Problemas - Aeronaves

Chapter Problemas - Aeronaves. Problema A. Se considera una avioneta con tren fijo en vuelo simétrico, sin balance, en un plano vertical, conla atmósfera en calma, a un nivel de vuelo dado y en configuración de crucero (flaps sin deflectar). Se supone que la polar es parabólica de coeficientes constantes y que el empuje suministrado por el motor no depende de la velocidad de vuelo. Se pide:. Calcular la eficiencia aerodinámica máxima, E max, y el coeficiente de sustentación óptimo,c Lopt.. Calcular la velocidad (o velocidades) y el coeficiente de sustentación correspondiente en vuelo horizontal, rectilíneo y uniforme. 3. Calcular el ángulo mínimo de planeo y la velocidad de vuelo correspondiente si se produce una parada del motor. Datos: masa, m = 950 kg; superficie alar, S = 4.7 m ; coeficiente de sustentación máximo (sin deflectar flaps), C Lmax =.3; coeficientes de la polar (en configuración de crucero), C D0 = 0.03, k = 0.073; empuje suministrado (al nivel de vuelo), T M = 00 N; densidad del aire, ρ =. kg/m 3... Resolución del Problema A. Apartado La eficicnecia aerodinámica máxima E max viene dada por el valor máximo de C L C D. La relación max aerodinámica a la que se produce la eficiencia máxima se puede obtener : E max = C L C D max d C L C D dc L = C D 0 + kc L C L (kc L ) (C D0 + kc L ) = 0 C D0 + kc L kc L = 0 C D0 = kc L = C Di Lo que indica que para poder volar con E max es necesario que el coeficiente de resistencia parasitaria, C D0 sea igual a la resistencia inducida, C Di. A partir de la definición de la resistencia inducida se puede obtener la deficinición del C Lopt C Di = kc L C L opt = CDi k = CD0 por lo que la relación de la eficiencia máxima se puede escribir como: E max = C CDi L CDi k k C D = C D0 +C Di = = max C D0 kc D0 k

y para los datos de avión descritos para este problema: C Lopt = E max = CD0 = k = kc D0 0.03 0.073 = 0.64 0.073 0.03 = 0.68 Apartado Para el cálculo de la velocidad (o velocidades) y el coeficiente de sustentación correspondiente en vuelo horizontal, rectilíneo y uniforme partimos de las ecuaciones del movimiento g g dh dt = + L cos γ + T sin (γ + α α T ) D sin γ dx dt = T cos (γ + α α T ) L sin γ D cos γ (.) las cuales se simplifican para el vuelo en crucero, situación conocida como vuelo rectilíneo horizontal simétrico y estacionario, donde las aceleraciones horizontales y verticales son nulas con lo que las ecuaciones. se reducen a 0 = L cos γ + T sin γ + α α T D sin γ 0 = T cos γ + α α T L sin γ D cos γ el ángulo de ataque, α, y el que forma el eje del motor con la dirección de la cuerda del ala, α T, son generalmente pequeños. Si el avión está en lo que se conoce como vuelo en crucero, lo que implica volar a altura constante, eso implica que γ = 0, por lo que las ecuaciones?? se reducen a L = (.) D = T (.3) Es decir, en vuelos de crucero a velocidad constante (ó casi constante) la sustentación aerodinámica es igual al peso del avión, y la resistencia aerodinámica igual al empuje del motor o motores del avión, donde la sustentación y la resistencia vienen dados por la relación L = ρv SC L = (.4) D = ρv SC D = ρv S (C D0 + C Di ) = ρv S ( C D0 + kc L) = T (.5) de la primera ecuación podemos obtener una relación para substituir C L en la segund ecuación tal que C L = ρv S T = ρv S ( C D0 + kcl ) = ρv SC D0 + k ρsv la cual da una ecuación cuártica para resolver la velocidad que satisface la condición de vuelo simétrico vertical tal que V 4 T ρsc D0 k + ( ) ρs C D0 = 0 para poder obtener las raices de la ecuación elegimos

de donde se resuelve para las velocidades a = b = ˆV = V T ρsc D0 k ( ) ρs C D0 ˆV a ˆV + b = 0 ˆV = a ± ( a) 4b recordando que ˆV = V V = ˆV, por lo que a ± ( a) 4b a ± ˆV = V = ± ρsc D0 [T ± ] T 4C D0 k V = ± ρsc D0 = ± ( a) 4b [T ± T 4C D0 k ] ρsc D0 las dos soluciones asociadas al signo negativo no son válidas por lo que solo se consideran las dos soluciones asociadas a V = [T ± T 4C D0 k ] ρsc D0 la cual se puede reescribir como T V = S ρc D0 ± 4kC D 0 ( ) T para los datos del problema resulta que las velocidades son: m = m g 950 kg 9.8 S S = s 4.7 m = 633.98 N m T = 00 N 950 kg 9.8 m = 0.8 s V = T S ρc D0 ± 4kC D 0 ( ) T V = 6.8 m/s V = 6.7 m/s es necesario determinar si las dos velocidades son viables para volar, y para ello hay que utilizar el dato del coeficiente de sustentación máximo, C Lmax. No hay que confundir el C Lmax con el C Lopt. El primero es un indicativo de cual es la velocidad mínima a la que puede volar el avión., mientras 3

qu el segundo es el asociado al coeficiente de sustentación para mínimo empuje (máxima eficiencia aerodinámica). Para calcular la velocidad mínima de vuelo se utiliza la expresión de la sustentación, y se utiliza para calcular la velocidad mínima a la que se puede soportar el peso () del avión L = = ρv SC L V min = V s = ρsc Lmax = 8.5 m/s donde se ve que la velocidad más pequeñas de las dos calculadas no es viable ya que es inferior a la velocidad mínima, por lo que solo V = 6.8 m/s es válida. Apartado 3 El cálculo del ángulo mínimo de planeo y la velocidad de vuelo correspondiente si se produce una parada del motor corresponde a las ecuaciones de subida y descenso que vienen dadas por L = T = cos γ D + sin γ T = 0 L = cos γ D = sin γ por conveniencia asuminos que para descenso, gamma es positivo por debajo del plano horizontal por lo que tenemos L = cos γ D = sin γ para obtener el ángulo de planeo dividimos ambas expresion D L = C D C L = tan γ γ = arccos C D C L de donde se deduce que para volar con míonimo ángulo de ataque se tiene que volar con máxima eficiencia aerodinámica, es decir γ = arccos C D C L = arccos E max pero para ángulos pequeños (γ en radianes) podemos asumir que tan γ γ por lo que γ = = = 0.0936 rads = 5.36 E max 0.68 La velocidad de vuelo correspondiente al vuelo en planeo con mínimo ángulo se corresponde con la velocidad de vuelo óptima con C Lopt V γmin = ρsc Lopt = 40.63 m/s 4

. Problema A.3 Se considera un avión de peso, superficie alar S y polar parabólica. Cuando está volando a una altura H = 0000m se le paran todos los motores y tiene que bajar planeando. Hay un aeropuerto situado a 50 km y el piloto intenta llegar a él descendiendo con el mínimo ángulo posible. Despreciando la variación de la densidad del aire ρ con la altura (por simplicidad, ya que no es una hipótesis muy realista), y la del peso con el consumo de combustible, se pide:. Determinar el mínimo ángulo de descenso.. Analizar si el avión podrá alcanzar el citado aeropuerto. 3. Calcular la velocidad de vuelo del avión durante el planeo. Datos: peso = 660000N; superficie alar S = 0m ; coeficientes de la polar C D0 = 0.08, k = 0.04; densidad del aire ρ =.kg/m 3... Resolución del Problema A.3 Apartado El cálculo del ángulo mínimo de descenso si se produce una parada del motor corresponde a las ecuaciones de subida y descenso que vienen dadas por L = cos γ D = sin γ para obtener el ángulo de planeo dividimos ambas expresion D L = C D C L = tan γ γ = arccos C D C L de donde se deduce que para volar con míonimo ángulo de ataque se tiene que volar con máxima eficiencia aerodinámica, es decir γ = arccos C D C L = arccos E max pero para ángulos pequeños (γ en radianes) podemos asumir que tan γ γ por lo que γ = E max donde la eficiencia aerodinámica máxima viene dada por máxima E max viene dada por el valor máximo de C L C D. La relación aerodinámica a la que se produce la eficiencia máxima se puede max obtener : ( ) CL E max = C L d C D = C D 0 + kcl C L (kc L ) = 0 C D dc L (C D0 + kcl ) max C D0 + kc L kc L = 0 C D0 = kc L = C Di Lo que indica que para poder volar con E max es necesario que el coeficiente de resistencia parasitaria, C D0 sea igual a la resistencia inducida, C Di. A partir de la definición de la resistencia inducida se puede obtener la deficinición del C Lopt 5

C Di = kc L C L opt = CDi k = CD0 por lo que la relación de la eficiencia máxima se puede escribir como: k E max = C L = max C D CDi k C D0 +C Di = CDi k C D0 = kc D0 por lo que γ = = kc D0 = 0.05366 rads = 3.07 E max Apartado Para anlizar si el avión será capaz de alcanzar el aeropuerto que se encuentra a 50 km basta con analizar trigonométricamente el problema teniendo en cuenta el ángulo de planeo mínimo calculado en el apartado anterior tal como se indica en la figura. Figure.: Maniobra de acercamiento sin motor. x = H 0 km = = 86.4 km tan γ min 0.05366 por lo que el avión será capaz de recorreo 86.4km, y como el aeropuerto está a 50km si que llegará. Apartado 3 Para calcular la velocidad de vuelo del avión durante el planeo utilizamos 6

L = L ρv SC Lopt L = cos γ min cos γ min V = ρv = 6.8 m/s SC Lopt 7

.3 Problema A.4 Se considera una avioneta acrobática efectuando un looping (vuelo simétrico, sin balance, con el centro de masas describiendo una circunferencia de radio R en un plano vertical, con velocidad constante V ), con la atmósfera en calma, a un nivel de vuelo dado. Se supone que la polar es parabólica de coeficientes constantes y que las variaciones de densidad durante el looping son despreciables. Se pide:. Calcular el factor de carga, n, y el coeficiente de sustentación, C L, en un punto genérico del looping.. Determinar el factor de carga máximo y el punto de la trayectoria en el que se produce. 3. Si sólo existiesen limitaciones aerodinámicas, calcular la velocidad mínima V min a la que es posible realizar el looping de radio R. 4. Hacer aplicación numérica al caso definido por los datos siguientes: Datos: masa, m = 950 kg; superficie alar, S = 4.7 m ; coeficiente de sustentación máximo (sin deflectar flaps), C Lmax =.3; coeficientes de la polar (en configuración de crucero), C D0 = 0.03, k = 0.073; densidad del aire, ρ =. kg/m 3 ; velocidad de vuelo V = 70m/s; radio del looping, R = 66.5m..3. Resolución del Problema A.3 Figura. representa una avioneta acrobática efectuando un looping Figure.: Avioneta acrobática efectuando un looping. Apartado Para el análisis del problema es necesario el emplear las ecuaciones del viraje circular uniforme que son las asociadas a realizar un looping (vuelo simétrico, sin balance, con el centro de masas describiendo una circunferencia de radio R en un plano vertical, con velocidad constante V ) vienen dadas por 8

T D sin γ = 0 L cos γ = g para un viraje uniforme con el centro de masas describiendo una circumferencia de radio R implica que la velocidad angular es constante, ω = γ = const donde la velocidad angular viene dada por ω = V. el factor de carga viene dado por el ratio entre la sustentación y la resistencia, por lo que R si seleccionamos la segunda de las ecuaciones y la dividimos por nos resulta en empleando la definición L = cos γ+ g L V R = n = cos γ+ V γ = V R t tenemos que podemos representar el factor de carga en un punto genérico del looping como Rg ( ) V n = cos R t + V Rg Para poder expresar el coeficiente de sustentación C L en un punto genérico del looping se emplea la deficición de sustentación tal que L = ρv SC L n = L = cos ( V R t) + V Rg C L = ρv S cos ( V R t) + ρrgs V R ρv SC L ( ) V = cos R t + V Rg con lo que tenemos las relaciones del factor de carga, n, y el coeficiente de sustentación, C L, en un punto genérico del looping Apartado Para determinar el factor de carga máximo y el punto de la trayectoria en el que se produce analizamos la relación que nos define el factor de carga en función del ángulo γ en cada uno de los 4 puntos definidos en la figura. n = cos γ + V se observa que dado que la velocidad V y el radio de giro R son constantes, el valor máximo del factor de carga se dará cuando el término cos γ sea máximo en el punto a cos γ = cos (0) = en el punto b cos γ = cos (90 ) = 0 en el punto c cos γ = cos (80 ) = en el punto d cos γ = cos (70 ) = 0 por lo que el factor de carga máximo se encuentra en la parte inferior del looping (a), y su valor máximo es Rg n max = + V Rg 9

Apartado 3 Para calcular la velocidad mínima V min a la que es posible realizar el looping de radio R, teniendo en cuenta que sólo existiesen limitaciones aerodinámicas, es decir no hay limitaciones estructurales del avión, es necesario determinar el C Lmax del avión partiendo de la formula genérica del coeficiente de sustentaciópn obtenida en el primer apartado C L = ( ) V ρv S cos R t + ρrgs = ρv cos (γ) + S ρrgs donde se puede observar que el valor máximo de sustentació ocurre al igual que para el factor de carga, en el punto inferior del looping, para el que γ = 0 y t = 0, por lo que C Lmax = ρv S + ρrgs de donde se puede obtener una relación para la V min V min = ρsc Lmax gr la cual determina la velocidad de entrada en perdida para un factor de carga máximo Apartado 3 Para calcular la velocidad mínima V min a la que es posible realizar el looping de radio R, teniendo en cuenta que sólo existiesen limitaciones aerodinámicas, es decir no hay limitaciones estructurales del avión, es necesario determinar el C Lmax del avión partiendo de la formula genérica del coeficiente de sustentaciópn obtenida en el primer apartado Apartado 4 C L = ( ) V ρv S cos R t + ρrgs = ρv cos (γ) + S ρrgs Para hacer una aplicación numérica al caso definido por los datos siguientes se utilizan las ecuaciones resultantes de las diferentes secciones previas ( ) V n = cos R t + V Rg ) C L = ρv S cos ( V R t + ρrgs 0

.4 Problema A.5 Se considera un avión realizando un viraje horizontal uniforme con resbalamiento. Se pide:. Plantear las ecuaciones correspondientes, siendo φ el ángulo de balance y β el de resbalamiento.. Haciendo β = 0 obtener las ecuaciones del viraje sin resbalamiento ( viraje coordinado ). 3. Haciendo φ = 0 obtener las ecuaciones del viraje sin balance ( viraje plano ). 4. Calcular y comparar los radios de giro en los casos y 3, para una misma velocidad de vuelo V, suponiendo φ = β..4. Resolución del Problema A.5 Figuras.3 y.4 un avión realizando un viraje horizontal uniforme con resbalamiento. Figure.3: Avioneta acrobática efectuando un looping. Apartado Las ecuaciones del movimiento para el viraje horizontal uniforme vienen dadas por Fxv = 0 Fyv = m V Fzv = 0 R las cuales se escriben como

Figure.4: Avioneta acrobática efectuando un looping. T cos β = D L sin µ + T sin β = g L cos µ = V R Apartado Para el caso de β = 0, es decir en el que no existe resbalamiento, y el sistema de referencia del avión apunta en la misma dirección que el vector velocidad las ecuaciones del movimiento para el viraje coordinado se rescriben como: T = D L sin µ = g L cos µ = V R donde se observa que la componente L sin µ es la encargada de curbar y mantener la trayectoria Apartado 3 Para el caso de φ = 0, es decir en el que el avión se mantiene nivelado con el plano horizontal, las ecuaciones del movimiento para el viraje plano se rescriben como: T cos β = D T sin β = g L = V R donde se observa que es la componente de T sin β la encargada de curvar la trayectoria

Apartado 4 Para calcular y comparar los radios de giro en los casos y 3, para una misma velocidad de vuelo V, y suponiendo φ = β, es necesario comparar las ecuaciones de ambos caso, las cuales se reproducen T = D L sin µ = V g R µ L cos µ = T cos β = D T sin β = V g R β L = donde R µ representa el radio de giro para β = 0, y R β representa el radio de giro para µ = 0. Para poder comparar expresamos los diferentes radios en función de el resto de variables seleccionando las ecuaciones en F yv R µ = g V L sin µ R β = g V T sin β donde de la primer ecuación para µ = 0 podemos derivar una expresión del empuje en función del ángulo de resbalamiento T = D cos β R β = g V D tan β si dividimos ambos radios nos resulta en la siguiente relación R β R µ = g D tan β V g L sin µ V = L sin µ D tan β si tomamos la hipóteis de φ = β entonces tenemos que R β R µ = L sin µ D tan β L D y como L D entonces R β R µ, por lo que en general los radios de giro en viraje plano son muy grandes en comparación con los del viraje coordinado, que es como generalmente se realizan las maniobras. 3

.5 Problema A.6 Se pretende estimar la distancia recorrida en el suelo, y el tiempo empleado, en la maniobra de despegue de un avión, con la atmósfera en calma, para lo que se consideran las siguientes hipótesis simplificativas: la fase de rodadura se realiza con todas las ruedas en el suelo, la línea de acción del empuje es horizontal y pasa por el centro de masas del avión, el empuje suministrado por los motores no depende de la velocidad. Se pide:. Indicar esquemáticamente en la figura las fuerzas y momentos que actúan sobre el avión.. Plantear las ecuaciones del movimiento. 3. Calcular la velocidad de rotación del avión V R 4. Despreciando las fuerzas de rozamiento y la resistencia aerodinámica, plantear la ecuación que permite calcular la velocidad del avión V (t). 5. Obtener, a partir de la ecuación anterior, la distancia recorrida en el suelo y el tiempo empleado en función de la velocidad. 6. Aplicar el apartado anterior al caso de un avión Boeing 747, de masa M = 3 0 5 kg, de empuje máximo T = 6 0 5 N y con velocidad de despegue V LOF = 00m/s. Dato: aceleración de la gravedad, g = 0m/s..5. Resolución del Problema A.6 Figura.5 representa un avión en fase de rodadura. Apartado La figura.6 representan las fuerzas y momentos que actúan sobre el avión, donde hay que destacar que µ r es el coeficiente de rozamineto de las ruedas con el suelo. donde M A es el momento aerodinámico generado por el ala del avión. Apartado Las ecuaciones del movimiento vienen dadas por Fxv dv g dt = T D µ r (N + N ) Fyv L + (N + N ) = 0 Fzv M A + N x N x µ r (N + N ) z p = 0 de la segunda ecuacion podemos observar que N + N = (L ) 4

esta relación la podemos emplear en la primera ecuación para convertirla en g dv dt = T D + µ r (L ) utilizando las relaciones para la sustentación y la resistencia tenemos que g dv dt = T µ r ρv S (C D µ r C L ) utilizando el modelo de polar parabólica C D = C D0 + C Di = C D0 + kcl, y asumiendo que durante esta fase de despegue el ángulo de ataque α = θ = const, que el C L = const y que el C D = const por lo que la ecuación de la dinámica viene dada por g dv dt = T µ r ρv S ( C D0 + kc L µ r C L ) Apartado 3 Para calcular la velocidad de rotación, V R, es necesario el identificar que la rotación del avión se produce justo en el instante en el que las fuerzas normales en el tren de aterrizaje del morro del avión dejam de actuar, es decir N = 0. Por velocidad de rotación se considera la velocidad a la que el avión es capaz de pivotar sobre el tren de aterizaje posterior devido a las fuerzas aerodinámicas generadas por el avión en su fase de despegue. A partir de las ecuaciones generales del movimiento previamente derivadas, aplocamos N = 0 resultando en: Fxv dv g dt = T D µ rn Fyv L + N = 0 Fzv M A N x µ r z p N = 0 por lo que empleando las dos últimas ecuaciones tenemos que N = L M A + (L ) (x + µ r z p ) = 0 donde el momento aeordinámico y la sustentación vienen dados por M A = ρv ScC My L = ρv SC L por lo que la ecuación de los momentos puede rescribirse como ρv ScC My + ( ρv SC L ) (x + µ r z p ) si sumimos que C My (θ, δ e ) = const, es decir que tanto el ángulo de ataque (recordar que α = θen configuración de despegue justo antes a la rotación), y que el timón de profundidad (δ e ) se mantiene constante durante la maniobra de despegue, entonces podemos obterner una relación para la velocidad de rotación V R V R = (x + µ r z p ) ρs ( cc My + C L (x + µ r z p ) ) 5

Apartado 4 Despreciando las fuerzas de rozamiento y la resistencia aerodinámica, las ecuaciones del movimiento derivadas en la sección previa se reducen a g dv dt = T D µ r (N + N ) T D + µ r (N + N ) dv dt T g = const lo que implica que el avión se mueve aceleración constante, movimiento uniformemente acelerado, y esta es la ecuación diferencial que permite calcular la velocidad del avión en todo momento de la maniobra Apartado 5 Para obtener, a partir de la ecuación anterior, la distancia recorrida en el suelo y el tiempo empleado en función de la velocidad partimos de la ecuación diferencial y la manipulamos para opbtener la distancia recorrida y el tiempo empleado dv = T g dt dv = T g dt V = T g t por lo que obtenemos la relación del tiempo empleado como t = T g V para obtener la relación de la distancia recorrida empleamosla relación V = por lo que en forma integral tenemos Apartado 6 dx = T M tdt dx dt = T g t = T M t dx = T M tdt x = T M t Para aplicar el apartado anterior al caso de un avión Boeing 747, de masa M = 3 0 5 kg, de empuje máximo T = 6 0 5 N y con velocidad de despegue V LOF = 00m/s, utilizamos las ecuaciones previamente obtenidas t = x = T g V = M T V = 3 05 kg 6 0 5 00 m/s = 50 s N T M t = 6 0 5 N 3 0 5 kg 50 = 500 m 6

Figure.5: Avioneta acrobática efectuando un looping. 7

Figure.6: Avioneta acrobática efectuando un looping. 8