2. ÓPTICA GEOMÉTRICA.

Transcripción

1 2. ÓPTICA GEOMÉTRICA. Existen una serie de fenómenos ópticos como la refracción y la reflexión, conocidos desde muy antiguo y a los que el hombre encontró pronto aplicación práctica, independientemente de su interpretación. Estos fenómenos, que fueron enunciados como las leyes de Descartes, se basan en cuatro principios fundamentales: la propagación rectilínea de la luz, la independencia recíproca de las diversas partes de un haz luminoso y las leyes de la refracción y la reflexión. Se trata de leyes empíricas y representan los fundamentos de la óptica geométrica. Su aplicación es absolutamente independiente del conocimiento de la naturaleza de la luz, lo cual explica el enorme desarrollo de la óptica geométrica a lo largo de los siglos XVI y XVII, cuando se generalizó el empleo de instrumentos ópticos. En este capítulo se pretende introducir la geometría y funcionamiento del microscopio óptico, como instrumento fundamental en el estudio óptico de los minerales. Para ello se desarrollarán mínimamente algunas bases de la óptica geométrica, sobre la cual se basarán las explicaciones de algunas de las propiedades de los sistemas ópticos imprescidibles para conocer el buen funcionamiento del microscopio de polarización Principio de Fermat El producto del trayecto que recorre la luz en un medio homogéneo por el índice de refracción de este medio, se conoce como camino óptico de la luz L = s n -22-

2 y si la luz atraviesa distintos medios L = s n + s n + s n + s n + = s n Si se descompone el camino en infinitésimos, la expresión queda L = n ds, y como n=c/v, siendo c constante, l L c ds t = = c dt = c t l v 0 es decir, que el camino óptico puede ser redefinido como el producto de la velocidad de la luz en el vacio por el tiempo que tarda en recorrer la trayectoria. i i Fermat estableció el principio según el cual la luz va de un punto A a otro B por una trayectoria tal que su camino óptico es mínimo comparado con trayectorias próximas. Este principio sirvió de base al desarrollo de la óptica geométrica Sistema óptico Figure 1 El conjunto de superficies que separan varios medios constituye un sistema óptico. Por lo general, los sistema ópticos habitualmente empleados son centrados, constituidos por superficies esféricas con los centros alineados a lo largo de un eje (denominado eje óptico del sistema), si todas las superficies son refractantes (no hay ningún espejo), se llaman dioptrios, y el sistema dióptrico. -23-

3 Cuando los rayos que parten de un punto A (Figura 1), atraviesan el sistema óptico y se juntan en otro punto B, a éste se le llama imagen real del punto A, que recibe el nombre de objeto. Si por el contrario, los rayos que parten del punto A, divergen tras atravesar el sistema óptico y sus prolongaciones se juntan en un punto C, éste constituye la imagen virtual del punto A Refracción en dioptrios esféricos. Óptica paraxial Figure 2 Cuando en un sistema centrado se consideran sólo los rayos muy cercanos al eje del mismo, de modo que el ángulo que forman éstos con el eje es muy pequeño, es posible considerar que el seno y la tangente del ángulo son equilaventes entre sí y con el propio ángulo expresado en radianes. En este caso se dice que se trabaja en la zona paraxial o zona de Gauss. Esta es la situación en muchos de los casos que se considerarán y, por tanto, esta aproximación es de utilidad para algunos de los cálculos propuestos. Analicemos el comportamiento de los rayos luminosos al incidir sobre una superficie esférica que separa dos medios distintos, uno de los cuales normalmente será el aire. Figure 3 A una superficie convexa de índice de refracción n, llegan diversos rayos paralelos al eje (Figura 2), que sufren una refracción de modo que todos convergen sobre el punto f 2, que se puede considerar la imagen de un punto del eje óptico situado en el infinito. -24-

4 En el mismo sistema, existe un punto f 1, en que todos los rayos paralelos al eje que llegan a la superficie esférica procedentes del medio de índice n, convergen en él y, por tanto, es la imagen de un punto del eje situado en el infinito. Ambas imágenes son reales, porque se forman por convergencia de rayos, no de sus prolongaciones. Imaginemos una superficie esférica cóncava, como la de la Figura 3, los rayos paralelos al eje forman una imagen virtual en el punto f 2, mientras que los que proceden del medio de la derecha, la forman en el punto f 1. A los puntos f 1 se les denomina foco objeto, y a los puntos f 2, foco imagen, a la vez que las distancias entre los puntos f y el punto donde el eje óptico intersecta el dioptrio, son las distancias focales imagen u objeto, según proceda. Figure 4 De acuerdo con lo expresado por la ley de Snell, los rayos siguen el mismo camino, independientemente del sentido de la dirección de propagación, es decir hacen el mismo camino en una dirección que en la contraria. Por tanto, los rayos que pasan por el foco y atraviesan el dioptrio salen paralelelamente el eje óptico del sistema. Además, cualquier haz de rayos paralelos que refracte en la superficie del dioptrio formará un punto imagen situado sobre un plano perpendicular a eje en el foco, que se conoce como plano focal (Figura 4). Este plano es, por tanto, la imagen del infinito producida por el sistema óptico. -25-

5 Las distancias focales vienen dadas por la expresión siguiente f 2 n2 = r; f1 = ( n n ) 2 1 n1 r ( n n ) 2 1 Figure 5 donde n 1 y n 2 son los índices de refracción de los dos medios (frecuentemente uno de ellos es el aire), y r el radio de curvatura del dioptrio (Figura 5) Invariante de Abbe Supongamos un dioptrio esférico de índice de refracción n 1 sobre el que incide un rayo procedente de un punto O situado sobre el eje, y que forma un ángulo ε con la normal, que obviamente coincide con un radio de la esfera, e intersecta al eje en el centro de curvatura c (Figura 6). Este rayo se refracta y pasa por el punto O del eje óptico. Figure 6-26-

6 En óptica paraxial la ley de Snell queda como nε = n 1 ε' de los triángulos OIC de la Figura 6, se establecen las siguientes relaciones angulares: ε=ϕ+σ, y del ICO, ε==ϕ σ=, y como I es muy cercano a S (está en el rango de la óptica paraxial) la distancia h es muy pequeña, lo que permite escribir h h h ϕ = ; σ = ; σ ' = r s s' y substituyendo estas relaciones en la anterior expresión de la ley de Snell a fin de eliminar los ángulos y obtener una expresión sólo con distancias, n( ϕ + σ ) = n ( ϕ + σ '), por tanto 1 n h r + h n h s = r + 1 h s' que dividiendo por h resulta n n 1 1 r s 1 = + r s ' que se conoce como invariante de Abbe, y que permite establecer la posición de la imagen as partir de los datos del sistema (distancias focales y radio de curvatura). También se demuestra que, para la zona de Gauss, las figuras objeto e imagen son homotéticas con centro en c (centro de curvatura), de lo que se deduce que la imagen de un plano perpendicular al eje es otro plano perpendicular al mismo eje. -27-

7 2.5. Aumentos Un sistema dióptrico centrado produce una imagen de longitud l 2 de un objeto de longitud l 1. Se llama aumento lateral del sistema a la relación AL l l = 2 1 que es positivo o negativo según que la imagen l 2 esté derecha o invertida, respectivamente. Un ejemplo de este tipo de aumento que se podría aplicar a un proyector de diapositivas, donde midiendo la imagen real proyectada y la diaposiva, se puede calcular la correspondiente relación de tamaños. Este cálculo también es de aplicación al aumento de un objetivo de microscopio, en que es posible establecer la relación entre las longitudes de un segmento en el objeto y en la imagen real producida por el objetivo. Figure 7 Sin embargo, este concepto de aumento no es aplicable a la imagen que se observa a través de unos prismáticos, ya que no se puede medir una longitud en la imagen virtual producida. En estos casos, el aumento se evalua de otra manera. Se utiliza el concepto de aumento angular, que se define como la relación entre el ángulo bajo el cual se ve el objeto a través de un sistema óptico y el ángulo bajo el que se vería sin el sistema en -28-

8 cuestión, sólo con el ojo (Figura 7). AA = ϕ2 ϕ1 Frecuentemente, en las características técnicas de muchos instrumentos ópticos comerciales, se utilizad el llamado aumento comercial, que es la relación entre la tangente del ángulo con que se observa un objeto a través del sistema óptico, y la tangente del ángulo en que se observaría en las mejores condiciones de visión posibles, con el ojo desnudo. Es decir: AC tag ϕ = tagϕ 2 1 siendo ϕ 1 el ángulo con que se vería el objeto situado a la mínima distancia a la que el ojo humano puede enfocarlo, que posteriormente se definirá como punto próximo Planos y puntos principales Figure 8 El rayo 1 paralelo al eje alcanza el plano principal P, prosigue hasta el P y sale hacia el foco imagen. El rayo 2 que pasa por el foco objeto sale paralelo al eje del sistema. Se pueden encontrar dos planos perpendiculares al eje, uno imagen del otro, con un aumento lateral igual a uno, a los que se denomina planos principales. Los puntos de intersección entre estos planos y el eje se llaman puntos principales. De esto es posible deducir que un rayo que salga de un punto P de uno de los planos hacia el interior del sistema, pasa por otro punto P del otro plano situado a igual distancia del eje que el punto P. Estos planos y puntos principales permiten resolver problemas de óptica geométrica -29-

9 y formación de imágenes en la zona de óptica paraxial. A las distancias entre cada plano principal y los focos imagen y objeto se les denomina distancia focal imagen y objeto, respectivamente. Y se define la potencia del sistema como la relación inversa de la distancia focal, y si esta se mide en metros, la unidad de potencia es en este caso, la dioptría. Un rayo que llegue paralelamente el eje, llega al punto P de uno de los planos, pasa por el P del otro y posteriormente por el punto focal imagen f 2 ; igualmente, otro rayo que parta del punto focal objeto f 1 hacia un punto P, llega al P y sale paralelamente al eje. Figure 9 Esto permite resolver gráficamente la formación de la imagen de un objeto o el camino de un rayo en un sistema dióptrico centrado del que se conocen los dos focos y los planos principales, como el representado en la Figura 9. La propuesta es averiguar la prayectoria de un rayo 1 que llega al punto A de uno de los planos principales. Se sabe que pasará por otro punto B del otro plano principal, pero no se sabe, a priori, por donde proseguirá. Trazando un rayo auxiliar paralelo a éste que pase por el foco objeto f 1, llega al punto C del plano principal, sigue hacia el D y, como procede del foco, sale paralelo al eje óptico. Los dos rayos, el 1 y el auxiliar, son paralelos, y por tanto covergen sobre un punto del plano focal imagen, -30-

10 es decir, el rayo 1 sigue un camino que va desde el punto B hacia el punto donde el rayo auxiliar ha interceptado el plano focal imagen. Figure 10 Si en el mismo sistema se coloca un objeto en forma de flecha perpendicular al eje (Figura 10), se puede determinar gráficamente la posición de su imagen. El problema puede quedar limitado a establecer la imagen del extremo de la flecha, puesto que se sabe que la imagen del objeto ha de ser perpendicular el eje. Desde el extremo del objeto se trazan dos rayos, uno que pasa por el foco objeto f 1, que tras alcanzar los planos principales prosigue paralelo al eje, y otro rayo paralelo al eje que, tras pasar por los planos principales, lo hace por el foco imagen f 2. Allí donde se crucen ambos rayos se forma la imagen del extremo del objeto. De modo similar se podría proceder para averiguar la posición de la imagen de objetos colocados en distintos puntos sobre el eje óptico, y según la imagen se forme por convergencia de los rayos o por la prolongación de los mismos, obtendremos una imagen real o virtual, respectivamente Lentes. Clases de lentes. Una lente se puede definir como un sistema formado por dos dioptrios esféricos de radios de curvatura r 1 y r 2. Si se considera por -31-

11 separado cada uno de dos los dioptrios, se ve que el plano principal pasa por el punto P, intersección del dioptrio con el eje óptico (Figura 11). Figure 11 El rayo 1 se refracta pasando por f 2, por tanto se puede considerar el propio dioptrio como plano principal en la zona de Gauss (óptica paraxial), y el punto principal es el punto P, llamado también vértice de la lente. Así pues, los puntos principales de una lente coinciden con los vértices P 1 y P 2, y la distancia d entre ellos se denomina espesor de la lente. Si se considera la lente en el aire (índice de refracción igual a 1) - Figura 12 -, se demuestra que la potencia es igual a 1 1 ( n 1) ϕ ' = ( n 1) + r r n d r r 1 2 y la recíproca es la focal imagen. Figure 12 Se dice que una lente es delgada cuando su espesor d es despreciable frente a los radios de curvatura. En este caso, los dos planos principales de confunden en uno solo, la potencia es igual a la anterior despreciando el segundo sumando -32-

12 1 1 1 ϕ ' = = ( n 1) r r f Además, la potencia de varias lentes delgadas acopladas es el sumatorio de las potencias individuales ϕ' = ϕ' i Figure 13 Desde el punto de vista morfológico, las lentes se clasifican en convergentes cuando el haz de rayos paralelos al eje convergen realmente en el foco imagen f 2 ; y divergentes, cuando el foco imagen es virtual y lo que converge en él son las prolongaciones de los rayos (que divergen) - Figura Propiedades de las lentes. Se han estudiado los dioptrios desde un punto de vista paraxial, es decir su comportamiento en la zona muy cercana al eje. Sin embargo, en microscopía, a veces es conveniente emplear el máximo cono de luz capaz de entrar en el sistema óptico. Llegados a este punto, resulta conveniente definir y analizar una serie de aspectos y propiedades de los sistemas, que son de interés para los trabajos en microscopía Apertura numérica -33-

13 Se define como apertura angular el semiángulo del máximo cono de luz que el sistema óptico puede admitir iluminando un objeto situado en el plano focal. Figure 14 En la Figura 14 se han representado dos sistema ópticos, uno de ellos montado en el aire, y en el otro se supone aceite entre su dioptrio frontal y el objeto situado en la plano focal (disposición que en ocasiones se utiliza en microscopía). La apertura angular del primero de los casos es de 21º, y ciertamente el sistema recoje un cono de luz cuya generatriz forma este ángulo con el eje del sistema. En cambio, al otro sistema llega la luz bajo un ángulo de 27º, pero como el medio es aceite, realmente recoje un cono de luz que llega al plano focal de 43º debido a la refracción de la luz, por tanto su apertura angular es de 43º. Resulta obvio que las características de ambos sistemas son claramente distintas, aun recogiendo un cono de luz relativamente similar. Por tanto, parece interesante disponer de una medición de la apertura de un sistema que tenga en cuenta el índice de refracción del medio a través del cual llega la luz. Es lo que se define como apertura numérica, un valor adimensional resultado del producto del seno de la apertura angular por el índice de refracción del medio an = senθ n -34-

14 y representa una de las características importantes de los sistema ópticos, como se verá más adelante Límite de resolución Coloquialmente el término poder de resolución expresa la posibilidad de un sistema óptico de distinguir los más pequeños detalles de un objeto, la cual cosa no siempre va asociada a un incremento del aumento del sistema, sino a la capacidad de diferenciar puntos muy próximos de objeto sin confundirlos en uno solo. La expresión numérica de este concepto es el límite de resolución, que se define como la menor distancia entre dos puntos de la imagen para que se vean perfectamente separados a través del sistema óptico. Físicamente, el límite de resolución de un sistema de dioptrios lo determina la difracción de la luz producida por el objeto. Existen varias teorías que justifican la cuantificación de este límite, dependiendo de las condiciones experimentales, pero es posible aceptar una expresión bastante aproximada, que es la siguiente δ λ = an donde λ es la longitud de onda de la radiación utilizada para iluminar, δ el límite de resolución y an la apertura numérica del sistema. Para el caso del microscopio, como la iluminación puede ser oblícua por medio de un haz cónico, el límite de resolución es menor, de modo que una buena aproximación podría ser -35-

15 δ λ = 2 an Profundidad de campo La observación a través de un sistema óptico permite modificar más o menos el enfoque manteniendo el objeto enfocado, es decir, sin perder nitidez de la imagen. Dicho de otro modo, un objeto puede estar situado en un intervalo de distancias respecto del sistema óptico sin que su imagen pierda nitidez: este intérvalo en el que la imagen se ve enfocada es lo que se conoce como profundidad de campo. Es precisamente la profundidad de campo del objetivo fotográfico lo que permite obtener una imagen nítida desde un primer plano hasta los objetos situados en el infinito. A pesar de la aparente subjetividad de esta definición basada en la observación nítida de una imagen, se puede tratar de deducir una expresión permite que una cuantificación aceptable de esta distancia. Un sistema óptico que enfoca sobre el plano p y Figure 15 produce una imagen -36-

16 completamente nítida del mismo (Figura 15). Se puede desplazar el objeto hacia el sistema y la imagen formada se verá nítida mientras el diámetro de la intersección del plano del objeto con el cono de luz que entra en el sistema no supere el límite de resolución. Recordemos que ésta es la mínima distancia entre dos puntos para que se vean separados en la imagen, manteniéndose por debajo de este límite, la imagen es nítida. El mismo razonamiento es válido si se aleja el objeto del sistema óptico. Es decir, un sistema óptico, con un límite de resolución δ y una apertura angular α (limitada por el propio sistema o por un diafragma), enfoca todo lo comprendido entre los planos p 1 y p 2. De la Figura 15 se puede deducir que BD AB = tagα, es decir que AB BD = tagα y como la produndidad D es dos veces el segmento AB D = 2 BD δ = tagα tagα substituyendo el límite de resolución por su expresión, D = λ 2 an tagα Es decir, que la profundidad de campo depende de la longitud de onda de la luz utilizada (en el rango del visible este parámetro tiene poca importancia), y es inversamente proporcional a la apertura numérica y a la tangente de la apertura angular. O sea que, en general, disminuyendo el cono de luz que entra al sistema óptico, aumenta la profundidad de campo. -37-

17 Consecuentemente, tanto en fotografía como en microscopía y cualquier otra aplicación, del hecho de cerrar el diafragma de apertura y limitar el ángulo α resulta un incremento de la profundidad de campo Aberraciones Hasta aquí se han considerado los sistemas ópticos formados por dioptrios perfectamente esféricos, en los que las trayectorias de los rayos están perfectamente definidas a partir de los parámetros del sistema. Sin embargo, pueden existir sistemas ópticos que dan lugar a trayectorias de los rayos distintas de las estudiadas aquí, sea por defectos en la fabricación de los dioptrios, sea porque se ha introducido cierta deformación para provocar efectos epecíficos en las imágenes producidas, como es el caso de algunos objetivos fotográficos. Las desviaciones respecto de las trayectorias ideales es lo que se conoce con el nombre de aberraciones del sistema. En este apartado se describirán muy brevemente los diversos tipos de aberraciones, sin profundizar en su estudio, que escapa de los objetivos de esta obra. Desde un punto de vista muy genérico se pueden dividir las aberraciones en dos grandes grupos, las axiales, y las no axiales. Las primeras corresponden a desviaciones de las trayectorias de los rayos a lo largo del eje óptico, las segundas a deformaciones del conjunto de la imagen. Las llamadas aberraciones axiales comprenden dos tipos de desviaciones, las cromáticas y las esféricas. -38-

18 Las aberraciones esféricas tienen lugar cuando distintos rayos que parten de un punto del objeto situado sobre el eje, en lugar de juntarse en un único punto del eje para formar la imagen, no convergen sobre un punto, sino sobre un pequeño segmento del eje (Figura 16 inferior). Obviamente, el efecto que se observa es el de una imagen más o menos desenfocada, según la magnitud de la aberración, que no puede focalizarse aún modificando las distancias entre objeto y sistema. Figure 16 La aberración cromática se produce cuando un rayo de luz blanca que parte de un punto del objeto ubicado sobre el eje óptico, llega dispersado al correspondiente punto de la imagen, es decir, que el recorrido de las distintas frecuencias del espectro visible no es el mismo, y por tanto cada una forma una imagen diferente (Figura 16 superior). El resultado es una imagen con cierta indefinición de color, especialmente en los bordes de las zonas coloreadas, en los que se aprecian franjas azules y/o rojas, según los casos. Parece obvio que, inevitablemente, una lente da lugar a cierta distorsión cromática debido a la propia dispersión del índice de refracción en las frecuencias del visible. Por este motivo normalmente se utilizan sistema de lentes de modo que la aberración cromática de una de las lentes del sistema es corregida por las otras lentes, con lo cual el conjunto está libre de aberraciones. Este es el caso de casi todos los objetivos de cierta calidad utilizados en microscopía. -39-

19 Las aberraciones no axiales incluyen las aberraciones de curvatura de campo, astigmatismo y distorsión. Esta última consiste en la deformación de la imagen respecto de las proporciones del objeto. La curvatura de campo tiene lugar cuando la lente no produce una imagen plana de un plano perpendicular al eje óptico, lo que puede provocar a una imagen enfocada en el centro y desenfocada en los bordes, y cuando se trata de enfocar los bordes, se desenfoca en la parte central. El astigmatismo se produce cuando la imagen de un punto del objeto, es un segmento perpendicular al eje óptico, es decir que la imagen que se forma es alargada respecto del objeto a lo largo del eje de astigmatismo. Frecuentemente se han asociado las imágenes alargadas de las pinturas del Greco a un defecto muy acusado de astigmatismo en la visión del pintor. Y más modernamente, la técnica de cinemascope, de bastante éxito en la producción de Holywood de los años 50s, consistía en deformar astigmaticamente la imagen de cada fotograma, para luego proyectar con un objetivo que producía un astigmatismo corrector del objetivo de la cámara; de modo que era posible incluir en el formato convencional imágenes de amplios escenarios naturales. -40-