Optica Geométrica Superficie esférica Dr. Victor H. Rios 2008
Contenidos 1. Introducción 2. Refracción en una superficie esférica. Ecuación fundamental. 3. Aumento lateral y aumento angular. Ecuación de Helmohltz 4. Focos y distancias focales. Formula de Newton 5. Lentes delgadas. Tipos. Elementos de las lentes 6. Reglas de construcción de imágenes en las lentes. 7. Fórmulas. Aumento lateral. Potencia de las lentes. 8. Bancos ópticos y aplicaciones
Refracción en una superficie esférica Consideremos una superficie en la que se refracta la luz y que separa dos medios transparentes, homogéneos e isótropos, de distinto índice de refracción, como se indica en la figura siguiente:
Elementos de la refracción en superficies esféricas: El centro de curvatura de la superficie esférica es C. El radio de curvatu-ra de dicha superficie es r. Según que la forma que enfrenta la entrada de la luz sea cóncava o convexa Según las normas DIN el radio de curvatura es mayor que cero ( r > 0 ) en la superficie convexa.
Elementos de la refracción en superficies esféricas El eje de simetría de la superficie esférica es el eje óptico. El punto de corte de este eje con la superficie esférica es el polo o vértice de la misma La distancia del punto objeto, A, al vértice de la superficie O, es la distancia objeto, S. La distancia del vértice de la superficie esférica O, al punto imagen A', es la distancia imagen, S'.
Ecuación fundamental de la refracción en una superficie esférica Tenemos un casquete esférico de radio r = BC y vértice O que separa dos medios de índices de refracción n y n', siendo n' > n Un punto luminoso A situado sobre el eje óptico emite un rayo AP hacia la superficie. Este rayo forma un ángulo α con el eje y se refracta siguiendo el camino PA' formando un ángulo α' con el eje óptico. Como n' > n el rayo refractado se aproxima a la normal y α' < α El rayo AO coincide con la normal, es perpendicular a la superficie y no se desvía al incidir sobre él. Este rayo corta al rayo PA' en el punto A'. Este punto A' es la imagen de A.
Ecuación fundamental de la refracción en una superficie esférica Los rayos son paraxiales, y están muy próximos al eje óptico de manera que OB es una distancia casi cero y PB es muy pequeña. Estas distancias son despreciables si se comparan con s, s' y con r. En esta zona los senos de los ángulos y las tangentes coinciden pudiendo sustituirse por los valores de los propios ángulos. Aplicando la ley de Snell para la refracción: n sen e = n' sen e' n e = n e
Ecuación fundamental de la refracción en una superficie esférica Expresando los ángulos en valor absoluto en el triángulo PCA' podemos deducir que: α' + ε ' + π' =180 º (suma de los ángulos internos de un triángulo) β' + π' = 180 º Igualando las expresiones anteriores: α' + ε ' = β' Como los tres ángulos son positivos: α' + ε' = β' y en consecuencia ε' = β' -α'
Ecuación fundamental de la refracción en una superficie esférica Aplicando criterios DIN y siendo: α + β' = ε A partir de la ley de Snell n ε = n' ε tenemos: n ( α+ β' ) = n'(β' -α' ) En la figura podemos establecer las relaciones siguientes: tg α = h /s = α tg β = h / r = β' tg α = h / s' = α' Substituyendo en la Ley de Snell: Esta expresión se llama Invariante de Abbe (en honor de Emst Abbe).
Ecuación fundamental de la refracción en una superficie esférica El valor de la expresión es igual tanto si se escribe en el espacio objeto como si se hace en el espacio imagen. Esta es la ecuación fundamental de refracción en la superficie esférica Permite conocer la posición de la imagen si previamente conocemos la posición del objeto y las características de la superficie esférica. Solamente es válida para los rayos paraxiales. Todos los rayos que salen de A son paraxiales ( se separan poco del eje principal ) y convergen en el punto A'. El sistema óptico que cumple esta condición recibe el nombre de estigmático.
Aumento lateral y aumento angular Aumento lateral Se llama aumento lateral la relación entre el tamaño de la imagen y la del objeto: Aumento lateral = y' / y Podemos establecer una relación matemática para calcularlo, utilizando posiciones e índices de refracción. tg δ = y / s ; tg δ = y' / s' Para rayos paraxiales: sen δ = y /s ; sen δ = y' /s' Aplicando la ley de Snell n sen δ = n' sen δ'
Aumento angular Se llama aumento angular a la relación entre el ángulo α' que forma el rayo emergente con el eje óptico y el ángulo α que forma el correspondiente rayo incidente con el eje óptico. Aumento angular = α ' / α tg α = h /s = sen α = α tg α = h / s = sen α' = α '
Ecuación de Helmohltz Relacionando el aumento angular y el lateral podemos obtener una expre-sión invariante en los dos medios: Invariante Helmohltz: y' n' α = y n α
Focos y distancias focales Distancia focal imagen: Foco imagen (F' ) Los rayos que llegan a la superficie esférica desde el infinito paralelos al eje principal se concentran en un punto del eje llamado foco imagen, F'. La distancia del vértice del dioptrio a ese punto focal se llama distancia focal imagen, f '. El valor de la distancia focal se puede calcular partiendo de la fórmula de la superficie esférica: Dando a la distancia objeto el valor de infinito (s= - infinito ) y siendo s'= f '
Obtenemos para la distancia focal: Si n > n los rayos se acercan a la normal y f ' > 0 y el foco imagen, F', está a la derecha de la superficie esférica. Si n' < n los rayos divergen y con la ayuda de la fórmula se obtiene un f '< 0: el foco imagen, F', está a la izquierda del vértice de la superficie esférica. Distancia focal objeto: Foco objeto (F) Es el punto del eje óptico de donde salen los rayos que una vez atravesado la superficie esférica siguen paralelos al eje.
La distancia del vértice de la superficie esférica a ese punto focal se llama distancia focal objeto, f. El valor de la distancia focal se puede calcular partiendo de la fórmula de la superficie esférica Dando a la distancia objeto el valor de infinito (s'= infinito ) y siendo s= f Obtenemos para la distancia focal:
Para sistemas de sup. esférica convexa (r >0) en los que el rayo pasa del aire al vidrio (n ' > n) se obtiene que f > 0 : el foco objeto, F, está a la izquierda del vértice de la superficie. Si n' < n (del agua al aire) se obtiene que f >0: el foco objeto, F, está a la derecha del vértice de la superficie. Relación de las distancias focales imagen y objeto Si dividimos miembro a miembro las expresiones de las distancias focales: Las distancias focales imagen y objeto están en la misma relación que los índices de refracción de los dos medios que atraviesa el rayo.
Suma de las distancias focales Física III La suma de las distancias focales es igual al radio de la superficie esférica Fórmula de Gauss Relaciona las distancias focales con las distancias de la imagen y del objeto al vértice de la superficie esférica en una única expresión. Dividimos todos los miembros de la expresión: por el segundo miembro de la misma:
La expresión que se obtiene es: en la que podemos sustituir f y f ' por su valor: Resultando que: Esta es la fórmula de Gauss buscada.
Fórmula de Newton Establece que el producto de las distancias focales imagen y objeto es igual al producto de la distancias del foco objeto al objeto por la distancia del foco imagen a la imagen. f f '= x x ' Se deja la prueba para el estudiante.
Lentes delgadas Física III
LENTES DELGADAS Qué son? Una lente es un sistema óptico centrado formado por dos superficies esféricas de los cuales una, por lo menos, acostumbra a ser esférico, y los medios externos que limitan la lente y tienen el mismo índice de refracción. Si el grosor de la lente es despreciable en comparación con los radios de curvatura de las caras que la forman, recibe el nombre de lente delgada. Desde el punto de vista óptico cada cara es una superficie de refracción
Tipos Según su forma las lentes delgadas pueden ser convergentes y divergentes. Convergentes: son más gruesas en el centro que en los extremos. Se representan esquemáticamente con una línea con dos puntas de flecha en los extremos. Según el valor de los radios de las caras pueden ser: Biconvexas (1), plano convexas (2) y menisco convergente (3).
Divergentes: Son más delgadas en la parte central que en los extremos Se representan esquemáticamente por una línea recta acabada en dos puntas de flecha invertidas. Según el valor de los radios de las caras pueden ser: bicóncavas (4), plano cóncavas (5) y menisco divergente (6).
En esta foto vemos dos lentes de las que existen en los laboratorios de óptica. Lentes delgadas divergente y convergente
Elementos de las lentes Una lente está compuesta por dos superficies esféricas, cada una con su centro de curvatura. La línea que une los centros de curvatura se llama eje principal. El centro geométrico de la lente es el Centro óptico, O. Centro de curvatura, C y C', son los centros de las superficies que forman sus caras.
Todas las rectas que pasan por el Centro óptico son ejes secundarios. Foco principal imagen en las lentes convergentes es el punto situado sobre el eje en el que inciden los rayos que vienen paralelos al eje principal. En las lentes divergentes es el punto del eje del que parecen diverger los rayos que vienen del infinito después de atravesarla. Existe un foco objeto y un foco imagen. Podrías definirlos? Cómo salen de la lente los rayos que parten del foco objeto? Las distancias focales son las distancias entre el foco principal y el centro óptico.
Reglas de construcción de imágenes en las lentes. Las trayectorias de los infinitos rayos que salen de un objeto están definidas por estas reglas: Todo rayo que marcha paralelo al eje óptico antes de entrar en la lente, pasa, al salir de ella, por el foco imagen, F'.
Todo rayo que pasa por el foco objeto, F, llega a lente y se refracta en ella, emergiendo paralelo al eje óptico. Todo rayo que pasa por el centro óptico (que es el centro geométrico de la lente) no sufre desviación.
Para localizar el punto imagen que de un objeto da una lente, debemos construir por lo menos la trayectoria de dos de los rayos más arriba mencionados. En el punto de cruce se forma el punto imagen: Física III
Lentes delgadas: Fórmulas La fórmula de las lentes delgadas permite relacionar la posición del objeto y de la imagen con la distancia focal. Esta es la fórmula: Vamos a deducirla mediante relaciones geométricas sencillas. También se deduce a partir de la fórmula de refracción en superficies curvas. En los triángulos semejantes amarillos ABO e OA'B', limitados por el objeto, la imagen y la lente, podemos establecer:
En los triángulos OMF' e o F'A'B' Igualando las dos relaciones:
Aumento lateral, β Aumento lateral de una lente es el cociente entre la altura de la imagen y la altura del objeto. Para demostrar esta fórmula establecemos relaciones geométricas en los triángulos de la figura siguiente: En los triángulos semejantes BAO e OB'A' establecemos Como B'A'= y', BA= y Aplicando el criterio de signos DIN ( "s" e "y' " son negativos):
Potencia de las lentes La potencia e una lente es la inversa de su distancia focal imagen La potencia se mide en m -1 y se conoce como dioptría. Una dioptría es la potencia de una lente que tiene una distancia focal imagen de 1 m. El signo de la potencia es el mismo que el de la distancia focal imagen, por lo que siguiendo las normas DIN, la potencia de una lente convergente es positiva, P > 0. La potencia amplificadora manifiesta la capacidad de la lente para aumentar la imagen, pero con la capacidad de aumento del cerebro humano, que lleva desde lo más grande a lo más pequeño del Universo.
Fórmula de las lentes delgadas a partir de superficies refractantes Tenemos una lente, que es un medio transparente de índice de refracción n, rodeada de aire de índice n =1. s S 1 En el proceso de formación consideramos que la imagen que forma la prime-ra superficie sirve de objeto para la segunda. Partiendo de la fórmula de la superficie de refracción, se tiene:
La distancia imagen de la primera superficie, s 1 ', es la distancia objeto para la segunda, s', y sabiendo que en el primer paso n = 1, n = n s En el segundo paso s 1 r 2 Sumando miembro a miembro las expresiones tenemos: A partir de la fórmula anterior podemos calcular las distancias focales objeto e imagen.
El foco imagen F ' está a la derecha de la lente y es el punto donde se concentran los rayos que vienen del infinito ( s = infinito ) y entran paraxiales a la lente. Por lo tanto f = s. Aplicando la fórmula en la primera superficie obtenemos: La expresión de la distancia focal imagen en función de los radios de la lente es: Foco imagen
Si en la fórmula de la superficie de refracción suponemos que el obje-to está en el foco objeto, F, la imagen se forma en el infinito. Sustituyendo valores: Esta es la expresión de la distancia focal imagen. Finalmente si nos fijamos en la expresión deducida anteriormente: 1 / s + 1 / s = ( n 1 ) ( 1 / r 1-1 / r 2 ) El segundo término es la expresión de la distancia focal. Al sustituirla queda la fórmula de las lentes delgadas: 1 / s + 1 / s = 1 / f
Casos de formación de la imagen según la posición del objeto Lentes convergentes: De todos y de cada punto del objeto salen miles de rayos que llevan la información del objeto y se concentran en un punto donde se forma su imagen. Objeto Imagen
En los gráficos que siguen el objeto se dibuja en negro y, si la imagen es real, en azul. En el caso de que la imagen sea virtual, en verde. 1.- Si el objeto está situado entre 2F y el infinito (menos infinito), la imagen estará entre F' y 2F' y será invertida, real y más pequeña. Recordar que la distancia del objeto a la lente es s, y de la imagen a la lente es s'. Las distancias focales son: f para la distancia objeto y f ' para la distancia imagen. s > 2 f f < s < 2 f
2.- Si el objeto está situado en 2 f, la imagen estará en 2 F ', y será igual, invertida y real. s = 2 f s = 2 f 3.- Si el objeto está situado entre 2F y F, la imagen estará situada más allá de 2 F' y será mayor, invertida y real. 2 f > s > f ; s > 2 f
4.- Si el objeto está situado en F la imagen no se forma (se formaría en el infinito) s = f s = infinito 5.- Si el objeto está situado entre F y la lente, la imagen estará entre F y el infinito y será virtual (la forman las prolongaciones de los rayos), mayor y derecha.
Prácticas en casa Física III
Prácticas en casa Sin disponer de grandes medios se puede hacer en casa prácticas de óptica. Sólo se necesita disponer de un puntero láser (nunca enfocar a los ojos ojos de las personas porque es muy peligroso) y de unas lentes Estas son algunas de las lentes que se puede comprar.
Puede conseguir una cubeta de plástico y colocar agua con unas gotas de leche. Esto permite que el rayo láser al atravesarla se haga visible. Luego se coloca dentro las lentes y ya tenemos el banco óptico. Por debajo de la cubeta se coloca un papel milimetrado para poder medir distancias Dos punteros láser enfocan a una lente convergente "Todo rayo paralelo al eje princicipal se desvía pasando..." Cuál es la distancia focal?
Que hace una lente divergente? Esta toma permite calcular la distancia focal de esa lente Cuanto vale?
Banco óptico El banco óptico de un laboratorio consiste en lo siguiente: Un foco de luz metido en una caja que tiene un orificio para colimar los rayos, un banco soporte donde se colocan las piezas en las que se pueden ensartar lentes, todas ellas alineadas a lo largo del banco y un sistema de lentes centradas a lo largo de un eje.
La primera lente convergente se emplea para concentrar la mayor cantidad de luz posible sobre el objeto. El foco de luz debe estar en el foco de esa primera lente para que de ella salgan los rayos paralelos. Física III