EXAMEN TIPO TEST NÚMERO 1. MODELO 1 RESOLUCIÓN 1.-Si en la expresión xcos(cρt) "x" es espacio, "t" es tiempo y ρ densidad, la constante C tiene dimensiones de: a) ML -3 T b) L c) M -1 L 3 T -1 d) L -1 El ángulo tiene que ser adimensional de modo que: 1 1 1 3 Cρ t 1 C M L T t 3 ρ ML T [ ] [ ] 1.- El momento de una fuerza respecto de un punto vale 50 Nm. Determinar su valor en el sistema cegesimal: a).50 10 5 dinacm b).50 10 11 dinacm c).50 10 9 dinacm d).50 10 7 dinacm En el sistema cegesimal tendremos que dar el momento en dinam: 4 kgmm kgm 1000 g 10 cm 9 kgcm M 50 Nm 50 50.50 10 1 kg s s 1 m s 9 kgcmcm 9.50 10.50 10 dinacm s 3.- La presión de un fluido en movimiento depende de su densidad ρ y su velocidad v. Cuál será la expresión de la presión en función de estas? a) PCρv b) PCρv 5 c) PCρv 3 d) PCρ v La expresión buscada será del tipo: Pf(ρ, v) PCρ α v β Donde C es una constante adimensional que se determinaría experimentalmente. Si la ecuación es correcta, tiene que ser dimensionalmente homogénea, es decir, las dimensiones del primer miembro tienen que ser iguales a las del segundo miembro: PCρ α v β [P][ρ] α [v] β F MLT m S L V Sustituyendo en la ecuación de dimensiones: 3 1 [] P MLT ; [] ρ ML ; [] v LT
[P][ρ] α [v] β MLT - (ML -3 ) α (LT -1 ) β MLT - M α L -3α L β T -β MLT - M α L -3α+β T -β Igualamos por separado los exponentes de las magnitudes correspondientes: M 1α T --β β Por tanto la ecuación que buscamos es: PCρ α v β Cρv 4.- Supongamos los vectores A3i+6j y Bi+5j. Un tercer vector C está en el plano xy y es perpendicular a A. El producto escalar de C con B es. Determina el vector C. a) C4i+j b) C-4i-j c) C-4i+j d) No se puede determinar El vector C se encuentra en el plano xy luego tiene sólo dos componentes: Cc x i+c y j Si este vector es perpendicular al vector A, el ángulo que forman es de 90º, el cos90º0 y por tanto el producto escalar de ambos vectores es nulo: A C0 (3i+6j) (c x i+c y j)0 3c x +6c y 0 c x -c y Además sabemos que el producto escalar de C con B es luego: C B0 (c x i+c y j) (i+5j) c x +5c y Sustituimos c x por la expresión que obtuvimos: c x +5c y - c y +5c y c y c x -c y - -4 El vector C es: Cc x i+c y j-4i+j 5.- Si Aa(3i+4j), donde a es una constante, determina el valor de a que convierte a A en un vector unitario, a) a3/4 b) a4/3 c) a1.15 d) a0. El vector A será: Aa(3i+4j)3ai+4aj Puesto que es unitario, su módulo tiene que ser la unidad: A 1 (3a) + (4a) 1 5a Respuesta correcta: d) 1 5a 1 a 1 5 0.
6.- La proyección del vector A5i+j-3k sobre el vector B8i+6j-k tiene un valor de: a) 55 b) 5.47 c) 3.67 d) 41.87 Para proyectar el vector A sobre el B hay que multiplicar escalarmente ambos vectores y dividir por el módulo del segundo. Así pues tendremos que la proyección de A sobre B será: A B (5i + j 3k) (8i + 6j k) 40 + 1 + 3 A B 5.47 B 8 6 1 101 + + 7.- Para un movimiento unidimensional, la posición en función del tiempo del móvil viene dada por la expresión x.5t 4-45t en unidades del sistema internacional. La distancia total que recorre el móvil entre el tiempo t1 s y t6 s es: a) 160 m b) 0.5 m c) 198.5 m d) 18.5 m En primer lugar tendremos que ver si en algún momento entre t1 s y t6 s se produce una inversión en el sentido del movimiento, esto es, si en algún momento la velocidad se hace cero. La velocidad será: dx v 10t 3 90t Dicha velocidad será nula en: 10t 3-90t0 10t(t -9)0 10t0 t0 t -90 t 9 t±3 s De los tres resultados (t-3, t0, t3) el único comprendido entre t1 y t6 s es t3 s. Así pues, el móvil comienza a desplazarse en t1 s desde la posición: t1 s x.5t 4-4.5t.5 1 4-45 1-4.5 m A continuación, el móvil se desplaza en el mismo sentido hasta t3 s, punto en que su posición es: t3 s x.5t 4-45t.5 3 4-45 3-0.5 m En este momento el móvil invierte el sentido del movimiento y comienza a desplazarse hacia la izquierda hasta t6 s, instante en el que la posición es: t6 s x.5t 4-45t.5 6 4-45 6 160 m Así pues, el móvil se desplaza primero hacia la izquierda desde x-4.5 m hasta x- 0.5 m (es decir, 160 m) y posteriormente se desplaza hacia la derecha desde x-0.5 m hasta x160 m (es decir, 18.5 m). Así pues la distancia recorrida es: d160+18.5198.5 m
8.- Cuál de las curvas velocidad-tiempo de la figura describe mejor el movimiento de un objeto sometido a una aceleración constante y positiva? a) a b) b c) c d) d Si el objeto tiene una aceleración constante y positiva, la gráfica velocidad-tiempo deberá ser una recta con pendiente positiva. Así pues, la gráfica que mejor representa esta situación es la gráfica b). 9.- Un proyectil se dispara con una velocidad inicial de 53 m/s formando un ángulo de 30º con el suelo. Determinar la velocidad al cabo de 5 s. a) 51.1 m/s b).50 m/s c) 75.50 m/s d) 40.00 m/s En el eje X la velocidad se mantiene constante: v x v 0x 53cos30º45.90 m/s En el eje Y el movimiento es rectilíneo uniformemente acelerado, siendo la aceleración la de la gravedad. En este eje por tanto, al cabo de 5 s: v y v 0y +atv 0y -gt53sen30º-9.8 5-.5 m/s Por tanto, al cabo de 5 s la velocidad tiene dos componentes: vv x i+v y j45.90i-.5j Y en módulo: v vx + vy 45.90 +.5 51.1 m / s 10.- Las coordenadas (en metros si t en segundos) de un móvil que se desplaza en un plano xy son: x(t-1) yt Las componentes tangencial y normal de la aceleración para t4 s son: a) a t m/s ; a n m/s b) a t.8 m/s ; a n 0.4 m/s c) a t.8 m/s ; a n 1. m/s d) a t 4.65 m/s ; a n 5.45 m/s En primer lugar determinamos la velocidad y aceleración del móvil: dx dvx vx (t 1) ax
dy dvy vy t ay La aceleración por tanto es: aa z i+a y ji+j Ahora hacemos el paso a coordenadas intrínsecas. La componente tangencial de la aceleración es la derivada del módulo de la velocidad respecto del tiempo. El módulo de la velocidad será: v vx + vy 4(t 1) + 4t 4t + 4 8t + 4t 8t 8t + 4 Y la aceleración tangencial para t4 s: dv 16t 8 16 4 8 a t.8 m/ s 8t 8t + 4 8 4 8 4 + 4 Ahora sabemos que el vector aceleración es único, independientemente del tipo de coordenadas elegidas para representar sus componentes. Así pues, en coordenadas cartesianas y en intrínsecas tendremos: aa z i+a y j aa t u t +a n u n El módulo del vector aceleración es el mismo no importa sus coordenadas luego: a ax + ay a at + an Como los primeros miembros son iguales los segundos también lo serán: a x + ay at + an an ax + ay + at +.8 0.4 m/ s
EXAMEN TIPO TEST NÚMERO 1 MODELO Física I (curso 006-07) 1.- En la expresión xa e -βt "x" es espacio, "t" es tiempo, las dimensiones de las constantes A y β son respectivamente: a) L y L b) L y T -1 c) adimensional y L d) L y L T -1 Puesto que La exponencial es adimensional, las dimensiones de A son las mismas que las de x: [A]L Así mismo los exponentes son adimensionales por lo tanto: 1 1 [ β t] 1 [ β] T t.- El momento de una fuerza respecto de un punto vale 3000 kpcm. Determinar su valor en el sistema internacional: a) 3 Nm b) 94 Nm c) 306 Nm d) 94 10 4 Nm Tenemos que expresar su valor en Nm 9.8 N m 3000 9.8 3000 kpcm Nm 94 Nm kp 10 cm 10 4.- Determinar las componentes de un vector unitario A sabiendo que es perpendicular a los vectores B3i+5j+3k y C6i+10j+4k a) A-0.8574i+0.5144j b) A-0.8574i-0.5144j c) A0.8574i+0.5144j d) A-0.539i+0.6470j-0.539k La dirección perpendicular a los vectores B y C será la dada por su producto vectorial: i j k B C 3 5 3 10i + 6j 6 10 4 Para obtener un vector unitario en esta dirección dividiremos el vector entre su módulo:
B C 10i + 6j A 0.8574i + 0. 5144j B C 10 + 6 5.- Si Ab(i+j+k), donde b es una constante, determina el valor de b para que A sea un vector unitario, a) b1/ b) b/3 c) b0.9 d) b0.15 Si A es un vector unitario su módulo vale la unidad, por lo tanto: 1 A (b) + (b) + (b) 1 3 (b) 1 b 3 1 b 0. 9 3 6.- La proyección del vector B-8i+6j-k sobre el vector A5i-j-3k tiene un valor de: a) 49 b) 8.9 c) 4.88 d) 7.95 La proyección de un vector sobre otro se obtiene multiplicando escalarmente el primero por un unitario en la dirección del segundo. Por tanto: A 5i j 3k 40 1 + 3 BA B ua B ( 8i + 6j k) 7.95 A 5 + + 3 5 + + 3 Respuesta correcta: d) 7.- Para un movimiento unidimensional, la posición en función del tiempo del móvil viene dada por la expresión x5t 4-40t en unidades del sistema internacional. La distancia total que recorre el móvil entre el tiempo t1 s y t5 s es: a) 15 m b) 160 m c) 50 m d) 090 m En el instante t0 el móvil está en la posición x 0 0. En t1 s el móvil está en x 1 5 1 4-40 1-35 m, luego se ha desplazado en el sentido negativo del eje x. En t5 s el móvil está en x 5 5 5 4-40 5 15 m, por lo tanto se ha desplazado en el sentido positivo del eje x.
Entre t0 y t5s ha invertido el sentido del movimiento y su velocidad tiene que haberse anulado. El tiempo en que eso ha ocurrido lo determinamos a partir de la expresión de la velocidad: dx 3 v 0t 80t 0 t 0 y t s En el intervalo de tiempo que estamos considerando la velocidad se anula en t s y el móvil está en x 5 4-40 -80 m. Por lo tanto en el intervalo de tiempo entre 1 s y 5 s hace el siguiente recorrido: primero se desplaza entre t1 s y t s hacia la izda, desde x 1-35 m hasta x -80 m, después entre t s y t5 s se desplaza en sentido contrario, desde x -80 m hasta x 5 15 m. La distancia total recorrida será: d-[x -x 1 ]+[x 5 -x )]-[-80-(-35)]+[15-(-80)]50 m 8.- Cuál de las curvas velocidad-tiempo de la figura describe mejor el movimiento de un objeto sometido a una aceleración variable y negativa? a) a b) b c) c d) d La aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo, luego será igual a la pendiente de la tangente de la curva v-t en cada puntote la misma. De las curvas representadas en la figura solamente en la (a) la pendiente de la tangente en cada punto es variable y negativa. 9.- Un proyectil se dispara con una velocidad de 50 m/s formando un ángulo de 45º con el suelo. Determinar la velocidad al cabo de 3.6 s. a) 35.36 m/s b) 0 m/s c) 70.63 m/s d) 14.7 m/s La componente horizontal de la velocidad es constante: v x 50cos45º Y la componente vertical es: v y 50sen45º-9.8t ya que el movimiento en esa dirección es uniformemente acelerado con una aceleración a- 9.8 m/s. Al cabo de 3.6 s: v y 50sen45º-9.8 3.60 v x 50cos45º v vx + vy (50cos 45º) + 0 50cos 45º 35.36m/ s
10.- El vector de posición de una partícula en movimiento viene dado en función del tiempo por la expresión rt 3 i-t j+8k donde la longitud se mide en metros y el tiempo en segundos. El radio de curvatura de la trayectoria al segundo de iniciarse el movimiento es: a) 7.81 m b) 0.13 m c) 8.11 m d).13 m Para determinar el radio de curvatura de la trayectoria necesitamos calcular la aceleración normal a n y la velocidad: v v n ρ ρ an La velocidad será: dr v 3t i tj Y la aceleración: dv a 6ti j Al segundo de iniciarse el movimiento: v3i-j Y su módulo al cuadrado: v 3 + 13 Y la aceleración: a6i-j El módulo de la aceleración es: a a 6 + 40 m/ s a a t + an Podemos determinar la componente tangencial de la aceleración: 3 3 dv d 4 36t + 8t 36 1 + 8 1 a t 9t + 4t 6.1 m/ s 4 4 9t + 4t 9 1 + 4 1 Tenemos el módulo de la aceleración tangencial y el de la aceleración total. La componente normal será: a at + an an a at 40 6.1 1.66 m/ s El radio de curvatura de la trayectoria en ese instante es: v 13 ρ 7.81 m an 1.66 Respuesta correcta a)