VOLTAJE Y CORRIENTE ALTERNA CA

LECCIÓN Nº 05 VOLTAJE Y CORRIENTE ALTERNA CA 1. GENERALIDADES Hasta ahora se ha considerado que la corriente eléctrica se desplaza desde el polo positivo del generador al negativo (la corriente electrónica o real lo hace al revés, los electrones se ven repelidos por el negativo y atraídos por el positivo). En una gráfica en la que en el eje horizontal se expresa el tiempo y en el vertical la tensión en cada instante, la representación de este tipo de corriente, que llamamos Corriente continua, si el valor de la tensión es constante durante todo el tiempo y Corriente continua variable, si dicho valor varía a lo largo del tiempo (pero nunca se hace negativa) Corriente continua Corriente continua variable Ahora, existen generadores en los que la polaridad está constantemente cambiando de signo, por lo que el sentido de la corriente es uno durante un intervalo de tiempo, y de sentido contrario en el intervalo siguiente. Obsérvese que siempre existe paso de corriente; lo que varia constantemente es el signo (el sentido) de ésta. Corriente alterna Naturalmente, para cambiar de un sentido a otro, es preciso que pase por cero, por lo que el valor de la tensión no será el mismo en todos los instantes. A este tipo de corriente se le llama Corriente alterna y, por el mismo motivo, se habla de Tensión alterna. 49

La corriente continua se abrevia con las letras C.C.(Corriente Continua) o D.C. (Direct Current), y la alterna, por C.A. (Corriente Alterna) o A.C.(Alternated Current) Funciones Periódicas El caso más importante de corrientes alternas son las llamadas corrientes alternas periódicas: son aquellas en las que los valores se repiten cada cierto tiempo. El tiempo que tarda en repetirse un valor se llama periodo, se expresa en unidades de tiempo y se representa por la letra T En las figuras se muestran varios tipos de corrientes alternas periódicas. Si en el eje horizontal se ha representado el tiempo, el periodo es el intervalo que hay entre dos puntos consecutivos del mismo valor Al máximo valor, se le llama precisamente, valor máximo o valor pico o valor de cresta, o amplitud. Corriente rectangular Corriente triangular Corriente en diente de sierra Corriente sinusoidal 50

El valor de la corriente en cada instante es el valor instantáneo. El número de alternancias o ciclos que describe la corriente en un segundo se le llama frecuencia y se expresa en c/s (ciclos por segundo) o hertzios (Hz). La frecuencia resulta ser la inversa del período: f 1 T. ONDA SENOIDAL Y COSENOIDAL La más importante de las corrientes alternas periódicas es la llamada corriente sinusoidal, que se puede expresar ya sea con la función seno o coseno, porque es la única capaz de pasar a través de resistencias, boninas y condensadores sin deformarse. Puede demostrarse que cualquier otra forma de onda se puede construir a partir de una suma de ondas sinusoidales de determinadas frecuencias. Se llama sinusoidal porque sigue la forma de la función matemática SENO. Que es la representada en la figura. Esta función es (si se trata de tensiones) : v i = V p sen kt o bien (si se trata de corrientes) i i = I p sen kt donde: v i : es el valor instantáneo de la tensión, es decir, el valor en un determinado instante t. i i :es el valor instantáneo de la corriente, es decir, el valor en un determinado instante t. 51

V p : es el valor de pico de la tensión, también llamado amplitud de la tensión I p : es el valor de pico de la corriente, también llamado amplitud de la corriente k es una constante propia de la corriente de que se trate, relacionada con la frecuencia, y cuya explicación se verá más adelante. t: es el tiempo expresado en segundos ( para cada instante t la tensión tendrá un valor) Función Seno Sus propiedades son : Período: π El dominio de la función seno es el conjunto de los números reales. El rango de la función seno es el intervalo [-1, 1] Simétrica con respecto al origen. Intersección con el eje x: son 0,± π, ± π, ± 3π,... Intersección con el eje y es el origen (0,0) Es una función impar y fx () = senx () 7π 5π 3π -π π π π 1 x -4π -3π -π π 3π 4π -1 3π 5π 7π Función Coseno Sus propiedades son : Período: π El dominio de la función coseno es el conjunto de los números reales. El rango de la función coseno es el intervalo [ -1, 1] Simétrica con respecto al eje y. Intersección con el eje x: son ± π ± 3π ± π, 5,,... Intersección con el eje y es el origen (0,1) Es una función par 5

y hx () = cosx () 1 -π π -4π 7π -3π 5π -π 3π π π 3π 5π 3π 7π 4π -1 π x 3. RELACION DE FASE De las identidades trigonométricas se observa la relación de fase entre la onda senoidal y cosenoidal. sen (90 - α) = cos α sen (180 - α) = sen α cos (90 - α) = sen α cos (180 - α) = -cos α sen α = senα cosα sen (α + β) = senα cosβ + cosα senβ cos (α + β) = cosα cosβ - senα senβ 53

Ejemplo 01: Una corriente sinusoidal tiene una amplitud máxima de 0 A. La corriente pasa por un ciclo completo en 1.0 ms, y la magnitud de la corriente en el tiempo cero es 10 A. a) Cuál es la frecuencia de la corriente en hertz? b) Cuál es la frecuencia en radianes por segundo? c) Escribir la expresión de i(t) utilizando la función coseno. Expresar Φ en grados. d) Cuál es el valor eficaz de la corriente? Solución: a) Del planteamiento del problema, T =1 ms; por lo tanto, f = 1/T = 1000 Hz. b) c) Tenemos i(t) = I m cos (ωt + Φ) = 0 cos (000ωt + Φ), pero i(0) = 10 A. Por lo tanto, 10 = 0 cos Ø y Ø = 60. Entonces, la expresión de i(t) es c) En la derivación de la ecuación, el valor eficaz de una corriente sinusoidal es Por ende, el valor eficaz es = 14.14 A. Ejemplo 0: Un voltaje sinusoidal está dado por la expresión v = 300 cos (10πt + 30 ). a) Cuál es el periodo del voltaje en milisegundos? b) Cuál es la frecuencia en hertz? c) Cuál es la magnitud de v en t =.778 ms? d) Cuál es el valor eficaz de v? Solución: a) A partir de la expresión de v, ω = 10 rad/s. Dado que ω = π/t, T = π/ ω = 1/60 s,o 16.667 ms. b) La frecuencia es 1/T o 60Hz. c) En t =.778 ms, ωt es casi 1.047 rad, o 60. Por ello, v(.778 ms) = 300 cos (60 + 30 ) = 0 V. d) Ejemplo 03: La función seno se puede transformar en una función coseno restando 90 (π/ rad) al argumento de la función seno. a) Comprobar esta transformación demostrando que c) Usar el resultado obtenido en (a) para expresar sen (ωt + 30 ) como una función coseno. Solución: a) La comprobación consiste en aplicar directamente la identidad trigonométrica Sea α = ωt + θ y β = 90.Dado que cos 90 = 0 y sen90 = 1, tenemos b) De (a) tenemos 54

4. RESPUESTA SENOIDAL DE UN RESISTOR 55

5. VALOR MEDIO Y VALOR EFICAZ RMS Se llama valor medio de una tensión (o corriente) alterna a la media aritmética de todos los valores instantáneos de tensión ( o corriente), medidos en un cierto intervalo de tiempo. En una corriente alterna sinusoidal, el valor medio durante un período es nulo: en efecto, los valores positivos se compensan con los negativos. Vm = 0 0 En cambio, durante medio periodo, el valor medio máximo siendo Vo el valor. Se llama valor eficaz de una corriente alterna, al valor que tendría una corriente continua que produjera la misma potencia que dicha corriente alterna, al aplicarla sobre una misma resistencia. Es decir, se conoce el valor máximo de una corriente alterna (Io). Se aplica ésta sobre una cierta resistencia y se mide la potencia producida sobre ella. A continuación, se busca un valor de corriente continua que produzca la misma potencia sobre esa misma resistencia. A este último valor, se le llama valor eficaz de la primera corriente (la alterna). Para una señal sinusoidal, el valor eficaz de la tensión es: y del mismo modo para la corriente la potencia eficaz resultará ser: la potencia eficaz resultará ser: Es decir que es la mitad de la potencia máxima (o potencia de pico) La tensión o la potencia eficaz, se nombran muchas veces por las letras RMS. O sea, el decir 10 VRMS ó 15 WRMS significarán 10 voltios eficaces ó 15 watios eficaces, respectivamente. 56

6. RESPUESTA SENOIDAL DE UN INDUCTOR 57

7. RESPUESTA SENOIDAL DE UN CAPACITOR 58

8. PROBLEMAS Problema 01: Un voltaje sinusoidal se describe con la expresión: v = 40 cos (513.7t + 36.87 ). Encuentre (a) f en hertz; (b) T en milisegundos; (c) V m ; (d) v(0); (e) Φ en grados y radianes; (f) el menor valor positivo de t en el cual v = 0, y (g) el menor valor positivo de t en el cual dv/di =0. Respuesta: (a) 400 Hz; (b).5 ms; (c) 40V; (d) 3 V; (e) 36.87 o 0.6435 rad; (f) 368.96 µs; (g) 993.96 µs Problema 0: Considere el voltaje sinusoidal: a) Cuál es la amplitud máxima del voltaje? b) Cuál es la frecuencia en hertz? c) Cuál es la frecuencia en radianes por segundo? d) Cuál es el ángulo de fase en radianes? e) Cuál es el ángulo de fase en grados? f) Cuál es el periodo en milisegundos? g) Cuándo es la primera vez después de t = 0 en que v = 100 V? h) La función sinusoidal se desplaza 5/1 ms a la izquierda sobre el eje del tiempo. Cuál es la expresión de v(t)? i) Cuál es el número mínimo de milisegundos que debe desplazarse hacia la derecha la función si la expresión de v(t) es 100 cos 400πt V? j) Cuál es el número mínimo de milisegundos que debe desplazarse hacia la izquierda la función si la expresión de v(t) es 100 sen 400πt V Respuesta: Problema 03: Una corriente sinusoidal es cero en t = 15 µs y aumenta a razón de x 10 5 πt A/s. La máxima amplitud de la corriente es de 10 A. a) Cuál es la frecuencia de i en radianes por segundo? b) Cuál es la expresión de i? Respuesta: 59

Problema 04: El valor eficaz del voltaje sinusoidal que suministra el enchufe de una pared en un hogar estadounidense es de 10V. Cuál es el voltaje máximo en el enchufe? Respuesta: 169.71 V 60