Procedimientos de Decisión Colectiva

Universidad de Valladolid Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales 1 Procedimientos de Decisión Colectiva Asignatura de libre elección de 4,5 créditos José Luis García Lapresta Miguel Martínez Panero Departamento de Economía Aplicada (Matemáticas) TEMARIO 1. Introducción 2. Preferencias individuales y colectivas 3. Método de pluralidad y voto aprobatorio 4. Mayorías simple, absoluta, cualificadas y dobles 5. Método de Borda 6. Otros métodos de votación 7. Teoremas de imposibilidad de Arrow y de Gibbard - Satterthwaite Apuntes elaborados por José Luis García Lapresta http://www2.eco.uva.es/lapresta/ lapresta@eco.uva.es

Procedimientos de Decisión Colectiva José Luis García Lapresta 2 1 INTRODUCCIÓN 1.1 ALGUNOS SISTEMAS DE VOTACIÓN 1. Se somete una propuesta a votación. Cada votante muestra su opinión a favor, en contra o bien se abstiene. (a) La propuesta es aprobada si obtiene más votos a favor que en contra (mayoría simple) (b) La propuesta es aprobada si consigue más de la mitad de los votos posibles (mayoría absoluta). (c) La propuesta es aprobada si obtiene más de la mitad de los votos emitidos. (d) La propuesta es aprobada si logra o supera un porcentaje prefijado, de más del 50%, de los votos posibles (mayoría cualificada). (e) Para que la propuesta sea aprobada es necesario que todos los votos sean favorables (unanimidad). (f) La propuesta es aprobada si no obtiene ningún voto en contra (derecho a veto de cada uno de los votantes). (g) Los votantes representan países, provincias o entidades de distinta población o importancia. Cada uno de ellos dispone de un número determinado de votos.

Procedimientos de Decisión Colectiva José Luis García Lapresta 3 i. La propuesta resulta aprobada si alcanza o supera un número prefijado de votos (cuota), de más del 50% de los votos posibles (voto ponderado). Notación: [q; w 1,..., w m ], donde q es la cuota y w i el número de votos del votante i. ii. Para que la propuesta sea aprobada se requiere un número prefijado de votos, de más del 50% de los votos posibles, y simultáneamente que la suma de población correspondiente a los votantes que apoyan la propuesta alcance un porcentaje prefijado de la población total (mayoría doble). (h) Cuando se ha de cubrir un puesto y sólo existe un candidato para ocuparlo, se puede aplicar cualquiera de los sistemas precedentes, entendiendo que la propuesta consiste en que el candidato ocupe el puesto al que opta. 2. Dos candidatos pugnan por lograr un único puesto. Cada elector vota por un candidato o se abstiene. (a) Resulta elegido el candidato que obtenga mayor número de votos (mayoría simple). (b) Un candidato resulta elegido si obtiene más de la mitad de los votos posibles (mayoría absoluta).

Procedimientos de Decisión Colectiva José Luis García Lapresta 4 3. Más de dos candidatos pugnan por lograr un único puesto. (a) Cada elector vota por un candidato o se abstiene. Resulta elegido el candidato que obtenga mayor número de votos (pluralidad). (b) Cada elector vota por un candidato o se abstiene. Resulta elegido el candidato que consiga más de la mitad de los votos posibles. Si no hay ninguno, en segunda vuelta se someten a votación los dos candidatos más votados en la primera vuelta. Finalmente resulta elegido el candidato que obtenga mayor número de votos en la segunda vuelta. (c) Cada elector vota por los candidatos que considera aceptables y resulta elegido el candidato que obtenga mayor número de votos (voto aprobatorio). (d) Cada elector ordena los candidatos según sus preferencias. Al peor valorado le asigna 0 puntos; al siguiente, 1 punto; al siguiente, 2 puntos; y así sucesivamente. Resulta elegido el candidato con mayor puntuación total (método de Borda). 4. Varios candidatos pugnan por lograr varios puestos. (a) Cada elector vota por un candidato o se abstiene. Resultan elegidos los candidatos que obtengan mayor número de votos, hasta cubrir los puestos vacantes (pluralidad).

Procedimientos de Decisión Colectiva José Luis García Lapresta 5 (b) Cada elector vota por los candidatos que considera aceptables. Resultan elegidos los candidatos que consigan mayor número de votos, hasta cubrir los puestos vacantes (voto aprobatorio). (c) Cada elector ordena los candidatos según sus preferencias. Al peor valorado le asigna 0 puntos; al siguiente, 1 punto; al siguiente, 2 puntos; y así sucesivamente. Resultan elegidos los candidatos con mayor puntuación total, hasta cubrir los puestos vacantes (método de Borda). (d) Cada elector dispone de un número fijo de votos para distribuir libremente entre los candidatos. Resultan elegidos los candidatos con mayor puntuación total, hasta cubrir los puestos vacantes (voto acumulativo). 1.2 EJEMPLOS 1. Votaciones primarias en el PSOE (1999) En las elecciones primarias del PSOE en las que se seleccionaron los candidatos a la presidencia de Comunidades Autónomas y a Alcaldías de capitales de provincia y municipios de más de 50000 habitantes, para concurrir a las elecciones del 13 de junio de 1999, éstos fueron elegidos por el método de pluralidad entre aquéllos que se postulaban para ello. En algunas Comunidades

Procedimientos de Decisión Colectiva José Luis García Lapresta 6 Autónomas concurrieron más de dos candidatos, de forma que resultó elegido, a veces por muy pocos votos de diferencia, el candidato más votado. 2. Institut National de France (1796 1804) En el Institut National de France, cuando se producía una vacante, se proponían 3 nombres. Cada elector asignaba un número a cada candidato: 3 al mejor valorado, 2 al que le merecía el segundo grado de aprecio, y 1 al que le pareciera menos digno. Resultaba elegido el candidato con mayor puntuación total (método de Borda). 3. Eurovisión Cada uno de los países concursantes otorga diversas puntuaciones a las canciones preferidas (excluyendo la de su propio país), en orden decreciente según su valoración: 12, 10, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. Resulta ganador el país con mayor puntuación total. En caso de empate, vencerá el país que haya obtenido mayor número de veces 12 puntos; de continuar el empate, se haría los mismo con 10 puntos, y así sucesivamente (variante del método de Borda).

Procedimientos de Decisión Colectiva José Luis García Lapresta 7 4. Senado español A cada una de las provincias peninsulares españolas le corresponden 4 senadores. En cada circunscripción los electores pueden votar a un máximo de 3 candidatos. Resultan elegidos los 4 candidatos con mayor número de votos (variante de voto aprobatorio). 5. Director de Departamento en algunas universidades españolas En la anterior Ley de Reforma Universitaria (L.R.U.), la Dirección de los Departamentos Universitarios correspondía a un Catedrático y, de no haber candidatos de esa categoría, a un Profesor Titular. Se da la circunstancia de que presentándose un único Catedrático a la Dirección, éste podía resultar elegido sin realizar votación alguna o bien independientemente del resultado de la votación, aunque el candidato no contara con un mínimo apoyo de los miembros del Consejo de Departamento. 6. Unión Soviética En la antigua Unión Soviética muchas elecciones se llevaban a cabo presentando a los votantes una lista de candidatos, de la cual cada elector podía tachar los candidatos de la lista que para él no fueran aceptables. Resultaban elegidos los candidatos que menos veces eran tachados (voto aprobatorio).

Procedimientos de Decisión Colectiva José Luis García Lapresta 8 7. Comunidad Económica Europea (1958) En 1958, el Tratado de Roma asignó un número de votos a cada uno de los 6 países de la naciente Comunidad Económica Europea: País Número de votos Alemania 4 Francia 4 Italia 4 Bélgica 2 Holanda 2 Luxemburgo 1 Para que una propuesta fuera aprobada necesitaba al menos 12 votos de los 17 posibles (mayoría cualificada del 70.58%; voto ponderado de cuota 12: [12; 4, 4, 4, 2, 2, 1]). A pesar de que Luxemburgo disponía de una representación, en número de votos, muy superior a la que le correspondería por su población, su capacidad real de decisión era nula: ninguna coalición perdedora pasaría a ser ganadora gracias a la incorporación de Luxemburgo; y ninguna coalición ganadora pasaría a ser perdedora por la deserción de Luxemburgo.

Procedimientos de Decisión Colectiva José Luis García Lapresta 9 8. Comunidad Económica Europea (1973) En 1973 se incorporaron a la Comunidad Económica Europea 3 nuevos países: Dinamarca, Irlanda y Reino Unido. La asignación de votos fue la siguiente: País Número de votos Alemania 10 Francia 10 Italia 10 Reino Unido 10 Bélgica 5 Holanda 5 Dinamarca 3 Irlanda 3 Luxemburgo 2 Para que una propuesta fuera aprobada necesitaba al menos 41 votos de los 58 posibles (mayoría cualificada del 70.68%; voto ponderado de cuota 41: [41; 10, 10, 10, 10, 5, 5, 3, 3, 2]). Los antiguos países de la Comunidad Económica Europea vieron multiplicado el número de votos por 2.5, a excepción de Luxemburgo que tan sólo duplicó el número de votos. Sin embargo, en la nueva ponderación, Luxemburgo pasó a tener capacidad de decisión: por ejemplo, Alemania, Francia, Italia, Reino Unido y

Procedimientos de Decisión Colectiva José Luis García Lapresta 10 Luxemburgo formaban una coalición ganadora, que dejaba de serlo si se retiraba Luxemburgo. 9. Consejo de Seguridad de la O.N.U. El Consejo de Seguridad de la O.N.U. está formado por 15 países, 5 de los cuales son miembros permanentes (China, Francia, Estados Unidos, Reino Unido y Rusia) y el resto no. Para que una propuesta sea aceptada se requieren al menos 9 votos favorables (mayoría cualificada del 60%), entre los que han de contarse los de todos los miembros permanentes (derecho a veto). 10. Enmiendas a la Constitución canadiense Desde 1982 para que una enmienda a la Constitución canadiense sea aprobada es necesario que la apoyen al menos 7 de las 10 provincias y, a la vez, que las provincias que apoyan la enmienda representen al menos la mitad de la población del país. El porcentaje de población de las provincias en 1961 era: Alberta, 7%; British Columbia, 9%; Manitoba, 5%; New Brunswick, 3%; Newfounland, 3%; Nova Scotia, 4%; Ontario, 34%; Prince Edward Island, 1%; Quebec, 29%; Saskatchewan, 5%.

Procedimientos de Decisión Colectiva José Luis García Lapresta 11 2 PREFERENCIAS INDIVIDUALES Y COLECTIVAS 2.1 RELACIONES BINARIAS 2.1.1 NOCIONES BÁSICAS X = {x 1, x 2,..., x n } conjunto de alternativas S X X relación binaria sobre X (x i, x j ) S x i S x j 1. S es reflexiva x i X x i S x i 2. S es irreflexiva x i X no x i S x i x i X x i S x i 3. S es simétrica x i, x j X (x i S x j x j S x i ) 4. S es asimétrica x i, x j X (x i S x j no x j S x i ) 5. S es acíclica x i1, x i2, x i3,..., x ir X x i1 S x i2 x i2 S x i3......... x ir 1 S x ir no x ir S x i1 6. S es transitiva x i, x j, x k X x i S x j x j S x k 7. S es negativamente transitiva x i, x j, x k X no x i S x j no x j S x k no x i S x k x i S x k 8. S es completa x i, x j X (x i S x j o x j S x i )

Procedimientos de Decisión Colectiva José Luis García Lapresta 12 2.1.2 PROPIEDADES 1. S acíclica S asimétrica S irreflexiva 2. S completa S reflexiva 3. S asimétrica y transitiva S acíclica 4. S asimétrica y negativamente transitiva S transitiva 2.1.3 PREFERENCIA E INDIFERENCIA 1. P relación de preferencia fuerte P es asimétrica 2. I relación de indiferencia asociada a P : x i I x j ni x i P x j ni x j P x i 3. R relación de preferencia débil asociada a P : x i R x j (x i P x j o x i I x j ) no x j P x i P es irreflexiva I es reflexiva y simétrica R es reflexiva y completa R es transitiva P es negativamente transitiva P e I son transitivas

Procedimientos de Decisión Colectiva José Luis García Lapresta 13 2.1.4 PREFERENCIAS INDIVIDUALES Y ELECCIÓN COLECTIVA X = {x 1, x 2,..., x n } conjunto de alternativas o candidatos V = {1, 2,..., m} conjunto de votantes P k I k R k relación de preferencia fuerte del votante k relación de indiferencia del votante k relación de preferencia débil del votante k (P 1, P 2,..., P m ) perfil o configuración de preferencias Buena parte de los procedimientos de decisión colectiva puede representarse bajo alguno de los siguientes conceptos. 1. Una regla de agregación es una función F que asigna a cada perfil de preferencias individuales una preferencia colectiva (P 1, P 2,..., P m ) P = F (P 1, P 2,..., P m ). El colectivo se asemeja a los votantes: sus opiniones quedan recogidas en una relación de preferencia. La decisión social se toma a partir de la relación de preferencia colectiva. 2. Una función de elección es una función e que asigna a cada perfil de preferencias individuales un subconjunto de alternativas (P 1, P 2,..., P m ) X = e(p 1, P 2,..., P m ) X. La decisión social viene dada por las alternativas seleccionadas.

Procedimientos de Decisión Colectiva José Luis García Lapresta 14 3. Una función de votación es una función f que asigna a cada perfil de preferencias individuales una alternativa (P 1, P 2,..., P m ) x = f(p 1, P 2,..., P m ) X. La decisión social viene determinada por una única alternativa, la vencedora. 3 MÉTODO DE PLURALIDAD Y VOTO APROBATORIO En los métodos de votación por pluralidad y aprobatorio cada votante selecciona una o varias alternativas: - En el de pluralidad cada agente vota por una sola alternativa, supuestamente preferida a las demás, o se abstiene. - En el aprobatorio cada agente vota por las alternativas que considera aceptables. En ambos casos se suman los votos obtenidos por cada alternativa y resulta ganadora la que obtenga mayor puntuación. Si se necesita seleccionar varias alternativas, se escogerán aquéllas con mayor número de votos hasta cubrir el número deseado.

Procedimientos de Decisión Colectiva José Luis García Lapresta 15 3.1 MÉTODO DE PLURALIDAD 1. Se supone que cada votante prefiere una alternativa por encima de las demás, que es a la que vota: k V x i X x j X \ {x i } x i P k x j. 2. Si un votante considera que ninguna alternativa es mejor que las restantes, puede abstenerse o bien votar por alguna que considere menos mala desde algún punto de vista. 3. Dado que varias alternativas pueden alcanzar el mismo número de votos, puede haber empates que hagan necesario acudir a algún procedimiento de desempate para seleccionar el número exacto de alternativas requeridas. 4. Sólo se tiene en cuenta la alternativa mejor valorada por cada votante, ignorándose la opinión de los votantes sobre las demás alternativas. 5. Puede resultar elegida una alternativa que sea la peor valorada por la mayoría de los votantes. Ejemplo dado por Joseph Isidoro Morales (1797): siete votantes, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ordenan 3 candidatos, A, B, C, de la siguiente forma

Procedimientos de Decisión Colectiva José Luis García Lapresta 16 1 2 3 4 5 6 7 1 0 C C B B A A A 2 0 B B C C B C C 3 0 A A A A C B B Aunque para la mayoría absoluta de los votantes A es el peor candidato, éste resultaría elegido por pluralidad (es el mejor para 3 votantes, frente a B y C que sólo lo son para 2). 6. Este procedimiento de decisión colectiva puede ser representado mediante una función de elección en donde el dominio es el conjunto de los perfiles de preferencias individuales que tienen una alternativa preferida a las restantes. El conjunto de alternativas elegidas es el que tiene mayor número de votos, hasta alcanzar el número deseado a seleccionar. 3.2 VOTO APROBATORIO ( APPROVAL VOTING ) 1. Se supone que cada votante divide el conjunto de alternativas en dos subconjuntos disjuntos, el de las que aprueba y el de las que desaprueba, y da su voto a cada una de las que aprueba. 2. Dado que varias alternativas pueden alcanzar el mismo número de votos, puede haber empates que hagan necesario acudir a algún procedimiento de desempate para seleccionar el número exacto de alternativas requeridas.

Procedimientos de Decisión Colectiva José Luis García Lapresta 17 3. Apenas se tienen en cuenta las preferencias de los votantes: sólo se supone que toda alternativa aprobada es preferida a cualquiera desaprobada. 4. Votar por todas las alternativas equivale a no votar. 5. Favorece a los candidatos moderados que, sin ser los más deseados por ninguna minoría, tienen el beneplácito de la mayoría. 6. Induce a los candidatos el procurar atender los deseos de la mayoría de los votantes. 7. Incentiva la participación electoral. 8. Es muy fácil de llevar a la práctica. 4 MAYORÍAS SIMPLE, ABSOLUTA, CUALIFICADAS Y DOBLES Los procedimientos de decisión colectiva por mayoría simple, mayoría absoluta, mayorías cualificadas y mayorías dobles quedan definidos por reglas de agregación basadas en el número de votantes que prefieren una alternativa a otra: #(x i P x j ) = #{k V x i P k x j }.

Procedimientos de Decisión Colectiva José Luis García Lapresta 18 4.1 MAYORÍA SIMPLE La regla de agregación de la mayoría simple viene definida por x i P s x j #(x i P x j ) > #(x j P x i ). En otras palabras, x i vence a x j por mayoría simple cuando el número de votantes que prefieren x i a x j supera al de aquéllos que prefieren x j a x i. Una alternativa x i es vencedora de Condorcet si vence por mayoría simple a cada una de las alternativas restantes, es decir verifica x j X \ {x i } x i P s x j. 4.1.1 PARADOJA DEL VOTO (Condorcet, 1781) P s es asimétrica pero no necesariamente acíclica. Sean X = {x 1, x 2, x 3 } y V = {1, 2, 3} tales que x 1 P 1 x 2, x 2 P 1 x 3, x 1 P 1 x 3, x 2 P 2 x 3, x 3 P 2 x 1, x 2 P 2 x 1, x 3 P 3 x 1, x 1 P 3 x 2, x 3 P 3 x 2. Entonces, #(x 1 P x 2 ) = 2 > 1 = #(x 2 P x 1 ), #(x 2 P x 3 ) = 2 > 1 = #(x 3 P x 2 ), #(x 3 P x 1 ) = 2 > 1 = #(x 1 P x 3 ).

Procedimientos de Decisión Colectiva José Luis García Lapresta 19 En consecuencia, x 1 P s x 2, x 2 P s x 3 y x 3 P s x 1, por lo que P s no es acíclica. Esta paradoja también se pone de manifiesto cuando se establecen votaciones por pares de forma secuencial: si primero se vota entre dos alternativas y la ganadora se enfrenta a la tercera, el resultado puede ser diferente según el orden en el que que se efectúen las votaciones. En el ejemplo anterior, si primero se vota entre x 1 y x 2, gana x 1 ; ahora, si se enfrenta la alternativa ganadora, x 1, con x 3, gana x 3. Pero si en primer lugar se vota entre x 1 y x 3, gana x 3 ; al enfrentar x 3 con x 2, vence x 2. Análogamente, si en primer lugar se vota entre x 2 y x 3, gana x 2 ; ahora, al enfrentar x 2 con x 1, vence x 1. Por tanto, el orden en el que se presenten las alternativas es determinante en el resultado final. 4.1.2 TEOREMA DE MAY (1952) F es la regla de agregación de la mayoría simple si y sólo si verifica las siguientes propiedades 1. F respeta el anonimato: para cualquier reordenación de los votantes (aplicación biyectiva) σ : {1,..., m} {1,..., m} y cualquier perfil (P 1,..., P m ) se verifica F (P σ(1),..., P σ(m) ) = F (P 1,..., P m ).

Procedimientos de Decisión Colectiva José Luis García Lapresta 20 2. F es neutral: dados dos perfiles (P 1,..., P m ), (P 1,..., P m) y dos alternativas x i, x j X, si x i P k x j x j P k x i y x j P k x i x i P k x j, para todo k {1,..., m}, entonces se verifica x i P x j x j (P ) x i y x j P x i x i (P ) x j. 3. F tiene respuesta positiva: dados dos perfiles (P 1,..., P m ), (P 1,..., P m) y dos alternativas x i, x j X, si existe l V tal que (a) x i I l x j x i P l x j (b) x j P l x i x i R l x j (c) k V \{l} x i P k x j x i P k x j y x j P k x i x j P k x i, entonces x i R x j x i (P ) x j. El respeto al anonimato significa que el resultado de la agregación no depende de qué votantes tengan determinadas preferencias, sino de que realmente alguno las tenga (semejante a una votación secreta). La neutralidad exige que si todos los votantes invierten su opinión entre dos alternativas, entonces la preferencia colectiva también se ha de invertir. La respuesta positiva garantiza que cuando un votante mejora la opinión de una alternativa frente a otra y los demás mantienen la opinión anterior, si antes la primera alternativa vencía a la segunda o empataban entre sí, ahora la primera ha de vencer a la segunda.

Procedimientos de Decisión Colectiva José Luis García Lapresta 21 4.2 MAYORÍA ABSOLUTA La regla de agregación de la mayoría absoluta viene definida por x i P a x j #(x i P x j ) > m 2. En otras palabras, x i vence a x j por mayoría absoluta cuando más de la mitad de los votantes prefieren x i a x j. 1. P a es asimétrica pero no necesariamente acíclica: también se produce la paradoja del voto (es válido el ejemplo presentado para la mayoría simple). 2. x i P a x j x i P s x j y x i I s x j x i I a x j. No puede ocurrir simultáneamente x i P s x j y x j P a x i. 3. La regla de agregación de la mayoría absoluta no satisface la propiedad de respuesta positiva. 4.2.1 TEOREMA DE FISHBURN (1973) F es la regla de agregación de la mayoría absoluta si y sólo si verifica las siguientes propiedades 1. F respeta el anonimato. 2. F es neutral.

Procedimientos de Decisión Colectiva José Luis García Lapresta 22 3. F es fuertemente irreversible: dados dos perfiles (P 1,..., P m ), (P 1,..., P m) y dos alternativas x i, x j X, si existe l V tal que (a) x i P l x j y x i I l x j (b) para cualquier k V \ {l} se verifica x i P k x j x i P k x j y x j P k x i x j P k x i, entonces x i R x j x i (R ) x j. 4. F es monótona: dados dos perfiles (P 1,..., P m ), (P 1,..., P m) y dos alternativas x i, x j X, si existe l V tal que (a) x i I l x j x i R l x j y x i P l x j x i P l x j (b) para cualquier k V \ {l} se verifica x i P k x j x i P k x j y x j P k x i x j P k x i, entonces x i I x j x i (R ) x j y x i P x j x i (P ) x j. 5. Dados dos perfiles (P 1,..., P m ), (P 1,..., P m) y dos alternativas x i, x j X, si existe l V tal que (a) no ocurre x i I k x j para ningún k V (b) x j P l x i y x i P l x j

Procedimientos de Decisión Colectiva José Luis García Lapresta 23 (c) para cualquier k V \ {l} se verifica x i P k x j x i P k x j y x j P k x i x j P k x i, entonces x i R x j x i (P ) x j. La irreversibilidad fuerte garantiza que cuando un votante pasa de preferir una alternativa a otra a mostrarse indiferente entre ambas y los demás mantienen la opinión anterior, si antes la segunda alternativa no vencía a la primera, ahora tampoco. La monotonía asegura que cuando un votante mejora su opinión de una alternativa frente a otra y los demás mantienen la opinión anterior, el resultado sobre la primera alternativa no puede empeorar. La última propiedad garantiza que si ningún votante se muestra indiferente entre dos alternativas, uno de ellos invierte sus preferencias entre ellas y los demás mantienen su opinión entre ambas alternativas, si antes no vencía la alternativa que inicialmente prefería dicho votante, ahora pasa a ganar. 4.3 MAYORÍAS CUALIFICADAS Dado α (0.5, 1], la regla de agregación de la mayoría cualificada de cuota α viene definida por x i P α x j #(x i P x j ) αm.

Procedimientos de Decisión Colectiva José Luis García Lapresta 24 En otras palabras, x i vence a x j por mayoría cualificada de cuota α cuando al menos el 100 α% de los votantes prefieren x i a x j. 1. P α es asimétrica. 2. α > β > 0.5 : x i P α x j x i P β x j x i P a x j. 3. α > β > 0.5 : x i I a x j x i I β x j x i I α x j. 4. x i P 1 x j x i P k x j para todo k V (unanimidad). 5. Las mayorías cualificadas se encuentran comprendidas entre la mayoría absoluta y la unanimidad. 4.4 MAYORÍAS DOBLES Los votantes representan países, provincias o entidades de distinta población o importancia. El votante k V dispone de w k votos y representa a una población de t k miembros, con w 1 + + w m = M y t 1 + + t m = T. Dados α, β (0.5, 1], la regla de agregación de la mayoría doble de cuotas (α, β) viene definida por x i P (α,β) x j w k αm y x i P k x j x i P k x j t k βt. En otras palabras, x i vence a x j por mayoría doble de cuotas (α, β) cuando al menos el 100 α% de los votos apoyan x i frente a x j y éstos representan al menos el 100 β% de la población total.

Procedimientos de Decisión Colectiva José Luis García Lapresta 25 5 MÉTODO DE BORDA El votante k V asigna a cada alternativa una puntuación que consiste en el número de alternativas a las que prefiere: r k (x i ) = #{x j x i P k x j }. El contador Borda de la alternativa x i se define como la suma de puntuaciones individuales: r(x i ) = r 1 (x i ) + + r m (x i ). La regla de agregación de Borda viene definida por x i P B x j r(x i ) > r(x j ). 1. Si P k es transitiva, entonces se verifica: x i P k x j r k (x i ) > r k (x j ). 2. Si P k no es transitiva, el votante k puede asignar las puntuaciones de forma incoherente (puede dar mayor puntuación a una alternativa que valore menos que otra). Sean X = {x 1, x 2, x 3, x 4 } y k V tales que x 1 P k x 2, x 2 P k x 3, x 3 P k x 4, x 1 I k x 3, x 1 I k x 4, x 2 P k x 4. Entonces, r k (x 1 ) = 1 < 2 = r k (x 2 ), a pesar de que x 1 P k x 2. 3. P B es asimétrica y negativamente transitiva.

Procedimientos de Decisión Colectiva José Luis García Lapresta 26 4. P B no verifica el axioma de independencia de alternativas irrelevantes: dados dos perfiles (P 1,..., P m ), (P 1,..., P m) y dos alternativas x i, x j X, si para todo k V se verifica x i P k x j x i P k x j y x j P k x i x j P k x i, entonces x i P x j x i (P ) x j y x j P x i x j (P ) x i. Sean tres votantes cuyas preferencias sobre X = {x 1, x 2, x 3 } vienen dadas por el perfil (P 1, P 2, P 3 ): x 1 P 1 x 2, x 2 P 1 x 3, x 1 P 1 x 3 x 2 P 2 x 3, x 3 P 2 x 1, x 2 P 2 x 1 x 3 P 3 x 1, x 1 P 3 x 2, x 3 P 3 x 2. Entonces las alternativas x 1, x 2 puntúan de la siguiente forma: r 1 (x 1 ) = 2, r 2 (x 1 ) = 0, r 3 (x 1 ) = 1 r 1 (x 2 ) = 1, r 2 (x 2 ) = 2, r 3 (x 2 ) = 0, es decir r(x 1 ) = 3 y r(x 2 ) = 3, por lo que x 1 I B x 2. Se considera el perfil (P 1, P 2, P 3): x 1 P 1 x 2, x 2 P 1 x 3, x 1 P 1 x 3 x 2 P 2 x 1, x 1 P 2 x 3, x 2 P 2 x 3 x 1 P 3 x 2, x 2 P 3 x 3, x 1 P 3 x 3.

Procedimientos de Decisión Colectiva José Luis García Lapresta 27 Ahora las alternativas x 1, x 2 obtienen la siguiente puntuación: r 1(x 1 ) = 2, r 2(x 1 ) = 1, r 3(x 1 ) = 2 r 1(x 2 ) = 1, r 2(x 2 ) = 2, r 3(x 2 ) = 1, es decir r (x 1 ) = 5 y r (x 2 ) = 4, por lo que x 1 (P ) B x 2. Dado que en los dos perfiles coinciden los tres agentes en lo relativo a las alternativas x 1, x 2 y la preferencia agregada ha variado, cabe decir que la alternativa x 3 ha sido relevante en la comparación colectiva entre las dos primeras alternativas. 5. La regla de agregación de Borda es manipulable. Sean tres votantes cuyas preferencias sobre X = {x 1, x 2, x 3, x 4 } son transitivas y vienen dadas por el perfil (P 1, P 2, P 3 ): x 3 P 1 x 1, x 1 P 1 x 2, x 2 P 1 x 4 x 4 P 2 x 3, x 3 P 2 x 1, x 1 P 2 x 2 x 2 P 3 x 1, x 1 P 3 x 3, x 3 P 3 x 4. Entonces si se procediera por el método de Borda, las alternativas obtedrían la siguiente puntuación: r(x 3 ) = 6 > r(x 1 ) = 5 > r(x 2 ) = 4 > r(x 4 ) = 3, por lo que x 3 P B x 1, x 1 P B x 2 y x 2 P B x 4. Obsérvese que la alternativa ganadora por el método de Borda, x 3, resulta ser también vencedora de Condorcet.

Procedimientos de Decisión Colectiva José Luis García Lapresta 28 El tercer votante, conocedor de las preferencias de los otros votantes, viendo que ganaría su segunda peor alternativa, podría esconder sus verdaderas preferencias, P 3, y mostrar otras, P 3, con el fin de obtener un resultado mejor que si fuera sincero. Sea el perfil (P 1, P 2, P 3), tal que P 1 = P 1, P 2 = P 2 y P 3 viene dada por x 1 P 3 x 2, x 2 P 3 x 4, x 4 P 3 x 3. Ahora las alternativas obtendrían la siguiente puntuación: r (x 1 ) = 6 > r (x 3 ) = 5 > r (x 4 ) = 4 > r (x 2 ) = 3, por lo que x 1 (P ) B x 3, x 3 (P ) B x 4 y x 4 (P ) B x 2, es decir vencería la segunda mejor alternativa del tercer votante. 6. La regla de agregación de Borda no selecciona necesariamente el vencedor de Condorcet, supuesto que éste exista. Sean tres votantes cuyo perfil (P 1, P 2, P 3 ) de preferencias (transitivas) sobre X = {x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 } viene dado por: x 1 P 1 x 3, x 3 P 1 x 2, x 2 P 1 x 4, x 4 P 1 x 5 x 2 P 2 x 4, x 4 P 2 x 3, x 3 P 2 x 5, x 5 P 2 x 1 x 1 P 3 x 2, x 2 P 3 x 4, x 4 P 3 x 3, x 3 P 3 x 5. Aunque x 1 es vencedora de Condorcet, el método de Borda selecciona x 2 como alternativa ganadora.

Procedimientos de Decisión Colectiva José Luis García Lapresta 29 6 OTROS MÉTODOS DE VOTACIÓN 6.1 MÉTODO DE COPELAND (1951) En el método de Copeland los votantes muestran sus preferencias sobre los pares de alternativas. Una vez agregada la opinión de los agentes por medio de la regla de la mayoría simple, se introduce un contador para cada alternativa C(x i ) = #{x j x i P S x j } #{x j x j P S x i } que evalúa la diferencia entre el número de victorias y el de derrotas por mayoría simple. La regla de agregación de Copeland viene definida por x i P C x j C(x i ) > C(x j ). P C es asimétrica y negativamente transitiva. Además selecciona la alternativa vencedora de Condorcet, cuando ésta existe. Sean 4 votantes que ordenan las alternativas A, B, C, D y E de la siguiente forma 1 2 3 4 1 0 D D C E 2 0 E E B A 3 0 A B A C 4 0 B A D B 5 0 C C E D

Procedimientos de Decisión Colectiva José Luis García Lapresta 30 Utilizando la regla de la mayoría simple se tiene D P s E, E P s A, E P s B, E P s C, A P s C, D I s A, D I s B, D I s C, A I s B, B I s C. Puede observarse que ni P s ni I s son transitivas y que ninguna alternativa es vencedora de Condorcet. Los contadores de Copeland asignan la siguiente puntuación a las alternativas C(A) = 1 1 = 0, C(B) = 0 1 = 1, C(C) = 0 2 = 2, C(D) = 1 0 = 1, C(E) = 3 1 = 2, por lo que se tiene E P C D, D P C A, A P C B, B P C C y, en consecuencia, E vence por el método de Copeland. En este caso el método de Borda coincide con el de Copeland. Sin embargo, no siempre es así. Sean 9 votantes que ordenan las alternativas A, B, C, D y E de la siguiente forma 4 votantes 3 votantes 2 votantes 1 0 E B D 2 0 D C A 3 0 A E B 4 0 C A C 5 0 B D E En este ejemplo ninguna alternativa es vencedora de Condorcet.

Procedimientos de Decisión Colectiva José Luis García Lapresta 31 Además se produce varias veces la paradoja del voto: entre otros ciclos se encuentra C P s E, E P s D y D P s C. El método de Copeland selecciona a D como alternativa ganadora. Sin embargo, por el método de Borda vencería E. 6.2 MÉTODO DE HARE (1857) En el método de Hare cada uno de los votantes entrega una lista ordenada de las alternativas en litigio. Si una alternativa ocupa la primera posición para más de la mitad de los votantes, ésta resulta ganadora. Si no hay ninguna, la(s) alternativa(s) con menor número de primeras posiciones es (son) eliminada(s). Se vuelve a contar el número de veces que cada alternativa ocupa el primer lugar y se procede como antes, hasta que sólo quede una, la cual será la alternativa ganadora. Sean 17 votantes que ordenan las alternativas A, B, C, D y E de la siguiente forma 5 votantes 2 votantes 3 votantes 3 votantes 4 votantes 1 0 A B C D E 2 0 B C B B B 3 0 C D D C C 4 0 D E E E D 5 0 E A A A A

Procedimientos de Decisión Colectiva José Luis García Lapresta 32 Como ninguna alternativa consigue al menos 9 primeras posiciones, se elimina la que tiene menor número de primeras posiciones, B. Ahora se tendría 5 votantes 2 votantes 3 votantes 3 votantes 4 votantes 1 0 A C C D E 2 0 C D D C C 3 0 D E E E D 4 0 E A A A A Como ninguna alternativa consigue al menos 9 primeras posiciones, se elimina la que tiene menor número de primeras posiciones, D. Ahora se tendría 5 votantes 2 votantes 3 votantes 3 votantes 4 votantes 1 0 A C C C E 2 0 C E E E C 3 0 E A A A A De nuevo, ninguna alternativa alcanza al menos 9 primeras posiciones, por lo que se elimina E, que es la que tiene menor número de primeras posiciones. Ahora se tendría 5 votantes 2 votantes 3 votantes 3 votantes 4 votantes 1 0 A C C C C 2 0 C A A A A

Procedimientos de Decisión Colectiva José Luis García Lapresta 33 Vence la alternativa C, al alcanzar 12 primeras posiciones. Puede observarse que B es vencedora de Condorcet, a pesar de que ha sido la primera eliminada por el método de Hare. También B resulta ganadora por el método de Borda, ya que r(b) = 53 > r(c) = 42 > r(d) = 31 > r(e) = 27 > r(a) = 20. El método de Hare se conoce también como voto transferible : cuando se elimina una alternativa, los votos que tenía se transfieren a la siguiente en orden de preferencia, para cada uno de los votantes que la tenían como su mejor alternativa. 6.3 MÉTODO DE COOMBS (1964) A diferencia del método de Hare, el método de Combs elimina de forma sucesiva las alternativas que despiertan mayor rechazo. Cada uno de los votantes entrega una lista ordenada de las alternativas en litigio. Si una alternativa ocupa la primera posición para más de la mitad de los votantes, ésta resulta ganadora. Si no hay ninguna, se elimina(n) la(s) alternativa(s) con mayor número de últimas posiciones. Se procede como antes, hasta seleccionar la alternativa ganadora. Supongamos, como en el ejemplo anterior, 17 votantes que ordenan las alternativas A, B, C, D y E de la forma

Procedimientos de Decisión Colectiva José Luis García Lapresta 34 5 votantes 2 votantes 3 votantes 3 votantes 4 votantes 1 0 A B C D E 2 0 B C B B B 3 0 C D D C C 4 0 D E E E D 5 0 E A A A A Puesto que ninguna alternativa alcanza al menos 9 primeros puestos, se elimina la que tiene mayor número de últimas posiciones, A. Ahora se tendría 5 votantes 2 votantes 3 votantes 3 votantes 4 votantes 1 0 B B C D E 2 0 C C B B B 3 0 D D D C C 4 0 E E E E D De nuevo, ninguna alternativa alcanza al menos 9 primeras posiciones, por lo que se elimina la que tiene mayor número de últimos lugares, E. Ahora se tendría 5 votantes 2 votantes 3 votantes 3 votantes 4 votantes 1 0 B B C D B 2 0 C C B B C 3 0 D D D C D Resulta ganadora la alternativa B, al alcanzar 11 primeras posiciones. En esta ocasión, el método de Coombs selecciona la alternativa

Procedimientos de Decisión Colectiva José Luis García Lapresta 35 vencedora de Condorcet. Esto no siempre es así, como lo prueba el siguiente ejemplo. Sean 21 votantes que ordenan las alternativas A, B y C de la siguiente forma 5 vot. 4 vot. 2 vot. 4 vot. 2 vot. 4 vot. 1 0 A A B B C C 2 0 B C A C A B 3 0 C B C A B A El método de Coombs selecciona B como alternativa ganadora. Sin embargo, A es vencedora de Condorcet y resulta ganadora por los métodos de Borda, Copeland y Hare. 6.4 MÉTODO DE NANSON (1882) El método de Nanson es similar al de Coombs, pero utiliza el método de Borda para eliminar alternativas de forma secuencial. Así, una vez que cada votante ha mostrado sus preferencias sobre los pares de alternativas, se asigna a cada una el contador de Borda y se elimina la que menos puntuación haya alcanzado (puede haber varias). Se vuelve a aplicar el método de Borda sobre las alternativas restantes, se elimina(n) la(s) alternativa(s) con menor puntuación, reiterando el proceso hasta conseguir una única alternativa, que será la ganadora. Este método selecciona, cuando existe, la alternativa vencedora de Condorcet.

Procedimientos de Decisión Colectiva José Luis García Lapresta 36 En el siguiente ejemplo se muestran las sucesivas ordenaciones correspondientes a aplicar el método de Nanson. Así la primera tabla muestra las preferencias de 4 votantes sobre las alternativas A, B, C, D y E. Al aplicar el método de Borda, C obtiene la menor puntuación (6 puntos), por lo que es eliminada. La segunda tabla muestra las preferencias de los votantes sobre las alternativas restantes. Al volver a aplicar el método de Borda, A y B comparten la menor puntuación (5 puntos), por lo que son eliminadas. La última tabla refleja las preferencias de los votantes sobre las alternativas restantes, D y E. Al obtener E menor puntuación (1 punto), se elimina y queda D como alternativa ganadora. Tal como se vio anteriormente, en este ejemplo los métodos de Borda y de Copeland daban por ganadora a la alternativa E. 1 2 3 4 1 0 D D C E 2 0 E E B A 3 0 A B A C 4 0 B A D B 5 0 C C E D 1 2 3 4 1 0 D D B E 2 0 E E A A 3 0 A B D B 4 0 B A E D 1 2 3 4 1 0 D D D E 2 0 E E E D 6.5 MÉTODO DE BLACK (1958) El método de Black da por ganadora la alternativa vencedora de Condorcet, cuando existe; si no, se procede por el método de Borda.

Procedimientos de Decisión Colectiva José Luis García Lapresta 37 7 TEOREMAS DE IMPOSIBILIDAD DE ARROW Y DE GIBBARD SATTERTHWAITE 7.1 TEOREMA DE IMPOSIBILIDAD DE ARROW Sea F una regla de agregación. 1. F cumple el axioma de independencia de alternativas irrelevantes si y sólo si para cualquier par de perfiles (P 1,..., P m ), (P 1,..., P m) y cualquier par de alternativas x i, x j X se verifica x i P k x j x i P k x j x j P k x i x j P k x i x i P x j x i (P ) x j x j P x i x j (P ) x i Este axioma asegura que la preferencia colectiva entre dos alternativas sólo depende de las manifestaciones de los agentes sobre esas alternativas y no de otras, consideradas irrelevantes. 2. F cumple el principio fuerte de Pareto si y sólo si para cualquier perfil (P 1,..., P m ) y cualquier par de alternativas x i, x j X se verifica k V l V x i R k x j x i P l x j x i P x j. Este principio garantiza que cuando ningún votante prefiere x j a x i y al menos uno prefiere x i a x j, ha de ocurrir que x i vence a x j..

Procedimientos de Decisión Colectiva José Luis García Lapresta 38 3. F cumple el principio débil de Pareto si y sólo si para cualquier perfil (P 1,..., P m ) y cualquier par de alternativas x i, x j X se verifica ( k V x i P k x j ) x i P x j. Con este principio se garantiza que cuando hay unanimidad en que x i es mejor que x j, necesariamente x i ha de vencer a x j. 4. F es dictatorial si y sólo si existe k V, tal que para cualquier perfil (P 1,..., P m ) y cualquier par de alternativas x i, x j X se verifica x i P k x j x i P x j. Una regla de agregación es dictatorial cuando hay un votante que impone sus preferencias al colectivo. Por el contrario, una regla de agregación no es dictatorial cuando todo votante encuentra algún perfil en donde no ve satisfechas sus aspiraciones (prefiere una alternativa a otra y su preferida no vence). Teorema de imposibilidad de Arrow (1951) Si n, m 3 y F es una regla de agregación tal que 1. A cada perfil de relaciones de preferencia negativamente transitivas le asigna una relación de preferencia negativamente transitiva

Procedimientos de Decisión Colectiva José Luis García Lapresta 39 2. Cumple el principio (fuerte o débil) de Pareto 3. Verifica el axioma de independencia de alternativas irrelevantes, entonces F es dictatorial. 7.2 TEOREMA DE GIBBARD SATTERTHWAITE Sea f una función de votación. 1. f es manipulable si y sólo si existen algún votante l V, algún par de perfiles (P 1,..., P m ), (P 1,..., P m) y algún par de alternativas x i, x j X, tales que (a) k V \{l} x i P k x j x i P k x j y x j P k x i x j P k x i (b) f(p 1,..., P m) P l f(p 1,..., P m ). Una función de votación es manipulable cuando algún votante puede salir beneficiado al mostrar falsamente sus preferencias. Por el contrario, una función de votación no es manipulable cuando ningún votante tiene incentivos en falsear sus preferencias en ningún caso, ya que, de hacerlo, saldría perjudicado. 2. f es dictatorial si y sólo si existe algún votante l V tal que para cualquier perfil (P 1,..., P m ) y cualquier alternativa x i X se verifica f(p 1,..., P m ) R l x i. Una función de votación es dictatorial cuando existe algún votante para el que, sean cuales sean las preferencias de los demás

Procedimientos de Decisión Colectiva José Luis García Lapresta 40 votantes, ninguna opción es mejor para él que la que sale vencedora por la función de votación. Por el contrario, una función de votación no es dictatorial cuando todo votante encuentra algún perfil en donde no ve satisfechas sus aspiraciones (prefiere una alternativa a otra y vence la alternativa que para él es peor). Teorema de Gibbard Satterthwaite (1973) Si se verifica 1. n 3 2. Todos los votantes ordenan linealmente las alternativas: (a) k V P k es transitiva (b) k V x i, x j X x i I k x j x i = x j 3. f es una función de votación tal que puede haber al menos tres alternativas ganadoras distintas, entonces f es manipulable o dictatorial.