Primeras nociones topológicas

Lección 5 Primeras nociones topológicas Vamos a estudiar ahora algunas nociones topológicas elementales, trabajando en un espacio métrico arbitrario. Empezamos estudiando el interior de un conjunto y los entornos de un punto, dos nociones directamente relacionadas con los conjuntos abiertos. Seguidamente estudiamos los conjuntos cerrados, que son los complementos de los abiertos, y ligadas a ellos, las nociones de cierre, punto adherente, punto de acumulación, punto aislado y frontera de un conjunto. De esta forma catalogamos las posiciones relativas que puede tener un punto con respecto a un subconjunto de un espacio métrico. 5.1. Interior y entornos En lo que sigue, E será un espacio métrico, cuya distancia denotamos por d, y T será la topología generada por d. Las nociones que vamos a estudiar son topológicas, sólo dependen de la topología T y no se alteran al sustituir la distancia d por otra equivalente. Todo A P(E) contiene un abierto, pues al menos /0 A. Se define el interior de A, que se denota por A, como la unión de todos los abiertos incluidos en A: A = { U T : U A } Claramente, A es abierto y A A. De hecho A es el máximo abierto incluido en A, pues si U T y U A, se tiene obviamente U A. Por tanto, A es abierto si, y sólo si, A = A. Cuando x A, decimos que x es un punto interior de A, o que A es un entorno de x, y denotamos por U(x) al conjunto de todos los entornos de x. Si x A, existe U T con x U A, pero entonces, por ser U abierto y x U, existe ε > 0 tal que B(x,ε) U A. Recíprocamente, si existe ε > 0 tal que B(x,ε) A, tenemos x A, pues B(x,ε) T y x B(x,ε) A. Quedan así caracterizados el interior de un conjunto y los entornos de un punto, en términos de bolas abiertas: x A A U(x) ε > 0 : B(x,ε) A 23

5. Primeras nociones topológicas 24 Cuando E = R, tenemos x A si, y sólo si, existe ε > 0 tal que ]x ε, x + ε[ A, luego el concepto de interior en espacios métricos generaliza el que ya conocíamos en R. Volviendo al caso general, destacamos algunas propiedades de la familia U(x) de todos los entornos de un punto x E. Es obvio que, si A U(x) y A C E, entonces C U(x): contener un entorno de x es lo mismo que ser entorno de x. Además, si A 1, A 2 U(x), existen U 1, U 2 T tales que x U 1 A 1 y x U 2 A 2, pero entonces tenemos U 1 U 2 T y x U 1 U 2 A 1 A 2, luego A 1 A 2 U(x). Por inducción, la intersección de cualquier familia finita de entornos de x es un entorno de x. Finalmente, conocer los entornos de todos los puntos de E, equivale a conocer la topología, pues un conjunto es abierto si, y sólo si, es entorno de todos sus puntos. 5.2. Conjuntos cerrados Dado C P(E), decimos que C es un subconjunto cerrado de E, o simplemente un cerrado de E, cuando su complemento E \C es abierto. Si no es necesario enfatizar el espacio métrico E, podemos decir que C es un conjunto cerrado, o simplemente un cerrado. Las propiedades de la topología se traducen equivalentemente en términos de conjuntos cerrados. Concretamente, denotando por C a la familia de todos los subconjuntos cerrados de E, tenemos (1) /0, E C (2) D C = D C (3) C, D C = C D C Resaltamos que (2) asegura la estabilidad de C por intersecciones arbitrarias, mientras de (3) sólo podemos deducir que la unión de cualquier familia finita de cerrados es un cerrado. Todo A P(E) está incluido en un cerrado, al menos A E. Se define el cierre de A, que se denota por A, como la intersección de todos los cerrados en los que A está incluido: A = { C C : A C } Es claro que A es cerrado y A A. De hecho A es el mínimo cerrado que contiene al conjunto A, pues si C es cerrado y A C, se tiene obviamente A C. Por tanto, A es cerrado si, y sólo si, A = A. Las operaciones de cierre e interior están claramente relacionadas: Para todo subconjunto A de un espacio métrico E, se tiene: E \ A = (E \ A) y E \ A = E \ A La comprobación de la primera igualdad es inmediata: ( {C } ) E \ A = E \ C : A C = { E \C : C C, A C } = { U T : U E \ A } = (E \ A)

5. Primeras nociones topológicas 25 Para la segunda igualdad, basta aplicar la primera al conjunto E \ A en lugar de A: E \ E \ A = ( E \ (E \ A) ) = A, luego E \ A = E \ A Usando el resultado anterior podemos caracterizar los puntos del cierre de un conjunto A. Para x E tenemos x A si, y sólo si, E \ A no es entorno de x. Esto equivale a que E \ A no contenga ningún entorno de x, es decir, a que todo entorno de x contenga puntos de A. A su vez, esto equivale a que toda bola abierta de centro x contenga puntos de A. En resumen: x A U A /0 U U(x) B(x,ε) A /0 ε R + Cuando esto ocurre decimos que x es un punto adherente al conjunto A, así que A es el conjunto de todos los puntos adherentes al conjunto A. La noción de punto adherente tiene un significado intuitivo muy claro. Podríamos decir que, cuando x A, tenemos puntos de A tan cerca de x como queramos, así que la distancia del punto x al conjunto A debería ser cero, aunque pueda ocurrir que x / A. Vamos a formalizar esta idea, excluyendo el caso A = /0, que es trivial: /0 = /0. Para x E y /0 A E, definimos la distancia del punto x al conjunto A como el número d(x,a) R + 0 dado por d(x,a) = ínf { d(x,a) : a A } Si x A, para todo ε > 0 tenemos a A tal que d(x,a) < ε, luego d(x,a) < ε, y deducimos que d(x,a) = 0. Recíprocamente, la última igualdad implica claramente que, para cada ε > 0 exsite a A tal que d(x,a) < ε. En resumen: A = { x E : d(x,a) = 0 } Deducimos claramente que, si A tiene un sólo punto, A = {x} con x E, entonces A es cerrado: para y A se tiene 0 = d(y,a) = d(y,x), luego y = x. En vista de las propiedades de los conjuntos cerrados, deducimos: En cualquier espacio métrico E, todo subconjunto finito de E es cerrado. Como simple curiosidad, conviene comentar que, en un espacio topológico, puede ocurrir que un conjunto con un sólo elemento no sea cerrado. 5.3. Puntos de acumulación y puntos aislados Los puntos adherentes a un conjunto A pueden ser de dos tipos excluyentes. Decimos que x es punto de acumulación de A, cuando x es adherente al conjunto A\{x}, es decir, x A \ {x}. Esto significa que todo entorno de x, o toda bola abierta de centro x, contiene puntos de A distintos de x. Denotamos por A el conjunto de todos los puntos de acumulación de A: x A U ( A \ {x} ) /0 U U(x) B(x,ε) ( A \ {x} ) /0 ε R +

5. Primeras nociones topológicas 26 De hecho, si x A, para todo ε > 0 se tiene que el conjunto W ε = B(x,ε) ( A \ {x} ) no sólo verifica que W ε /0, sino que es un conjunto infinito, lo que explica que llamemos a x punto de acumulación de A. En efecto, si para algún ε > 0, W ε es finito, basta tomar δ = mín{d(y,x) : y W ε } > 0 para tener B(x,δ) (A \ {x}) = /0, luego x / A. Deducimos que si A es un subconjunto finito de E, entonces A = /0. Pensemos ahora en los puntos adherentes a un conjunto que no sean puntos de acumulación. Tenemos x A \ A si, y sólo si, existe U U(x) tal que U A = {x}, o lo que es lo mismo, existe ε > 0 tal que B(x,ε) A = {x}, en cuyo caso decimos que x es un punto aislado de A, siendo claro entonces que x A. Por tanto, el conjunto de los puntos aislados de A es A \A = A\A. Observamos también que A = A A, luego A es cerrado si, y sólo si, A A. En el caso del espacio métrico E = R, para A R y x R, tenemos x A si, y sólo si, ]x ε, x + ε[ (A \ {x}) /0 para todo ε R +, mientras que x es punto aislado de A cuando existe ε > 0 tal que ]x ε, x + ε[ A = {x}. Vemos así que en R con la topología usual, los puntos de acumulación y los puntos aislados de un subconjunto de R son los que ya conocíamos, como ocurrió con los puntos interiores. Son las tres nociones que habíamos manejado en R y hemos generalizado para poder usarlas en cualquier espacio métrico. 5.4. Frontera de un conjunto Completemos ya la discusión de las posiciones relativas que puede ocupar un punto con respecto a un subconjunto de un espacio métrico. Definimos la frontera de un conjunto A E, que se denota por Fr(A), como el conjunto de todos los puntos adherentes al conjunto A que no sean interiores. Tenemos por tanto Fr(A) = A \ A = A (E \ A ) = A E \ A donde, para la última igualdad, hemos usado la relación entre interior y cierre, ya conocida. Como consecuencia, Fr(A) es un conjunto cerrado y Fr(A) = Fr(E \ A). Observamos también que la topología de E queda determinada cuando conocemos la frontera de cada subconjunto, ya que A es abierto si, y sólo si, A Fr(A) = /0, mientras que A es cerrado si, y sólo si, Fr(A) A. Por tanto, A es abierto y cerrado si, y sólo si Fr(A) = /0, como ocurre cuando A = /0 o A = E. En general, cada conjunto A E da lugar a una partición del espacio E, más concretamente: E = A Fr(A) (E \ A) con A Fr(A) = A (E \ A) = Fr(A) (E \ A) = /0 5.5. Intervalos en R En R con la topología usual, tres de las nociones recién estudiadas eran ya conocidas y las demás se relacionan directamente con ellas, luego tampoco son nuevas, salvo la nomenclatura. o obstante, conviene hacer un breve repaso para motivar resultados que veremos después en otros espacios métricos. Empezamos por los subconjuntos más útiles de R, los intervalos.

5. Primeras nociones topológicas 27 Si S es una semirrecta a la derecha y α = ínf S, tenemos claramente S =]α, + [, S = S = [α, + [ y Fr(S) = {α} Análogamente, si S es una semirrecta a la izquierda y β = sup S, tenemos S =], β[, S = S =], β] y Fr(S) = {β} Para α,β R, observamos que las semirrectas ]α, + [ y ], β[ son conjuntos abiertos, de ahí que las llamemos semirrectas abiertas, pero no son cerrados. Por su parte [α, + [ y ], β] son ejemplos de conjuntos cerrados que no son abiertos. Si ahora J es un intervalo acotado no trivial y α = ínf J < sup J = β, tenemos J =]α,β[, J = J = [α, β] y Fr(J) = {α, β} Así pues, ]α, β[ es un conjunto abierto, de hecho una bola abierta como ya sabíamos, que no es cerrado. Por su parte, [α, β] es, como su nombre indica, un conjunto cerrado, pero no es abierto. Finalmente los intervalos semiabiertos [α, β[ y ]α, β] nos proporcionan ejemplos de conjuntos que no son abiertos ni cerrados. Queda claro que un subconjunto de un espacio métrico puede ser a la vez abierto y cerrado, puede tener cualquiera de esas dos propiedades pero no la otra, y no tener ninguna. Pensar que cada una de esas propiedades es la contraria de la otra es, sencillamente, un disparate. 5.6. Bolas cerradas Volviendo al caso general de un espacio métrico E, vemos algunos ejemplos inspirados en los comentados para R. Empezamos por el ejemplo más típico de conjunto cerrado. Para x E y r R +, la bola cerrada de centro x y radio r viene dada por B(x,r) = { y E : d(y,x) r } que ciertamente es un conjunto cerrado, como vamos a ver. Si z pertenece a su cierre, para todo ε > 0 existe y B(z,ε) B(x,r), con lo que d(z,x) d(z,y) + d(y,x) < ε + r. Deducimos claramente que d(z,x) r, como se quería. Como consecuencia, el conjunto S(x,r) = { y E : d(y,x) = r } = B(x,r) \ B(x,r) es cerrado, por ser la intersección de dos cerrados. Se dice que S(x,r) es la esfera de centro x y radio r, nomenclatura inspirada en el caso particular de R 3 con la distancia euclídea. Podría pensarse que el cierre de una bola abierta es la correspondiente bola cerrada y que el interior de una bola cerrada es la correspondiente bola abierta, pero enseguida veremos que en general, ambas afirmaciones son falsas. Por tanto, la notación que usamos para las bolas cerradas no nos debe confundir: en general, B(x,r) no es lo mismo que B(x,r).

5. Primeras nociones topológicas 28 Ciertamente, para x E y r R +, de la inclusión obvia B(x,r) B(x,r), siendo B(x,r) un cerrado y B(x,r) un abierto, deducimos que B(x,r) B(x,r) y B(x,r) [ B(x,r) ] (1) pero ambas inclusiones pueden ser estrictas. Basta pensar en un conjunto E con la distancia discreta, cuyos subconjuntos son todos abiertos, luego también son todos cerrados. En este caso, las dos inclusiones que aparecen en (1) se resumen en una, que además es obvia: B(x,r) B(x,r). Por tanto, si encontramos en E una esfera no vacía, ambas inclusiones serán estrictas. Pues bien, si E tiene al menos dos elementos, para todo x E se tiene S(x,1) = E \ {x} = /0. Sin embargo, no todo está perdido, pues vamos a ver que, en todo espacio normado, las dos inclusiones que aparecen en (1) son igualdades. Empiezan así a ponerse de manifiesto las ventajas de trabajar en un espacio normado, en vez de hacerlo en un espacio métrico arbitrario. Si X es un espacio normado, para cualesquiera x X y r R + se tiene: B(x,r) = B(x,r) y B(x,r) = [ B(x,r) ] Por tanto: Fr ( B(x,r) ) = Fr ( B(x,r) ) = S(x,r). En vista de (1) basta probar dos inclusiones. Para la primera, dado y B(x,r), debemos probar que y B(x,r), cosa que es obvia si y B(x,r), luego suponemos que y x = r. Dado ε > 0 debemos encontrar un punto de B(x,r) B(y,ε), y es natural buscarlo en el segmento que va de y a x. Tomamos por tanto z = y + ρ(x y), donde ρ R se elige de forma que 0 < ρ < mín{1, ε/r }, y comprobamos que z B(x,r) B(y,ε): z x = (1 ρ) y x < r y z y = ρ x y = ρr < ε Para la inclusión que queda, dado y [ B(x,r) ], existe ε > 0 tal que B(y,ε) B(x,r), de donde queremos deducir que y B(x,r), lo cual es obvio si y = x. En otro caso tomamos z = y + ρ(y x) con 0 < ρ < ε/ y x. Tenemos entonces, z y = ρ y x < ε y z x = (1 + ρ) y x > y x La primera desigualdad nos dice que z B(y,ε) B(x,r), luego z x r, y entonces la segunda nos da y x < r, como queríamos. Consideremos ahora, siempre en un espacio normado X, un conjunto A verificando que B(x,r) A B(x,r), donde x X y r R +. Tenemos entonces claramente B(x,r) = A A A = B(x,r) luego A sólo es abierto cuando A = B(x,r), y sólo es cerrado cuando A = B(x,r).

5. Primeras nociones topológicas 29 5.7. Conjuntos discretos y conjuntos densos Volvemos a inspirarnos en las propiedades topológicas de algunos subconjuntos destacados de R. Pensemos por ejemplo en el conjunto de los números naturales. Sabemos que = = /0, luego = = Fr() Lo mismo podríamos decir de cualquier subconjunto finito de R, o del conjunto Z de los números enteros. En general, para un conjunto A R, de ser A = /0 se deduce obviamente que todos los puntos de A son aislados. El recíproco no es cierto, tomando A = {1/n : n } sabemos que A = {0}, luego todos los puntos de A son aislados, pero A /0. Pues bien, se dice que un subconjunto A de un espacio métrico E es discreto cuando todos sus puntos son aislados, es decir, A A = /0. ótese que A = /0 si, y sólo si A es discreto y cerrado. Sea como siempre T la topología de E y T A la topología inducida en A. Entonces, A es discreto si, y sólo si, para cada x A, existe U T tal que U A = {x}, es decir, {x} T A. Como T A es estable por uniones arbitrarias, vemos que A es discreto si, y sólo si, T A es la topología discreta en A. Un conjunto finito F E es el ejemplo más sencillo de subconjunto discreto de E, que también es cerrado. Hemos visto que es un subconjunto discreto y cerrado de R, mientras el conjunto A = {1/n : n } es discreto pero no cerrado. La topología usual de cualquiera de estos conjuntos es la discreta, es decir, la distancia inducida en ellos por la distancia usual de R es equivalente a la distancia discreta. La situación cambia drásticamente cuando consideramos el conjunto Q de los números racionales o el conjunto R \ Q de los irracionales. Sabemos que Q = (R \ Q) = /0 pero Q = (R \ Q) = R luego Q y R \ Q no son abiertos ni cerrados. De hecho tenemos claramente Q = R \ Q = Fr(Q) = Fr(R \ Q) = R Como Q es numerable, vemos aquí un ejemplo de una familia numerable de cerrados cuya unión no es un conjunto cerrado. Tomando complementos, R \ Q es la intersección de una familia numerable de abiertos, pero no es abierto. Para A R, decir que A = R significa que B(x,ε) A /0 para todo x R y para todo ε > 0, pero esto equivale a que todo intervalo abierto acotado contenga puntos de A, que es tanto como decir que A es denso en R. Vemos pues que la densidad de un conjunto en R, que inicialmente se define usando el orden de R, es una propiedad topológica. Esto motiva la siguiente definición. Decimos que un subconjunto A de un espacio métrico E es denso en E cuando A = E. Esto equivale claramente a que todo abierto no vacío de E tenga intersección no vacía con A: A = E [ U T, U /0 U A /0 ]

5. Primeras nociones topológicas 30 Finalmente vamos a construir fácilmente subconjuntos discretos, y también subconjuntos densos, de R para cualquier dimensión. Basta para ello considerar un producto cartesiano de subconjuntos discretos o densos de R. Conviene previamente observar lo que ocurre con un producto cartesiano de abiertos de R: Si U 1, U 2,..., U son abiertos de R, entonces el producto cartesiano U = U k es un abierto de R. Además, todo abierto de R se puede expresar como unión de productos cartesianos de abiertos de R. Si x U, para cada k I tenemos x(k) U k, luego por ser U k abierto, existe r k R + tal que ]x(k) r k, x(k) + r k [ U k. Tomando r = mín{r k : k I } tenemos ]x(k) r, x(k) + r [ U k para todo k I. Por tanto, usando en R la norma del máximo tenemos B(x,r) = ]x(k) r, x(k) + r [ U k = U y hemos probado que U es un abierto de R. La segunda afirmación del enunciado es aún más clara: todo abierto de R es unión de bolas abiertas para la norma del máximo, que son productos cartesianos de abiertos de R. Tenemos así una descripción de la topología usual de R que no usa explícitamente ninguna norma o distancia concreta: los abiertos de R son las uniones de productos cartesianos de abiertos de R. Usando esta descripción es ya inmediato comprobar lo siguiente: Sean A 1, A 2,..., A R y sea A = A k R. Se tiene: (i) Si A k es discreto para todo k I, entonces A es un subconjunto discreto de R. (ii) Si A k es denso en R para todo k I, entonces A es denso en R. (i). Dado x A, para cada k I, como x(k) A k y A k es discreto, existe un abierto U k de R tal que U k A k = {x(k)}, con lo que tomando U = U k tenemos un abierto U R tal que U A = {x}. (ii). Todo abierto no vacío V de R contiene un conjunto de la forma U = U k donde, para cada k I, U k es un abierto no vacío de R. Al ser U k A k /0 para todo k I, deducimos claramente que U A /0, luego V A /0. Así pues, Z es un subconjunto discreto de R, pero nótese que, en el resultado anterior, los conjuntos A k con k I no tienen por qué coincidir. Por ejemplo, Z {0} y Z son subconjuntos discretos de R 2. Análogamente, Q es denso en R, luego tenemos un conjunto numerable que es denso en R. Vemos también, por ejemplo, que Q (R \ Q) es denso en R 2.