y Matrices cuadradas.

de Endomorfismos y Matrices cuadradas.. Problemas resueltos. Tema :. Problemas Resueltos 1

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Sea f 0 End(ú 3 ) / f ( x, y, z ) = ( 2x - 2y + 3z, x + y + z, x + 3y - z) Estudiar si es o no diagonalizable. En caso afirmativo, obtener una base B, respecto de la cual la matriz asociada a f sea DIAGONAL. Halla la Matriz P / P -1 A A A P sea una matriz DIAGONAL y comprobar el resultado. < Nos vamos a referir indistintamente a los elementos del Endomorfismo f o a los de la matriz asociada A. Empecemos calculando los elementos necesarios para el análisis de la DIAGONALIZACIÓN. < Matriz asociada en base canónica de ú 3 6 POLINOMIO CARACTERÍSTICO : < Polinomio característico : P f (8) = -8 3 + 28 2 + 58-6 [ Recordemos que el polinomio característico de un Endomorfismo es un invariante del mismo, es decir, es independiente de la BASE considerada en el Espacio Vectorial. ] son: 6 VALORES PROPIOS: Sea P f (8) = 0 Y -8 3 + 28 2 + 58-6 = 0 cuyas raíces, con la multiplicidad correspondiente Tema :. Problemas Resueltos 2

[Como todos los valores propios son simples, sabemos que el ENDOMORFISMO será DIAGONALIZABLE ] 6 VECTORES PROPIOS 8 = 1 œ ( x,y,z ) 0 E(8=1) Y ( x, y, z) = ( -z, z, z ) = z ( -1, 1, 1 ) Base E(8=1) = { (-1,1,1) / z 0 R 3 } dim E(8=1) = 1 E(8=1) = { (-z,z,z) / z 0 R 3 } Conjunto de vectores propios asociados a 8=1 { (-z,z,z) / z 0 ú 3 } - { (0,0,0) } < [ Podríamos haber tomado cualquier otro vector, sin más que haber asignado a z cualquier valor z 0 ] < [ Observa la convenienecia de tomar solamente las ecuaciones independientes del Sistema Homogéneo, ya que, al fin y al cabo, es lo que estamos resolviendo ]. 8 = 3 Tema :. Problemas Resueltos 3

E(8=3) = { (z,z,z) / z 0 ú } Base E(8=3) = { (1,1,1) } dim E(8=3) = 1 Conjunto de vectores propios asociados a 8=3 { (-z,z,z) / z 0 ú / z 0 } [ Observa que ahora lo indico de otra manera, aunque el hecho es el mismo, quitar el vector (0,0,0) ] 8 = -2 œ ( x, y, z) 0 E (8 = -2) Y ( x, y, z) = ( 11y, y, -14y ) = y ( 11, 1, -14 ) Base E(8 = -2) = { (11, 1, -14) } dim E(8 = -2) = 1 Conjunto de vectores propios asociados a 8=-2 { (11y,y, -14y) / y 0 ú, y 0 } TABLA DE VALORES PROPIOS / VECTORES PROPIOS 8 1 = 1 " A (-1, 1, 1) " 0 8 2 = 3 $ A (1, 1, 1) $ 0 8 3 = -2 ( A (11, 1, -14) ( 0 DIAGONALIZABILIDAD CRITERIO 1 Ya que, para cada valor propio, hemos encontrado tantos vectores Linealmente Independientes como su multiplicidad, el Endomorfismo f es DIAGONALIZABLE. Tema :. Problemas Resueltos 4

dim E(8= 1) = 1 = p 1 dim E(8= 3) = 1 = p 2 por lo tanto el Endomorfismo f es DIAGONALIZABLE CRITERIO 2 dim E(8= -2) = 1 = p 3 Como para cada valor propio, se cumple el CRITERIO, se deduce que A es DIAGONALIZABLE. [ El Endomorfismo f es DIAGONALIZABLE. ] Naturalmente en la práctica bastará con aplicar uno de los dos criterios. Tema :. Problemas Resueltos 5

Ya que vectores propios asociados a valores propios distintos son Linealmente Independientes, no es necesario estudiar la Dependencia Lineal para afirmar que es una base de ú 3. [ D no es única, puesto que si hubiéramos propuesto un orden diferente en los vectores de la base, los valores propios aparecerían en la diagonal principal en un orden distinto ] MATRIZ DIAGONAL MATRICIAL Construyamos la matriz P cuyas columnas son los vectores de la base anterior en el orden dado. Vamos a comprobar que D = P -1 A A A P Tema :. Problemas Resueltos 6

[ La matriz P, así construida, es la matriz del cambio de base, en ú 3, de la Base Canónica a la nueva base B. ]. [ En algunos libros, la relación de semejanza se plantea como D = P A A A P -1, en cuyo caso, la matriz hipotética P seria la INVERSA de la matriz obtenida en el ejercicio. ] NOTAS <Los errores más frecuentes en la resolución del problema se cometen en : * Cálculo del POLINOMIO CARACTERÍSTICO * Cálculo de los VECTORES PROPIOS * Cálculo de P -1 Lleva cuidado!! <Todos los elementos obtenidos en las bases de vectores no son únicos!!!. <Como D = P -1 A A A P Y P A D = A A P Es una fórmula de comprobación rápida que el problema está bién hecho y no hay que hallar la matriz INVERSA. <En la matriz DIAGONAL, la diagonal principal está formada por los valores propios. ######## 2.Sea f 0 End (ú 3 ) del cual sabemos sus valores propios 8 1 = 2, 8 2 = 3, 8 3 = 4 y una base de vectores propios B = { }, cada asociado a cada uno de los 8 i = 1, 2, 3. Hallar la matriz asociada en los siguientes casos: 2.1. base B = { } 2.2. base B' = { } 2.3. base B'' = { } 2.1. Como : 2.2. Como : Tema :. Problemas Resueltos 7

2.3. Como : Es un problema para dejar muy claras dos ideas : * El concepto de componentes ÚNICAS de un vector en una base * El concepto de matriz asociada a una aplicación lineal ######## 3.Sea f 0 End (ú 3 ) cuya matriz asociada en base canónica es, comprobar que f es DIAGONALIZABLE. 6 Varios caminos podríamos tomar para resolver el problema, no obstante, buscando una cierta coherencia con los problemas desarrollados hasta ahora, seguiremos un proceso usual de diagonalización, estudiando con mayor detalle los valores propios múltiples, si los hay. 6 POLINOMIO CARACTERÍSTICO : y lo dejamos así, sin desarrollar P A (8) = ( 2-8 ) 2 A ( 3-8 ) 6 VALORES PROPIOS: 6 VECTORES PROPIOS: Tema :. Problemas Resueltos 8

] œ ( x, y, z ) 0 E (8 = 2) Y ( x, y, z ) = ( x, 0, 0 ) = x A (1, 0, 0) Base E(8=2) = { (1, 0, 0) } dim E(8 = 2) = 1 Conjunto de vectores asociados a 8 = 2 = { x ( 1,0,0) / x 0 } Observamos que no es necesario continuar, pues la multiplicidad del valor propio es p 1 = 2 y la dimensión del subespacio invariante asociado a 8 = 2 es de 1. dim ( E (8=2)) p 1 Y f no es DIAGONALIZABLE, tal como se quería demostrar [ En el tema siguiente daremos salida a esta situación mediante la forma canónica de Jordan ######## 4.- Estudiar, según valores de a, b 0 ú, la DIAGONALLIZABILIDAD del Endomorfismo f cuya matriz asociada en la base es < Calculemos en primer lugar los valores propios de f : que, por tanto, serán sus valores propios. Discutamos, pues, estos valores propios, según los diferentes valores de "b". i ) b -1, 3 Si b -1, 3 Y Los valores propios son todos simples y el endomorfismo es diagonalizable Tema :. Problemas Resueltos 9

ii ) b = -1 La tabla de valores propios con su correspondiente multiplicidad, siendo b = -1 será : Apliquemos en ambos casos el 2º criterio de DIAGONALIZABILIDAD : 8 1 = 3 Rang ( A - 3I ) = Rang = 2 œ a 0 ú ( Pués es un MENOR no nulo de 2º orden ) n - p 1 = 3-1 = 2 8 2 = -1 Rang ( A + I ) = Rang pero el Rango de A + I depende del menor = 4a. si 4a = 0 Y a = 0 n - p 2 = 3-2 = 1 Si a = 0, f es DIAGONALIZABLE Si a 0, f NO es DIAGONALIZABLE iii ) b = 3 Ahora los valores propios con su multiplicidad correspondiente, serán : Aplicando de nuevo el 2º criterio de DIAGONALIZABILIDAD : 8 1 = 3 Rang ( A - 3I ) = Rang = 2 œ a 0 ú Tema :. Problemas Resueltos 10

( es un MENOR no nulo de 2º orden ) n - p 1 = 3-2 = 1 Y f NO es DIAGONALIZABLE Resumiendo : si b -1, 3 y œ a 0 ú Y f es DIAGONALIZABLE si b = -1 y a = 0 Y f es DIAGONALIZABLE si b = -1 y a 0 Y f NO es DIAGONALIZABLE si b = 3 y œ a 0 ú Y f NO es DIAGONALIZABLE ######## 5. Estudiar si la matriz es DIAGONALIZABLE. En caso afirmativo, hallar su potencia n.ésima empleando los elementos de la DIAGONALIZACION, y hallar A 100. 6 La primera parte del ejercicio va a consistir en un proceso de diagonalización matricial que vamos a agilizar un poco tomando los datos básicos. 6 POLINOMIO CARACTERISTICO : 6 VALORES PROPIOS: Tema :. Problemas Resueltos 11

Al tener sus tres valores propios simples, ya podemos afirmar que la matriz A es DIAGONALIZABLE 6 VECTORES PROPIOS: 8 1 = 0 [ Al ser las ecuaciones tan sencillas no es necesario aplicar el filtrado de las mismas mediante Gauss ] œ ( x, y, z ) 0 E (8 = 0) Y ( x, y, z ) = ( x, 0, -x ) = x A (1, 0, -1) Base E(8 = 0) = { = (1, 0, -1) } 8 2 = 1 [ Tampoco aquí es necesario filtrar ] œ ( x, y, z ) 0 E (8 = 1) Y ( x, y, z ) = y ( 0, 1, 0 ) Base E(8 = 1) = { = (0, 1, 0) } 8 3 = 4 [ Ni aquí ] œ ( x, y, z ) 0 E (8 = 4) Y ( x, y, z ) = ( z, 0, z ) = z ( 1, 0, 1) Base E(8 = 4) = { = (1, 0, 1) } < Podemos construir, ya, la matriz P / D = P -1 A A A P es diagonal Tomando el mismo orden en el que hemos operado : Tema :. Problemas Resueltos 12

Como D = P -1 A A A P Y operando matricialmente y, paso a paso : PA D = AA P Y PA DA P -1 = A Y A n = (P A D A P -1 ) n = = P A D A P -1 A P A D A P -1 A... AP A D A P -1 AP A D A P -1 = P A D n A P -1 ######## 6.- Dada la matriz Estudiar si es o no diagonalizable. En caso afirmativo, hallar la matriz regular P 0 M 4 / D = P -1 A A A P sea una matriz DIAGONAL. 6 Estudiemos sus elementos relativos a la diagonalizabilidad : 6 POLINOMIO CARACTERÍSTICO : Tema :. Problemas Resueltos 13

6 VALORES PROPIOS: 6 VECTORES PROPIOS: 8 1 = 2 Tema :. Problemas Resueltos 14

œ ( x, y, z, t ) 0 E (8 = 2) Y ( x, y, z, t ) = ( z - t, z, z, t ) = t A (-1, 0, 0, 1) + z A (1, 1, 1, 0) Base E(8 = 2) = { ( -1, 0, 0, 1), ( 1,1,1,0 ) } dim E ( 8 = 2 ) = 2 Conjunto de vectores propios asociados a 8 = 2 { x A( -1, 0, 0, 1) + y ( 1,1,1,0 ) / x, y 0 ú } - { (0, 0, 0, 0) } 8 2 = -1 œ ( x, y, z, t ) 0 E (8 = -1) Y ( x, y, z, t ) = ( -t, -z + t, z, t ) = t ( -1, 1, 0, 1 ) + z ( 0, -1, 1, 0 ) Base E(8 = -1) = { (-1, 1, 0, 1), ( 0, -1, 1, 0 ) } dim E ( 8 = -1) = 2 Conjunto de vectores propios asociados a 8 = -1 { x A( -1, 1, 0, 1) + y ( 0, -1, 1, 0 ) / x, y 0 ú } - { (0, 0, 0, 0) } 6 DIAGONALIZABILIDAD. 8 1 = 2 p 1 = 2 dim ( E (8 = 2) ) = 2 T 8 2 = -1 p 2 = 2 dim ( E (8 = -1) ) = 2 T Al cumplirse el criterio para ambos valores, la matriz es DIAGONALIZABLE. Tema :. Problemas Resueltos 15

6 MATRIZ REGULAR P. P = Con los autovectores obtenidos, los podemos tomar en el mismo orden, por ejemplo, formemos por columnas una matriz que será precisamente la matriz buscada. Es sencillo comprobar que se trata de una matriz REGULAR. ######## 7.- Sea f : ú 3 6 ú 3 un Endomorfismo del cual sabemos que es una Base de vectores propios. Hallar la matriz asociada a f en la base canónica de ú 3 B = { (1, 0, 0 ), ( 0, 1, 0), (0, 0, 1)} sabiendo que los valores propios asociados a la base de vectores propios, son, en este orden 8 1 = 3, 8 2 = -7, 8 3 = 10. 6 Tan sencillo como un paseo entre conceptos. Definamos cada vector propio con su valor propio asociado : Si llamamos A, a la matriz asociada a f en base canónica y escribimos matricialmente la relación anterior : Tema :. Problemas Resueltos 16

######## 8. Sea f : ú 3 6 ú 3 un Endomorfismo del cual sabemos que B = { (2, 2, -1 ), ( 2, -1, 2), (-1, 2, 2) } es una base de ú 3 formada por vectores propios de f. También sabemos que: f -1 ( 0, 0, 7 ) = ( 5, 2, 5 ). Hallar la matriz asociada a f en la base canónica de ú 3 y definir el endomorfismo f. 6 Por dónde empezar?... Comencemos los datos del ejercicio. Sean 8 1, 8 2 y 8 3 los valores propios asociados a cada vector propio de la base: Por otro lado, si f -1 ( 0, 0, 7 ) = ( 5, 2, 5 ) Y f ( 5, 2, 5 ) = ( 0, 0, 7 ) Pero, si expresamos ( 5, 2, 5 ) = " (2, 2, -1) + $ ( 2, -1, 2 ) + ( ( -1, 2, 2 ) Y Tema :. Problemas Resueltos 17

( 5, 2, 5 ) = 1 (2, 2, -1) + 2 ( 2, -1, 2 ) + 1 ( -1, 2, 2 ) Y Aplicando f a ambos lados Y f( 5, 2, 5 ) = f [1 (2, 2, -1) + 2 ( 2, -1, 2 ) + 1 ( -1, 2, 2 ) ] Como f es aplicación lineal : Y f( 5, 2, 5 ) = f (2, 2, -1) + 2 f( 2, -1, 2 ) + f( -1, 2, 2 ) Utilizando las relaciones anteriores : ( 0, 0, 7 ) = 8 1 (2, 2, -1) + 28 2 ( 2, -1, 2 ) + 8 3 ( -1, 2, 2 ) Utilizando las relaciones anteriores : Sabemos, pues, los valores propios del Endomorfismo y que éste es DIAGONALIZABLE con toda seguridad al ser todos los valores propios distintos. Si A es la matriz asociada a f en la base canónica de ú 3, aplicando la relación matricial de la DIAGONALIZACIÓN. A 6 la matriz buscada como D = P -1 A A A P Y A = P A D A P -1 Tema :. Problemas Resueltos 18

Operando matricialmente : y, ya que hemos hallado la matriz A, definamos el endomorfismo f : Operando y expresándolo como vector fila : ######## 9.- Estudiar la DIAGONALIZABILIDAD de la matriz en M 3 ( ). * Observemos que el cuerpo sobre el que operaremos será el cuerpo de los números complejos. 6 POLINOMIO CARACTERÍSTICO : 6 VALORES PROPIOS: P A (8) = 0 Y -8 3 + 38 2-8 +3 = 0. Tema :. Problemas Resueltos 19

Operando por el método de Ruffini: -8 2-1 = 0 Y 8 2 = -1 Y = [ Observa que en el cuerpo de los números reales, la matriz A sólo tendría un valor propio real 8=3 y no sería diagonalizable ] Valores propios 6 VECTORES PROPIOS: 8 1 = 3 œ ( x, y, z ) 0 E (8 = 3) Y ( x, y, z ) = ( x, 0, 0 ) = x A (1, 0, 0) Base E(8 = 3) = { ( 1, 0, 0) } 8 2 = i œ ( x, y, z ) 0 E (8 = i) Y ( x, y, z ) = ( 0, y, ) = y A ( 0, 1, ) 8 3 = -i Base E(8 = i) = { (0, 5, 2 - i ) } Tema :. Problemas Resueltos 20

œ ( x, y, z ) 0 E (8 = -i) Y ( x, y, z ) = ( 0, y, ) = y A ( 0, 1, 2 + i ) Base E(8 = -i) = { (0, 5, 2 + i ) } 6 DIAGONALIZABILIDAD. Al tener sus tres valores propios distintos, la matriz A es DIAGONALIZABLE. 6 MATRIZ DE DIAGONALIZACIÓN. ######## 10. Estudiar la diagonabizabilidad de la matriz según valores de a 0 ú Tema :. Problemas Resueltos 21

6 Comencemos hallando el POLINOMIO CARACTERÍSTICO de la matriz A P A (8) = * A - 8I* = (1-8) 2 A (a - 8). Si P A (8) = 0 Y (1-8) 2 A (a - 8) = 0 Y Asignemos valores al parámetro "a " en función de los demás valores propios obtenidos : i) a = 1 En este caso, los valores propios de la matriz, son 8 1 = 1 p 1 = 3 Apliquemos el 2º criterio de DIAGONALIZABILIDAD : 6 Rang * A - I * = Rang 6 n - p 1 = 3-3 = 0 Y A no es diagonalizable ii) a 1 Ahora, los valores propios de la matriz son : 8 1 = 1 p 1 = 2 8 2 = a p 2 = 1 Analizamos la diagonalizabilidad para el valor propio doble Rang ( A - I ) = Rang Consideremos el menor de orden 2 del que depende el Rango de ( A - I ) = a 2-3a + 2. Si a 2-3a + 2 = 0 Y Puesto que estamos en el caso a 1, estudiemos a = 2 ii.1 a = 2 Rang ( A - I ) = Rang = 1 Tema :. Problemas Resueltos 22

ii.2 a 2 Rang ( A - I ) = 2 Por otro lado n - p 1 = 3-2 = 1 Y si a = 2 Y A es DIAGONALIZABLE si a 2 Y A NO es DIAGONALIZABLE Resumiendo la discusión : si a = 1 Y A NO es DIAGONALIZABLE si a = 2 Y A es DIAGONALIZABLE si a 1, 2 Y A NO es DIAGONALIZABLE ######## Tema :. Problemas Resueltos 23