Física del Estado Sólido Práctico 5 Vibraciones de los Cristales 1. Medición de las Constantes de Fuerza Considere una red lineal monoatómica, siendo M la masa de cada átomo y a la distancia entre ellos. Sea β p la constante de fuerza entre dos átomos que distan pa, es decir, β 1 para interacción de primeros vecinos, β 2 para segundos vecinos, etc. a) Verifique que la relación de dispersión en este caso es: ω 2 = 2 M β p (1 cos pka) p>0 b) Demuestre que si se conoce experimentalmente la relación de dispersión ω(k) las constantes de fuerza pueden deducirse a través de: 2. Cadena Lineal Diatómica β p = Ma 2π + π a π a dk ω 2 (k) cos pka Desarrolle el modelo para una cadena lineal diatómica formada por una red lineal (de periodicidad a) y una base de dos átomos de masas M 1 y M 2 (suponiendo M 1 M 2 ), siendo la distancia entre los átomos de la base b. Considere el caso en que solamente hay fuerzas elásticas (de constante β) entre átomos diferentes y próximos (distancias interatómicas menores que a). Llame u s y v s a los desplazamientos (en torno a sus posiciones de equilibrio) de los átomos de masas M 1 y M 2, respectivamente, ubicados en la celda s-ésima. a) Plantee las ecuaciones de movimiento para átomos genéricos de cada tipo y busque soluciones de ondas sinusoidales de frecuencia angular ω y vector de onda k: u s = u 0 e iska e iωt v s = v 0 e iska e iωt siendo u 0 y v 0 las amplitudes de oscilación correspondientes a cada tipo de átomo, encuentre la relación entre ω 2 y k. b) Comportamiento en el Centro de la Zona de Brillouin Para ka << 1 (centro de la Zona de Brillouin): i. Calcule las velocidades de grupo de los fonones acústicos y ópticos cerca del centro de la primera Zona de Brillouin. Cómo se relaciona la primera con la velocidad de 1
propagación del sonido y cuál es el signo de la segunda? ii. Halle la relación entre las amplitudes de vibración de cada tipo de átomo v 0 /u 0 para las dos ramas (acústica y óptica). c) Comportamiento en el Borde de la Zona de Brillouin Halle la relación entre las amplitudes de vibración de cada tipo de átomo v 0 /u 0 para las dos ramas (acústica y óptica) cuando el vector de onda es: k = k max = π/a. Demuestre que para este valor de k las dos redes se comportan como si no estuvieran acopladas; una red permanece en reposo mientras que la otra se mueve. d) Doblamiento en el Borde de la Zona de Brillouin Compare la solución para las vibraciones de una cadena monoatómica con la de una cadena diatómica, cuando los átomos (además de las constantes de acoplamiento entre ellos) son idénticos entre sí (M 1 = M 2 ) y se encuentran equidistantes (b = a/2). Observe que el período de la cadena diatómica es el doble del de la cadena monoatómica. e) En el caso de que la diferencia entre las masas sea muy grande (M 1 >> M 2 ) encuentre soluciones analíticas aproximadas para los modos ópticos y acústicos. 3. Energía de una onda vibracional Considere una onda longitudinal: u s = u 0 cos(ωt ska) que se propaga en una red lineal monoatómica de átomos de masa M, espaciado a e interacción entre vecinos más próximos de constante β. a) Demuestre que la energía total de la onda es: E = 1 2 M s ( ) 2 dus + 1 dt 2 β s (u s u s+1 ) 2 en donde s se extiende sobre todos los átomos. b) Por sustitución de u s en esta expresión, demuestre que la energía total por átomo promediada en el tiempo es: 1 4 Mω2 u 2 0 + 1 2 β(1 cos pka)u2 0 = 1 2 Mω2 u 2 0 4. a) Demuestre a partir de u s+q = u 0 e i(s+q)ka e iωt, que el momento lineal de un cristal lineal que contiene N átomos iguales de masa M, equidistantes a, en el que se excita una onda de vector de onda k es: p = N 1 r=0 M u r t N 1 = iωmu 0 e iωt r=0 e irka Evalúe este resultando usando que, para k 0, el valor de la suma que aparece en la expresión anterior es: 1 e inka 1 e ika 2
b) Aplicando la condición periódica en los límites u r = u r+n (Born - von Karman) demuestre los valores de k quedan restringidos por: e inka = 1. c) Utilice estos resultados para demostrar que un fonón posee una cantidad de movimiento nula, excepto cuando k = 0. Nota: Esto demuestra que la cantidad k, denominada cantidad de movimiento del cristal, y usualmente asimilada al momento lineal del fonón, es un momento puramente cuántico (asociada a reglas de selección de transiciones entre estados cuánticos), y que no es posible interpretarla como la cantidad de movimiento de la vibración de los átomos estudiados clásicamente. 5. Cristal de moléculas diatómicas Considere los modos normales de una cadena lineal diatómica en los cuales todos los átomos tienen la misma masa M. La periodicidad de la cadena es a mientras que la separación entre los átomos de la base es b, de forma que δ = b/a 1/2. Las constantes de fuerza son: β 1 entre los átomos de la base, y β 2 entre un átomo de la base y el más próximo de uno de los dos átomos que pertenecen a otra base. a) Determine y represente cualitativamente los espectros ω(k) acústico y óptico de fonones de esta red. b) Halle en forma exacta ω(k) para k = 0 y k = π/a. c) Evalúe para δ = 1/2 y: i. β 2 = 10β 1 ii. β 2 = β 1 6. Dispersión Inelástica Considere una onda electromagnética (fotones de energía ω i y cantidad de movimiento h k i ) viajando por un medio material cristalino en el que los átomos vibran con frecuencia angular ω q, siendo q el vector de onda de la onda vibracional correspondiente. Estudie la dispersión inelástica de dicha onda electromagnética utilizando la teoría general de dispersión usando una densidad de dispersión dependiente del tiempo ρ( r, t), donde la dependencia temporal se origina solamente en el desplazamiento de los átomos respecto a su posición de equilibrio. Considere el caso de una red monoatómica, en la que el desplazamiento del átomo n-ésimo puede escribirse como: r n = T n + u n (t) donde T n (puntos de la red directa) son las posiciones de equilibrio y u n (t) es el desplazamiento (respecto al equilibrio) originado por la onda vibracional. a) Asumiendo átomos puntuales, de forma que la densidad de dispersión de equilibrio es: ρ( r) = n δ( r T n ) calcule la amplitud de dispersión expandiéndola en potencias de u n (t), asumiendo que el desplazamiento es pequeño. 3
b) Verifique que el término de orden cero en la expansión anterior corresponde a la deducción usada en la difracción de rayos X que conduce a la condición de Laue para difracción. c) Utilizando el mismo argumento para el término de primer orden deduzca que los fotones dispersados tienen energía ω d y cantidad de movimiento k d están dados por las siguientes reglas de selección: ω d = ω i ± ω( q) k d = k i ± q + G Nota: El signo + corresponde a la absorción de un cuanto de energía de la onda vibracional (fonón) por la onda electromagnética, mientras que el signo corresponde a la emisión de uno de esos cuantos. Cuando la relación de dispersión ω( q) corresponde a fonones acústicos se denomina dispersión de Brillouin, mientras que para fonones ópticos se denomina dispersión Raman. Observe que la periodicidad de la red cambia la regla de conservación de cantidad de movimiento en un término G denominado cantidad de movimiento del cristal. 7. Red cuadrada a) Considere vibraciones transversales de una red plana cuadrada de filas y columnas de átomos idénticos. Sea u lm el desplazamiento normal al plano de la red del átomo de la columna l y fila m (ver figura). Sea M la masa de cada átomo y suponga que las constantes de fuerza son tales que la ecuación del movimiento es: M d2 u lm dt 2 = β [(u l+1,m + u l 1,m 2u l,m ) + (u l,m+1 + u l,m 1 2u l,m )] b) Suponiendo soluciones de la forma: u lm = u 0 e i(lkxx+mkyy ωt) donde a es la separación entre los átomos vecinos más próximos; demuestre que se satisface la ecuación del movimiento si: ω 2 M = 2β (2 cos k x a sen k y a) esta es la relación de dispersión para el problema. 4
c) Demuestre que la región del espacio k para la cual existen soluciones independientes, puede tomarse como una red cuadrada de lado 2π/a. Esta es la primera zona de Brillouin de la red cuadrada. Represente ω en función de k para k = k x con k y = 0 y para k x = k y. d) Demuestre que para ka << 1 es: 8. Absorción Infrarroja ω = βa 2 /M kx 2 + ky 2 = βa 2 M k Considere la respuesta de un cristal lineal diatómico a la radiación electromagnética en el infrarrojo. Suponga el cristal formado por iones de masas m y M con carga opuesta q y q y que sólo hay interacción elástica de primeros vecinos, con constante β. El campo eléctrico puede suponerse: E = E 0 e i(kx ωt) y se desprecia la parte magnética. a) Escriba cómo se modifican las ecuaciones de movimiento de la red diatómica forzada por la acción del campo. b) Suponga que la onda electromagnética se encuentra en la región del infrarrojo, o sea λ = 1 100µm. Para un cristal con constante de red típica a 5Å, compare el vector de onda del campo electromagnético con el borde de la zona de Brillouin. Deduzca que la respuesta del material se dará en el centro de la zona de Brillouin, por lo que es razonable suponer k 0. c) Bajo la aproximación anterior resuelva los desplazamientos atómicos en función del campo eléctrico y observe que poseen resonancias para ω 0 = 2β ( 1 m + 1 ) M, correspondiente al valor de la rama de fonones ópticos en el centro de la zona de Brillouin. 9. Modo vibracional localizado en un defecto Considere una cadena lineal monoatómica infinita, de átomos de masa M y acoplamiento de primeros vecinos β. En el origen de coordenadas (correspondiente al índice s = 0) la cadena posee un defecto o impureza sustitucional de masa m (es decir, un átomo de masa m M se encuentra en la posición del átomo de masa M que debería estar en ese lugar). a) Escriba las ecuaciones de movimiento para la impureza sustitucional (s = 0) y alguno de sus primeros vecinos (s = 1 ó s = 1). b) Escriba las ecuaciones seculares que se obtienen al buscar soluciones de ondas localizadas, es decir soluciones del tipo: u s = u 0 ( 1) s (α s + iωt) e Nota: Si Re[α] < 0 esto corresponde a una oscilación localizada cuya amplitud es máxima en la posición del defecto (s = 0). c) Encuentre la frecuencia de oscilación propia ω 0 del estado localizado escribiéndola en función de la frecuencia máxima de la cadena lineal infinita, ω m = de masas r = m/m. 4β M y la relación 5
d) Grafique ω 0 (r) discutiendo: i. Para qué valores de r existen vibraciones localizadas. ii. Cómo son los valores de ω 0 en comparación con ω m. e) Halle los valores de α en función de r, verificando cuándo son efectivamente modos localizados, es decir, Re[α] < 0. 10. Anomalía de Kohn En los metales es de esperar que las constantes de fuerza interplanares β p entre los planos s y s + p sean de la forma (para una red monoatómica, siendo M la masa de cada átomo y a la distancia entre ellos): β p = A sen(pk 0a) pa donde A y k 0 son constantes y p puede ser cualquier número entero positivo. a) Utilizando el resultado del ejercicio 1, parte a), halle una expresión para ω 2 y para su derivada ω2 k. b) Demuestre que ω2 k es infinita para k = k 0. Interprete este resultado. 11. Modos de fonones blandos (Soft Phonons) Considere una línea de átomos de masas iguales, pero de cargas alternadas, en donde e p = e( 1) p es la carga del ion p. El potencial interatómico es la suma de dos contribuciones: 1. Una interacción elástica de corto alcance que actúa entre los vecinos más próximos únicamente, con constante de fuerza β 1R = γ. 2. Una interacción de Coulomb entre todos los iones. a) Demuestre que la contribución de la interacción de Coulomb correspondiente al vecino a distancia pa se puede modelar (a primer orden en el desplazamiento) por constantes de fuerza atómica elástica: β C p = 2( 1) p e2 p 3 a 3 en donde a es la distancia de equilibrio entre los vecinos más próximos. b) A partir del resultado del ejercicio 1, parte a), demuestre que la relación de dispersión puede escribirse como: ω 2 ω0 2 donde: ω 0 = 4γ M y σ = ( ) ka = sen 2 + σ 2 e2. γa 3 ( 1) p (1 cos pka) c) Demuestre que ω 2 es negativo (modo inestable) en el límite de la zona ka = π si se cumple σ > 4/(7ζ(3)) = 0,475, donde ζ es la función ζ de Riemann. d) Demuestre que la velocidad del sonido para valores pequeños de ka es imaginaria si se cumple σ > 1/(2 ln 2). e) Interprete físicamente estos resultados. p=1 p 3 6