ÁLGEBRA Algunas soluciones a la Práctica 4

ÁLGEBRA Algunas soluciones a la Práctica 4 Equivalencia de matrices. Sistemas de ecuaciones Curso 28 29 2. Existen dos matrices de igual dimensión que tengan el mismo rango pero no sean ni equivalentes por filas ni equivalentes por columnas?. En caso afirmativo dar un ejemplo. Si. Por ejemplo: Examen de junio de 27 A =, B =. 3. Encontrar la única respuesta correcta, de entre las indicadas, a las siguientes cuestiones: a De las matrices congruentes con, ninguna es simétrica. VERDADERO. Ya que la congruencia conserva simetría. Como esta matriz no es simétrica, no puede haber ninguna congruente con ella que si lo sea. alguna es singular. FALSO. La congruencia conserva rangos. congruentes a ellas son NO singulares. alguna es diagonal. En particular si una matriz es NO singular, todas las FALSO. Si fuese diagonal, sería simétrica, y ya razonamos que esto no es posible. todas son triangulares. FALSO. Sumando las segunda fila y columna a la primera obtenemos una congruente que no es triangular: H 2 ν 2 2 2 3 b Sea A M n n IR. Denotamos por CA, EA, SA las clases de equivalencia de A según las relaciones de congruencia, equivalencia y semejanza de matrices, respectivamente. Se puede afirmar que: Recordemos las definiciones: B congruente A C regular con B = CAC t B equivalente a A P, Q regulares con B = P AQ B semejante a A D regular con B = DAD EA SA. FALSO. La equivalencia no implica la semejanza. Por ejemplo, dos matrices con el mismo rango son equivalentes, aunque tengan distinta traza; sin embargo, dos matrices semejantes han de tener también la misma traza. Un ejemplo más concreto: 2

Son matrices equivalentes, pero no semejantes. SA EA CA. FALSO. Es cierto que SA EA, es decir que toda matriz semejante a A es equivalente a A. Basta fijarse en las definiciones anteriores, tomando P = D y Q = D. Sin embargo es falso que EA CA. Basta tener en cuenta que la congruencia conserva matrices simétricas y la equivalencia no. Así: son equivalentes pero no congruentes. CA SA. FALSO. La semejanza conserva trazas y determinantes. Pero la congruencia no. Por ejemplo: son congruentes, pero no semejantes. CA EA y SA EA. 4 VERDADERO. Toda matriz congruente a A es también equivalente. Basta tomar P = C y Q = C t en las definiciones anteriores. Además ya vimos antes que SA EA. Primer parcial, enero 998 c Dos matrices con el mismo determinante cumplen: Son semejantes. FALSO. Por ejemplo A = y B = Ω tienen el mismo determinante nulo, pero no son semejantes ya que su rango es distinto. Son equivalentes por filas. FALSO. Las mismas matrices del ejemplo anterior no pueden ser equivalentes por filas porque tienen distinto rango. Tienen el mismo rango. FALSO. De nuevo las matrices A y B anteriores vemos que tienen el mismo determinante pero distinto rango. Ninguna de las anteriores afirmaciones es correcta. VERDADERO.

ÁLGEBRA Solución a los problemas adicionales Equivalencia de matrices. Sistemas de ecuaciones Curso 28 29 I. Hallar la forma reducida equivalente por filas de la matriz: a H3 H4 H 42 H32 II. Obtener mediante transformaciones elementales el rango, la forma canónica B respecto de la equivalencia y matrices no singulares P y Q que cumplan B = P AQ, siendo A a matriz del problema anterior. a Partiendo de la forma reducida equivalente por filas, para calcular la canónica B sólo tenemos que operar por columnas: ν3 ν24 Vemos que el rango de la matriz es 2. Para obtener la matriz de paso P, sólo hay que hacer las mismas operaciones por filas que hemos hecho sobre la matriz inicial, pero ahora sobre la matriz identidad. I H3 H 32 H4 = P H42 Análogamente, para calcular Q hay que hacer las operaciones por columna que que hicimos antes, sobre la identidad. Haciendo esto obtenemos: I ν3 ν24 = Q

III. Obtener la forma canónica de la siguiente matriz respecto de la congruencia sobre el cuerpo IR y sobre el cuerpo IC, así como las matrices de paso: 3 2 2 2 2 2 6 Es una matriz simétrica. Para reducir por congruencia, las operaciones que hagamos por filas las hacemos también a las columnas: A = 3 2 2 2 2 H2 ν2 2 2 2 H3 2 ν3 2 2 2 2 6 2 2 6 2 2 H 32 ν32 2 H2 / 2 ν2 / 2 = C Esta es la forma canónica por congruencia sobre IR. En este caso coincide con la forma canónica compleja, porque todos los términos de la diagonal son no negativos ó. Serían diferente si apareciese algún en la forma canónica en IR. Para calcular la matriz P de paso de manera que A = P CP t, basta hacer las operaciones por fila que le hemos hecho a A sobre la identidad. De esta forma obtenemos: P = / 2 2 3 problemaiv Obtener mediante transformaciones elementales la inversa de las matriz: 2 2 2........ 2 2 Para hallar la inversa hacemos la reducción por filas hasta llegar a la identidad; la matriz inversa se obtiene realizando las mismas operaciones sobre la matriz identidad. Podemos hacer ambos procesos al mismo tiempo: 2...... 2...... 2......................... 2...... 2... Sumamos ahora la primera fila dividida por dos a la segunda; luego la segunda dividida por dos a la tercera y así sucesivamente. Suponiendo que es una matriz n n, queda: 2... 2... 2.............. 2... 2... /2... /4 /2........... /2 n 2 /2 n 3 /2 n 4... /2 n /2 n 2 /2 n 3... /2

y ahora dividiendo cada fila por 2:....................... /2... /4 /2... /8 /4 /2........... /2 n /2 n 2 /2 n 3... /2 /2 n /2 n /2 n 2... /4 /2 V. Discutir y, en su caso, resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: y 3z = 5 2x + 3y z = 7 4x + 5y 2z = 3x 4y + 6z = 7 5x + 2y 4z = 5 x + 3y 5z = 3 x + y + z = 3 x + y z = x y + z = x y z = x + y + z + t = 2 x + 2y + z 3t = 2x + 3y + 2z 2t = 3 a Para discutir el sistema calculamos el rango de la matriz asociada y de la matriz ampliada. El sistema tiene solución sólamente si ambos rangos coinciden. Si además este rango coincide con el número de incógnitas la solución es única. En otro caso la solución depende de tantos parámetros como sea la diferencia entre el rango y el número de incógnitas. Una forma de calcular el rango y tratar de resolver el sistema al mismo tiempo, puede ser utilizar la reducción bajo equivalencia por filas. También se puede resolver por la regla de Kramer. La matriz del sistema y su ampliada son: A = 3 3 5 2 3 A = 2 3 7 4 5 2 4 5 2 Vemos que A = 6, luego rangoa = rangoa = 3, y el sistema tiene solución única compatible determinado. Lo resolvemos, por ejemplo, por Kramer: 5 3 5 3 5 x = 7 3 / A = ; y = 2 7 / A = 4; z = 2 3 7 5 2 4 2 4 5 / A = 3 b Ahora, la matriz del sistema y su ampliada son: 3 4 6 3 4 6 7 A = 5 2 4 A = 5 2 4 5 3 5 3 5 3 Vemos que A =, y además el menor formado por las dos primeras filas y columnas tiene determinante no nulo. Por tanto rangoa = 2. Sin embargo el rango de A es 3, porque el menor formado por las columnas, 2, 4 tiene determinante no nulo. Por tanto el sistema no tiene solución incompatible.

c Resolveremos este haciendo la redución por filas. Trabajamos sobre la matriz ampliada, distinguiendo los coeficientes: 3 H 3 2 H 432 2 2 2 2 H 2 H 3 H 4 3 2 2 2 2 2 2 4 2 H2 /2 H3 /2 2 2 3 2 2 2 2 4 H 2 H 422 Vemos que el rango de la matriz del sistema es 3 y coincide con el de la ampliada y con el número de incógnitas sistema compatible determinado. Además obtenemos que la solución es: x = ; y = ; z =. d De nuevo utilizamos reducción por filas: H 2 2 H 2 3 3 2 4 2 3 2 2 3 4 2 H 2 H 32 5 4 3 Vemos que el rango de la matriz del sistema es 2 y coincide con el de la matriz ampliada. Sin embargo hay 4 incógnitas. Por tanto la solución depende de 4 2 = 2 parámetros sistema compatible indeterminado: x = 3 λ 5µ; y = + 4µ; z = λ; t = µ; VI. Discutir y, en su caso, resolver, en función de los parámetros correspondientes, el sistema de ecuaciones: ax + 2z = 2 5x + 2y = x 2y + bz = 3 Escribimos la matriz asociada al sistema y la ampliada: A = a 2 5 2 A = a 2 2 5 2 x 2 b x 2 b 3 Estudiamos los rangos en función de a y b. Tenemos A = 22 ab. Luego: - Si ab 2, entonces rangoa = rangoa = 3. Coincide con el número de incógintas por lo que el sistema es compatible determinado. Resolviéndolo por Kramer se obtiene: x = 2b 4 2 ab ab b + 28 4a 3 ; y = ; z = 24 2ab 2 ab. Si ab = 2, el rango de A es 2, porque el menor formado por las dos primeras filas y columnas siempre tiene determinante no nulo. El rango de A, sin embargo, puede ser 3, si hay algún menor de orden 3 que tenga determinante nulo. Vemos que esto ocurre exactamente si a 3. Es decir: - Si ab = 2 pero a 3, entonces el sistema es incompatible. - Si a = 3 y b = 4, el sistema es compatible indeterminado. De las dos primeras ecuaciones se obtiene: x = 2 λ ; y = 3 7 + λ ; z = λ. 6

VII. Sean las matrices reales: A = 2 3 ; B = 2 3 ; 2 Es posible encontrar una matriz inversible X M 2 2 IR tal que AX = B?. Multiplicar la matriz A por la derecha por una matriz inversible X consiste en hacer operaciones elementales columna. Por tanto la cuestión es si A y B son equivalentes por columnas. Tenemos: A ν2 2 3 ν2 2 5 ν2/5 ν2 2 2 5 2 y por otra parte: B ν2 2 ν2 ν2 2 2 Luego A y B no son equivalentes por columnas. Y una matriz inversible Y M 3 3 IR tal que Y A = B?. Razonar las respuestas. Ahora hay que ver si son equivalentes por filas: A = 2 3 2 H 32 H 233 y para la otra matriz: B = 2 3 5 5 2 H 2 H 3 Luego vemos que son equivalentes filas. Examen final, junio 24 H /5 H 2/5 H 3 2 2 H 22 H 32 H 2 H 322 H2 H3 VIII. Consideramos las matrices reales: A = 2 2 Calcular los valores de a para los cuales: a A y B son equivalentes por filas. ; B = a, a IR. a 3 Simplificamos ambas matrices mediante operaciones fila: 2 h 2 2 2 h 2 /3 2 A = 2 3 y B = a h 2 a a a 3 3 a 2. h 2 2. Ahora si 3 a 2 =, entonces rangob = rangoa. Por tanto NO SON EQUIVALENTES POR FILA. Si 3 a 2, podemos seguir: a h 2/3 a 2 a h 2 a 3 a 2.

Vemos que: - Si a 3, 3 son equivalentes por filas. - Si a = 3, 3 NO son equivalentes por filas. b A y B son equivalentes. Dos matrices de la misma dimensión son equivalentes si y sólo si tienen el mismo rango. En este caso rangoa = 2 y vimos antes que rangob = 2 excepto si 3 a 2 =. Concluimos que: - Si a 3, 3 son equivalentes. - Si a = 3, 3 NO son equivalentes. c A y B son congruentes. Dos matrices simétricas son congruentes si tienen el mismo rango y la misma signatura. De nuevo sabemos que los rangos coinciden si 3 a 2. Además, diagonalizando por congruencia tenemos: 2 h 2 2 A = ν2 2 2 3 es decir, la signatura de A es,. Por otra parte, para B y suponiendo que a 3, 3: a h 2 a = ν2 a a 3 3 a 2 La signatura de B es, si y sólo si 3 a 2 <. Concluimos: - Si a < 3 ó a > 3, entonces A y B son congruentes. - Si 3 a 3, entonces A y B NO son congruentes. d A y B son semejantes. Dos matrices semejantes tienen la misma traza. Pero trazaa = + = 2 y trazab = + 3 = 4. Por tanto A y B nunca son semejantes. IX. Encontrar la única respuesta correcta, de entre las indicadas, a las siguientes cuestiones: a Las matrices y son equivalentes por filas. FALSO. No pueden ser equivalentes por filas, porque la primera de ellas, a diferencia de la segunda, tiene una columna formada totalmente por ceros, y no se va a modificar en ninguna transfomación elemental por filas. De hecho las respectivas formas reducidas por filas son: son equivalentes por columnas. H23 H2 H23 H2 H2 VERDADERO. Vemos que coincide la forma reducida por columnas: ν23 H2 H2 H2 H3

son semejantes. FALSO. Basta tener en cuenta que dos matrices semejantes tienen la misma traza. no son equivalentes. FALSO. Si que son equivalentes. De hecho incluso son equivalentes por columnas, como hemos visto. Además ambas tienen igual rango 2, con lo cual inmediatamente deducimos que son equivalentes. Primer parcial, febrero 2 b Sea A M n n IR. Indicar la afirmación falsa: Si A es simétrica y no singular, entonces es congruente con I n. FALSO. Por ejemplo, la matriz: es simétrica y no singular. Sin embargo no es congruente con I 2. La afirmación sería cierta si estudiamos la congruencia en IC. Si A es no singular, entonces es equivalente por columnas a I n. VERDADERO. Toda matriz cuadrada no singular es equivalente tanto por filas como por columnas a la matriz identidad. Todas las matrices de M n n IR con el mismo rango que A son equivalentes a A. VERDADERO. Dos matrices de la misma dimensión son equivalentes precisamente si tienen el mismo rango. Si A es semejante a I n entonces A = I n. VERDADERO. Por definición de semejanza, si A es semejante a I n, significa que existe una matriz P regular tal que, P AP = I n. Pero multiplicando a la izquierda por P y a la derecha por P obtenemos: A = P I n P = P P = I n. Primer parcial, enero 998 c Sean A, B, C y D matrices regulares n n, tales que la matriz A es semejante a B y C es semejante a D, se cumple que: AC siempre es semejante a BD. FALSO. Ejemplo: Pero, entonces A = 2 ; B = AC = ; C = 2 4 ; BC = 2 ; D = 2 ; 2 y estas no son semejantes ya que no tienen los mismos autovalores. CA nunca es semejante a DB. FALSO. Ejemplo: A = B = C = D = Id. AC nunca es equivalente a BD. FALSO. Ejemplo A = B = C = D = Id. CA siempre es equivalente a DB. 2 ; VERDADERO. Dos matrices de dimensión n n regulares siempre son equivalentes. Si A, B, C, D son regulares, entonces también CA ydb lo son. Primer parcial, enero 24

d Si dos matrices cuadradas regulares de dimensión 2 2 tienen la misma traza y el mismo determinante, entonces son semejantes. FALSO. Ejemplo: 2 ; 2 2 ; 2 son equivalentes. VERDADERO. Dos matrices 2 2 son equivalentes si tienen el mismo rango. automáticamente tienen el mismo rango. son congruentes. Si son regulares FALSO. Nos sirve el mismo ejemplo que en el caso de ser semejantes, porque una es diagonal y la otra no es simétrica y por lo tanto no son congruentes. no tienen porque ser ni equivalentes ni semejantes. FALSO. Primer parcial, enero 24