Probabilidad y Estadística

Variables aleatorias Probabilidad y Estadística Variables aleatorias y Función de distribución Federico De Olivera Cerp del Sur-Semi Presencial curso 2015 Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 1 / 117

Variables aleatorias. Variables aleatorias Semana 9 Supongamos que se tira un dado no cargado n veces, y se quiere hallar (bajo el espacio clásico de probabilidades) la probabilidad de obtener exactamente k veces el seis (suceso A),donde 0 k n. Representando los n lugares disponibles, podemos pensar, en principio, que los k seis, salen en los primeros k lanzamiento,es decir: 6 6 6 } {{ } k lanzamientos 6 6 6 } {{ } n k lanzamientos Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 2 / 117

Variables aleatorias Semana 9 Para esta situación, llamémosle suceso B, tenemos ( 1 k ( P(B) = P(1 o = 6) P(k o = 6) P((k + 1) o 6) P(n o 6) = 1 } {{ }} {{ } 6) 1 ) n k 6 k éxitos n k fracasos Por último, nos sirve que en los primeros k lanzamientos obtengamos los 6 s,o también en los últimos k o también en cualquier ubicación en la que podamos ubicar a los k 6 s en los n lugares,en total C n k posibilidades. Cada ubicación nos da lugar a un suceso disjunto de otro, pero igualmente tiene probabilidad (1/6) k (1 1/6) n k,por lo tanto P(A) = C n k ( 1 k ( 1 6) 1 ) n k 6 Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 3 / 117

Variables aleatorias Semana 9 Sobre el mismo esquema, supongamos que ahora queremos la probabilidad de obtener exactamente k veces el 6 o 4, cuál es la probabilidad de obtener exactamente k éxitos? En general, si nuestro suceso consta de obtener k éxitos y n k fracasos,donde los experimentos se hacen de forma independientey la probabilidad de éxito, en cada experimento, es p: tenemos P(obtener exactamente k éxitos) = C n k pk ( 1 p ) n k Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 4 / 117

Variables aleatorias Semana 9 En el ejemplo anterior se hicieron algunos supuestos: a. Se repiten n experimentos independiente. b. La probabilidad de éxito en cada experimento es constante e igual a p. Bajo estas hipótesis, la probabilidad de tener exactamente k éxitos k = 0,..., n es C n k pk ( 1 p ) n k Una primera aproximación al concepto de variable aleatoria puede ser formulado a partir de esta idea, tratamos de construir modelos, de modo que al verificarse ciertas hipótesis, tengamos el cálculo de probabilidades ya resuelto. Sin lugar a duda, el concepto de variable aleatoria es mucho más profundo,pero esta idea sirve al estudiante para ir incorporando el concepto. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 5 / 117

Variables aleatorias Semana 9 Retomemos el ejemplo de la tirada del dado pero ahora en un caso más sencillo, el dado se tira 4 veces, de forma independiente y se quiere hallar la probabilidad de obtener exactamente 2 veces el seis. La probabilidad de tal evento la podemos calcular como antes,pero ahora nuestro estudio será dirigido en otro sentido, veamos primero quién es nuestro espacio muestral: Ω = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) {1, 2, 3, 4, 5, 6} 4 } Es decir, x 1 representa lo que sale en la primer tirada del dado, x 2 en la segunda y así sucesivamente. Por lo tanto, algunos elementos de Ω son (1, 4, 5, 2) o (5, 2, 6, 6). Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 6 / 117

Variables aleatorias Semana 9 Podemos determinar una función que, para cada elemento de Ω, nos dé la cantidad de seis,es decir X : Ω R tal que X(ω) = cantidad de seis en ω Por ejemplo X ( (1, 4, 5, 2) ) = 0, X ( (5, 2, 6, 6) ) = 2. De ésta forma, nos interesan todos los ω Ω tal que X(ω) = 2, es decir X 1 ({2}). Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 7 / 117

Refrescando memoria: Variables aleatorias Semana 9 Recordemos que si tenemos una función f : A B, y un subconjunto del codominio Y B, entonces f 1 (Y) = {x A : f (x) Y} Es común que estudiantes principiantes se confundan con la función inversa, pero aquí nada se habla de función inversa, de hecho, anotamos f 1 (Y) para indicar conjunto contra imagen de Y por la función f, de donde el sentido que le damos aquí a f 1 es como una función aplicada a conjuntos f 1 : P(B) P(A) tal que f 1 (Y) = {x A : f (x) Y} Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 8 / 117

Refrescando memoria: Variables aleatorias Semana 9 Algunas propiedades que nos son muy útiles y que el lector deberá probar son: 1 f 1 (B) = A. 2 f 1 (Y Z) = f 1 (Y) f 1 (Z),en general f 1( + n=1 Y ) n = + n=1 f 1 (Y n ). 3 f 1 (Y c ) = ( f 1 (Y)) c. 4 Si Y Z f 1 (Y) f 1 (Z). 5 f 1 (Y Z) = f 1 (Y) f 1 (Z). Ahora sigamos con lo nuestro... Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 9 / 117

Variables aleatorias Semana 9 Recordemos que estábamos buscando los ω Ω tal que X(ω) = 2, es decir X 1 ({2}). Sin duda que, pensando más en general, debemos exigir que X 1 ({2}) sea un suceso, para poderle calcular su probabilidad, dicha probabilidad es la probabilidad de obtener exactamente 2 seis. De querer calcular la probabilidad de obtener al menos un seis, podríamos pensarlo como P(X 1 ({1, 2, 3, 4})), de donde X 1 ({1, 2, 3, 4}) también debería ser un suceso. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 10 / 117

Variables aleatorias Semana 9 Más en general X 1( ( 1, 3) ) debería ser un suceso y también X 1( (, 2] ) el cual es el suceso vacío en este ejemplo. En nuestro ejemplo para cualquier conjunto B R siempre se verifica que X 1 (B),pues la σ-álgebra es P(Ω), ya que X : Ω R es función. X 1 (B) P(Ω) B R Pero es una propiedad que no se cumple para toda función y deseamos exigirla para la variable aleatoria, función X : Ω R. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 11 / 117

Variables aleatorias Semana 9 Notemos que el codominio de la función X es el conjunto de los números reales,de donde X 1 (B) tiene algunos problemas si B es cualquier subconjunto de R por lo tanto, deseamos exigirle a la función X que X 1 (B) sea un suceso, para todo B B 1,de donde llegamos a la siguiente definición: Definición 1.1 (Variable Aleatoria) Dado un espacio probabilizable (Ω, A), una variable aleatoria es una función X : Ω R tal que X 1 (B) A para todo B B Observación: Si la σ-álgebra es A = P(Ω), entonces toda función X : Ω R es una variable aleatoria ya que X 1 (B) P(Ω) para todo B. 1 La σ-álgebra de Borel en R Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 12 / 117

Variables aleatorias Semana 9 Ejemplo 1 1 Si tiramos un dado no cargado n veces y definimos la función X : Ω R tal que X(ω) = cantidad de seis obtenidos, trabajando sobre el espacio clásico, X es una variable aleatoria por ser A = P(Ω). 2 Supongamos ahora que Ω = {a, b} y A = {, Ω}, definamos X : Ω R tal que X(a) = 1 yx(b) = 2, luego {1} es un boreliano, pero sin embargo X 1 ({1}) = {a} A y por lo tanto X no es una variable aleatoria sobre el espacio (Ω, A). Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 13 / 117

Variables aleatorias Semana 9 Veamos ahora que a través de una variable aleatoria, podemos transformar un espacio de probabilidades cualquiera, en un espacio de probabilidades donde el espacio de resultados posibles es R y la σ-álgebra es B. Proposición 1.1 Dado un espacio de probabilidades (Ω, A, P) y una variable aleatoria X,entonces (R, B, P X ) es un espacio de probabilidades donde P X (B) = P ( X 1 (B) ) para todo B B. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 14 / 117

Variables aleatorias Semana 9 Prueba:Ya hemos probado que B es una σ-álgebra sobre R. Por lo tanto, debemos probar que P X es una probabilidad sobre el espacio probabilizable (R, B). i. P X (B) = P(X 1 (B)) 0 por ser P una probabilidad sobre (Ω, A). } {{ } A ii. P X (R) = P(X 1 (R)) = P(Ω) = 1. } {{ } Ω iii. Sean B 1,..., B n,... B disjuntos, entonces + + + P X B n = P X 1 B n = P n=1 = n=1 + n=1 P ( X 1 (B n ) ) = n=1 + n=1 ( X 1 (B n ) ) X 1 (B i ) X 1 (B j )= = P X (B n ) Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 15 / 117

Variables aleatorias Semana 9 Observación: A partir de esta proposición, si tenemos una variable aleatoria,podemos siempre trabajar sobre éste nuevo espacio de probabilidades. Observemos que las probabilidades en este nuevo espacio siguen siendo definidas a través de las probabilidades originales. Notación: Dado un espacio de probabilidad (Ω, A, P) y una variable aleatoria X : Ω R, tenemos quep ( X 1 (B) ) = P ( {ω : X(ω) B} ) para todo B B,por tanto se suele anotar a tal probabilidad simplemente como P(X B). Siendo B = {x} Siendo B = (a, b] Siendo B = (, b] P({ω : X(ω) = x}) = nt P(X = x) P({ω : X(ω) (a, b]}) = nt P(a < X b) P({ω : X(ω) (, b]}) = nt P(X b) Análogamente para cualquier intervalo. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 16 / 117

Variables aleatorias Semana 9 El estudiante nunca debe olvidar que P(X = x) es simplemente una notación, pues formalmente sólo podemos calcular probabilidades a los sucesos y X = x no es un suceso. Es una notación para simplificar la escritura pero no tiene nada conceptual nuevo. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 17 / 117

Función de distribución Variables aleatorias Semana 9 Dado un espacio de probabilidades (Ω, A, P) y una variable aleatoria X, tenemos que para todo x R los intervalos (, x] son borelianos y por tanto X 1( (, x] ) A, de aquí que para todo real x está definida la probabilidad P(X x), recordemos que P(X x) = P({ω : X(ω) x}), lo que nos hace válida la siguiente definición: Definición 1.2 (Función de distribución acumulada) Dado un espacio de probabilidades (Ω, A, P) y una variable aleatoria X, llamamos Función de distribución (acumulada) de la variable aleatoria X a la función: F X : R R tal que F X (x) = P(X x) Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 18 / 117

Variables aleatorias Semana 9 Por qué no mejor definir F(x) = P(X = x)? La idea de trabajar con F la vimos en estadística descriptiva (F ), la distribución acumulada cumplía que era no decreciente y que siempre terminaba en uno. Aquí la P(X = x) juega el papel que jugaba la frecuencia relativa h i, y como F i = j i h i resulta apropiado definir F(x) = P(X x). Será posible tener una v.a. tal que P(X = x) = 0 para todo x R? Sí, la respuesta la veremos en breve. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 19 / 117

Variables aleatorias Semana 9 Ejemplo 2 Si tiramos un dado no cargado 4 veces y definimos como antes X : Ω R tal que X(ω) = cantidad de seis obtenidos, ( ) k ( 4 k entonces P(X = k) = C 4 1 k 6 1 1 6) donde k = 0,..., 4 Por lo tanto, la función de distribución de la v.a. es F X : R R tal que F X (x) = 0 si x < 0 P(X = 0) si 0 x < 1 P(X = 0) + P(X = 1) si 1 x < 2 P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) si 2 x < 3 P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) si 3 x < 4 1 si x 4 Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 20 / 117

Variables aleatorias Semana 9 Como dijimos antes, puede observarse que F X va acumulando probabilidades. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 21 / 117

Variables aleatorias Semana 9 Es interesante recordar de estadística descriptiva que F cumpe: 1 está entre cero y uno, 2 es no decreciente, 3 lím x F X (x) = 0 y lím x + F X (x) = 1, 4 es continua por derecha, es decir lím x a + F X (x) = F X (a) entre otras propiedades. Las propiedades que acabamos de nombrar son también propiedades de cualquier función de distribución. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 22 / 117

Variables aleatorias Semana 9 Proposición 1.2 (Propiedades de la Función de distribución) Dado un espacio de probabilidades (Ω, A, P) y una variable aleatoria X, la función de distribución de X, F, posee las siguientes propiedades: i. F(x) [0, 1] para todo x R. ii. Si a < b entonces P(a < X b) = F(b) F(a). iii. F es no decreciente. iv. lím x F(x) = 0 y lím x + F(x) = 1. v. F es continua por derecha. Ejercicio 1.1 Trabajemos en la prueba Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 23 / 117

Variables aleatorias Semana 9 Observación: Es importante mencionar que toda función que satisfaga las propiedades: iii. no decreciente, iv. continua por derecha y v. lím x F(x) = 0 y lím x + F(x) = 1, es la función de distribución de alguna variable aleatoria. la prueba es de medida. Como vimos en los ejemplos al comenzar el capítulo, distintas variables aleatorias pueden tener la misma distribución, basta que las probabilidades P(X x) y P(Y x) sean iguales para todo x R. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 24 / 117

Ejemplo 3 Variables aleatorias Semana 9 Consideremos la función F : R R tal que F(x) = x 1 2π e t2 2 dt Ejercicio 1.2 Probar que efectivamente se trata de una Función de distribución Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 25 / 117

Variables aleatorias Semana 9 Observación: Siendo F una función monótona, del curso de Análisis I sabemos que no admite discontinuidades de segunda especie, por lo tanto, de tener discontinuidades sólo pueden ser saltos. También de la monotonía, sabemos que admite a lo sumo una cantidad numerable de discontinuidades. De ahora en más omitiremos declarar que se trabaja sobre un espacio de probabilidad dado,el lector nunca debe olvidar que es necesario tener un espacio de probabilidad al momento de definir una variable aleatoria y su función de distribución. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 26 / 117

Variables aleatorias Semana 9 Proposición 1.3 Sea F la función de distribución de la v.a. X, entonces P(X = a) = F(a) F(a ) Prueba: por ser F monótona, F(a ) = lím n + F(a 1/n). P(X = a) = P({ω : X(ω) = a}) = P + n=1 {ω:x(ω)=a} { }} { {ω : a 1/n < X(ω) a} lím P(a 1/n < X a) = lím F(a) F(a 1/n) = F(a) F(a ) n + n + cont.de = la prob. Ejercicio 1.3 Probar que F es continua en a si y sólo si P(X = a) = 0. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 27 / 117

Variables aleatorias Semana 9 Ejercicio 1.4 Si el recorrido de X es numerable, digamos X(Ω) = n{x n }, probar que 1 n P(X = x n ) = 1. 2 F no es continua. En el caso particular de que el espacio muestral Ω, sea numerable, sabemos que el recorrido de X también es numerable y de ahí que F no es continua. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 28 / 117

Variables aleatorias Semana 9 Probabilidad y Estadística Tipos de Variables Aleatorias Federico De Olivera Cerp del Sur-Semi Presencial curso 2015 Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 29 / 117

Variables aleatorias Semana 10 Tipos de Variables Aleatorias En este sección indagaremos sobre los tipos de variables aleatorias que podemos encontrar. Si bien hay una gran cantidad de variables aleatorias con comportamientos distintos, básicamente podemos extraer tres tipos esenciales,los cuales dan lugar a cualquier tipo de variable aleatoria. Dichos tipos de variables serán: 1 las variables aleatorias discretas, 2 las variables aleatorias absolutamente continuas y 3 las variables aleatorias singulares. En nuestro curso estudiaremos los dos primeros casos y eventualmente su mezcla. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 30 / 117

Variables aleatorias Semana 10 Cómo definiría v.a. discreta? Una primer respuesta seguramente sea que sólo tome valores en un conjunto discreto,pero esta definición deja afuera algunas v.a. que tienen similar comportamiento. Definición 1.3 (Variable aleatoria Discreta) Diremos que una variable aleatoria X es discreta si el recorrido de su función de distribución F X es numerable. Observación: Es sencillo probar que X es una v.a. discreta según la definición 1.3, si y sólo si existe un conjunto numerable B tal que P(X B) = 1. Ejercicio 1.5 Probar que si X tiene recorrido numerable entonces es discreta. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 31 / 117

Variables aleatorias Semana 10 Observación: Si X es discreta, el recorrido de F X es numerable y por tanto existen x n R tal que P(X = x n ) > 0, además 1 = P(Ω) = P( {X = x n }) = P(X = x n ) lo que da lugar a la siguiente definición. Definición 1.4 (función de cuantía) n Dada una variable aleatoria discreta, llamamos función de cuantía de X a la función p X : R R tal que { P(X = x) si x Rec(X) p X (x) = 0 si x Rec(X) n Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 32 / 117

Variables aleatorias Semana 10 Ejemplo 4 Se repite independientemente un experimento, n veces y con una misma probabilidad de éxito p. Entonces la variable aleatoria X : Ω R tal que X(ω) = cantidad de éxitos obtenidos en ω es una variable aleatoria cuyo recorrido es Rec(X) = {0, 1, 2,..., n}, finito y por tanto numerable. De aquí que su función de cuantía es p : R R tal que { C n p(k) = k pk (1 p) n k si k {0, 1, 2,..., n} 0 en otro caso como ya probamos al comienzo del capítulo. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 33 / 117

Variables aleatorias Semana 10 Sea X una variable aleatoria discreta, con recorrido Rec(X) = k {x k } y cuantía p X : R R entonces, su función de distribución F : R R es tal que F(x) = p X (x k ) k:x k x De aquí y recordando que P(X = a) = F(a) F(a ), siendo X una v.a. discreta, tenemos que a partir de la función de distribución obtenemos la función de cuantía y viceversa. Observemos también, que si X es una v.a. discreta, entonces su función de distribución F es una función en escalera, es decir, admite saltos pero en los tramos donde es continua, F es constante. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 34 / 117

Variables aleatorias Semana 10 Por ejemplo Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 35 / 117

Variables aleatorias Semana 10 Definición 1.5 (V. a. Absolutamente continua y densidad) Una variable aleatoria X se dice absolutamente continua si existe una función f : R R no negativa tal que F(x) = x f (t) dt A la función f en tal caso la llamamos densidad de la v.a. X. Observación: Recordemos que f no tiene por qué ser continua,es más, de existir f no negativa tal que F(x) = x f (t) dt, podemos cambiarle a f muchos de sus valores funcionales y seguimos teniendo que F(x) = x f (t) dt, por lo tanto, de existir una tal función f, no es única. A los efectos prácticos, dada una v.a. absolutamente continua, consideraremos a su función de densidad como aquella que no posee discontinuidades evitables. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 36 / 117

Variables aleatorias Semana 10 Por ejemplo f X 0.0 0.4 0.8 4 2 0 2 4 F X 0.0 0.4 0.8 4 2 0 2 4 Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 37 / 117

Variables aleatorias Semana 10 Ejercicio 1.6 Se elige al azar un punto del intervalo [0, 1], definimos X : [0, 1] R tal que X(ω) = ω. Es inmediato verificar que X es una variable aleatoria sobre el espacio ([0, 1], B [0,1] ). Luego, siendo P(A) = m(a) A B [0,1], hallar la función de distribución y de densidad y graficarlas. Diremos que una variable aleatoria con esta función de distribución es una variable aleatoria uniforme en el intervalo [0, 1]. Ejercicio 1.7 Determinar el soporte de X, el cual se define como S = {x R : f (x) > 0} Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 38 / 117

Variables aleatorias Semana 10 Ejercicio 1.8 Sea F : R R tal que F(x) = x 1 2π e t2 2 dt. Mostrar que es una v.a. absolutamente continua hallando su densidad. Hallar también el soporte. Observación: una función f : R R, integrable, tal que f (x) 0, es una función de densidad si y sólo si + f (t) dt = 1 ya que en este caso F : R R tal que F(x) = x es no decreciente, continua, lím x F(x) = 0 y lím x + F(x) = 1 y por tanto es una función de distribución. f (t) dt Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 39 / 117

Variables aleatorias Semana 10 Trabajando con v.a. absolutamente continua: notemos que en los puntos a donde f es continua, por el Teorema fundamental del cálculo integral, F es derivable y F (a) = f (a). Por tanto, si F es continua y derivable por tramos, F tiene una densidad f. Pero podrían haber casos más raros... Por otro lados, podemos construir una función de distribución que no sea discreta ni absolutamente continua. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 40 / 117

Variables aleatorias Semana 10 En efecto, basta que tenga algún tramo creciente continuo y alguna discontinuidad para que no sea ni discreta ni absolutamente continua. Este tipo de variable aleatoria es al que llamaremos mixta. Ejercicio 1.9 (v.a. mixta) 0 si x < 0 Consideremos la función F : R R tal que F(x) = x si 0 x < 1/2 1 si x 1/2 1 Probar que F es una Función de distribución. 2 Probar que F no es ni discreta ni absolutamente continua. A continuación veremos que también existen otros tipos de variables aleatorias, las cuales no son una tal mixtura. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 41 / 117

Variables aleatorias Semana 10 la previa, el conjunto de Cantor C 0 C 1 C 2 C 3 Continuando sucesivamente con este proceso, llamamos conjunto de Cantor al conjunto C = + C n n=0 Cuál es la medida de C? Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 42 / 117

Variables aleatorias Semana 10 Asociada al conjunto, está la función de Cantor, la construcción es basada en la construcción del conjunto. Primero definamos F : R R tal que F(x) = 0 si x < 0, F(x) = 1 si x > 1 y en [0, 1] hagamos la siguiente construcción... mejor verla gráficamente Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 43 / 117

Variables aleatorias Semana 10 Figura : Construcción de la función de Cantor: paso 0 Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 44 / 117

Variables aleatorias Semana 10 En cada etapa del conjunto de cantor, cuando sacamos el tercio central, definimos a F(x) como el promedio de los valores vecinos. Continuamos este proceso infinitamente. Notemos que la función límite queda definida salvo en el conjunto de Cantor, ahí la podemos definir de modo que sea continua por?. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 49 / 117

En la construcción obtuvimos que Variables aleatorias Semana 10 1 F es no decreciente, 2 continua, 3 lím x F(x) = 0 y lím x + F(x) = 1 y por lo tanto se trata de una función de distribución. Sea ahora X una variable aleatoria con función de distribución F. Luego: 1 X no es discreta ni mixta por ser F continua. 2 Tampoco X es absolutamente continua pues x F (x) dx = 0 x R }{{} =0 salvo en C Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 50 / 117

Variables aleatorias Semana 10 Definición 1.6 (Variable aleatoria Singular) Decimos que una variable aleatoria es singular si su función de distribución F es continua pero F (x) = 0 salvo en un conjunto con medida de Lebesgue nula. Para no alarmar: Insisto que no trabajaremos con este tipo de v.a. Para cerrar la idea de tipos de variables aleatorias... Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 51 / 117

Descomposición de v.a. Variables aleatorias Semana 10 Sea X una variable aleatoria cualquiera con función de distribución F. Lebesgue demostró que se puede descomponer en su parte discreta F d en su parte absolutamente continua F ac y lo que queda es una componente singular F s. De lo anterior tenemos que F = F d + F ac + F s y por ende, cualquier v.a. es suma de su parte discreta, su parte absolutamente continua y su parte singular. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 52 / 117

Variables aleatorias Semana 10 Bonus track En el Libro Fundamentos de Estadística de los autores J.M. Durá y J.M. López encontramos en la página 158 la siguiente definición: Si X es una variable aleatoria continua, su función de distribución F X es continua y derivable, con derivada continua, salvo en un conjunto de medida nula. Siendo S = {x R/F X o no existe o no es continua} podemos definir una función f X : R R de la siguiente forma: { 0 si x S f X (x) = si x S F X Por definición, f X es continua salvo en el conjunto S que es de medida nula. Esta función recibe el nombre de FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD de la variable aleatoria X. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 53 / 117

Variables aleatorias Semana 10 En la página 159 encontramos la siguiente propiedad: Propiedad 1 Puesto que f X (x) = F (x) es continua salvo en S, X conjunto de medida nula, entonces f X es integrable Riemman, y la primitiva de f X es la función de distribución F X. Así, como P(X x) = F X (x) = F X (x) F x ( ) y puesto que, por ser f X integrable con primitiva F X : x f X (t)dt = F X (x) F X ( )... Para la función de Cantor a qué es igual f X según la definción de Durá y López?, qué puede decir da la Propiedad 1 en el contexto de Durá y López? Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 54 / 117

Variables aleatorias Semana 10 Probabilidad y Estadística Modelos de variables aleatorias Discretas Federico De Olivera Cerp del Sur-Semi Presencial curso 2015 Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 55 / 117

Variables aleatorias Semana 11 Algunos modelos importantes de v.a. discretas La idea de esta semana es construir algunos modelos para v.a. Trabajaremos con los principales, pero sin lugar a duda que existen muchísimos más. Pero a lo que la tarea docente de educación media se refiere, cubriremos junto con el práctico todos los casos necesarios. Para arrancar introducimos una notación para una función partida particular, la que llamamos función indicatriz Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 56 / 117

Variables aleatorias Semana 11 Si tenemos que A es un subconjunto de Ω, definimos I : Ω R de la siguiente forma: I A (x) = { 1 si x A 0 si x A En particular, si X es una v.a. y B un boreliano, anotamos { 1 si X(ω) B I B (X(ω)) = 0 si X(ω) B por ejemplo I {X a} es uno si la variable aleatoria X toma un valor menor o igual que a y cero en otro caso. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 57 / 117

Variables aleatorias Semana 11 A continuación siempre admitiremos dado un espacio de probabilidad (Ω, A, P): Las funciones constantes son variables aleatorias? Cómo definiría una v.a. de modo que represente una constante? Ejercicio 1.10 (v.a. degenerada) Una v.a. degenerada es una v.a. tal que acumula toda la probabilidad en un único real, es decir, existe a R tal que P(X = a) = 1. Hallar la función de distribución y graficarla. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 58 / 117

Variables aleatorias Semana 11 Supongamos que tiramos un dado no cargado y queremos definir una v.a. que nos devuelva el cuadrado del número obtenido, Cómo definiría completamente esta variable aleatoria? Ejercicio 1.11 (v.a. uniforme discreta en A) Sea A un conjunto finito de reales, digamos A = {x 1, x 2,..., x n }. Decimos que la variable aleatoria X tiene distribución uniforme en A si P(X = x k ) = 1/n donde k = 1, 2,..., n. Hallar la función de distribución de X y graficarla suponiendo A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} En este caso, la uniformidad es interpretada como indiferencia entre los distintos valores que puede tomar la variable aleatoria. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 59 / 117

Variables aleatorias Semana 11 Suponga que para una encuesta electoral, hay quienes votan a favor de un cierto candidato y quienes no lo votan. Se elige un individuo al azar, cómo definiría la v.a. que indica si vota o no vota a ese candidato? Ejercicio 1.12 (v.a Bernoulli de parámetro p) Consideremos un suceso E{ al que llamaremos de los éxitos. 1 si ω E Sea X tal que X = I E (ω) = 0 si ω E. Siendo P(E) = p, hallar la función de cuantía y de distribución de X. En este caso decimos que X tiene distribución de Bernoulli con parámetro p, lo que anotamos X Ber(p) Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 60 / 117

Variables aleatorias Semana 11 Suponga que en un salón hay 40 personas: cuál es la probabilidad de que tres personas cumplan años el mismo día que usted? Que es lo importante para observar: Tenemos una cantidad finita de exito y/o fracaso La probabilidad de éxito permanece incambiada para los distintos experimentos (preguntarle a la persona si cumple o no mi día de cumpleaños.) Así que el problema puede ser generalizado... Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 61 / 117

Variables aleatorias Semana 11 Ejercicio 1.13 (v.a Binomial de parámetros n, p) Se realiza un experimento n veces en condiciones independiente, con probabilidad de éxito en cada uno p. Definimos X : Ω R tal que X(ω) = cantidad de éxitos en ω, 1 Hallar el recorrido de X. 2 Hallar la función de cuantía de X. Diremos aquí que X tiene distribución Binomial de parámetros n, p y anotamos X Bin(n, p). Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 62 / 117

Variables aleatorias Semana 11 Cuándo usar la v.a. binomial? Siempre que podamos detectar que se repiten n veces un mismo experimento, independiente, todas las veces con igual probabilidad de éxito,... y además nos interese la cantidad de éxitos Ejemplo 5 Vamos a un Hipermercado conocido a comprar tres televisores de oferta, el vendedor nos dice que de su experiencia, 2 de cada 100 tienen alguna falla, por lo que necesitan del service. Cuál es la probabilidad de que compremos al menos un tv que tenga falla? Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 63 / 117

Variables aleatorias Semana 11 Sea X = cantidad de televisores con falla. De los datos del problema podemos suponer la independencia y la probabilidad que cada televisor tenga falla es 2/100. Por ende X Bin(3, 2/100). Lo que buscamos es P(X 1) = 1 P(X = 0) = les dejo hacer las cuentas. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 64 / 117

Variables aleatorias Semana 11 Observación: En la repetición de n experimentos iguales, podemos representar a los elementos de Ω por n-úplas. Si E es el suceso formado por los éxitos en cada ensayo y ω = (ω 1,..., ω n ), entonces n X(ω) = I E (ω i ) i=0 siendo I E una variable aleatoria de Bernoulli, Concluimos que una v.a. binomial (n, p) es la suma de n variables aleatorias de Bernoulli, independientes y todas con igual probabilidad de éxito p. Este resultado que ahora obtenemos informalmente será probado con rigurosidad más adelante, pero es bueno ir visualizándolo. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 65 / 117

La v.a. de Poisson Variables aleatorias Semana 11 Hagamos la construcción a partir de un ejemplo. Consideremos la cantidad de llamadas telefónicas que llegan a una central telefónica en un período de tiempo t 0. Un resultado posible es que se tenga una llamada al tiempo t 1, la segunda llamada al tiempo t 2 y así sucesivamente, gráficamente, una posible realización, es decir, un posible ω Ω es dada por el gráfico Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 66 / 117

Variables aleatorias Semana 11 Consideremos el evento A k (s,s+t] = llegan exactamente k llamadas en el intervalo (s, s + t] donde s, t 0; k N. A continuación hagamos algunas hipótesis: H i. Incrementos estacionarios. La probabilidad de que lleguen exactamente k llamadas en el intervalo (s, s + t] depende sólamente de t y no de s. H ii. Incrementos independientes. El número de llamadas sobre intervalos disjuntos de tiempos son independientes. H iii. Las llamadas llegan solas y no simultaneas. Para ello pediremos que la probabilidad de llegar al menos dos llamadas en (0, t] dado que llegó al menos una llamada en (0, t] tiende a cero cuando t 0. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 67 / 117

Variables aleatorias Semana 11 Observación: Estas hipótesis son las únicas requeridas (ver anexo 2.5 en las notas), pero para simplificar agregamos una hipótesis adicional: H ad: Supongamos que la probabilidad de que llegue exactamente una llamada en el intervalo (s, s + t], cuando t 0, es equivalente a λt, donde λ es una constante positiva. Esta hipótesis es interpretada de la siguiente forma: la probabilidad de que llegue exactamente una llamada en un intervalo es aproximadamente lineal en la longitud del intervalo. Además, por la hipótesis i. λ no depende de s. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 68 / 117

Variables aleatorias Semana 11 Ahora, estamos interesados en la probabilidad de la cantidad de llamadas que llegan en el intervalo (s, s + t], pero por la hipótesis i. coincide si consideramos el intervalo (0, t]. Dividamos el intervalo (0, t] en n sub intervalos de longitud t n, donde n sea lo suficientemente grande para que la hipótesis adicional se verifique en cada sub intervalo. De aquí tenemos: ( 0, t ] = ( 0, t n ] ( t n, 2t ] ( ] (n 1)t, t n n Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 69 / 117

Variables aleatorias Semana 11 Sean ahora los sucesos: B 1 = llega exactamente una llamada en el intervalo (0, t/n]. B 2 = llega exactamente una llamada en el intervalo (t/n, 2t/n].. B n = llega exactamente una llamada en el intervalo ((n 1)t, t]. Por la hipótesis ii. los sucesos B 1, B 2,..., B n son independientes y por la hipótesis adicional tenemos que P(B i ) = λ t n Observemos que la cantidad de llamadas recibidas en (0, t] puede descomponerse en una suma de n variables aleatorias de Bernoulli, I Bi independientes y todas con igual probabilidad de éxito P(B i ) = λ t n. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 70 / 117

Variables aleatorias Semana 11 Claro está que por los supuestos realizados contamos a lo sumo una llamada por cada sub intervalo, de donde tenemos que la cantidad de llamadas se distribuye aproximadamente igual a una v.a. X n Bin(n, λ t n ) Luego, la probabilidad de P k (t)= llegan exactamente k llamadas en el intervalo (0, t] podemos calcularla como límite cuando subdividimos en cada vez más intervalos, es decir: Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 71 / 117

Variables aleatorias Semana 11 P k (t) = lím P(X n = k) = lím n + ( n! = lím λ t n + (n k)!k! n = lím n + = (λt)k e λt k! n + Cn k ) k ( 1 λ t n ( λ t ) k ( 1 λ t ) n k n n ) n k n(n 1) (n k + 1) (λt) k ( 1 λ t ) n k n } {{ k k! n }} {{ } 1 e λt Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 72 / 117

Variables aleatorias Semana 11 Sea ahora la v.a. X que cuenta la cantidad de llamadas que llegan a la central en una unidad de tiempo t = 1, entonces Rec(X) = {0, 1, 2,..., n,...} y su función de cuantía es p : R R tal que p X (k) = { (λ) k k! e λ si k N 0 en otro caso el lector puede verificar inmediatamente de la identidad e x = + que + k=0 p X(k) = 1. k=0 xn n!, En este caso, decimos que X se distribuye Poisson de parámetro λ y anotamos X Poiss(λ). Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 73 / 117

Variables aleatorias Semana 11 Si bien aún no tenemos conocimientos para interpretar el parámetro λ, adelantemos que puede ser obtenido del promedio de muchas observaciones. Ejercicio 1.14 En el peaje Pando, según datos estadísticos (ficticios), entre las 18:00 y las 19:00 hs pasan en promedio 500 autos. 1 Revise intuitivamente si en horario pico, son aplicables los supuestos de Poisson. 2 Suponiendo que la cantidad de autos que pasan por el peaje Pando en ese horario, todos los días es una v.a. Poisson, cuál es la probabilidad de que entre las 18:00 y las 18:15 pasen más de 100 autos? (sólo plantear) Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 74 / 117

Variables aleatorias Semana 11 Probabilidad y Estadística Modelos de variables aleatorias Absolutamente Continuas Federico De Olivera Cerp del Sur-Semi Presencial curso 2015 Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 75 / 117

Variables aleatorias semana 12 Algunos modelos importantes de v.a. abs. cont. No es tan sencillo de construir intuitivamente modelos de variables aleatorias absolutamente continuas, sin embargo veremos algunos ejemplos y su posible aplicación. v.a. uniforme en un intervalo Elegimos un punto al azar del intervalo [a, b], como en el ejemplo de comienzo del capítulo. Siendo Ω = [a, b], B [a,b] = {B [a, b] : B B} y P : B [a,b] R tal que P(B) = m(b) m([a, b]) = m(b) b a tenemos que (Ω, B [a,b], P) es un espacio de probabilidad sobre el que definimos la variable aleatoria X : Ω R tal que X(ω) = ω, Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 76 / 117

Variables aleatorias semana 12 Ejercicio 1.15 1 Hallar F X (x) = P(X x) para x (, a), x [a, b] y x (b, + ). 2 Probar que existe una densidad y hallarla. La Función de distribución y de densidad debrían quedar: Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 77 / 117

Variables aleatorias semana 12 En este caso decimos que X se distribuye uniforme en el intervalo [a, b] y anotamos X U[a, b]. El lector podrá verificar inmediatamente que nada cambia si el punto se elige del intervalo (a, b), (a, b] o [a, b) pues P(X = a) = P(X = b) = 0 En general usamos la v.a. uniforme cuando queremos indicar nuestra total ignorancia al respecto de los valores que puede tomar una v.a. sobre un intervalo acotado. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 78 / 117

Variables aleatorias semana 12 v.a. exponencial Recordemos la construcción del proceso de Poisson, ahí teníamos que la cantidad de llamadas que llegaban a una central telefónica en una unidad de tiempo, bajo ciertas hipótesis, era una variable aleatoria con distribución de Poisson de parámetro λ > 0. Sea T 1 el tiempo que demora en llegar la primer llamada, es claro que el tiempo T 1 es continuo y mayor o igual que cero, además podría tomar cualquier valor en [0, + ). Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 79 / 117

Variables aleatorias semana 12 Observemos que, siendo t 0, consideremos el suceso: {T 1 t} = el tiempo que demora en llegar la primer llamada es menor o igual que t. Siendo A 0 el suceso: no llegan llamadas en [0, t], (0,t] tenemos que {T 1 t} = { A 0 (0,t] } c y por tanto P(T 1 t) = 1 P(A 0 (0,t] ) = 1 e λt (ver v.a. de Poisson). Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 80 / 117

Variables aleatorias semana 12 Luego, la función de distribución de T 1 es pensarlo...... F : R R tal que F(t) = P(T 1 t) = { 0 si t < 0 1 e λt si t 0 y la densidad es...... f : R R tal que f (t) = { 0 si t < 0 λ e λt si t 0 Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 81 / 117

Variables aleatorias semana 12 Para el caso λ = 1 tenemos los siguientes gráficos: En este caso decimos que T 1 se distribuye exponencial de parámetro λ, lo que anotamos T 1 exp(λ). Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 82 / 117

Variables aleatorias semana 12 Más en general, puede probarse (ver notas) que la distribución del tiempo T entre una llamada y la siguiente se distribuye exponencial de parámetro λ, donde el parámetro es el mismo que en la v.a. Poisson. La v.a. exponencial generalmente es usada para representar el tiempo de vida útil de componentes electrónicos ya que tiene la propiedad de falta de memoria cosa que verán en el práctico. Evidentemente también es usada en otros casos, por ejemplo si podemos asociarla al tiempo entre dos ocurrencias de Poisson. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 83 / 117

Variables aleatorias semana 12 Como generalización de la exponencial tenemos la v.a. Gamma: Definición 1.7 Decimos que la variable aleatoria G tiene distribución gamma de parámetros λ, α, donde λ, α > 0, si su densidad es 0 si t < 0 f (t) = λ α Γ(α) tα 1 e λt si t 0 Anotamos G Gamma(λ, α) Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 84 / 117

Variables aleatorias semana 12 Algunas posibles representaciones: Observación: En el caso particular α = 1 obtenemos la distribución exponencial de parámetro λ. Otra caso muy utilizado en estadística es cuando λ = 1/2 y α = n/2, en este caso la distribución es llamada χ 2 con n grados de libertad, pero nos dedicaremos a su estudio en temas de estadística. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 85 / 117

Variables aleatorias semana 12 v.a. Normal La variable aleatoria Normal es de gran importancia tanto en temas de probabilidad como de estadística, sin embargo, es casi imposible construir su distribución a partir de algún caso cotidiano con las herramientas que tenemos a estas alturas del curso. No obstante ello, daremos alguna idea intuitiva que nos permita llegar informalmente a su densidad. En 1718 de Moivre propuso que, siendo ξ una v.a. Binomial (n, p), entonces lím a < ξ np b b = e t2 /2 dt np(1 p) 2π n + P a Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 86 / 117

Variables aleatorias semana 12 Es inmediato observar que b a e t2 /2 b e t2 /2 a e t2 /2 dt = dt dt. 2π 2π 2π Ahora podemos concentrarnos en la función Φ : R R tal que Φ(x) = x e t2 /2 2π dt La cual se trata de la función de distribución de una variable aleatoria Z, ya que es continua, creciente, lím x Φ(x) = 0 y lím x + Φ(x) = 1, su densidad es ϕ : R R tal que ϕ(t) = e t2 /2 2π. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 87 / 117

Variables aleatorias semana 12 En este caso decimos Z se distribuye Normal de parámetros 0 y 1, pero de donde salen los parámetros?. Observemos que si tenemos f : R R tal que f (t) = siendo una densidad. t µ e ( σ )2 /2 2π σ Basta hacer el cambi de variable Z = X µ σ en la distribución de Z., f sigue Por lo tanto, siendo σ > 0 y µ un real cualquiera, f es la densidad de alguna variable aleatoria X a la cual llamaremos Normal de parámetros µ y σ y anotamos X N(µ, σ). Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 88 / 117

Variables aleatorias semana 12 Observemos, de la igualdad de arriba, que si F es la función de distribución de X y Φ la función de distribución de Z (Z N(0, 1)), entonces ( x µ ) F(x) = Φ x R σ de donde concluimos que µ es un parámetro de localización, es decir, al variarlo, la gráfica de Φ se traslada horizontalmente µ. Por otro lado, σ es un parámetro de escala: Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 89 / 117

Variables aleatorias semana 12 Figura : Función de densidad de la v.a. Normal (µ, σ) f (t, µ, σ) Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 90 / 117

Variables aleatorias semana 12 Como se sabe de los cursos de análisis, la función de densidad f carece de una primitiva elemental, es por este motivo que se suele dar una tabla para tener algunos valores de la función de distribución Φ, a partir de ésta podemos obtener los valores de la distribución para todo µ y σ según la transformación: Si X N(µ, σ) entonces Z = X µ σ N(0, 1) y para calcular Φ(z) = P(Z z) usamos la siguiente tabla para z 0: Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 91 / 117

Variables aleatorias semana 12 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 92 / 117

Variables aleatorias semana 12 Notemos que si z < 0 entonces podemos usar la simetría, por ejemplo: P(Z < 1, 23) = 1 P(Z < 1, 23) = 1 0, 8907 Ejercicio 1.16 Si X N(2, 3), hallar 1 P(X 3) 2 P( X 2 < 0, 5) 3 P(X > 0) Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 93 / 117

Variables aleatorias semana 12 Probabilidad y Estadística Transformaciones de variables aleatorias y Simulación Federico De Olivera Cerp del Sur-Semi Presencial curso 2015 Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 94 / 117

Variables aleatorias semana 13 Transformaciones de variables aleatorias En las sub secciones anteriores, hemos mostrado algunos ejemplos relevantes de distribuciones, uno puede mezclar sus funciones de distribución para obtener otras: discretas, absolutamente continuas o mixtas. En temas de estadística serán de gran importancia otras distribuciones como por ejemplo la llamada F de Fisher y la T de Student, éstas provienen de transformar algunos tipos de variables aleatorias que ya hemos visto, por esta razón, entre otras, es muy importante indagar sobre la distribución que tendrá una transformación de una variable aleatoria. Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 95 / 117

Ejercicio 1.17 Variables aleatorias semana 13 Supongamos que X U[0, 1], cuál es la Función de distribución de Y = X 2? Siempre que le apliquemos una transformación a una v.a. obtenemos una nueva v.a.? Ejercicio 1.18 1 Investigue qué tiene que cumplir g : R R para que g(x) sea v.a. sobre (Ω, A, P), siendo X v.-a. en este espacio. 2 Dé un ejemplo donde X sea v.a. pero g(x) no lo sea. Un grupo particular de funciones que nos asegura que g(x) sea v.a. es el siguiente: Definición 1.8 (Función medible) Decimos que la función g : R R es Borel medible, o simplemente medible, si g 1 (B) B B B Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística curso 2015 96 / 117