6,4 = 64 u.m. augmentaria en, aproimadament: λ = i b = C λ b = = u.m. per unitat produïda de més. implica tot Calen 6 unitats del primer factor i 4 del segon per a minimitzar el cost de produir 3 unitats de P, cosa que ja sabíem (veure l eemple d aplicació del paràgraf...). 8

.3.5.. Aplicació econòmica: el model d inversions de Markowitz Considerem el següent eemple: Eemple: Suposem una cartera d inversió en dos títols amb unes rendibilitats esperades del 8% i del 4%. Si el risc de la inversió ve mesurat per la funció:, y,6,4y,96y σ = + on i y denoten, respectivament, els tants per cent de la cartera invertir en cada títol: i. Determina els valors de i y que minimitzen el risc de la cartera si volem obtenir una rendibilitat conjunta esperada del 5%. ii. Analitza cóm es veuria afectat aquest risc si la rendibilitat fos del 5,5%. SOLUCIÓ: i) Està clar que el programa a resoldre és: Com que la funció de Lagrange és: y y y. s.a:,8+,4y=,5 min σ, =,6 +,4,96 (,, λ) =,6 +,4,96, λ (,8 +,4,5) L y y y y haurem de resoldre el sistema: L 5 = =,3,96y,8λ = =,35 6 L 5 λ y 8 L = = (,8+,4y,5) λ = =,5 λ Solució = =,8y,96,4 y= =,65 Ja que la matriu hessiana restringida en general és definida negativa:,3,96 HyL=,96,8 hom deduei que cal invertir un 3,5% en títols del primer tipus i un 6,5% en el segon per a minimitzar el risc (dispersió) de la cartera que seria de σ ii) Si la rendibilitat fos del 5,5%, el risc augmentaria aproimadament en: 4 =. 5/6,5/8,5 λ =,5 i b =,5% =,5 σ λ b =,5,5= 5. implica 6 9

.4. Eercicis. Resol pel mètode gràfic o directe els programes: Opt u= yz min z= + 5y ma u= 3y+ yz i. ii. s.a: + y+ 3z= iii. s.a: 3 y= s.a: + y z= y=. Resol pel mètode de Lagrange el programa: ma u= y+ yz+ z s.a: + y+ 3z= 3. Prova que el programa: = + min z 4y 3 s.a: y = no es pot resoldre pel mètode directe però si pel dels multiplicadors de Lagrange. 4. Una empresa que fabrica dos articles A i B, sap que pot vendre 4 unitats de A a un preu unitari de 7 u.m. però un estudi li ha permès conèier que, per cada u.m. de disminució en el preu de venda, es produirà un augment de unitats en les seves vendes. Si el matei estudi recomana mantenir el preu de venda de B en.48 u.m. i si la funció de costos totals és: C y y, = 5 + + 5. on i y indiquen el nombre d articles A i B produïts, calcula el que s hauria de produir i vendre per a maimitzar els beneficis. Fes el matei suposant que només es poguessin fabricar articles en total, indicant si millorarien els beneficis si es pogués augmentar la producció una unitat més. 5. Una empresa que es dedica a la col locació de mosaic, moqueta i parquet sap que el benefici per m que s obté per la instal lació de mosaic és de. u.m., de.4 u.m. per la moqueta i de.8 u.m. pel parquet. Si els m, y i z instal lats de mosaic, moqueta i de parquet compleien l equació matemàtica donada per: + y + 7z= 5.375 determina, y i z per tal de maimitzar els beneficis i discutei si milloraria en el cas que + y + 7z= 5.374.

SOLUCIONS:. i. El mínim és (, ) amb valor mínim associat igual a. ii. El màim és,, 3 3 3 amb valor màim 4 7 i el mínim és (,, ) amb valor mínim. iii. El màim és 4,, 6 3 amb valor màim associat igual a 7.. El màim és,, 5 5 5 amb multiplicador de Lagrange 4 λ= i valor màim 5 5. 3. Els punts (, ) i (,) són els mínims del programa amb multiplicadors de Lagrange associats λ= i valor mínim igual a 3. 4. En el primer cas s hauria de produir i vendre 36 unitats de A, amb un preu unitari de 4 u.m., i 74 de B per a maimitzar els beneficis que pujarien a 89.7 u.m. En el segon cas, cal produir i vendre 8 unitats de A, amb un preu unitari de 35 u.m., i 9 unitats de B i els beneficis serien de 9. u.m.; a més, els beneficis augmentarien, de forma aproimada, u.m. per unitat produïda i venuda de més. 5. Cal instal lar diàriament 5 m de mosaic, 3 m de moqueta i 55 m de parquet si volem maimitzar el benefici associat a la seva instal lació; val a dir que aquest benefici màim seria de 76. u.m. En el cas que la restricció canviés tal com ens indica l enunciat, el benefici diari disminuiria en, aproimadament, 4 u.m.

. OPTIMITZACIÓ AMB RESTRICCIONS DE DESIGUALTAT Si en l optimització restringida per igualtats dèiem que estàvem obligats a esgotar els recursos econòmics disponibles ara, en l optimització restringida per desigualtats, no ho estem, la qual cosa ens permet modelar i estudiar fenòmens més propers a la realitat econòmica i empresarial. Considerem el següent eemple econòmic: Una empresa fabrica dos productes, A i B, per medi de dos processos productius, P i Q. Suposem que la taula següent: Temps A B Disponibilitat total P 6 minuts minuts hores Q 9 minuts 3 minuts hores mostra el temps en minuts que necessita cadascun dels processos per manipular una unitat de A i B, aií com el temps total disponible per a P i Q. Si, per eemple, el benefici unitari de A fos de 5 u.m. i el de B 3 u.m., el programa d òptims restringits per desigualtats: ma z= 5+ 3y s.a: 6+ y 6 9+ 3y 7, y ens donaria les d unitats de A i y de B a fabricar per maimitzar els beneficis. Si: pa = 3.5, p 7.5y B. 3 = i C( y), = 3+ 5y+ 377 fossin, per una altra banda, les funcions de demanda de A, B i la funció de costos conjunta el programa seria ara: s.a: 6+ y 6 9+ 3y 7, y ma z=.5.5y + + y 337. 4 Tanmatei, l esgotament dels recursos és una possibilitat que també es pot donar i que té a veure amb les restriccions saturades (veure, per eemple, l eercici de la plana 7). 3 Aquest programa és un eemple de programa lineal. 4 Aquest programa, en canvi, no és lineal ja que la funció de beneficis a maimitzar no ho és. Resoldrem més endavant aquests dos programes.

.. Programa d òptims restringits per desigualtats... Programa canònic d òptims restringits per desigualtats Definició: Un programa canònic d òptims restringits per desigualtats (programa canònic a partir d ara) és un problema d optimització que adopta la forma:. z f( ) ( n) ( ) ma z= f,, s.a: g,, n b gm(,, n) b m o bé =,, n la funció objectiu del programa..,, n les n variables instrumentals o de decisió. 3. g ( ) i,, n les m funcions escalars de restricció. 4. b,, bm les m constants de restricció. ( n) ( ) min z= f,, s.a: g,, n b gm(,, n) b m sent: Notem que les restriccions d un programa canònic de màim són de menor o igual i les de mínim són de més gran o igual. Tot programa no canònic es pot epressar canònicament : Eemple: Troba el programa canònic de mínim equivalent al programa: 5 ma u= 7z 3y s.a: y+ z. y SOLUCIÓ: Ja que: mau= 7z 3y Equivalent min u = + 3y 7z y+ z y z el programa canònic de mínim equivalent al de l enunciat seria: ( ) = + min u 3y 7z s.a: y z. y 5 Diem que dos programes són equivalents si un d ells s obté de l altre mitjançant les operacions que eposem a continuació. Es pot provar que l òptim d aquests programes és ( 3'5,4'5,8). 3

... Conjunt i punt factible d un programa En general per a resoldre un programa, és a dir, per a trobar els seus òptims, haurem de tenir en compte, com sempre, el conjunt factible associat. Definició: El conjunt factible, admissible o d oportunitats d un programa és el conjunt dels punts del domini de la funció objectiu que satisfan les desigualtats de restricció, i de tot punt del conjunt factible en diem punt factible. Si un programa té punts factibles és un programa factible; en cas contrari, és infactible. Eemple: Determina gràfica i topològicament el conjunt factible dels programes: ma z= 5+ 3y s.a: 6+ y 6 i 9+ 3y 7, y SOLUCIÓ: s.a: 6+ y 6. 9+ 3y 7, y ma z=.5.5y + + y 337 En ambdós casos cal dibuiar, en primer lloc, les rectes: 6+ y= 6 i 9+ 3y= 7 i, a continuació, la intersecció dels dos semiplans associats a elles en el er. quadrant tenint en compte les restriccions de desigualtat. Gràficament: Val a dir que el conjunt factible A és un polígon conve amb vèrtes: (, ), (,6 ), ( 75,5 ) i ( 8, ). 6 6 Un polígon és una figura geomètrica plana formada per segments consecutius no alineats (recta poligonal). Els vèrtes són, precisament, els punts d intersecció dels segments. 4

..3. Òptim i valor òptim d un programa Ja sabem que el conjunt factible és un dels elements clau en la resolució d un programa ja que és sobre ell que cal optimitzar la funció objectiu. Aií doncs, els òptims d un programa seran punts factibles. Definició: Un programa té:. Un òptim finit (solució finita o acotada) si eistei un punt factible que optimitza la funció objectiu sobre el conjunt factible. Al valor que pren la funció objectiu en un òptim finit li diem valor òptim.. Un òptim infinit (o solució infinita, no acotada) quan la funció objectiu s optimitza de forma indefinida sobre el conjunt factible. 7 Per eemple, els dos programes: ma z= 5+ 3y s.a: 6+ y 6 i 9+ 3y 7, y tenen òptims finits ja que el seu conjunt factible: s.a: 6+ y 6 9+ 3y 7, y ma z=.5.5y + + y 337 {(, ) R :6 6, 9 3 7 i, } A= y + y + y y al ser un polígon, 8 és un conjunt compacte: en efecte, és tancat ja que conté la seva frontera (la línia poligonal) i és acotat ja que està contingut, per eemple, en la bola oberta de centre ( 4, ) i de radi 65. Finalment, degut a que les dues funcions objectiu: z= 5+ 3y i z= y + + y.5.5 337 són contínues sobre el compacte A, deduïm, aplicant el teorema de Weierstrass, que els dos programes tenen òptims finits. 9 7 Està clar que els programes amb òptims infinits tenen valor òptim infinit. Notem la diferència entre aquesta definició i la del paràgraf..3. 8 Veure la plana anterior. 9 Provarem més endavant que l òptim de (i) està en el vèrte ( 75,5 ) i el de (ii) està en el punt ( 55,7 ) que pertany al segment d etrems el vèrtes (,6 ) i ( 75,5 ). 5

.. Mètode gràfic de resolució En general, els programes amb variables instrumentals: 3 ma z= f, y min z= f, y s.a: g, y b s.a: g, y b, o bé gm(, y) b m gm(, y) b m es poden resoldre gràficament. Per aiò, cal dibuiar el conjunt factible A i, a continuació, algunes de les corbes de nivell c k de la funció objectiu sobre A, juntament amb uns quants vectors u que tinguin per origen punts d aquestes corbes, amb la mateia direcció i sentit que els vectors gradient associats. Finalment si, per eemple, estem maimitzant, caldrà seguir la direcció i el sentit dels vectors u i esbrinar cap a quin punt factible ens porten. 3 Per eemple, si tinguéssim una situació gràfica com aquesta: el màim del programa es trobaria en el vèrte ( c, d ) de A, que és el punt que està més allunyat de l origen de coordenades. 3 Notem que el valor màim (valor òptim) seria el valor numèric k de la corba de nivell k c que passa pel vèrte (, ) c d. 3 Val a dir que no cal que els programes a resoldre siguin canònics. 3 Si estem minimitzant, caldrà anar en sentit contrari. Com podem intuir, un dibui acurat de la situació és clau en la resolució gràfica d un programa. En molts casos, com per eemple en el de la programació lineal, el valor associat a les corbes de nivell sobre punts factibles notables, per eemple vèrtes, ens poden donar la clau de la resolució. 3 Precisament l origen de coordenades (, ) és el mínim del programa. 6

... Eemple del mètode gràfic de resolució per òptims restringits per desigualtats Eemple: Resol gràficament els dos programes del paràgraf... SOLUCIÓ: D entrada, dibuiarem amb cura les corbes de nivell c k que passen pels vèrtes (,), (,6), (75,5) i (8,) del conjunt factible A i analitzarem en cada cas les seves evolucions òptimes. En el primer cas, per eemple, l òptim és el vèrte ( 75,5 ), amb valor òptim 35, ja que està sobre la k-recta de nivell de la funció objectiu amb el valor de k més gran possible, k= 35. Gràficament: 33 Hom pot veure que l òptim satura la primera i segona restriccions. 34 En el segons cas, com que la funció objectiu és pot epressar de la forma:.5.5 337 985.5.5 z= y + + y = y deduïm que les k-corbes de nivell són ara circumferències de centre (, ). Ja que: veiem que el punt de tangència ( 55,7 ) és el màim del programa, amb un valor màim k= 6. 35 En aquest cas, l òptim satura només la primera restricció. 33 Per tant caldrà produir i vendre 75 unitats de P i 5 unitats de Q per a maimitzar els beneficis que seran de 35 u.m. 34 Una restricció de desigualtat està saturada en l òptim quan es satisfà la igualtat associada. 35 Aiò vol dir que cal produir i vendre 55 unitats de P i 7 de Q per a maimitzar els beneficis que seran de 6 u.m. En aquest cas, el preu unitari de P serà de 75. 5 u.m. i 93.5 u.m. el de Q. 7

.3. Introducció a la programació lineal.3.. Programa canònic lineal Quan la funció objectiu i les funcions de restricció d un programa són lineals estem davant d un programa lineal. Històricament parlant es poden considerar les tables Input-Output de V. Leontieff com un antecedent de la programació lineal. Tanmatei, no és fins els anys 4 del segle passat que hom no troba formulat, per primera vegada, un problema particular de programació lineal: és el problema del transport. Sembla ser, però, que durant els anys 3 del segle passat el premi Nobel L. Kantorovich aplicava ja programes amb restriccions de desigualtat a l estudi dels plans econòmics quinquennals soviètics. Val a dir que la teoria i els mètodes de resolució estàndard (mètode del Símple) es coneien des de principis del 95 gràcies als treballs del matemàtic nord-americà G. B. Dantzing. Nosaltres, ací, veurem per damunt el teorema fonamental de la programació lineal i donarem un cop d ull a alguns dels models econòmics més importants. Definició: Un programa canònic és lineal si és de la forma: 36 ma s.a: z= c + + cn n + + an n b a a + + a b m mn n m,, n, o bé min s.a: z= c + + cn n + + an n b a a + + a b m mn n m,, n amb cj, aij, bi R. 37 Un eemple seria el programa econòmic inicial que hem analitzat i resolt més amunt: ma z= 5+ 3y s.a: 6+ y 6. 9+ 3y 7, y 36 Notem que caldrà considerar sempre les restriccions de signe sobre les variables de decisió. 37 La matriu de coeficients del programa lineal A= ( a ij ) rep el nom de matriu tecnològica del programa. 8

.3.. Teorema fonamental de la programació lineal. Aquest teorema ens diu que l òptim finit d un programa lineal es troba sempre en un dels vèrtes del conjunt factible associat. 38 A més, tot òptim finit d un programa lineal sempre és global. Teorema: En general: a. Tot programa lineal amb solució finita té necessàriament un òptim global en un dels vèrtes del conjunt factible associat. b. Qualsevol punt del segment format per dos òptims globals finits també és un òptim global. Per eemple, l òptim del programa lineal anterior: ma z= 5+ 3y s.a: 6+ y 6 9+ 3y 7, y es troba en el punt ( 75,5 ) que és un vèrte del conjunt factible associat: 39 Notem que el teorema fonamental no es pronuncia sobre l eistència dels òptims finits d un programa lineal; de fet el que fa és dir-nos on es troben en el cas que eisteiin. Sortosament aiò no passa amb el següent tipus de programes. 38 Aquest conjunt factible serà sempre un polígon en el pla, un poliedre en l espai o un poliedre multidimensional (politop) en dimensions superiors. 39 Aiò no passa sempre amb els programes no lineals (veure el segon eemple del paràgraf..). 9

.3.3. Programa lineal acotat Definició: Un programa lineal és acotat si el conjunt factible ho és. 4 La importància d aquest tipus de programes lineals rau en el teorema que diu: Teorema: Un programa lineal acotat té sempre un òptim global finit en un dels vèrtes del conjunt factible associat. Vegem un eemple: Eemple: Resol el programa lineal: Optimitzar z= 7+ 4y 5 s.a: + 3y 9 + y 8. + y, y SOLUCIÓ: Ja que el conjunt factible A associat és acotat: hom deduei que es tracta d un programa lineal acotat i que, per la propietat anterior, tindrà màims i mínims finits globals en vèrtes del conjunt factible A. Ja que: z, = z, = 9< z 4, = 3< z,3 = 37< z 3, = 44 deduïm que el màim global es troba en el vèrte ( 3, ), amb valor màim 44, i que el mínim global és qualsevol punt del segment d etrems (, ) i (, ), amb valor mínim 9. 4 De fet el conjunt factible d aquest tipus de programes lineals és més que acotat, és compacte. 3

.3.4. Models econòmics de la programació lineal.3.4.. Model de planificació de la producció 4 Considerem, per eemple, una empresa que fabrica i ven n productes a partir de m recursos productius de manera que: La quantitat de recurs i-èsim emprada en l elaboració d una unitat del bé j-èsim és constant i igual a aij. La disponibilitat màima del recurs i-èsim és constant i igual a bi. La utilitat generada per la fabricació d una unitat del bé j-èsim és constant i igual a c. j En aquestes condicions, la quantitat j que cal fabricar i vendre del producte j-èsim per tal d optimitzar la funció d utilitat global: z= c + + c n n s obté com a solució del programa lineal canònic de màim: ma s.a: = + + cnn + + ann b z c a a m mn n m + + a b,, n. En efecte, en primer lloc cadascuna de les m restriccions de producció és de menor igual ja que les disponibilitats dels m recursos estan limitades i no estem obligats a esgotar-les. En segon lloc, la quantitat del recurs i-ésim emprat en l elaboració de j unitats del producte j-èsim ha de ser igual a a, la qual cosa implica que la quantitat total d aquest recurs ij j emprat en el procés productiu sigui de ai+ + ainn unitats. Per tant, ja que la seva disponibilitat màima és de b i unitats, tenim finalment que: a + + a b. i in n i 4 El programa lineal de l eemple econòmic de la plana és un model d aquest tipus. 3

Eemple: Un empresari fabrica dos productes, P i Q. En la seva producció es necessiten ferro, fusta i plàstic. Si les quantitats d aquests materials que formen part d una unitat de P i Q, amb les seves disponibilitats màimes, venen donades per la taula: P Q Disponibilitat Ferro 3 kg 6 kg Fusta 6 kg 4 kg Plàstic 5 kg 5 kg 54 tones 48 tones 5 tones i si els costos d administració són de. u.m., determina la producció de P i Q que maimitza els beneficis totals sabent que una unitat de P deia un benefici de u.m, i 8 u.m. una de Q. SOLUCIÓ: Si i y denoten les unitats de P i Q a fabricar, cal resoldre el programa lineal: ma z= + 8y. s.a: 3+ 6y 54. 6+ 4y 48.. 5+ 5y 5., y Com que el conjunt factible B és acotat: i com que el valor més gran dels beneficis sobre els vèrtes és: z ( 4.,6.) = 96. u.m. hom deduei que cal produir i vendre 4. unitats de P i 6. de Q per a maimitzar els beneficis que seran de 96. u.m. 3

.3.4.. Model del transport Suposem que tenim m orígens (magatzems, fàbriques, etc.), amb unes eistències d un determinat producte P en les quantitats s,, s, i n destinacions (majoristes, grans superfícies, etc.), amb unes demandes d,, d de P a cobrir. Si el cost en u.m. de transportar una unitat de P de l origen i a la destinació j és constant i igual a cij, i si la variable ij denota la quantitat a transportar de P de l origen i a la destinació j, aleshores: m n n j= c = c + + c u.m. ij ij i i in in és el cost de transportar P des de l origen i. Aií doncs, el cost total del transport serà: m n ij ij ( n n) ( m m mn mn) u.m. c= c = c + + c + + c + + c i= j= Per una altra banda, com que les eistències del producte P en l origen i són, com a màim, de si unitats caldrà tenir present que tot el que hi surt no pot superar la quota s i : + + s i in i i com que, com a mínim, s ha de satisfer la demanda dj del producte en la destinació j, en altres paraules: + + d j mj j l òptim del programa lineal: min s.a: c m n = cijij i= j= m + + d n mn n ij + + n s m+ + mn sm + + d minimitza efectivament el cost total del transport. 4 4 Degut al gran nombre de variables instrumentals caldrà resoldre aquests programes lineals amb algun algorisme informàtic adequat. 33

Eemple: Una empresa disposa de dos magatzems, M i N, des dels quals ha de subministrar un determinat producte de consum a tres minoristes, A, B i C. Si els costos unitaris de transport, les eistències en magatzem aií com les demandes a cobrir per part dels minoristes venen donades per la taula: Costos A B C Eistències M u.m 3 u.m. 5 u.m. 5 u. N 3 u.m. 4 u.m. 7 u.m. 7 u. Demandes u. 5 u. u. troba les unitats que cal transportar des de cadascun dels magatzems per tal de satisfer les demandes dels minoristes a cost mínim. SOLUCIÓ: Si denotem els magatzems M i N per i, i els minoristes A, B i C per, i 3, caldrà resoldre el programa: min c 3 5 3 4 7 = + + 3+ + + 3 s.a: + + 3 5 + + 3 7 + + 5 3+ 3 ij És evident que aquest programa, pel gran nombre de variables que té, no es pot resoldre amb el què hem eplicat fins aquí, i és per aiò hem de recórrer a algun algorisme informàtic de resolució per a trobar la seva solució que és: 44 (,,,,, ) = ( 5,5,,5,,) 3 3 amb un cost mínim de transport de: c=.3 u.m.. 43 43 Fiem-nos que el primer subínde de les variables instrumentals indica l origen i el segon la destinació. 44 Nosaltres hem utilitzat el programa SOLVER del programari Ecel. 34

.3.4.3. Model de la dieta Suposem que es vol elaborar un cert compost C (químic, farmacèutic, agrícola, etc.), en el què han d aparèier m elements E,, Em constitutius (com, per eemple, sals minerals, vitamines, fertilitzants, etc.). Suposem també que aquests elements no estan disponibles de forma directa en el mercat però que si es troben en n productes P,, Pn de venda al públic. Les hipòtesis sobre les quals es sustenta aquest model són, fonamentalment, les següents: La proporció de l element E i que entra a formar part d una unitat del producte P j és constant i igual a aij. La quantitat de l element E i present en el compost C ha de ser, com a màim, de bi unitats i com, a mínim, de di unitats. 45 El cost unitari del producte P j és constant i igual a cj u.m. Per tant, si j denota la quantitat a comprar del producte P j llavors l epressió lineal: a i + + representa la quantitat total de l element E i en el compost C. Ja que la despesa total en els productes P,, Pn és, precisament: a in n l òptim del programa lineal: c= c + + c n n ma s.a: c c = + + cnn + + ann b a am+ + amnn bm a + + ann d am+ + amnn dm,, n minimitza el cost del compost C que satisfà els requeriments anteriors. 45 Alguna d aquestes dues hipòtesis pot no aparèier. Vegeu l eemple de la plana següent. 35

Eemple: Suposem que cada unitat de tres productes alimentaris, P, Q i R, conté proteïnes i hidrats de carboni en les proporcions: P Q R Proteïnes 5% 8% 6% Hidrats de carboni 5% 3% 3% Si una certa dieta alimentària formada a base de P, Q i R necessita com a mínim un 3% de proteïnes i un 4% d hidrats de carboni, i si els seus preus unitaris són, respectivament, de 4 u.m., 4 u.m. i 39 u.m., calcula les quantitats de P, Q i R que, satisfent les restriccions de la dieta, minimitzen el cost de compra. SOLUCIÓ: Si, y, z denoten els tants per cent de P, Q i R que formen part de la dieta, i si volem que el seu cost de mercat sigui el més petit possible, cal resoldre el programa lineal: min c= 4+ 4y+ 39z s.a:,5+,8y+,6z,3,5+,3y+,3z,4. + y+ z=, y, z Es pot provar que la solució d aquest programa és: 46 amb un valor òptim (mínim) de: 9 65,, =,, 93 86 6 ( y z) c= 4,36. Per tant, un 3,8% de la dieta ha de contenir el producte P, un 34,95% el producte Q i un 33,87% el producte R, sent el seu cost unitari mínim de 4,36 u.m. 47 Com que les dues primeres restriccions estan saturades en l òptim deduïm que la dieta conté eactament un 3% de proteïnes i un 4% d hidrats de carboni. 46 Aquesta solució s ha obtingut també amb el programa SOLVER. És fàcil veure que aquest programa, encara que no lineal canònic, es pot transformar en lineal canònic. 47 Al ser les variables instrumentals tants per cent, el valor monetari del cost mínim és un cost unitari. 36

.4. Eercicis. Resol gràficament els programes no lineals: i. ma z= + y ii. ma z= y iii. min z= ( ) + ( y ) s.a: + y s.a: + 5y s.a: 3+ 5y 5 y + y, y, y, y. Prova que el programa: ma z= 3+ 4y y s.a: 4 5y, y malgrat tenir punts factibles, no té solució finita. 3. Troba gràficament els òptims dels programes lineals: i. ma z= 4 3y s.a: + 5y 5 3+ y 9 5y, y ii. min z=.5+ y s.a: 4+ y 5 + 4y 5 + 6y 6, y iii. min z= 3y s.a: + y + y 8. + y, y 4. Una empresa manufacturera fabrica i ven dos productes A i B. En el procés de fabricació intervenen dos inputs, I i J, i la taula: A B Disponibilitat I J 3 unitats 5 unitats 9 unitats unitat 3 unitats 9 unitats ens mostra les unitats de cadascun d ells que entren a formar part d una unitat de A i de B, aií com les seves disponibilitats. Llavors, si una unitat de A triga 6 hores en ser produïda i hores una de B, i es disposa d un màim de 44 hores de treball, calcula la producció òptima d aquests dos productes si cadascun d ells deia un benefici unitari de i 5 u.m. 37

5. Una companyia dedicada a la producció de coure industrial té dues refineries, R i T, que reben mineral en brut des de dues mines, M i N. Les dades d oferta diària màima de les mines, de les capacitats mínimes de processament diari de les dues refineries, aií com els costos de transport per tona de material venen donades per la taula: Costos R T Oferta M 3 u.m. 5 u.m. 4 tones N u.m. 9 u.m. 5 tones Capacitat 45 tones tones Amb aquestes dades, troba les tones a transportar diàriament de les mines a les dues refineries per tal de minimitzar el cost del transport. 6. Un inversor vol constituir una cartera d inversió en Borsa amb tres títols A, B i C, i la següent taula ens mostra els seus rendiments aproimats: A B C Rendiment 6,5% 4,5% 9% Aquest inversor disposa de. i un epert li ha aconsellat que no inverteii en A més de la meitat de la inversió total, i en B al menys 4.. Degut a que les accions de C tenen un risc més gran, li suggerei que la inversió en aquest sector no superi els.. Amb aquestes dades troba la distribució òptima de la cartera d inversió. 48 48 Guerrero Casas, F. Mª (994) Curso de optimización, pàgina 76. 38

SOLUCIONS:. i. El màim és (, ) amb valor màim associat. 4 4 ii. El màim és, 5 5 amb valor màim associat 4 5. 55 66 iii. El mínim és, 34 34 amb valor mínim associat 49 34.. Es pot provar que la funció objectiu s optimitza indefinidament seguint la direcció 3. positiva de l ei d ordenades. i. El màim és ( 6, ) amb valor màim associat 4. ii. El mínim és qualsevol punt del segment d etrems (, ) i associat.5. iii. El programa no té solució finita. 3,, amb valor mínim 4. Cal produir 35 unitats de A i 7 unitats de B, i els beneficis màims serien de.5 u.m. 5. Cal transportar diàriament 5 unitats de M a R, unitats de M a T i 5 unitats de N a T. El cost mínim del transport seria de.65 u.m. 6. L inversor ha d invertir 6. de la cartera en títols de tipus A, 4. en B i. en C. Els beneficis òptims de la cartera pugen a 7.5. 39

BLOC II: Anàlisi dinàmica 3. INTEGRACIÓ DE FUNCIONS REALS D UNA VARIABLE Entre d altres, les integrals ens permeten calcular àrees planes no lineals. Com a eemple il lustratiu, suposem que volem calcular l àrea A generada per la funció y= : Una manera de fer-ho és considerar una partició del interval [, ] en n subintervals de la mateia longitud, i les àrees per defecte ' A n i per ecés '' A n: Si n crei indefinidament, és a dir, si augmentem el nombre d intervals, es pot provar que: A A A i que en el límit ' n '' n A= lim A = A =. 49 n + 3 ' '' n lim n n + Com veurem tot seguit, problemes com aquest poden ser resolts fàcilment aplicant integrals definides sempre i quan la funció sota estudi tingui primitives (o antiderivades) com és el cas de la paràbola y=. 49 Aquesta forma d encarar el problema de les àrees no rectilínies ja era conegut pels antics grecs amb el nom de mètode d ehaustió. 4

3.. Integral indefinida d una funció 3... Primitiva d una funció En aquest bloc veiem com calcular les integrals més bàsiques, donant un cop d ull a algunes de les seves aplicacions al càlcul d àrees i a l Economia, i a utilitzar-les finalment per a resoldre certs tipus d equacions diferencials de primer i segon ordre. Des d un punt de vista informal podem dir que integrar una funció real d una variable és el contrari de derivar-la. 5 Per definició: Definició: Una primitiva d una funció d una variable y= f( ) és una altra funció F( ) tal que la seva derivada és f( ). En altres paraules: F'( ) = f( ). 5 Eemple: Prova que la funció F( ) = + és una primitiva de SOLUCIÓ: Evident ja que: 3 3 3 = + = =. 3 implica F' ( ) f( ) F f =. Val a dir que la primitiva d una funció no és única. En efecte: Propietat: Si F ( ) i F ( ) són primitives d una mateia funció y f( ) d eistir una constant C R tal que F = F + C. =, necessàriament ha Notem que en el cas anterior tota primitiva de F f 3 = + C, amb C R. 3 = seria del tipus: 5 Entre les aplicacions més importants de la integral cal destacar el càlcul d àrees planes determinades per funcions. Ho veiem més endavant. 5 Les primitives s anomenen també antiderivades. 4

3... Integral indefinida d una funció. Integrals immediates i propietats La propietat anterior justifica la definició d integral indefinida: Definició: La integral indefinida (integral a partir d ara) de y= f( ) és igual a l epressió: 5 f( ) d= F( ) + C on F( ) és la primitiva de f( ) i C Rés una constant. Eemple: Donada la funció f( ) i. La seva integral indefinida. = determina: ii. La primitiva que passa pel punt de coordenades (, ). SOLUCIÓ: i) Ja que la funció F( ) = ln és una primitiva de f( ) ii) Volem trobar la primitiva d= f( ) d= F( ) + C = ln+ C. = tenim: y= ln+ C que passa pel punt (, ). Per tant: ( y) la primitiva que passa pel punt implica,, ln = = + C = C, és la funció y= ln+. Gràficament: 53 5 Aquest simbolisme té a veure amb el concepte d integral definida. 53 Des d un punt de vista geomètric tota integral indefinida és una família de corbes del pla. 4

3... Integrals immediates Per tal de calcular integrals indefinides és essencial tenir present la següent llista de integrals immediates, que són les integrals que s obtenen directament a partir de la pròpia definició: a. a d= a+ C, per a tot a R b. c. a+ a d= + C, per a tot a a+ d= d= ln+ C a d. a d= + C, per a tot a> lna e. sind= cos+ C f. cosd= sin+ C cos g. d= + tan d= tan+ C h. d= arctan+ C + Malauradament el càlcul d integrals no admet quelcom de semblant a la regla de la cadena i aiò fa que no totes les funcions elementals tinguin una primitiva epressable a partir d altres funcions elementals. 54 Casos aií serien, per eemple: sin d i e d. Aií doncs, estem obligats a integrar cada tipus de funció emprant tot un seguit de mètodes d integració específics. De fet, l objectiu fonamental d aquest tema és estudiar-ne els més senzills. 54 Una funció elemental és aquella que es pot epressar a partir d una quantitat finita de eponencials, logaritmes, potències, sinus, cosinus, tangents i constants mitjançant la composició de funcions, i utilitzant les quatre operacions fonamentals de l aritmètica. 43

3... Propietats de les integrals indefinides A partir d ara caldrà tenir present les següents propietats de les integrals indefinides: Propietats: f d = f + C. a. ' ( f + g ) d= f( ) d+ g( ) d. b. f d, per a tot λ R. c. λ f( ) d= λ d. Integració logarítmica: f' ( ) d = ln f ( ) + C. 55 f( ) Eemple: Calcula les integrals indefinides: 56 4 3 i. d ( 7 + 5) d ii. d iii. iv. tand + SOLUCIÓ: i) Aplicant les propietats anteriors tenim que: ii) De forma anàloga: 5 4 7 + 5 d= d 7 d+ 5 d= 7 + 5 + C. 5 4 4 3 4 3 ( /) + + d= d= + C = + + C ( /) + + 3. iii) Gràcies a la integració logarítmica tenim que: {( ) } ( ) d d = = + ' = = ln + + C + + iv) Com en el cas anterior: sin sin tand= d= d= {( cos ) ' = sin} = lncos+ C cos cos. 55 De fet aquesta propietat es pot veure com un mètode d integració específic. 56 Integrals com aquestes solen rebre el nom d integrals quasi immediates ja que s obtenen al generalitzar la taula d integrals immediates. 44

3.. Mètodes d integració 3... Integració per parts. Diferencial d una funció en un punt Recordem que la derivada d una funció y= f( ) era el límit: Utilitzant increments: podem epressar la derivada com: f' ( + ) f h f = lim. h h h= i f( ) = f( + ) f( ) ( + ) f h f f df f' ( ) = lim = lim = { Definició} = h h d Doncs bé, la diferencial de la funció és igual a la epressió: ' df = f d. 57. Com a propietat interessant que relaciona els conceptes d integral indefinida i diferencial tenim que les operacions d integració i de diferenciació són inverses una de l altra en el sentit que: df ( ) = f ( ) + C. 58 El mètode d integració per parts es basa en el concepte de diferencial d una funció i ens diu que: Propietat: Si u u( ) i v v( ) = = són dues funcions reals derivables aleshores: u dv= u v v du. 57 Val a dir que la diferencial d una funció en un punt ens permet aproimar el valor de la funció al voltant d aquest punt a partir de la recta tangent associada. El concepte de diferencial va ser introduït per W.G. Leibniz al segle XVII 58 Aquest resultat és una conseqüència directa de la definició de diferencial i de la propietat (a) de la plana anterior. 45

3... Aplicacions del mètode d integració per parts I a. k p e d, amb k R i p polinomi. Aquesta integral es pot resoldre fent u= p( ) i k dv= e d. Eemple: Calcula les integrals: i. SOLUCIÓ: i) e d ii. d. e Diferenciant u= du= d= d e d= e e d Integrant = = dv= e d v= dv= e d= e = e e + C = e + C. Diferenciant u du d = = ii) e d= e e d Integrant = + = dv= e d v= dv= e u Diferenciant = = = = e + e + e d = Integrant ( ) = e + + du d dv= e d v= dv= e +C. b. p( )lnd, amb p( ) polinomi. Aquesta integral es pot resoldre fent u = ln i dv= p( ) d. Eemple: Calcula les integrals: i. lnd ii. SOLUCIÓ: lnd. Diferenciant d u= ln du= i) lnd = = ln d= ln + C. Integrant dv= d v= dv= d= Diferenciant d 3 3 3 u= ln du= ii) lnd= = ln d ln C. Integrant 3 3 = + 3 3 9 dv= d v= /3 46

3... Aplicacions del mètode d integració per parts II c. p( ){ sin,cos} d, amb p polinomi. Aquesta integral es pot resoldre fent u= p( ) i { sin,cos } dv= d. Eemple: Calcula les integrals: i. cosd ii. ( + ) sind. SOLUCIÓ: Diferenciant u= du= d i) cosd= sin sind Integrant = = dv= cosd v= sin = sin+ cos + C. Diferenciant u= + du= d ii) ( + ) sind= Integrant = ( + ) cos+ cosd= dv= sind v= cos Diferenciant u= du= d = Integrant = dv= cosd v= sin ( ) cos ( sin sind) = + + = ( ) = + cos+ sin+ cos+ C= cos+ sin + C. e d. ± d. { sin,cos } Aquesta integral es pot resoldre fent u { sin,cos} = i ± dv e d =. Eemple: Calcula la integral cos e d. SOLUCIÓ: Anomenen I= e cosd. Aleshores: Diferenciant cos u= cos du= sind I= d= e cos e sind Integrant = = e dv= e d v= e Diferenciant u= sin du= cosd = e cos e sin e cos d. Integrant = + dv= e d v= e Conseqüentment: implica e sin cos I= e cos ( e sin+ I) I= + C. 59 59 Fiem-nos en la circularitat del procés de resolució d aquesta integral. 47

3... Integració per substitució o canvi de variable Aquest altre mètode es basa en el concepte de canvi de variable. En poques paraules, introduir un canvi de variable en una integral: f( ) d consistei, bàsicament, en substituir la variable per una nova variable t a partir d una equació de la forma: = ϕ( t), on ( t) ϕ és una funció derivable respecte t. 6 Com que: Diferenciant ϕ' = ϕ t d= t dt tindrem que: ( t) ' = ϕ f( ) d= = f( ϕ( t) ) ϕ' ( t) dt= g( t) dt d= ϕ t dt. Si aquesta darrera integral, que depèn de la variable t, es pot resoldre, també es podrà fer amb la inicial que depèn de tot desfent el canvi de variable. Vegem un eemple: Eemple: Calcula la integral: aplicant el canvi de variable: ( ) = t. SOLUCIÓ: En aquest cas l equació del canvi de variable seria: Aií doncs: d t ϕ t t implica = = = +. = ϕ t = t+ d= = t+ tdt= t+ t dt= t + t d= d= dt= dt 5/ 3/ t t 5/ 3/ = + + C= { t= } = ( ) + ( ) + C. 5/ 3/ 5 3 / 3/ / ( ) ( ) 6 També cal que sigui una funció bijectiva respecte t per poder desfer el canvi. 48

3.3. Integral definida d una funció 3.3.. Integral definida d una funció i propietats Donada una funció real contínua definida sobre un interval tancat: 6 i amb la restricció de positivitat : y= f( ), amb a b f( ), per a tot a b resulta doncs que la integral definida de f( ) entre els punts a i b, que denotarem per: b a f d ens mesura l àrea A compresa entre l ei d abscisses, la funció i les dues rectes verticals = a i = b. Gràficament: Aií doncs, posarem: A b = f( ) d. 6 a Com tindrem ocasió de comprovar, la restricció de positivitat de la funció no és un obstacle a l hora de calcular àrees determinades no rectilínies aplicant la integral definida. 6 Les integrals definides sobre funcions contínues s anomenen integrals de Cauchy. 6 La definició formal de integral definida es pot trobar en qualsevol manual de càlcul al ús. 49

3.3... Propietats de la integral definida Propietats: En general: b b b ( f + g ) d= + a. f d g d a a a b b. λ f( ) d= λ a a c. f( ) d= a a d. f( ) d= b b a b a f d f d b c b f d f d f d, per a tot a c b e. = + a a c b f d a implica f. Per a tot [ a, b], f( ) D aquestes propietats es desprèn el fet que si una funció contínua y= f( ) és negativa entre = a i = b, l àrea A que determina amb l ei d abscisses com, per eemple: serà igual al valor oposat al de la integral definida: b b a. 63 A= f d = f d= f d a a b 63 Per tant, i com a mesura de precaució, si volem aplicar la integral definida per a calcular àrees caldrà considerar el valor absolut. 5

3.3.. Teorema fonamental del càlcul integral. Regla de Barrow Val a dir que el procés geomètric de càlcul de la integral definida que es desprèn de la seva definició (mètode d ehaustió) no és el que es seguei habitualment. 64 En el seu lloc s utilitza una propietat fonamental que relaciona la integral definida amb la indefinida i que, per la seva transcendència, enunciem aquí amb un cert detall. Definició: La funció integral d una funció contínua y= f( ) és, per definició, la funció real de variable real: definida per a tot a b. F b a = a f t dt Gràficament, la funció integral seria: El teorema fonamental del càlcul integral ens diu que: Teorema: La funció integral d una funció real de variable real y= f( ) contínua és una de les seves primitives. En altres paraules: df b a d = f. 64 Veure la plana 4. 5

3.3... Regla de Barrow La regla de Barrow, que s obté directament del teorema anterior, ens permet calcular la integral definida d una funció contínua sempre i quan tingui primitiva. 65 En efecte: Propietat: Si F( ) és una primitiva de la funció contínua y f( ) b b f( ) d= F( b) F( a) = F( ). 66 a a ( = llavors: Vegem un eemple d aplicació: Eemple: Calcula la integral definida π / π / cos d sin SOLUCIÓ: Com que la integral indefinida de la funció f( ) ( cos ) cos = és: sin cos d d = = ln sin + = sin sin deduïm, aplicant la regla de Barrow, que: Primitiva ( ) C F( ) ln( sin) = ln sin = ln sin ln sin = ln3. π/ cos d π/ π π ( ( ) π/ sin π/ En aquest cas, al ser f positiva entre π / i π /, la integral definida coincidei amb l àrea A que determina la funció amb l ei d abscisses. Gràficament: 65 Malauradament si una funció no té primitiva epressable, la regla de Barrow no es pot aplicar. 66 La segona de les igualtats és un simbolisme que ens indica que s està aplicant la regla de Barrow amb la primitiva que hi aparei. 5

3.4. Aplicacions de la integral definida 3.4.. Aplicacions mètriques: càlcul d àrees a. Es tracta de calcular l àrea A determinada per: En aquest cas = + = + = + c b c b. A A A f d f d f d f d a c a c Eemple: Troba l àrea A que determina ln f = entre =, = 4 i l ei d abscisses. SOLUCIÓ: Ja que la funció és negativa entre i, i positiva a partir de, l àrea A serà: Aií doncs, com que: deduïm que: 4 A ln = d + ln d. Diferenciant d u= ln du ln d = = = ln d= ln + C Integrant dv= d v= 4 4 A= ln d + ln d= ln + ln = 4 = ( ln ) ln + 4 ln 4 ( ln ) = 3ln. 53

b. Es tracta de calcular l àrea A tancada entre dues funcions: En aquest cas b ( ). 67 A= f g d = f g d a b a Eemple: Calcula l àrea tancada per la paràbola y = + i la recta y 3 + =. SOLUCIÓ: Aquestes dues funcions es tallen en els punts d abscissa = i = ja que: = + y y= 3 implica implica Solució + = + = = Per tant l àrea A que ens demanen serà: 3,. (( ) ( 3 )) A= + d. Com que la integral indefinida associada és immediata, podem escriure directament que: ( ) 3 A= + 3 d= + d= + = 3 ( ) ( ) 3 3 9 9 = + + ( ) = =. 3 3 67 Per precaució, considerarem el valor absolut de la integral definida de la diferència de les dues funcions, la qual cosa ens estalvia de saber quina d elles és la més gran. 54

c. Es tracta de calcular l àrea A determinada per dues funcions consecutives: En aquest cas A= A + A = + c f d g d. a b c Eemple: Calcula l àrea que determina la funció: f +, < = cos, amb l ei OX entre els punts = i = π /. SOLUCIÓ: Com podem veure es tracta d una funció positiva entre = i = π /, i que canvia de definició en. Aií doncs, l àrea A que ens demanen serà igual a: Com que: hom deduei que: π / π / + A= f d= d+ d cos. + d d C = + = ln( ) + i cosd sin π / = + C + π / A= d+ cosd= ( ln( ) + ( sin] = π = ( ln( ) ) ( ( ) ln( ( ) )) + sin sin = = ln + = ln4. 55