11 Geometría del plano TIVIDDES INIILES 11.I. 11.II. 11.III. Piensa en las ciudades amuralladas que conoces, busca fotos y ponlas en común. Tienen formas geométricas? uáles? ctividad abierta Fíjate en la fotografía y nombra todas las formas geométricas que puedas identificar en ella. Triángulos, cuadrados, rectángulos, trapecios Las ciudades de hoy día no se construyen amuralladas ni fortificadas. qué crees que es debido? ctividad abierta 11.IV. usca en el diccionario el significado de los términos bastión, baluarte, almena y talud. ómo crees que contribuyen estos elementos a la defensa de una fortificación? astión: ada uno de los apoyos de piedra, adobe o ladrillo que sostienen la techumbre de ciertas construcciones, como graneros, hornos, enramadas, etc. aluarte: Obra de fortificación que sobresale en el encuentro de dos cortinas o lienzos de muralla y se compone de dos caras que forman ángulo saliente, dos flancos que las unen al muro y una gola de entrada. lmena: ada uno de los prismas que coronan los muros de las antiguas fortalezas para resguardarse en ellas los defensores. Talud: Inclinación del paramento de un muro o de un terreno. TIVIDDES PROPUESTS 11.1. ctividad resuelta 11.. alcula la medida del ángulo que falta. 15 145 105 6 160 130 a) Es un triángulo, la suma de las medidas de sus ángulos es 180º. Â = 180 90 6 = 8. El ángulo mide 8º. b) Es un hexágono, la suma de las medidas de sus ángulos es 180 (6 ) = 70º. ˆ = 70 145 15 105 130 160 = 55. El ángulo mide 55º. 18 Unidad 11 Geometría del plano
11.3. Halla el ángulo desconocido en cada caso. 4 110 150 3 a) 180º =  + 4 + 3 = 9  = 0º b) 70º = 90º + ˆ + 110º + ˆ + 150º + 90º = 440º + ˆ ˆ = 140º 11.4 Los panales están formados por hexágonos regulares. uánto mide cada uno de sus ángulos? ( ) 180º 6 Todos sus ángulos interiores son iguales y su medida es: 6 11.5. ctividad interactiva 11.6. ctividad resuelta = 10º. 11.7. Razona si las siguientes parejas de triángulos pueden ser semejantes. a) (40, 50, Â) y (40, ˆ, 90 ) b) (60, 60, 60 ) y (8 cm, 8 cm, 8 cm) a) Para que sea triángulo, la suma de sus ángulos tiene que ser 180º, así tenemos que  debe valer 90º, y ˆ, 50º, de modo que todos los ángulos son iguales y, por tanto, pueden ser semejantes. b) Son semejantes. El triángulo con los tres lados iguales es equilátero, así que tendrá los tres ángulos iguales, eso quiere decir que cada ángulo mide 60º, de modo que los ángulos son iguales a los del primer triángulo. Y por otra parte, el primer triángulo ha de tener los tres lados iguales por tener los tres ángulos iguales, así que todos los lados seguirán la misma proporción comparando con el segundo triángulo del enunciado. 11.8. Los lados de un rectángulo miden 8 y 4 centímetros, respectivamente. Un rectángulo semejante tiene como perímetro 40 centímetros. uáles son sus dimensiones? El perímetro del primer rectángulo es de 8 + 4 = 4 centímetros. Si multiplicamos todos los lados por 10, tenemos un rectángulo de lados 80 y 40, que tiene de perímetro 40 centímetros. sí que los lados del rectángulo buscado miden 80 y 40 centímetros. 11.9. (TI) Halla el valor de k en los polígonos semejantes siguientes. Sobra algún dato? 1,5 cm 105º k cm 105º 4,05 cm 7,9 cm 1,5 4,05 1,5 7,9 k,7 K = 7,9 = 4,05 = cm Unidad 11 Geometría del plano 19
5 cm 11.10. ctividad resuelta 11.11. ctividad resuelta 11.1. alcula el valor de los lados desconocidos. 6,5 cm b 4 cm x a 3 cm, cm x cm a) 3 =, 3 (6,5 a) =,a 19,5 3a =,a a = 3,75 cm, y a 6,5 a b = 6,5 3,75 =,75 cm 4 x b) x = x = 8 x = 8 cm 11.13. Los lados de un triángulo miden 8, 10 y 1 centímetros. onstruye sobre él otro triángulo, sabiendo que la razón de semejanza es 0,5. 8 cm 10 cm 1 cm 6 cm 11.14.(TI) Un alumno dibuja dos rectas r y s, secantes. continuación, marca en r tres puntos, y, que distan entre sí 3 y 4 centímetros, respectivamente. Por esos puntos traza rectas paralelas que cortan s en ', ' y '. Si la distancia entre ' y ' es 6 centímetros, cuál es la distancia entre '' y ''? 3 4 = 6 ' ' = 7 ' ' = 8 centímetros ' ' ' ' = 14 centímetros 11.15. ctividad interactiva 11.16. ctividad resuelta 11.17. ctividad resuelta 11.18. La sala de una biblioteca tiene base rectangular cuyos lados miden 1 y 15 metros, respectivamente. uánto mide la diagonal? plicando el teorema de Pitágoras: d = 1 + 15 = 369 d = 19, metros. 0 Unidad 11 Geometría del plano
11.19. verigua cuáles de los siguientes datos corresponden a triángulos rectángulos. a) 9, 15 y 17 c) 9, 1 y 15 b) 6, 8 y 10 d) 1, 16 y 19 a) 17 = 89 306 = 81 + 5 = 9 + 15. No es triángulo rectángulo. b) 10 = 100 = 36 + 64 = 6 + 8. Es triángulo rectángulo. c) 15 = 5 = 81 + 144 = 9 + 1. Es triángulo rectángulo. d) 19 = 361 400 = 144 + 56 = 1 + 16. No es triángulo rectángulo. 11.0. ctividad resuelta 11.1. ctividad resuelta 11..opia las circunferencias de la figura y dibuja el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de ambas. Describe la figura resultante. La figura obtenida es una circunferencia concéntrica, siendo la longitud del radio la media aritmética de las longitudes de los radios de las circunferencias dadas. 11.3.opia los segmentos de la figura y dibuja el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de ambos. Describe la figura resultante. La figura obtenida es la bisectriz del ángulo formado por la prolongación de los segmentos dados. 11.4. Dibuja un pentágono regular y halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan de sus cinco vértices. Describe la figura resultante. El lugar geométrico es un punto, el centro del pentágono. Unidad 11 Geometría del plano 1
11.5. opia cada triángulo y halla gráficamente el circuncentro, el incentro, el baricentro y el ortocentro. a) I O b) I O 11.6. Dibuja en un triángulo rectángulo las mediatrices, medianas, bisectrices y alturas. Mediatrices Medianas I isectrices lturas O 11.7. (TI) Dibuja en un triángulo equilátero la circunferencia inscrita y la circunscrita. I 11.8. (TI) Dibuja tres puntos, y, no alineados, y traza una circunferencia que pase por ellos. Unidad 11 Geometría del plano
11.9. (TI) En un triángulo, el baricentro divide a una mediana en dos segmentos. Si el mayor mide 6 centímetros, cuánto mide el otro? El baricentro cumple que corta la mediana en un punto tal que su distancia al vértice es doble que su distancia al punto medio del lado opuesto. Si el mayor de esos dos segmentos es de 6 centímetros, el otro medirá 3 centímetros. 11.30. ctividad interactiva 11.31. ctividad resuelta 11.3. ctividad resuelta 11.33. Halla el área de un triángulo isósceles cuyos lados miden 8, 6 y 6 centímetros. bh 8 h = = = 4h Para hallar h se utiliza el teorema de Pitágoras: 6 h 4 h 0 5 = + = = cm Sustituyendo, = 4 5 = 8 5 17,89 cm 11.34.alcula el área de un rombo cuyas diagonales miden 18 y 1 centímetros. = 18 1 = 108 cm 11.35. La diagonal menor de un rombo mide 6 centímetros y el lado 5 centímetros. Determina su área. Las diagonales se cortan en el punto medio. Dibujamos un triángulo rectángulo cuyos catetos son la mitad de cada una de las diagonales, y la hipotenusa, un lado. 5 = 3 + c c = 4 cm D = 8 cm 8 6 = = 4 cm 11.36. uánto mide el área de un hexágono regular de 0 centímetros de lado? Formamos un triángulo rectángulo de catetos la apotema y la mitad de un lado, y de hipotenusa el segmento que va desde el centro del hexágono hasta uno de los vértices, que coincide con el radio de la circunferencia circunscrita, y el radio de esta, por tratarse de un hexágono regular, mide lo mismo que el lado del hexágono. 0 = 10 + ap ap = 17,3 cm ( 6 0) 17,3 = = 1038 cm 11.37. (TI) l partir un rectángulo de lados 9 y 40 centímetros por la diagonal se obtienen dos triángulos. alcula sus perímetros. d = 9 + 40 = 1681 d = 1681 = 41 cm Los perímetros de los triángulos serán iguales, P = 9+ 40+ 41= 90cm Unidad 11 Geometría del plano 3
11.38. (TI) verigua el área de estas figuras. a) 7 cm b) 10 cm 5 cm 10 cm 3 cm 9 cm 10 cm 10 cm a) Sumamos el área de los dos triángulos: = 10 7 + 10 3 = 35 + 15 = 50 cm. b) Para calcular el área sumamos el área del trapecio y la del paralelogramo. (10 + 5) 3 165 = + 10 (9 3) = = 8,5 cm 11.39.(TI) ctividad interactiva 11.40. ctividad resuelta 11.41. Halla el área de las siguientes figuras. 10 cm 30 7 cm 6 cm π 7 330 a) Sector circular: = = 141,11 cm 360 ( ) π 70 10 4 b) Trapecio circular: = 360 ( ) π 70 10 4 = 360 = 63π 197,9 cm 11.4. alcula el área de las figuras sombreadas. a) 10 cm b),5 cm 10 cm a) uadrado írculo = 10 π 5 = 1,46 cm b) uadrado Secirc1 Secirc = 10 π 10 90 π,5 90 360 360 = 100 78,54 4,91 = 16,55 cm 4 Unidad 11 Geometría del plano
Ángulos, semejanza y teorema de Tales EJERIIOS 11.43. Halla la medida del ángulo  en el siguiente triángulo. 6 4 180º = 6º +  + 4º  = 180º 6º 4º = 11º 11.44. verigua la medida del ángulo  de la figura. 10 70 50 10 60 a) 180(5 ) = 50 + 10 + 10 + 90 +   = 160º b) 180 = 60 + 70 +   = 50º 11.45. alcula la suma de los ángulos interiores de un pentágono. El pentágono tiene 5 lados; así, la suma de sus ángulos interiores es de 180º (5 ) = 540º. 11.46. uánto miden los ángulos designados por letras en estas figuras? 10º + 60 60 140 10 100 10 a) 180(6 ) =  + 90 + 10 +  + 60 + ( + 60) 3 = 300  = 100º b) 180(6 ) =  + 140 + 10 +  + 100 + 10 3 = 40  = 80º 11.47. (TI) Los lados de un triángulo miden, respectivamente, 10, 1 y 14 centímetros. Los de otro triángulo miden 15, 18 y 1 centímetros. Son semejantes? 10 1 14 = = = 1,5 15 18 1 Son semejantes, puesto que los lados son proporcionales. Unidad 11 Geometría del plano 5
11.48. Los triángulos de la figura son semejantes. alcula el valor de y. 6 cm 4 cm 5 cm 6 cm 6 = = = 7,5 cm, y = 9 cm 4 5 6 11.49.(TI) Los lados de un triángulo miden 5, 6 y 9 centímetros. El lado menor de otro triángulo semejante al dado mide 0 centímetros. Halla la medida de los otros lados. 0 a b = = a = 4 cm, y b = 36 cm 5 6 9 11.50. alcula la medida de DE y E. 10 cm D 1 cm E 0 cm 9 cm 1 10 = DE = 7,5 cm, 9 DE 1 0 = E = 5 cm 3 E 11.51. (TI) Los lados de un triángulo miden 9, 1 y 16 centímetros. alcula las longitudes de los lados de otro triángulo semejante al dado, tal que su perímetro es 148 centímetros. 148 a b c = = = 9 + 1 + 16 9 1 16 a = 36 cm, b = 48 cm, c = 64 cm 11.5. Razona, utilizando algún criterio de semejanza de triángulos, si los triángulos y DEF son semejantes. D E F D E F a) Son semejantes porque ambos son equiláteros. l ser los dos equiláteros, ambos tendrán los tres ángulos de 60º, y los tres lados iguales. Entonces, entre todos los lados se conservará la proporcionalidad. b) No son semejantes, el triángulo DEF tiene un ángulo obtuso y el no. 6 Unidad 11 Geometría del plano
11.53. Dos triángulos rectángulos tienen un ángulo que mide 35º. Son semejantes? Los tres ángulos coinciden, porque si coinciden dos de ellos, el tercero tiene que coincidir, y aplicando el teorema de Tales a los dos triángulos que se escojan, podemos concluir que son semejantes. 11.54. En una circunferencia, inscribimos un triángulo equilátero y unimos cada uno de sus vértices con el centro de la circunferencia. ómo es cada uno de los triángulos que se forman? El centro de la circunferencia es el circuncentro del triángulo que está situado a igual distancia de cada uno de los vértices. sí que se forman tres triángulos isósceles. omo partíamos de un triángulo equilátero, tendremos tres triángulos isósceles iguales. 11.55. (TI) Los catetos de un triángulo rectángulo miden 6 y 9 centímetros, respectivamente. Los catetos de otro triángulo rectángulo miden 10 y 15 centímetros. Son semejantes ambos triángulos? 6 9 =. plicando el teorema de Tales, podemos decir que los triángulos son semejantes, 10 15 puesto que si estos dos lados son proporcionales, el tercero también lo será. 11.56.(TI) Los perímetros de dos triángulos isósceles semejantes miden, respectivamente, 3 y 40 centímetros. Si el lado desigual del menor mide 8 centímetros, cuánto miden los lados del mayor? omo los triángulos son semejantes, la longitud de los perímetros es proporcional a la del lado 3 8 menor: = x = 10. 40 x El lado desigual del triángulo mayor mide 10 cm, 40 10 = 30. omo los lados deben ser iguales, 30 : = 15 cm, que es lo que miden los lados iguales del triángulo mayor. 11.57.(TI) La aguja pequeña del reloj de Julia describe un ángulo de 0º en 35 minutos. Razona si Julia tiene un reloj que atrasa o adelanta. 360 º En 60 minutos, la aguja pequeña tiene que recorrer un ángulo de = 30º; entonces, debe 1 describir un ángulo de 0º cuando sean del tiempo, es decir, transcurridos 60 = 40 3 3 minutos. omo todavía no han pasado estos, eso quiere decir que la aguja va más rápido de lo que debería. Por tanto, adelanta. 11.58. (TI) Verdadero o falso? Los ángulos interiores de un cuadrilátero no convexo suman 360º. Verdadero, la suma de los ángulos interiores de un polígono de 4 lados es 180º 4 = 360º. ( ) Unidad 11 Geometría del plano 7
Teorema de Pitágoras 11.59. alcula el valor desconocido en los siguientes triángulos rectángulos. 6 cm 5 cm 7 cm 8 cm a) l = 6 + 7 = 85 l = 9, cm b) 8 = 5 + l l = 6,4 cm 11.60. verigua el valor del lado desconocido de estos triángulos. 70 cm 5 cm 74 cm 1 cm a) l = 74 70 = 576 l = 4 cm b) l = 5 + 1 = 169 l = 13 cm 11.61. (TI) uál es la máxima distancia que puede recorrer en línea recta un jugador de fútbol en un campo de 100 por 70 metros? La diagonal del campo, que será la hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos 100 y 70. d = 100 + 70 d = 1,06 m 11.6. (TI) Determina la altura de un triángulo equilátero cuyo lado mide 1 centímetros. 1 = h + 6 h = 1 6 = 108 h = 10,39 cm 11.63. (TI) alcula el área del triángulo sombreado. 8 cm 6 cm h 10 cm h h + + x ( 10 x) = 64 x (10 x) = 8 100 + 0x = 8 x = 6,4 cm h = 4,8 cm = 36 6,4 4,8 = = 15,36 cm 8 Unidad 11 Geometría del plano
Lugares geométricos 11.64.onstruye varios triángulos isósceles cuyo lado desigual sea un segmento dado y nombra con la letra al tercer vértice de dichos triángulos. uál es el lugar geométrico que forman los puntos de? Descríbelo. El lugar geométrico que forman los puntos es una recta. 11.65. Determina el lugar geométrico de los puntos del plano que están a una distancia d de una recta r dada. Descríbelo d d r El lugar geométrico obtenido son dos rectas paralelas. 11.66. Dos puntos y están situados en el plano a una distancia de 10 centímetros. Determina todos los puntos que están a 8 centímetros de y a 6 centímetros de. Para determinar los puntos que están a 8 cm de, trazamos la circunferencia de centro y que tenga 8 cm de radio. Para determinar los puntos que están a 6 cm de, trazamos la circunferencia de centro y que tenga 6 cm de radio. Estas circunferencias se cortarán en dos puntos que están a 8 cm de y a 6 de, luego cumplen las condiciones del problema. 11.67. (TI) Dados dos puntos fijos, cuál es el lugar geométrico de los centros de todas las circunferencias del plano que pasan por ambos puntos? El lugar geométrico es la mediatriz del segmento que une esos dos puntos fijos. Triángulos: rectas y puntos notables 11. 68.(TI) En un triángulo, se traza desde el vértice la mediana al lado y se mide su longitud: 18 centímetros. alcula la distancia del baricentro al vértice y al punto medio del lado. Sabemos que el baricentro es el punto que cumple que la distancia al vértice es el doble que la distancia al punto medio del lado opuesto. La distancia al vértice será 3 de la longitud de la mediana. De modo que del baricentro al vértice la distancia será de 1 cm, y al punto medio de, de 6 cm. Unidad 11 Geometría del plano 9
11.69. Dónde se encuentra situado el ortocentro de cualquier triángulo rectángulo? yúdate de un dibujo para encontrar la respuesta. En el vértice cuyo ángulo es de 90º. O 11.70. (TI) Dibuja un triángulo equilátero y traza sus mediatrices, medianas, bisectrices y alturas. Qué observas? O I Que todas se cortan en el mismo punto. 11.71. Dibuja dos triángulos escalenos y traza sus circunferencias inscrita y circunscrita. 11.7.Por los vértices, y de un triángulo trazamos una paralela al lado opuesto, formándose el triángulo de vértices, y. Halla: a) La relación entre los ángulos Â, ˆ, Ĉ y Â, ˆ, Ĉ. b) La relación entre los baricentros de ambos triángulos. c) La relación entre los triángulos,, y. a) Los ángulos son iguales a los que les corresponden: Â = Â', ˆ = ˆ ', Ĉ = Ĉ '. b) oinciden en el mismo punto. c) Son iguales. 30 Unidad 11 Geometría del plano
Longitudes y áreas 11.73. (TI) Halla el perímetro y el área del trapecio isósceles de la figura. 4 cm 5 cm Para saber el valor de la base del triángulo que se forma a los lados del trapecio usamos el teorema de Pitágoras: 5 = 4 x x = 3 cm P = 1 + 5 + (1 3 3) + 5 = 8 cm ( 1 + 6) 4 = = 36 cm 11.74. (TI) uánto mide el área de un círculo de 0 centímetros de diámetro? = π 10 = 314,16 cm 1 cm 11.75. alcula el área de estos triángulos. 8 cm 5 cm 7 cm 10 cm 4 cm a) plicamos el teorema de Pitágoras para saber la altura: h = 8 4 h = 6,93 cm. 8 6,93 = = 7,7 cm b) Por Pitágoras calculamos la medida de la base del triángulo rectángulo de hipotenusa 10 y también la base del triángulo rectángulo de hipotenusa 7. Restándolas tenemos la medida de la base del triángulo dado. b 1 = 10 5 b 1 = 8,66 cm b = 7 5 b = 4,90 cm 3,76 5 b = 8,66 4,90 = 3,76 cm = = 9,4 cm 11.76. Determina el área de las regiones sombreadas. 1 cm 7 cm 6 cm a) = π(1 7 ) = 95π = 98,45 cm b) = 1 π 6 = 144 113,10 = 30,9 cm Unidad 11 Geometría del plano 31
11.77.(TI) El perímetro de un rombo es 40 centímetros y su diagonal mayor mide 16 centímetros. verigua su área. El rombo tiene todos sus lados iguales, cada uno de ellos medirá 10 cm. Usando el teorema de Pitágoras averiguamos la medida de la diagonal menor; para ello, el triángulo rectángulo que usamos es el formado por un lado del rombo y la mitad de cada una de las diagonales. c = 10 8 c = 6 cm d = 1 cm 16 1 = = 96 cm 11.78.(TI) alcula la longitud del arco de circunferencia y el área del sector circular cuyo radio es de 6 decímetros y cuyo ángulo mide 160º. L = π 6 160 = 16,75 dm 360 π 6 160 = = 50,6 dm 360 11.79. Halla el área de un hexágono regular de 1 centímetros de lado. Por ser un hexágono regular, los triángulos que se forman al unir dos vértices consecutivos con el centro son equiláteros, y podemos calcular su altura, que coincide con la apotema. h = 1 6 = 108 h a = 10,39 cm 1 6 10,39 = 374,04 cm = ( ) 11.80. Determina el área de la región sombreada de la figura, donde el lado del cuadrado mide 4 centímetros. 4 cm El diámetro del círculo coincide con la diagonal del cuadrado, y la podemos calcular usando el teorema de Pitágoras: d = 4 + 4 d = 5,66 cm r =,83 cm = π,83 4 = 9,16 cm 11.81.Halla el perímetro y el área de la figura. 6 cm 00 π 6 00 P = 6 + 6 + = 3,94 cm 360 π 6 00 = = 6,83 cm 360 3 Unidad 11 Geometría del plano
11.8. (TI) Halla el área de la región sombreada de la figura. 3 cm 4 cm 9 cm ( ) 15 cm π Por un lado, la corona circular: 7 4 = 51,84 cm 14 15 8 9 Por otro lado, los dos triángulos: = 69 cm = 51,84 + 69 = 10,84 cm 11.83. (TI) alcula el área de la región sombreada. 8 cm 45 8 cm La figura es simétrica, basta con que se calcule el área de una parte y se multiplique por dos para tener el área de la región sombreada. La parte sombreada es la mitad del área que queda después de restarle al área del cuadrado el área del sector circular de 90º, o lo que es lo mismo, una cuarta parte de la circunferencia. 8 = 1 π 8 4 = 13,74 cm 11.84. Un poste de 5 metros de altura se ha sujetado al suelo mediante dos cables de 6 metros de longitud, como muestra la figura. qué distancia se han sujetado los cables de la base del poste? 5 m 6 m El poste forma un triángulo rectángulo con el suelo, de modo que aplicamos el teorema de Pitágoras: 6 = 5 + b b = 3,3. Los cables se han sujetado a 3,3 m de la base del poste. Unidad 11 Geometría del plano 33
PROLEMS 11.85.En un determinado momento del día, un árbol tiene una sombra de 4,3 metros, mientras que, en el mismo momento, la sombra de un palo que mide 1,0 metros es de 0,64 metros. verigua la altura del árbol. plicamos el teorema de Tales (gráficamente ponemos en el árbol y hacemos coincidir la parte superior de ambos). 4,3 h De modo que = h = 7,93. El árbol tiene una altura de 7,93 metros. 0,64 1, 11.86.En la carretera del dibujo se va a poner una gasolinera que se encuentre a la misma distancia de los puntos y. Dónde debe construirse? En el punto de corte de la carretera con la mediatriz del segmento que tiene como extremos las ciudades. 11.87. Un hexágono tiene dos ángulos rectos y tres ángulos iguales que miden, cada uno, 13º. Halla el sexto ángulo. La suma de los ángulos de un hexágono es de 180 4 = 70. De modo que conocidos cinco ángulos, el último mide 70 90 3 13 = 144º. 11.88. Tres pueblos, y quieren construir una piscina común para sus habitantes, de forma que quede a la misma distancia de los tres. En qué punto deben construirla? En el circuncentro del triángulo cuyos vértices son la situación de cada uno de los pueblos. 11.89. (TI) Un poste de 1 metros de altura se ha sujetado al suelo mediante cuatro cables, como muestra la figura. Los puntos de amarre de los cables forman un cuadrado, en cuyo centro se sitúa el poste. alcula cuánto cable se ha necesitado en la operación. 1 m alculamos la diagonal del cuadrado de la base: d = (5 ) d = 10 m. La distancia del poste al cable es la mitad de la diagonal, es decir, 5 m 5 m. Usamos el teorema de Pitágoras para saber cuánto cable hay desde uno de los vértices hasta el poste: l = 1 + 5 l = 13 m. Esta longitud de cable es la misma las otras tres veces, de modo que se necesitan 4 13 = 5 m de cable. 11.90.(TI) En un terreno rectangular de 30 por 10 metros se construyen dos fuentes circulares, como se muestra en la figura, y se planta césped en el terreno restante. Qué superficie ocupa el césped? 10 m 30 m El radio de las fuentes es de 5 m, porque vemos que su diámetro coincide con la altura del rectángulo. T = 30 10 = 300 m ; F = π 5 = 78,54 m El espacio sobre el que se planta el césped es de 300 78,54 = 14,9 m. 34 Unidad 11 Geometría del plano
11.91. (TI) La rueda de un coche tiene un radio de 33 centímetros. uántos kilómetros ha recorrido el coche si la rueda ha dado 80 000 vueltas? En cada vuelta recorre la longitud de la circunferencia de la rueda. En una vuelta recorre π 33 = 07,34 cm; en 80 000 recorrerá 80 000 07,34 = 16 587 00 cm, que son 165,87 km. 11.9.Queremos pintar la fachada de la casa de la figura. alcula cuánta pintura es necesaria si se gastan,5 kilogramos de pintura por metro cuadrado. 10 m 10 m 0,6 m 1,75 m 1, m 0,6 m, m 15 m 6 m ( 15 + 10) 4 La superficie total de la fachada es de 6 15 + = 140 m. Veamos el área de las superficies que no se van a pintar: 1,, + 1,75 0,6 + π 0,6 =,64 + 1,05 + 1,13 = 4,8 m Hay que pintar 140 4,8 = 135,18 m. La pintura necesaria es:,5 135,18 = 337,95 kg. 11.93.(TI) La finca de la figura se vende a 00 euros el metro cuadrado. alcula su precio total. 60 m 15 m 7 m m Dividimos el terreno en figuras geométricas de las que conocemos cómo calcular el área. x = 7 = 15,65 m 1 = 15,65 = 344,5 m Si el radio de la circunferencia es de 15 m, el diámetro que coincide con la altura de la figura es de 30. = (60 15,65) 30 = 1330,5 m π15 ; 3 = = 353,43 m = 344,5 + 1330,5 + 353,43 = 08,43 m 00 08,43 = 405 686. La finca tiene un precio de 405 686 euros. 3 1 Unidad 11 Geometría del plano 35
11.94.(TI) Dos torres y, una de 40 metros y la otra de 30 metros de altura, están separadas por un puente de 60 metros de largo. En un punto del puente hay una fuente. Dos pájaros que están en las almenas de cada una de las torres salen a beber de la fuente a la vez y con la misma velocidad, llegando al mismo tiempo a ella. qué distancia está la fuente de ambas torres? Si ambos pájaros salen a la vez y llegan a la vez, ambos con la misma velocidad, es que recorren igual distancia. Tenemos que d = 30 + x, y d = 40 + (60 x). sí, 30 + x = 40 + (60 x). 15 Resolvemos esta igualdad, x = = 35,83. 6 La fuente está a 35,83 m de la torre de 30 m. MPLIIÓN 11.95.Se prolonga el lado del triángulo hasta un punto P, de forma que el triángulo P sea semejante al triángulo P. Si = 8, = 7 y = 6, la longitud de P es: a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 6 x y = =. Por tanto, x = 9 e y = 1, con lo que P es 9. 8 y 7+ x La respuesta correcta es la c. 8 6 v 7 x P 11.96. En el triángulo rectángulo de hipotenusa tenemos que = 15. Si la altura H divide en los segmentos H y H con H = 16, el área del triángulo es: a) 10 b) 144 c)150 d) 16 x 15 = x + 16x = 5 x = 9 15 16 + x (9 + 16) 1 Área: = = 150 La respuesta correcta es la c. x H 15 16 h 36 Unidad 11 Geometría del plano
11.97.En el triángulo rectángulo, de hipotenusa, sea F el pie de la altura sobre la hipotenusa. Si D es un punto del cateto con D = D = F = 1, cuánto mide? a) 3 b) 3 c) 3 3 d) 4 3 F D G 1+ x = = = 1+ x 1 1 = = = (1+ x) = F 1+ x 1 1+ x 1 x F G D 3 Es decir, = = La respuesta correcta es la b. 11.98. En el rectángulo D de la figura, las rectas r y r, que pasan por los vértices y, son perpendiculares a la diagonal D y la dividen en tres trozos iguales de 1 cm cada uno. uál es el área de dicho rectángulo redondeada a las décimas? a) 4,1 b)4, c) 4,3 d) 4,4 Llamamos E al punto de intersección de la recta r con la diagonal D. DE E = E = 1 = ; D = E + 1 = 3 D 3 E E = ; = E + = 6 = 6 La respuesta correcta es la b. D r r 11.99. En la circunferencia de la figura, está en la cuerda con O = 5. Si el arco D y el ángulo O son ambos de 60º, la longitud de es: a) 3 b) 3 + 3 c) 5 3 d)5 El ángulo D ˆ = 30º porque es inscrito y abarca un arco de 60º. El triángulo O debe ser rectángulo en O, y el triángulo O, isósceles porque tiene ángulos: O ˆ = 180º 90º 60º = 30º; ˆ O = 180º 60º = D 10º, y, como consecuencia, O ˆ = 30º. Por tanto, = O = 5. La respuesta correcta es la d. 60º O UTOEVLUIÓN 11.1. uánto mide cada uno de los ángulos de un octógono regular? La suma de los ángulos del octógono es 180(8 ) = 1080. Han de ser todos los ángulos iguales; así, 1080 : 8 = 135. ada uno de los ángulos de un octógono regular mide 135º. Unidad 11 Geometría del plano 37
11.. Dibuja un triángulo rectángulo y traza su circuncentro. Explica lo que observas. El circuncentro de un triángulo rectángulo se encuentra en el punto medio de la hipotenusa. 11.3. Los lados de un triángulo miden 6, 7 y 9 centímetros, respectivamente. Otro triángulo semejante tiene de perímetro 66 centímetros. uánto miden sus lados? El perímetro del primer triángulo es de cm. 6 7 9 De modo que = = = 66 a b c Entonces, a = 18 cm, b = 1 cm, c = 7 cm 11.4. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 centímetros, y la suma de los catetos es 14 centímetros. a) Halla la medida de cada cateto. b) alcula el área del triángulo a) Usando el teorema de Pitágoras, 10 = c + (14 c). Resolviendo la igualdad tenemos que los catetos miden 8 y 6 centímetros. 8 6 b) = = 4 cm 11.5. verigua el área de la región roja de la figura. 8 cm Es el área de medio círculo de 4 cm de radio menos el área de dos medios círculos (un círculo) de cm de radio. π4 = π = 8π 4π = 4π cm 11.6. alcula el área de las siguientes figuras. 3 cm 4 cm cm cm 6 cm 10 cm 10 cm a) = ( 6 + ) (4 + ) = 0 cm b) = 10 + π 5 π 3 4 = 13,0 cm 38 Unidad 11 Geometría del plano
PON PRUE TUS OMPETENIS Razona y trabaja en equipo > correr! 11.1. Si los tramos rectos miden 84,4 metros, determina la medida de cada uno de los tramos curvos de la calle interior (primera calle). 00 84,4 = 115,6 metros 11. uánto mide el radio de la semicircunferencia interior del tramo curvo de la primera calle? 1 L 115,6 Longitud de la semicircunferencia: L = ( π r) = πr r = = 36,8 m π π 11.3. Si en el rectángulo interior de unas pistas de atletismo se hace un campo de fútbol, cuáles son las máximas dimensiones que puede tener? 84,4 m de largo y 36,8 = 73,6 m de ancho. 11.4. uál es el área de la superficie limitada por la línea exterior de la calle 8? Área del rectángulo central: 84,4 73,6 = 611,84 m Radio de la semicircunferencia exterior: 36,8 + 8 1, = 46,4 m Área de los dos semicírculos limitados por la curva: π 46,4 6763,7 m En total, 611,84 + 6763,7 = 1 975,56 m 11.5. Si te has fijado, en las carreras de 400 metros los atletas no salen desde una misma línea como en las carreras de 100 metros lisos. Por qué? Porque la calle exterior tiene más recorrido. 11.6. Volviendo a la prueba de 400 metros, si el atleta de la calle 1 sale justamente donde comienza la curva; el de la, un poco por delante; el de la 3, un poco más, y así en las sucesivas calles, cuántos metros de curva sale por delante el atleta de la calle 8 respecto del atleta de la calle 1 para que ambos recorran 400 metros? Las rectas son iguales que las de la calle 1, pero las curvas miden π (46,4 36,8) 30,16 m más cada una, es decir, el de la calle exterior, si la hiciera completa, correría 30,16 = 60,3 m más. Por tanto, debe salir 60,3 m por delante del atleta de la calle 1. 11.7. Si participaras en una prueba de 400 metros y te dejaran elegir calle, cuál elegirías? Justifica tu respuesta y recuerda que, por cualquiera de las calles, la distancia que recorres es la misma, pero hay otros factores que también influyen. Las calles interiores tienen el inconveniente de que las curvas son más cerradas y se corre peor, pero las exteriores no te permiten controlar a los corredores que salen por detrás; por tanto, se suelen considerar como mejores calles la 4 y la 5. Unidad 11 Geometría del plano 39
11.8. Las pistas cubiertas suelen ser más pequeñas y tienen una cuerda de 00 metros. unque las medidas las puedes encontrar en internet, juntaos en grupos de dos o tres y diseñad unas pistas de atletismo para tu centro con 6 calles de 1 metro de ancho y 00 metros de cuerda. Realizad un plano a escala 1 : 00. Respuesta libre onoce y reflexiona > El Pentágono 11.1. Mide con una regla el lado más cercano del pentágono de la fotografía adjunta y, teniendo en cuenta que representa una distancia de 8 metros, determina la escala aproximada de la misma. Mide aproximadamente 4,5 cm; por tanto, la escala será de 8 00 : 4,5, es decir, 1 : 667. 11.. Utiliza la escala que has hallado para determinar el lado del pentágono de la zona cero y su apotema. El lado mide en la fotografía cm aproximadamente, por lo que en la realidad, 667 = 1 534 cm 15 m. La apotema, 1,4 667 = 8773,8 cm 88 m. 11.3. asándote en los datos que has obtenido, calcula la superficie que ocupa todo el edificio y exprésala en metros cuadrados y en hectáreas. La longitud de la apotema del pentágono grande, que se obtiene por métodos análogos, es de 198,5 m. El área de la superficie que ocupa el edificio será la diferencia entre el área del pentágono 5 8 198,5 5 15 88 exterior y el de la zona cero. S = 11 46 m 11,5 ha. 11.4. Si caminas a una velocidad de 4 km/h, prueba que puedes ir en menos de 7 minutos desde cualquier punto del pentágono, siguiendo los pasillos, hasta otro punto del mismo por muy alejado que esté. Los puntos más alejados están a una distancia de dos lados y medio:,5 8 = 705 m. una velocidad de 4 km/h = 66,67 m/minuto se tardaría 705 : 66,67 = 10,5 minutos, pero si se cruza por los pasillos interiores, la distancia se reduce a unos 460 m, con lo que se tardaría 460 : 66,67 = 6,9 minutos. 11.5. La asa del Pueblo o Palacio del Parlamento es el segundo edificio más grande del mundo. usca dónde está, quién lo mandó construir y en qué época. Se encuentra en la ciudad de ucarest (Rumanía). Su construcción se inició el 5 de junio de 1983 por orden del presidente Nicolae eauşescu, bajo la dirección de la arquitecta jefe nca Petrescu, y ocupa una superficie de 350 000 m. 40 Unidad 11 Geometría del plano
prende a pensar > rte y lugares geométricos 11.1. Investiga quiénes fueron estos pintores y en qué época desarrollaron su actividad artística. usca otras de sus obras, selecciona tus dos favoritas y preséntalas a tus compañeros. Piet Mondrian fue un pintor vanguardista holandés que nació en la ciudad de mersfoort en 187 y murió en Nueva York en 1944. Maurits ornelis Escher, más conocido como M.. Escher, nació en Leeuwarden (Países ajos) el 17 de junio de 1898 y murió en Hilversum (Países ajos) el 7 de marzo de 197. rtista holandés, conocido por sus grabados en madera, xilografías y litografías que tratan sobre figuras imposibles, teselaciones y mundos imaginarios. 11.. Piet Mondrian realizó muchas de sus obras basándose exclusivamente en dos formas geométricas planas, el cuadrado y el rectángulo, combinándolas con líneas negras de menor o mayor grosor. Determina en el cuadro de Mondrian de la figura la proporción de colores puros (rojo, amarillo, azul y negro) que utiliza en su lienzo. El cuadrado de la imagen es de 5 5,5 cm. 1 El cuadrado rojo es de 1 1 cm, luego la proporción es de 0,036 3 0 0 7,5 =. 0,6 El rectángulo amarillo es de 0,5 1, cm, luego la proporción es de 0,0 0 0 7,5 = =. 0,39 El rectángulo azul es de 0,3 1,3 cm, luego la proporción es de 0,014... 10 0 7,5 =. 11.3. lgunos críticos aseguran que Mondrian utilizaba rectángulos áureos en sus composiciones, es decir, que el cociente entre el largo y el ancho es el número de oro 1+ 5 Φ= = 1, 6. omprueba si en este cuadro hay algún rectángulo con dichas características. El rectángulo azul parece que tiene esta proporción porque con la aproximación que hemos,4 obtenido de sus medidas, resulta = 1,71... Φ. 1,,4 11.4. rees que la armonía de las formas tiene algún fundamento matemático? Por qué? Respuesta libre Unidad 11 Geometría del plano 41
Proyecto editorial: Equipo de Educación Secundaria del Grupo SM utoría: Rafaela révalo, José Luis González, Juan lberto Torresano Edición: Elena alvo, Miguel Ángel Ingelmo, Yolanda Zárate orrección: Ricardo Ramírez Ilustración: Félix naya, Modesto rregui, Juan Francisco obos, Domingo Duque, Félix Moreno, Fotografía: Hisham F. Ibrahim/ PHOTODIS Diseño: Pablo anelas, lfonso Ruano Maquetación: SFEKT S. L. oordinación de diseño: José Luis Rodríguez oordinación editorial: Josefina révalo Dirección del proyecto: ída Moya ualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a EDRO (entro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra, a excepción de las páginas que incluyen la leyenda de Página fotocopiable. Ediciones SM Impreso en España Printed in Spain