Semana 2: Introducción al Álgebra Taller de Preparación para Prueba PLANEA Ing. Jonathan Quiroga Tinoco Conalep Tehuacán P.T.B. en ADMO, SOMA y EMEC
UNIDAD 08 Lenguaje algebraico 1. Lenguaje y expresión algebraica 2. Monomios y polinomios 3. Operaciones con expresiones algebraicas 4. Igualdades, identidades y ecuaciones 5. Soluciones de una ecuación
1. Lenguaje y expresión algebraica El lenguaje algebraico permite escribir, lo que queremos expresar verbalmente, con letras y números unidos con operaciones matemáticas. Una expresión algebraica es un conjunto de letras y números unidos por operaciones matemáticas. Cada sumando de una expresión algebraica recibe el nombre de término y tiene una parte numérica (coeficiente) y una parte formada por letras (parte literal) términos coeficiente 5x 2 7x + 4 parte literal
1. Lenguaje y expresión algebraica El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de sustituir las letras por números y realizar las operaciones indicadas. El valor numérico de 6x 3 + 5x 2 9x + 3, para x = 2, es 53: 6 (2) 3 + 5 (2) 2 9 (2) + 3 = 48 + 20 18 + 3 = 53
2. Monomios y polinomios Monomio: expresión algebraica con un solo término. 5x 3 y 2 El grado de un monomio es la suma de los exponentes de la parte literal. En este caso 5. Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal. Así, 3x es semejante a 2x. Binomio: expresión algebraica con dos términos. 7x 3
2. Monomios y polinomios Polinomio: expresión algebraica con varios términos. 5x 2 3x + 4 El grado de un polinomio es el del término de mayor grado. 5x 2 3x + 4 coeficiente término independiente Grado del polinomio 2
3. Operaciones con expresiones algebraicas. Adición y sustracción Para sumar o restar monomios deben ser semejantes. Se suman o restan los coeficientes y se deja la misma parte literal. 7x 3 10 xy 2 + 5x 3 xy 2 12x 3 7 xy 2
3. Operaciones con expresiones algebraicas. Multiplicación y división Para multiplicar o dividir un monomio por un número se multiplica o divide el coeficiente del monomio por el número y se deja la misma parte literal. 5 (4 x 2 y) = (5 4) x 2 y = 20 x 2 y (4 x 2 y) : 2 = (4 : 2) x 2 y = 2 x 2 y
3. Operaciones con expresiones algebraicas. Multiplicación y división Para multiplicar o dividir dos monomios se multiplican o dividen por un lado los coeficientes y, por otro, las partes literales teniendo en cuenta las propiedades de multiplicación y división de potencias con la misma base. (5x 3 y 2 ) ( 3xy 3 ) = (5 3) (x 3 y 2 xy 3 ) = 15x 4 y 5 (20x 6 y 9 ) : (5x 2 y 3 ) = (20 : 5) (x 6 y 9 : x 2 y 3 ) = 4x 3 y 3
4. Igualdades, identidades y ecuaciones Una igualdad es una expresión con dos miembros separados por un igual, donde el resultado del primer miembro es igual al del segundo miembro. (3 + 2) (3 2) = 5 Las igualdades en las que aparecen letras y números relacionados con operaciones matemáticas se denominan igualdades algebraicas. 3a + 5a 2a = 6a
4. Igualdades, identidades y ecuaciones Las igualdades tienen las siguientes propiedades: Si se suma o se resta a los dos miembros de una igualdad un mismo número la igualdad sigue siendo cierta. (3 + 2) (3 2) = 5 (3 + 2) (3 2) + 2 = 5 + 2 Si se multiplican o dividen los dos miembros de una igualdad por un mismo número, distinto de cero, la igualdad sigue siendo cierta. (3 + 2) (3 2) = 5 (3 + 2) (3 2) 7 = 5 7
4. Igualdades, identidades y ecuaciones Una ecuación es una igualdad algebraica que solo es correcta para algunos valores de las letras. La igualdad x + 1 = 5 solo se cumple para x = 4, luego es una ecuación. En toda ecuación hay que distinguir los siguientes elementos: primer miembro segundo miembro x + 5 = 2 + 2x incógnitas términos
5. Solución de una ecuación Encontrar la solución o soluciones de una ecuación es hallar el valor o valores de la incógnita o de las incógnitas que cumplen la igualdad. La solución de la ecuación x 5 = 3 es x = 8, pues 8 5 = 3 Þ 3 = 3 Las ecuaciones se pueden clasificar según tengan solución o no y según el número de soluciones. 1º ESO UNIDAD 8 MATEMÁTICAS
6. Resolución de ecuaciones de primer grado Ejemplo 1: x 5 = 7 Sumamos 5 a los dos miembros y operamos: x 5 + 5 = 7 + 5 Þ x = 12 La solución de la ecuación es x = 12. Ejemplo 2: 4x = 28 Dividimos entre 4 a los dos miembros y operamos: 4 x = 4 28 4 Þ x = 7 La solución de la ecuación es x = 7. 1º ESO UNIDAD 8 MATEMÁTICAS
6. Resolución de ecuaciones de primer grado Ejemplo 3: 6 (x + 2) = x + 3 (x + 6) Quitamos los paréntesis aplicando la propiedad distributiva: 6x + 12 = x + 3x + 18 Reducimos los términos semejantes: 6x + 12 = 4x + 18 Restamos 4x a los dos miembros: 6x 4x + 12 = 4x 4x + 18 Þ 2x + 12 = 18 Restamos 12 a los dos miembros: 2x + 12 12 = 18 12 Þ 2x = 6 Dividimos entre 2 los dos miembros: 2 x = 6 Þ x = 3 2 2 La solución es x = 3. 1º ESO UNIDAD 8 MATEMÁTICAS
6. Resolución de ecuaciones de primer grado Ejemplo 4: 5 x + 2= x 11 2 4 + Quitamos los denominadores multiplicando los dos miembros de la ecuación por el m.c.m., en este caso, 4: 4 ö ç ç æ5x æ ö +2 ç = 4 ç è 2 ø è4 x +11 ø Quitamos los paréntesis y operamos: 20x + 8 = 4x + 44 Þ 10x + 8 = x + 44 2 4 Restamos x y 8 a los dos miembros: 10x x + 8 8 = x x + 44 8 Þ 9x = 36 Dividimos entre 9 los dos miembros: 9x = 36 Þ x = 4 9 9 La solución de la ecuación es x = 4. 1º ESO UNIDAD 8 MATEMÁTICAS