Continuidad y Continuidad Uniforme. Aplicaciones lineales continuas.

Continuidad y Continuidad Uniforme. Aplicaciones lineales continuas. Beatriz Porras 1 Límites Las definiciones de ĺımite de funciones de varias variables son similares a las de los ĺımites de funciones de una variable estudiadas en cursos anteriores, y de hecho la mayoría de las propiedades se demuestran de la misma manera, cambiando sólo los módulos de los números reales por las normas de los vectores en R n. Recordemos que una función f : (a, b) R tiene ĺımite L en un punto x 0 [a, b] si para todo ɛ > 0 existe un δ > 0 tal que si x (a, b) y 0 < x x 0 < δ entonces f(x) L < ɛ ɛ L δ x 0 Definición (Límite de una función en un punto). Sea A R n y x 0 un punto de acumulación de A. Sea F : A R m una función. Se dice que F tiene ĺımite cuando x tiende a x 0, si se verifica la siguiente condición: Existe y 0 R m de modo que para todo ɛ > 0 existe δ > 0 (que depende de ɛ) tal que si x A y 0 < x x 0 < δ entonces F (x) y 0 < ɛ Se escribe lim F (x) = y 0, y se dice que y 0 es el ĺımite de F cuando x tiende x x0 a x 0 1

A F ɛ x x 0 δ y 0 F (x) Observaciones: Una función sólo puede tener un ĺımite en un punto x 0, así que la definición de ĺımite es correcta (la demostración es análoga a la de la unicidad de los ĺımites de sucesiones). La definición anterior exige que el punto ĺımite sea un punto de R m, así que no incluye la posibilidad de que una función tienda a infinito. Para este caso, se da la siguiente definición, que sólo tiene sentido para funciones con valores reales: Definición (Límites infinitos). Sea A R n y x 0 un punto de acumulación de A; y sea f : A R. Se dice que el ĺımite de f cuando x tiende a x 0 es infinito si Para todo M > 0 existe δ > 0 tal que si x A y 0 < x x 0 < δ entonces f(x) > M Se escribe lim x x0 f(x) = Análogamente, se dice que el ĺımite es menos infinito si Para todo M > 0 existe δ > 0 tal que si x A y 0 < x x 0 < δ entonces f(x) < M Se escribe lim x x0 f(x) = Ejemplo 1. La función f(x, y) = 1 tiene ĺımite infinito en (0, 0) x2 + y2 2

Observaciones: En R n no existen los conceptos de ĺımite por la derecha o ĺımite por la izquierda, ya que alrededor de un punto x 0 no sólo hay izquierda y derecha, también habría arriba y abajo, y en diagonal. Definición (Límites en el infinito). Sea F : R n R m Se dice que F tiene ĺımite en el infinito y 0 R m si Para todo ɛ > 0 existe M > 0 tal que si x > M entonces F (x) y 0 < ɛ Se escribe lim x f(x) = y 0 Ejemplo 2. La función f(x, y) = 1 + e x 2 +y 2 tiene ĺımite 1 en el infinito Proposición. Sea A R n, x 0 un punto de acumulación de A, y F : A R m una función, F = (f 1,..., f m ). Son equivalentes: 1) lim x x0 F (x) = y 0 = (y 01,..., y 0m ) 2) Para cada i = 1,..., m la función f i verifica lim x x0 f i (x) = y 0i Demostración: se deduce trivialmente de las ecuaciones y ( n ) 1/2 F (x) y 0 = f i (x) y 01 2 i=1 f i (x) y 0i F (x) y 0 para todo i = 1... n A partir de ahora consideraremos sólo funciones con valores en R. Proposición (Caracterización de ĺımites por sucesiones). Sea A R n y x 0 un punto de acumulación de A; y sea f : A R. Entonces lim x x0 f(x) = y 0 si y sólo si para toda sucesión (x n ) n N de puntos de A \ x 0 que converja a x 0 se tiene que (f(x n )) n N converge a y 0 3

Demostración: Supongamos primero que f(x) tiende a y 0 cuando x tiende a x 0, y sea (x n ) n una sucesión contenida en A \ {x 0 } que tienda a x 0. Dado cualquier ɛ > 0, existe un δ > 0 tal que para todo x A con 0 < x x 0 < δ se tiene f(x) y 0 < ɛ. Dado ese δ > 0, existe un número natural n 0 tal que para todo n n 0 se tiene x n x 0 < δ, y como x n A \ {x 0 }, se tiene 0 < x n x 0 < δ. Luego estamos en las condiciones de la frase anterior, y se tiene que f(x n ) y 0 < ɛ En consecuencia (f(x n )) n tiende a y 0. Recíprocamente, supongamos ahora que lim x x0 f(x) y 0. Entonces existe un número ɛ > 0 tal que para todo δ > 0 hay puntos x A con 0 < x x 0 < δ pero f(x) y 0 > ɛ Tomamos entonces δ = 1/n, y para cada n N tiene que existir un x n con 0 < x n x 0 < 1/n pero f(x n ) y 0 > ɛ. Así construimos una sucesión (x n ) n de puntos de A \ {x 0 } que converge a x 0 y tal que la sucesión de las imágenes (f(x n )) n no tiende a y 0. Utilizando esta caracterización por sucesiones, y las propiedades de los ĺımites de sucesiones de números reales, se deducen fácilmente las siguientes propiedades: Proposición. Sea A R n, x 0 Ac(A), y sean f : A R y g : A R dos funciones tales que lim x x0 f(x) = y 0 y lim x x0 g(x) = z 0. Entonces: a) lim x x0 (f + g)(x) = y 0 + z 0 b) Para todo α R, lim x x0 (αf)(x) = αy 0 c) lim x x0 (fg)(x) = y 0 z 0 ; d) Si z 0 0 también lim x x0 (f/g)(x) = y 0 /z 0 Para los ĺımites infinitos y ĺımites en el infinito se tienen propiedades análogas, teniendo en cuenta el álgebra de R = R {, } 2 Funciones Continuas Definición (Función Continua). Sea A R n y x 0 un punto de A. Sea F : A R m una función. Se dice que F es continua en x 0 si se verifica la siguiente condición: Para todo ɛ > 0 existe δ > 0 tal que para todo x A con x x 0 < δ se tiene F (x) F (x 0 ) < ɛ Dado un conjunto B A, se dice que F es continua en B si lo es en cada punto de B. Y se dice simplemente que F es continua si lo es en A. Como en el caso de los ĺımites de verifican las siguientes propiedades: 4

Proposición. Sea A R n, x 0 un punto de A, y F : A R m una función, F = (f 1,..., f m ). Son equivalentes: 1) F es continua en x 2) Para cada i = 1,..., m la función f i es continua en x Proposición. Sea A R n, x A, y f : A R. Son equivalentes: a) f es continua en x b) Para toda sucesión (x n ) n en A que converja a x, la sucesión (f(x n )) n converge a f(x) Observaciones: Restricciones Sean ahora A R n, y f : R n R. Utilizando la topología en A como subespacio de R n, definimos la restricción de f a A, f A : A R de modo que f A (x) = f(x) para todo x de A. Si f : R n R es continua en A, entonces la restricción f A es continua. Sin embargo el recíproco no es cierto: basta considerar como ejemplo la función { 1 si x 0 f(x) = 0 si x < 0 y A el conjunto A = [0, 1]; es evidente que f A (x) = 1 para todo x A es continua, y sin embargo f no es continua en 0 A. Proposición. Sean A R n, y f : R n R. a) Si f es continua en x 0 A, la restricción f A es continua en x 0. b) Si f A es continua en un punto x 0 A 0, entonces f es continua en x 0. c) Si f A es continua, y A es abierto, entonces f es continua en A Proposición (Composición de funciones). Sean A R n, F : A R m, g : F (A) R y h = g F a) Si F es continua en x 0 A, y g es continua en F (x 0 ), entonces h es continua en x 0 b) Si F y g son continuas, h es continua. Además se tienen las siguientes propiedades: Proposición. Sean A R n, y f y g dos funciones de A en R continuas en x 0 A. Se tiene: 1) f + g es continua en x 0 2) α en R, αf es continua en x 0 3) fg es continua en x 0 4) Si además g(x 0 ) 0, también f/g es continua en x 0. 5

Observaciones: Los resultados son ciertos para continuidad en todo A, teniendo en cuenta que para el cociente de funciones habrá que pedir que sea g(x) 0 para todo x A Ejemplo 3. 1. Las funciones constantes son continuas. 2. Las proyecciones p i : R n R, definidas por p i (x) = x i, son continuas. 3. Las inclusiones I i : R R n, definidas por I i (x) = (0,..., x (i),..., 0) son continuas. 4. Cualquier función lineal f : R n R, f(x 1,..., x n ) = a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n es continua. Cualquier función lineal F : R n R m es continua. Cualquier función polinómica f(x 1,..., x n ) = a 1 x 1 + + a n x x + a 11 x 2 1 + a 12 x 1 x 2 + + a nn x 2 n + +... es continua. 5. La función f(x, y) = es continua en R 2 \ {(0, 0)} { x 2 x 2 +y 2 si (x, y) 0 0 si (x, y) = (0, 0) 3 Técnicas de estudio de ĺımites y continuidad. Una de las técnicas más usuales para determinar la existencia de ĺımite en un punto de una función de este tipo, es estudiar el ĺımite a lo largo de rectas que pasen por el punto, es decir, el comportamiento de la función al acercarnos al punto x 0 a lo largo de una recta. 6

Teorema (Límites por rectas). Sea f : R n R, y supongamos que lim x x0 f(x) = y 0 Entonces para todo vector v R n, con v 0, se tiene lim t 0 f(x 0 + tv) = y 0 v. Los puntos x 0 + tv recorren la recta que pasa por x 0 y tiene vector director x 0 + t v v x 0 Demostración: Sea ɛ > 0; por la definición de ĺımite en x 0, existirá un número δ > 0 tal que si 0 < x x 0 < δ entonces f(x) y 0 < ɛ. Tomando ahora t de modo que 0 < t < δ/ v, los puntos de la forma x = x 0 + tv verifican x x 0 = tv = t v < δ v v = δ y por tanto f(x 0 + tv) y 0 < ɛ. Luego en efecto lim t 0 f(x 0 + tv) = y 0 Ejemplo 4. Estudiar el ĺımite en el origen de la función { x 2 si (x, y) (0, 0) f(x, y) = x 2 +y 2 0 si (x, y) = (0, 0) 7

Si nos acercamos al origen por puntos del eje x, es decir, tomando v = (1, 0), tenemos f(x 0 + tv) = f(t, 0) = t2 t = 1 2 luego lim t 0 f(t, 0) = 1 Y sin embargo, acercándonos por el eje y, w = (0, 1), se tiene f(x 0 + tw) = f(0, t) = 0 t 2 = 0 luego lim t 0 f(0, t) = 0 Por tanto f no tiene ĺımite en (0, 0). Si consideramos un vector cualquiera u = (a, b) (0, 0), y calculamos f(x 0 + tu) = f(ta, tb) = a2 a 2 + b 2 es constante, y por tanto sobre cada recta que pasa por (0, 0) hay un ĺımite de la función, aunque no siempre es el mismo. En R 2 es más frecuente escribir la ecuación de una recta que pasa por el punto (x 0, y 0 ) en la forma y = m(x x 0 ) + y 0, con m R, y x = x 0 la recta vertical que pasa por ese punto (que correspondería a m = ). El siguiente ejemplo prueba que puede ocurrir incluso que todos los ĺımites por rectas coincidan, y sin embargo no exista el ĺımite de la función, lo que demuestra que el recíproco del teorema no es cierto. 8

Ejemplo 5. Estudiar el ĺımite en el origen de la función f(x, y) = (y2 x) 2 y 4 + x 2 Si consideramos la recta vertical x = 0, f(0, y) = y4 y 4 = 1 para todo y 0, y lim y 0 f(0, y) = 1 Y para cualquier otra recta que pase por (0, 0), y = mx, se tiene f(x, mx) = m2 x 2 x) 2 m 4 x 4 + x = m4 x 4 + x 2 2m 2 x 3 2 m 4 x 4 + x 2 = m4 x 2 + 1 2m 2 x m 4 x 2 + 1 luego lim x 0 f(x, mx) = 1 Es decir, a lo largo de cualquier recta que pase por (0, 0), existe el ĺımite cuando nos acercamos a (0, 0), y siempre vale 1. Sin embargo, si tomamos puntos (x, y) de la parábola x = y 2 que se acerquen a (0, 0), se tiene f(y 2, y) = 0 para todo y. Por tanto f no tiene ĺımite en el origen. El resultado anterior se puede generalizar utilizando otra clase de curvas que pasen por el punto, en vez de las rectas: Teorema (Límites por curvas). Sea f : R n R, y supongamos que lim x x0 f(x) = L Sea G : (a, b) R n una función continua tal que existe t 0 (a, b) con G(t 0 ) = x 0. Entonces: lim f G(t) = L t t 0 9

t 0 t G x 0 = G(t 0 ) G(t) f G(t) L f La demostración es análoga a la demostración de que la composición de funciones continuas es continua. Observaciones: Para estudiar el ĺımite en el origen de coordenadas de funciones de R 2 en R, podemos considerar la familia de funciones G m (t) = (t, t m ) con m Q + (es decir, y = x m ), o H m (t) = (t m, t) (es decir, x = y m ) El teorema anterior es un caso particular de éste último, con las funciones G v (t) = x 0 + tv = (x 0 1 + tv 1,..., x 0 n + tv n ) si y 0,y f(x, 0) = 0. Estu- Ejemplo 6. Sea f(x, y) = x2 y sen(x2 + y 2 ) diar el ĺımite en (0, 0) Para la recta vertical, x = 0, se tiene f(0, y) = 0 Si nos acercamos a (0, 0) por una recta de la forma y = mx, tenemos f(x, mx) = x2 mx sen(x2 + m 2 x 2 ) = = x m sen((1 + m2 )x 2 ) que tiende a cero si x 0. y también tiende a cero cuando y tiende a cero. Sin embargo si estudiamos el comportamiento de f sobre puntos de parábolas de la forma y = x n, tenemos f(x, x n ) = x2 x n sen(x2 + x 2n ) = sen(x2 + x 2n ) x n 2 10

Y aplicando la regla de L Hôpital lim f(x, 2x + 2nx 2n 1 x 0 xn ) = lim x 0 (n 1)x n 3 cos(x2 + x 2 n) = Así, si tomamos n = 4 queda (2 + 8x 6 ) cos(x 2 + x 8 ) lim x 0 2 2 + x 2n 2 = lim x 0 (n 1)x n 4 cos(x2 + x 2 n) = 1 0 Y si n > 4 ni siquiera existe el ĺımite. Por tanto f podemos asegurar que f no tiene ĺımite en (0, 0). Otra técnica habitual es el estudio de los ĺımites iterados : Teorema (Límites Iterados). Sea f : R 2 R una función, y (a, b) R 2. Para cada x R, definimos la función y R, la función Si iguales a L: lim (x,y) (a,b) g(x) = lim y b f(x, y) y para cada h(y) = lim f(x, y), suponiendo que estos ĺımites existen. x a f(x, y) = L, entonces existen los ĺımites iterados, y son lim g(x) = lim h(y) = L x a y b Se escribe lim f(x, y) = lim (x,y) (a,b) x a [ ] lim f(x, y) y b = lim y b [ ] lim f(x, y) = L x a El teorema sólo es cierto en las condiciones que se ponen en las hipótesis. Puede ocurrir que los ĺımites iterados no existan, de lo cual no se deduce que no exista el ĺımite de la función. Puede ocurrir también que los ĺımites iterados existan y sean iguales, pero la función no tenga ĺımite. El teorema puede ser útil cuando los ĺımites iterados existen pero son distintos: entonces la función no puede tener ĺımite. Demostración del Teorema: Sea ɛ > 0. Queremos demostrar que existe δ > 0 tal que si 0 < x a < δ entonces g(x) L < ɛ Como por hipótesis lim (x,y) (a,b) f(x, y) = L, sabemos que existe r > 0 tal que si la distancia 0 < (x, y) (a, b) < r entonces f(x, y) L < ɛ/2 Sea δ = r 2, de modo que el cuadrado de lado 2δ y centro (a, b) está contenido en la bola de centro (a, b) y radio r. 11

b r δ ɛ L a Sea ahora x tal que 0 < x a < δ, fijo. También sabemos que lim y b f(x, y) = g(x), luego dado ese ɛ, existe un δ x > 0 tal que si 0 < y b < δ x entonces f(x, y) g(x) < ɛ/2 Tomemos un y x que verifique 0 < y x b < min{δ, δ x }; b y x δ x r δ x a Tenemos 0 < y x b < δ x y 0 < (x, y x ) (a, b) < r luego g(x) L = g(x) f(x, y x ) + f(x, y x ) L g(x) f(x, y x ) + f(x, y x ) L < < ɛ/2 + ɛ/2 = ɛ como queríamos demostrar. 12

El ĺımite iterado en el otro orden se demuestra análogamente. Ejemplo 7. Estudiar los ĺımites iterados, y el ĺımite de f en el origen de la siguiente función. { y si x > 0 f(x, y) = y si x 0 Sea x 0 R fijo. Si x 0 > 0, f(x 0, y) = y y g(x 0 ) = lim y 0 f(x 0, y) = lim y 0 y = 0 Si x 0 0, f(x 0, y) = y, y g(x 0 ) = lim y 0 f(x 0, y) = lim y 0 ( y) = 0 Luego para todo x R, g(x) = lim y 0 f(x, y) = 0, y por tanto lim g(x) = lim x 0 lim x 0 y 0 f(x, y) = 0 Sea ahora y 0 R, { y0 si x > 0 f(x, y 0 ) = y 0 si x 0 Claramente, para todo y 0 0, la función que se obtiene no es continua en x = 0, luego no existe h(y 0 ) = lim x 0 f(x, y 0 ), y por tanto no existe el otro ĺımite iterado. Por último, es evidente que para todo (x, y) R 2 que f(x, y) = y 0 si (x, y) (0, 0) luego lim (x,y) (0,0) f(x, y) = 0 El teorema se puede generalizar a funciones de más de dos variables. Sea F es una función de R n en R, y x 0 = (x 0 1,..., x 0 n); si lim x x0 f(x) = y 0, entonces para toda permutación {i 1,..., i n } de {1,..., n}, se tiene lim... x i1 x 0 i 1 lim x in x 0 in f(x 1,..., x n ) = y 0 siempre que todos estos ĺımites existan. Vamos a ver por último una técnica específica para el cálculo de ĺımites en el origen de funciones definidas en R 2, aunque también puede generalizarse a otras situaciones. Se trata de estudiar el comportamiento de la función describiendo los puntos del dominio en coordenadas polares 13

Proposición. Sea A = (0, ) [0, 2π) R 2, y g : A R 2 definida por g(r, θ) = (r cos θ, r sen θ) g es una biyección continua de A sobre B = R 2 \ {(0, 0)} Además g({(r, θ), 0 < r < p, 0 θ < 2π}) = B((0, 0), p) \ {(0, 0)} (R 2,. 2 ) Teorema (Límites en Polares). Sea f : R 2 R. Se tiene lim (x,y) (0,0) f(x, y) = L si y sólo si lim f(r cos θ, r sen θ) = L r 0 uniformemente en θ [0, 2π) (es decir, para todo ɛ > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < r < δ entonces f(r cos θ, r sen θ) L < ɛ para todo θ [0, 2π)) (Bombal, vol 1, pg. 154) Ejemplo 8. Calcular el ĺımite en (0, 0) de la función f(x, y) = x2 y 2 x 2 + y 2 Escribiendo en coordenadas polares (x, y) = (r cos θ, r sen θ), tenemos f(r cos θ, r sen θ) = r 4 cos 2 θ sen 2 θ r 2 = r2 cos 2 θ sen 2 θ r 2 0 si r 0 uniformemente en θ [0, 2π), luego lim f(x, y) = 0 (x,y) (0,0) 14

4 Continuidad y topología Definición (Funciones acotadas). Sea A R n y f : A R; se dice que f está acotada en un conjunto B A si existe M > 0 tal que f(x) M para todo x B. Proposición. Sean A R n, x 0 un punto de acumulación de A, y f una función f : A R. Si f tiene ĺımite en x 0, entonces existe r > 0 tal que f es acotada en B(x 0, r) A \ {x 0 }. Si f es continua en un punto x 0 A, entonces existe r > 0 tal que f es acotada en B(x, r) A Teorema. Sean A R n y F : A R m. Son equivalentes: a) F es continua (en A) b) Para todo conjunto abierto B de R m, F 1 (B) es abierto en A. c) Para todo conjunto cerrado C en R m, F 1 (C) es cerrado en A. Demostración: Supongamos primero que F es continua en A, y sea B abierto en R m. Sea x F 1 (B); Hay que probar que existe una bola B(x, δ) tal que B(x, δ) A está contenida en F 1 (B). Ahora bien, si x F 1 (B), entonces F (x) B que es abierto, y por tanto existe una bola B(F (x), ɛ) contenida en B. Dado ese ɛ > 0, como F es continua en x, existe δ > 0 tal que si y A y x y < δ entonces F (x) F (y) < ɛ; es decir, F (B(x, δ) A) B(F (x), ɛ) B, de donde se deduce que B(x, δ) A F 1 (B) como queríamos demostrar. Supongamos ahora la hipótesis (b), y sea C un conjunto cerrado en R m. Entonces R m \ C es abierto, y por la hipótesis (b), F 1 (R m \ C) es abierto en A. Pero F 1 (R m \ C) = {x A : F (x) C} = A \ F 1 (C) por tanto F 1 (C) es cerrado en A Por último, supongamos que es cierta la hipótesis (c), y que f no es continua en algún punto x de A, y veamos que eso nos lleva a una contradicción, Si F no es continua en x, existe un ɛ > 0 tal que para todo δ > 0 hay puntos y A con x y < δ pero F (x) F (y) > ɛ. Tomando para cada n N δ n = 1/n, podemos construir una sucesión (y n ) n de puntos de A con x y n < 1/n pero F (y n ) F (x) > ɛ para todo n N. Sea ahora C = {F (y n ), n N}, que es un conjunto cerrado de R m. Por la hipótesis (c), F 1 (C) es cerrado en A. 15

Entonces por un lado, como (y n ) n x, se tiene x {y n ; n N} F 1 (C) = F 1 (C) luego F (x) C, y por otro lado B(F (x), ɛ) {F (y n ); n N} = luego F (x) {F (y n ); n N} = C, lo que es una contradicción. Teorema. Sea A R n, y F : A R m continua. Si M A es conexo, entonces F (M) es conexo. Demostración: Supongamos que F (M) no es conexo. Entonces existen conjuntos abiertos U 0 y V 0 en F (M), no vacíos y disjuntos, tales que F (M) = U 0 V 0. Como U 0 y V 0 son abiertos en F (M), existen conjuntos abiertos U y V en R m de modo que U 0 = U F (M) y V 0 = V F (M), y como U 0 y V 0 son disjuntos, U V F (M) =, y como U 0 y V 0 son no vacíos, U F (M) y V F (M) Como F es continua, F 1 (U) y F 1 (V ) son abiertos en A, y tenemos M = ( F 1 (U) F 1 (V ) ) M = ( F 1 (U) M ) ( F 1 (V ) M ) unión de dos conjuntos abiertos en M, disjuntos, y no vacíos, lo que contradice la hipótesis de que M es conexo. Corolario 1 (Valores Intermedios). Sea A R n, f : A R continua y M A conexo, y sean x, y M Entonces para cada número c R con f(x) < c < f(y) existe z M con f(z) = c Demostración: Si no existiese z M con f(z) = c, podríamos definir U = (, c) y V = (c, ), de modo que: M = ( f 1 (U) f 1 (V ) ) M ( f 1 (U) M ) ( f 1 (V ) M ) = y ambos conjuntos serían abiertos en M y no vacíos, pues x f 1 (U) M e y f 1 (V ) M. Luego M no sería conexo. 16

Teorema. Sean K R n compacto y F : K R m continua. Entonces F (K) es compacto. Demostración: Aplicaremos el teorema de Bolzano y Weierstrass. Sea (y n ) n una sucesión en F (K) cualquiera. Para cada n N existirá un x n K tal que F (x n ) = y n. Como K es compacto, tiene que existir al menos una subsucesión (x nk ) k convergente a un punto x de K. Y como F es continua, entonces tiene que ser (F (x nk )) k = (y nk ) k convergente a F (x) = y F (K) Es decir, toda sucesión de puntos de F (K) tiene por lo menos una subsucesión convergente a un punto de F (K). Por tanto F (K) es compacto. Teorema. Sean K R n compacto, y f : K R continua. Entonces f alcanza el máximo y el mínimo en K, es decir, existen x 1 y x 2 en K tales que f(x 1 ) = max{f(x), x K} f(x 2 ) = min{f(x), x K} Este resultado es consecuencia inmediata del anterior, y de las propiedades de R como cuerpo ordenado y completo: si K es compacto, f(k) es un conjunto compacto de R, y por tanto tiene un máximo, y 1, y un mínimo y 2. Basta tomar entonces x 1 f 1 (y 1 ) y x 2 f 1 (y 2 ). Teorema (Funciones inversas sobre compactos). Sean K R n compacto, y F : K R m continua e inyectiva. F 1 : F (K) R n es continua. Entonces Demostración: Utilizaremos ahora los teoremas 4 y 4: sea C un conjunto cerrado en R n, y vamos a probar que (F 1 ) 1 (C) es cerrado en F (K). Ahora bien (F 1 ) 1 (C) = {y F (K) : F 1 (y) C} = = {y F (K) : F 1 (y) C K} = F (C K) Como C es cerrado, C K es un subconjunto cerrado de K, que es compacto, luego C K es también compacto. Entonces F (C) es compacto, y en particular es cerrado, como queríamos demostrar. 17

Ejemplo 9. El resultado anterior no es cierto si K no es compacto: Como ejemplo, podemos considerar la función f : [0, 2π) R 2 ; f(t) = (cos t, sen t) f f(t) =(cos(t), sen (t)) 0 t 2π f 1 5 Funciones Uniformemente Continuas Por último, estudiamos un tipo especial de funciones continuas: las funciones uniformemente continuas, y algunas de sus propiedades. Definición (Funciones Uniformemente Continuas). Sea A R n, y F : A R m. Se dice que F es uniformemente continua, si verifica la siguiente condición: Para todo ɛ > 0 existe δ > 0, que depende de ɛ, tal que para todos x e y en A con x y δ se tiene F (x) F (y) ɛ Si B es un subconjunto de A, se dice que F es uniformemente continua en B si F B es uniformemente continua. Toda función uniformemente continua es continua en su dominio. Hay que tener cuidado sin embargo en el siguiente sentido: si F : A R m es uniformemente continua en B A, entonces sólo se puede afirmar que F B es continua, lo que no significa necesariamente { que F sea continua en B. 1 si x 1 Por ejemplo si f(x) = es evidente que f es uniformemente continua en B = [ 1, 1], y sin embargo f no es continua en 0 si x > 1 B. Proposición. Sea A R n y F : A R m. F es uniformemente continua si y sólo si para cada i = 1,..., m las funciones componentes f i : A R son uniformemente continuas. 18

Ejemplo 10. La función. : R n R es uniformemente continua. En efecto, si f(x) = x, sabemos que f(x) f(y) = x y x y Ejemplo 11. La función f : (0, ) R definida por f(x) = 1/x no es uniformemente continua. Hay que demostrar que existe un número ɛ > 0 tal que para todo δ > 0 hay puntos x, y en (0, ) con x y < δ pero f(x) f(y) > ɛ Tomamos ɛ = 1. Y para cada δ > 0 escogemos dos puntos, x e y = x + δ/2 en (0, ). Entonces x y = δ/2 < δ, y f(x) f(y) = 1 x 1 y = y x xy = = δ/2 x(x + δ/2) Fijo δ, este cociente tiende a infinito cuando x tiende a cero, luego tomando x suficientemente pequeño podemos asegurar que f(x) f(y) es mayor que 1. Por tanto f no es uniformemente continua. Geométricamente, el que una función no sea uniformemente continua se refleja en que hay alguna parte de su dominio en el que la pendiente de la gráfica es muy grande (tiende a infinito), con lo que no hay un ĺımite a la proporción entre la distancia de dos puntos en el dominio y la distancia entre sus imágenes 19

Teorema (Caracterización de la Continuidad Uniforme por Sucesiones). Sean A R n, y f : A R. Son equivalentes: 1. f es uniformemente continua. 2. Para todo par de sucesiones (x n ) n, (y n ) n en A con ( x n y n ) n convergente a cero, se tiene ( f(x n ) f(y n ) ) n converge a cero. 3. Para todo par de sucesiones (x n ) n, (y n ) n en A con ( x n y n ) n convergente a cero, existe una subsucesión ( f(x nk ) f(y nk ) ) k convergente a cero. Demostración: (Saltar al final de la demostración) 1) = 2) Sean (x n ) n e (y n ) n dos sucesiones en A tales que ( x n y n ) n tiende a cero, y sea ɛ > 0 Como f es uniformemente continua, existe un δ > 0 tal que para todos x, y A con x y < δ se tiene f(x) f(y) < ɛ. Como ( x n y n ) n tiende a cero, dado ese δ > 0 existe un n 0 N tal que para todo n n 0 se tiene x n y n < δ. Por tanto, sustituyendo arriba, f(x n ) f(y n ) < ɛ, para todo n n 0, luego ( f(x n ) f(y n ) ) n tiende a cero, como queríamos demostrar. 2) = 3) Es trivial, ya que basta tomar como sub-sucesión la misma sucesión original. 3) = 1) Vamos a probar ahora que si no se verifica (1) tampoco se verifica (3). Supongamos que f no es uniformemente continua. Entonces existe un ɛ > 0 tal que para todo δ > 0 hay puntos x, y A con x y < δ pero f(x) f(y) > ɛ. Tomando para cada n N δ = 1/n, podemos construir dos sucesiones (x n ) n e (y n ) n de puntos de A tales que x n y n < 1/n pero f(x n ) f(y n ) > ɛ para todo n, lo que contradice la hipótesis (3) (Volver al enunciado) Corolario 2. Sea A R n, y sean f, g : R uniformemente continuas. Entonces f + g y af son uniformemente continuas para todo a R 20

Observaciones: El producto y el cociente de funciones uniformemente continuas puede no ser uniformemente continuo. Ejemplo 12. La función f(x) = 1/x no es uniformemente continua en R. Es cociente de las funciones h(x) = 1 y g(x) = x que son uniformemente continuas. Ejemplo 13. La función f(x) = x 2 tampoco es uniformemente continua en R f es producto de la función g por si misma, pero no es uniformemente continua: Consideremos las sucesiones definidas por x n = n e y n = n + 1/n. Se tiene pero x n y n = n n 1/n = 1/n 0 f(x n ) f(y n ) = n 2 (n + 1/n) 2 = n 2 n 2 2 1/n 2 = 2 + 1/n 2 que es mayor que 2 para todo n, luego no tiende a cero. Corolario 3 (Composición de funciones uniformemente continuas). Sean A R n, F : A R m y G : F (A) R p uniformemente continuas. Entonces G F es uniformemente continua. Teorema (de Heine). Sean A R n, y f : A R continua. uniformemente continua. Si A es compacto, entonces f es Demostración: Sean (x n ) n e (y n ) n dos sucesiones en A con ( x n y n ) n 0 Como A es compacto, por el Teorema de Bolzano - Weierstrass, existe una subsucesión (x nk ) k convergente a un punto x de A. Es fácil ver que entonces (y nk ) k también converge a x, puesto que y nk x y nk x nk + x nk x y como f es continua, se tiene f(x nk ) f(y nk ) f(x nk ) f(x) + f(x) f(y nk ) 0 luego en efecto f es uniformemente continua. Como consecuencia se puede demostrar el siguiente resultado, al que se ajustan algunos de los modelos posibles de funciones uniformemente continuas: 21

Proposición (Límite en el infinito). Se f : R n R una función continua tal que lim x f(x) = L. Entonces f es uniformemente continua. Demostración: Sean (x n ) n e (y n ) n dos sucesiones en R n tales que x n y n tiende a cero. Supongamos primero que (x n ) n es acotada; existe M > 0 tal que x n M para todo n. Por otro lado y n y n x n + x n y n x n + M y dado por ejemplo ɛ = 1 existe un n 0 N tal que para todo n n 0 se tiene y n x n < 1. Por tanto y n max{1 + M, y j, 1 j n 0 }. Es decir, (y n ) n también está acotada. Sea B una bola cerrada que contenga a las dos sucesiones, y consideremos la restricción de f a B. B es compacto, luego por el teorema de Heine f es uniformemente continua en B, y por el teorema de caracterización de la continuidad uniforme por sucesiones la sucesión ( f(x n ) f(y n ) ) n tiende a cero. Si en cambio (x n ) n no es acotada, contiene una subsucesión (x nk ) k cuya norma tiende a infinito. Como antes se ve que (y nk ) k también tiende a infinito, y así f(x nk ) f(y nk ) f(x nk ) L + L f(y nk ) 0 En cualquier caso existe por lo menos una subsucesión de f(x n ) f(y n ) que tiende a cero, lo que prueba que f es uniformemente continua. Este resultado es cierto también, en el caso de funciones de una variable, si existen los dos ĺımites, cuando x tiende a (+ ) y cuando x tiende a ( ), aunque sean distintos. Para demostrarlo sólo hay que repetir el final de la demostración anterior distinguiendo cada uno de los dos casos posibles. El último teorema que vamos a demostrar da una caracterización de las funciones uniformemente continuas, especialmente útil cuando se trata de estudiar funciones definidas en conjuntos acotados. Para la demostración se necesita el siguiente lema, cuya demostración se deja como ejercicio. Lema 1. Sean A R n, y f : A R uniformemente continua. Si (x n ) n es una sucesión de Cauchy en A, (f(x n )) n es de Cauchy en R (y por tanto convergente a un número real). Observaciones: Este resultado no es cierto si sólo se pide a f que sea una función continua: por 22

ejemplo, en el caso de la función f(x) = 1/x definida en A = (0, ), la sucesión x n = 1/n es de Cauchy en A, pero la sucesión de las imágenes f(x n ) = n no es de Cauchy Teorema (Extensión de funciones uniformemente continuas). Sea A R n, y f : A R. f es uniformemente continua si y sólo si existe una extensión f de f a A uniformemente continua. Demostración: (Saltar al final de la demostración) Supongamos primero que f es uniformemente continua en A. Empezamos por construir la extensión de f a A: sea x A; existe una sucesión (x n ) n de puntos de A que tiende a x; entonces la sucesión (x n ) n es de Cauchy, y por el lema anterior (f(x n )) n también es de Cauchy en R, y por tanto es convergente. Definimos entonces f(x) = lim n f(x n ) Para que esta definición sea correcta, hay que ver primero que el ĺımite no depende de la sucesión (x n ) n : sea (y n ) n otra sucesión en A que tienda a x; entonces ( y n x n ) n tiende a cero, y como f es uniformemente continua, f(y n ) f(x n ) también tiende a cero. De aquí, luego f(y n ) f(x) f(y n ) f(x n ) + f(x n ) f(x) 0 lim f(y n) = lim f(x n ) = f(x) n n Y en segundo lugar, vamos a ver que f es uniformemente continua en A. Sea ɛ > 0; sabemos que existe δ > 0 tal que para todos u, v A con u v < δ se tiene f(u) f(v) < ɛ/3 Sean ahora x, y A con x y < δ/3. Para calcular f(x), sea (u n ) n una sucesión en A que tienda a x, y f(x) = lim f(u n ). Entonces existen n 1 N n tal que para todo n n 1 se tiene u n x < δ/3, y n 2 N tal que para todo n n 2 se tiene f(x) f(u n ) < ɛ/3. Análogamente, para calcular f(y), sea (v m ) m una sucesión en A que tienda a y y f(y) = lim f(v m). Existen m 1 N tal que para todo m m 1 se tiene m 23

v m y < δ/3, y m 2 N tal que para todo m m 2 se tiene f(y) f(v m ) < ɛ/3 u n x y v n A Sea entonces N = max{n 1, n 2, m 1, m 2 }; tenemos y por tanto u N v N u N x + x y + y v N < δ/3 + δ/3 + δ/3 = δ f(x) f(y) f(x) f(u N ) + f(u N ) f(v N ) + f(v N ) f(y) < < ɛ/3 + ɛ/3 + ɛ/3 = ɛ lo que prueba que f es uniformemente continua. El recíproco es trivial, ya que si existe una extensión f de f a A que es uniformemente continua, entonces f = f A también es uniformemente continua. (Volver al enunciado) Consecuencias: Sea A R n, y f : A R. 1) Si f es uniformemente continua en A, necesariamente para cada punto x 0 F r(a) existe lim x x0 f A (x) 2) Recíprocamente, si f es continua en A, y para cada x 0 F r(a) existe el ĺımite lim x x0 f A (x) = f(x), entonces f se puede extender a una función en A continua. Si además A es acotado, la extensión será uniformemente continua, y por tanto f también. Ejemplo 14. Estudiar la continuidad uniforme de la función f(x, y) = x2 y 2 en el conjunto M = {(x, y) : x < x 2 + y 2 < 2x} x 2 + y 2 24

M Como el único punto que anula el denominador es (0, 0), es claro que f se puede extender a todos los puntos de la frontera de M, salvo quizá al origen de coordenadas. Para todo (x 0, y 0 ) F r(a) \ {(0, 0)} se tiene lim f(x, y) = x2 0 y0 2 (x,y) (x 0,y 0 ),(x,y) M x 2 0 + y0 2 Vamos a ver si existe ĺımite de f en (0, 0) al acercarnos por puntos de M. Si tomamos en M puntos de la forma x 2 + y 2 = 3x/2, y hacemos x tender a cero, x 2 (3x/2 x 2 ) lim f(x, y) = lim (x,y) (0,0);x 2 +y 2 =3x/2 x 0 3x/2 4x 2 3x = lim = 1 x 0 3x Entonces si existe el ĺımite en el origen debe valer ( 1). Estudiamos f(x, y) + 1 cuando (x, y) M = f(x, y) + 1 = x2 y 2 x 2 + y 2 + 1 = 2x 2 x 2 + y 2 = = 2x 2 x 2 + y < 2x2 2 x = 2x que tiende a cero cuando x tiende a cero (como (x, y) M, x 2 + y 2 > x > 0). Luego en efecto f se puede extender a toda la adherencia de M, f : M R { x 2 y 2 si (x, y) (0, 0) f(x, y) = x 2 +y 2 1 si (x, y) = (0, 0) Esta función f es continua en M, que es compacto (cerrado y acotado), y por tanto es uniformemente continua. Entonces f es uniformemente continua en M. 25

6 Aplicaciones Lineales Continuas Entre las aplicaciones lineales continuas, destacan por sus propiedades geométricas las aplicaciones lineales: Una aplicación lineal de R n en R m es una función T : R n R m que verifica T (ax + by) = at (x) + bt (y) para todos x, y R n y a, b R, de modo que verifica también siempre T ( x) = T (x) y T (0) = 0 La suma de aplicaciones lineales es lineal, y el producto por un número de una aplicación lineal también es lineal, por lo que el conjunto L(R n, R m ) formado por todas las aplicaciones lineales de R n en R m es un espacio vectorial. Cada aplicación lineal en L(R n, R m ) tiene asociada una única matriz M(m n) de m filas y n columnas, de modo que T (x) = Mx = a 11... a 1n..... a m1... a mn Las columnas de la matriz M son las imágenes por T de los elementos de la base canónica de R n, T (e i ) = a 1i. a mi Cuando m = 1, la matriz M tiene una sola fila, M = (a 11... a 1n ) y T (x) = Mx = (a 11... a 1n ) x 1. x n x 1. x n =< (a 11,..., a 1n ), (x 1,..., x n ) > Y en general, las filas de la matriz M son las matrices de las funciones componentes de T = (t 1,..., t n ). Para estas funciones lineales, se tiene el siguiente teorema de caracterización de la continuidad: Teorema (Aplicaciones lineales continuas). Sea T : R n R m lineal. Son equivalentes: 1. T es continua. 26

2. Existe una constante K > 0 tal que para todo x R n se tiene T (x) K x Demostración: Supongamos primero que T es continua. En particular T es continua en 0, luego dado ɛ = 1 existe un δ > 0 tal que si x < δ entonces T (x) 1 Sea ahora x un punto cualquiera de R n distinto de 0, y consideremos el vector y = δx. Evidentemente y = δ/2 < δ, luego T (y) 1. Sustituyendo Y 2 x pos su valor, y por tanto T (y) = T ( δx 2 x ) = T (x) < 2 x = K x δ δ T (x) 1 2 x con K = 2 δ Por otra parte, es evidente que si x = 0 también T (x) = 0 = K x. Esto prueba que la primera hipótesis implica la segunda. Recíprocamente, supongamos que existe una constante K > 0 tal que para todo x de R n se tiene T (x) K x y sean x e y dos vectores de R n. Como T es lineal T (x) T (y) = T (x y) K x y luego evidentemente T no sólo es continua en x, sino que además es uniformemente continua en todo R n. Consecuencias: 1) En primer lugar, ya sabíamos que las funciones lineales en R n eran continuas, pero además, como hemos visto en el teorema, son uniformemente continua. 2) Si T : R n R m es lineal e inyectiva, la inversa T 1 : T (R n ) R n será continua si existe una constante k > 0 tal que para todo y T (R n ) se verifica T 1 (y) k y 27

o equivalentemente, poniendo y = T (x), será continua si para cada x R n se tiene o, x = T 1 (T (x)) k T (x) k x T (x) En particular, T : R n R n es lineal, es continua y con inversa continua si y sólo si existe constantes K, k > 0 tales que para todo x R n se tiene k x T (x) K x En este caso se dice que T es un HOMEOMORFISMO. Definición. Sea T : R n R m una aplicación lineal. se define T = inf{k > 0 : T (x) K x, x R n } = max{ T (x) : x 1} = max{ T (x) : x = 1} y se llama norma de T. Con esta notación para todo x en R n, T (x) T x En el espacio vectorial formado por el conjunto de todas las aplicaciones lineales continuas de R n en R m, L(R n.r m ), la aplicación. : L(R n, R m ) R T T es una norma 28