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TEORÍA ES ALGO QUE SE HACE, NO ALGO QUE SE DICE QUE SE HACE N.N. 1 Universidad Peruana Los Andes Facultad de Ciencias Administrativas y Contables Métodos Cuantitativos de Negocios CAPITULO 3: MODELOS BÁSICOS DE SIMULACIÓN 2 Objetivos de Aprendizaje: Desarrollar los conceptos e ideas claves de modelos de simulación, desarrollando la aplicación del software especializado en los campos de modelado y simulación 3 UPLA: Facultad de Ciencias Administrativas y Contables 1

Contenido: 3.1 Inicios del Método de Monte Carlo 32 3.2 Simulación: Método Monte Carlo 3.3 Cómo funciona la Simulación de Monte Carlo? 4 Introducción: Bajo el nombre de Método Monte Carlo o Simulación Monte Carlo se agrupan una serie de procedimientos que analizan distribuciones de variables aleatorias usando simulación de números aleatorios. El Método de Monte Carlo da solución a una gran variedad de problemas matemáticos haciendo experimentos con muestreos estadísticos en una computadora. El método es aplicable a cualquier tipo de problema, ya sea estocástico o determinístico. La simulación de Monte Carlo es una técnica que combina conceptos estadísticos (muestreo aleatorio) con la capacidad que tienen los ordenadores para generar números pseudo-aleatorios y automatizar cálculos. 5 3.1 Inicios del Método de Monte Carlo El método fue llamado así por el principado de Mónaco por ser ``la capital del juego de azar'', al tomar una ruleta como un generador simple de números aleatorios. El nombre y el desarrollo sistemático de los métodos de Monte Carlo datan aproximadamente de 1944 con el desarrollo de la computadora. El uso real de los métodos de Monte Carlo como una herramienta de investigación, proviene del trabajo de la bomba atómica durante la Segunda Guerra Mundial. Este trabajo involucraba la simulación directa de problemas probabilísticos de hidrodinámica concernientes a la difusión de neutrones aleatorios en material de fusión. 6 UPLA: Facultad de Ciencias Administrativas y Contables 2

3.1 Inicios del Método de Monte Carlo Así, en la actualidad es posible encontrar modelos que hacen uso de simulación MC en las áreas informática, empresarial, económica, industrial e incluso social. En otras palabras, la simulación de Monte Carlo está presente en todos aquellos ámbitos en los que el comportamiento aleatorio o probabilístico desempeña un papel fundamental precisamente, el nombre de Monte Carlo proviene de la famosa ciudad de Mónaco, donde abundan los casinos de juego y donde el azar, la probabilidad y el comportamiento aleatorio conforman todo un estilo de vida. 7 3.2 Simulación: Método Monte Carlo: Simulación: es el proceso de diseñar y desarrollar un modelo computarizado de un sistema o proceso y conducir experimentos con este modelo con el propósito de entender el comportamiento del sistema o evaluar varias estrategias con las cuales se puede operar el sistema. Modelo de simulación: conjunto de hipótesis acerca del funcionamiento del sistema expresado como relaciones matemáticas y/o lógicas entre los elementos del sistema. Proceso de simulación: ejecución del modelo a través del tiempo en un ordenador para generar muestras representativas del comportamiento. 8 3.2 Simulación: Método Monte Carlo: Métodos de simulación Simulación estadística o Monte Carlo: Está basada en el muestreo sistemático de variables aleatorias. Simulación continua: Los estados del sistema cambian continuamente su valor. Estas simulaciones se modelan generalmente con ecuaciones diferenciales. Simulación por eventos discretos: Sedefineelmodelocuyo comportamiento varía en instantes del tiempo dados. Los momentos en los que se producen los cambios son los que se identifican como los eventos del sistema o simulación. Simulación por autómatas celulares: Se aplica a casos complejos, en los que se divide al comportamiento del sistema en subsistemas más pequeños denominadas células. El resultado de la simulación está dado por la interacción de las diversas células. 9 UPLA: Facultad de Ciencias Administrativas y Contables 3

3.2 Simulación: Método Monte Carlo: Etapas del proceso de simulación Definición, descripcióndelproblema. Plan. Formulacióndelmodelo. Programación. VerificaciónyValidacióndelmodelo. Diseño de experimentos y plan de corridas. Análisis de resultados 10 qué es un modelo? un modelo es una representación simplificada de la realidad diseñada para representar, conocer o predecir propiedades del objeto real los modelos se construyen con una finalidad: estudiar el objeto real con más facilidad y deducir propiedades difíciles de observar en la realidad: eliminando o simplificando componentes cambiando las escalas espacial o temporal variando las condiciones del entorno evitando la actuación sobre el objeto real modelos pueden representar objetos o procesos (simulación) 11 qué permite un modelo? en el caso de la simulación se hace posible experimentar experimentar es replicar procesos bajo diferentes escenarios conceptos básicos escenario: conjunto de condiciones i bajo las cuales se construye un modelo factores: variables que influyen en el funcionamiento de la simulación en la modelización debe existir una relación simétrica entre las propiedades del objeto real y el modelo: ej. ortoimagen 12 UPLA: Facultad de Ciencias Administrativas y Contables 4

la analogía es una relación simétrica aplicable a X CUESTIÓN C CUESTIÓN C aplicable a M OBJETO REAL X analogía MODELO M aplicable a X RESPUESTA R RESPUESTA R aplicable a M 13 los riesgos de los modelos existen errores inherentes al proceso de modelización error de generalización en la medida de los elementos error por la selección de componentes error por propagación limitaciones it i en la analogía modelo realidad lid d validez en un dominio temporal validez en un dominio espacial riesgo de inestabilidad comportamiento discontinuo del modelo que reduce su utilidad a dominios de valores limitados 14 tipos de modelos (I) modelos analógicos: se construyen mediante mecanismos físicos cuyo comportamiento es similar al del objeto real los modelos icónicos son réplicas morfológicas donde se representan propiedades métricas: existe una relación de isomorfismo la relación de una maqueta con el objeto real se establece mediante un factor de escala: es un modelo icónico 15 UPLA: Facultad de Ciencias Administrativas y Contables 5

los mapas impresos son modelos analógicos en un mapa la relación de correspondencia se establece mediante un diccionario de códigos que define una simbolización un mapa impreso representa el terreno mediante un conjunto de convenciones cartográficas ejemplos del uso de mapas: análisis métricos análisis topológicos 16 tipos de modelos (II) modelos digitales el objeto se codifica en cifras organizadas en estructuras de datos las relaciones de correspondencia son matemáticas, estadísticas o geométricas reconstrucción mediante un modelo digital de una iglesia en Inglaterra 17 otros ejemplos de modelos digitales reconstrucción del cráneo de Dolichocebus gaimanensis (Cebidae) Chubut, Argentina (18 20 millones de años) cada resto fue digitalizado en un escáner láser 3D y usado para generar un modelo de malla este modelo se completa con superficies con color y textura 18 UPLA: Facultad de Ciencias Administrativas y Contables 6

modelos digitales de elevaciones desierto de Mohave (imagen NASA/JPL/NIMA) SAR y altimetría radar (Magellan): Lavinia Planitia (Venus) interferometría radar: SRTM, Shuttle Radar Topography Mission 19 ventajas de los modelos digitales modelos digitales : los objetos se codifican en cifras y los procesos se simulan mediante funciones matemáticas no ambigüedad: cada elemento del modelo tiene propiedades y valores específicos y explícitos datos: hechos verificables medidos algoritmos: secuencia explícita de operaciones verificabilidad: los algoritmos pueden ser analizados y descompuesto para su verificación externa repetibilidad: los resultados son constantes para los mismos datos de entrada salvo en los modelos estocásticos 20 modelos estáticos y dinámicos los modelos estáticos representan objetos en los modelos estáticos se interpreta la realidad en un instante concreto, como resultado de procesos que no intervienen en la modelización los modelos dinámicos i representan procesos los procesos relacionan los objetos entre sí simulan los mecanismos de cambio y puede estudiarse la sucesión temporal simulación de un incendio forestal simulación de la difusión de un contaminante 21 UPLA: Facultad de Ciencias Administrativas y Contables 7

determinismo y azar los modelos dinámicos deterministas generan los mismos resultados si se parte del mismo escenario (mismos datos y mismos algoritmos) los modelos dinámicos estocásticos se introduce ruido en una o más etapas en el proceso mediante un generador de aleatorios los datos aleatorios generan diferentes resultados a partir de un mismo escenario de partida los modelos estocásticos producen mucha más información que los deterministas 22 descomposición de un modelo dinámico un modelo se compone de partes e interrelaciones las partes representan los elementos o unidades funcionales las relaciones definen las transiciones entre las partes y los cambios de estado la calidad y utilidad de un modelo depende de varios factores: una buena identificación de las partes o elementos importantes una buena definición de los mismos en el lenguaje del modelo una adecuada descripción de las relaciones entre las partes la posibilidad de comprobar los resultados mediante verificación experimental: el error cometido debe ser conocido 23 fases del desarrollo de un modelo (I) conceptualización o modelo narrativo: análisis del sistema real, definición de las partes relevantes y de los procesos clave: planteamiento claro del problema a solucionar formalización o modelo esquemático (diagrama de Forrester): definición de las variables de estado, selección y exclusión de partes y relaciones, escalas temporal y espacial implementación o modelo informático: donde se traduce a código el modelo esquemático; implica la solución a problemas de programación (lenguajes, planteamiento de ecuaciones, escritura de código) 24 UPLA: Facultad de Ciencias Administrativas y Contables 8

fases del desarrollo de un modelo (II) verificación funcional, donde se realizan análisis de de estabilidad genera el modelo resultados razonables? de sensibilidad: ver la variación de los resultados ante cambios en las variables dentro del rango de variación natural; un parámetro crítico es aquél que induce cambios fuertes con pequeñas variaciones i de incertidumbre: analizar los resultados ante cambios en los parámetros dentro del error estándar de cada uno validación: comprobación del modelo con datos independientes la validación nunca es absoluta; unos buenos resultados no garantizan un comportamiento correcto en todos los escenarios 25 etapas en la construcción del modelo descripción del problema verbal definiciones y postulados b y d son constantes revisión expresión matemática N(1) = N(0) e (b-d) calibración o ajuste b = 0.05, d = 0.04 se rechaza el modelo se acepta el modelo predicción comprobación o verificación N(t) =1350 predicción vs observación 26 crecimiento exponencial determinista Población 10000 8000 6000 4000 2000 0 1 3 5 7 9 1113151719212325 Generaciones TN-TM N(t) = N(t-1)*e TN = 0.60 TM = 0.50 Población 10000 8000 6000 4000 2000 0 Población 10000 8000 6000 4000 2000 1 3 5 7 9 1113151719212325 Generaciones 0 1 3 5 7 9 1113151719212325 Generaciones Población 10000 8000 6000 4000 2000 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 Generaciones PROBLEMA : EL ERROR SE ACUMULA EXPONENCIALMENTE 27 UPLA: Facultad de Ciencias Administrativas y Contables 9

crecimiento estocástico Población 10000 8000 6000 4000 2000 0 1 3 5 7 9 1113151719212325 Generaciones TN-TM N(t) = N(t-1)*e TN = 0.60 + k1 TM = 0.50 + k2 28 resumen: los modelos son útiles los modelos se construyen y utilizan para cubrir un conjunto de objetivos proporcionar un entorno formal donde organizar ideas y datos: elaborar un modelo exige un esfuerzo de síntesis y de integración facilitar la comparación entre sistemas proporcionando un entorno equivalente al diseño y control experimental explorar escenarios de difícil acceso real analizar procesos temporales acelerados o retardados hacer predicciones sobre escenarios concretos 29 Planteamiento del problema La empresa CUANTITATIVOS.COM tiene que llevar a cabo un proyecto que requiere de una inversión de S/. 1000 en activos fijos (los cuales tienen una vida útil de 5 años), y adicional mente S/. 200 como capital de trabajo. La demanda estimada se muestra en el cuadro: Período 1 2 3 4 Ventas (Unid) 100 110 110 120 30 UPLA: Facultad de Ciencias Administrativas y Contables 10

El precio unitario es de S/. 12, los costos variables totales representan el 25% de las ventas, y los costos fijos anuales que no incluyen la depreciación son de S/. 100. Se considera que el horizonte del proyecto es de 4 años, y se asume que la tasa del impuesto a la renta es de 30%. Se ha considerado que el pronóstico de las ventas sigue una distribución triangular como se detalla en el cuadro: Periodo Pesimista Normal Optimista 1 90 100 110 2 99 110 121 3 99 110 121 4 108 120 132 31 De manera similar, en el cuadro, se ha considerado que los costos variables siguen una distribución triangular. Periodo Pesimista Normal Optimista 1 270 300 330 2 297 330 363 3 297 330 363 4 324 360 396 32 Aplicación ESTADO DE GANANCIAS Y PERDIDAS (SIN FINANCIAMIENTO) Nuevos Soles Periodos 1 2 3 4 Ventas Cantidad 100 110 110 120 Precio de Venta 12 12 12 12 Ventas Nuevos Soles 1200 1320 1320 1440 Costos costos unitarios S/. Costos Variables 3 300 330 330 360 Costos Fijos 100 100 100 100 Depreciación 200 200 200 200 Total de Costos 600 630 630 660 Utilidad Imponible 600 690 690 780 Impuesto a la Renta 180 207 207 234 Utilidad Neta 420 483 483 546 33 UPLA: Facultad de Ciencias Administrativas y Contables 11

Aplicación FLUJO DE FONDOS ECONOMICO Nuevos Soles Periodos 0 1 2 3 4 Inversión Inversión activo fijo 1,000.00 Inversión capital de trabajo 200.00 Total Inversión 1,200.00 + Utilidad Neta 420.0000 483.00 483.00 546.00 + Total Depreación 200.00 200.00 200.00 200.00 + Valor residual activos fijos 200.00 + Valor residual capital de trabajo 200.00 FLUJO DE FONDOS ECONOMICO 1,200.00 620.00 683.00 683.00 1,146.00 EVALUACION ECONOMICA tasa de descuento 10% Valor Actual Neto Económico VANE 1,223.98 Tasa Interna de Retorno TIRE 46.91% 34 35 36 UPLA: Facultad de Ciencias Administrativas y Contables 12

37 38 39 UPLA: Facultad de Ciencias Administrativas y Contables 13