FISVIR Física virtual al alcance de todos DOCUMENTO - CONTENIDO INFORMATIVO OBJETOS VIRTUALES DE APRENDIZAJE OVA s CONTENIDO INFORMATIVO CINEMATICA DEL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE. ELONGACION: Cuando el objeto se encuentra en el punto desplazado con respecto a la línea, un ángulo, figura1, tenemos que: Figura. 1. Proyección del movimiento circular uniforme sobre el eje x. Si, en un tiempo t el objeto ha realizado un desplazamiento angular, con respecto a la línea con velocidad angular constante, dicho desplazamiento se expresa como Por tanto la elongación,, en el movimiento oscilatorio es: Como varía entre 1 y -1, se deduce que
En la figura 2, se representa gráficamente la variación de la posición con respecto al tiempo de la proyección del objeto sobre el eje x. Tanto el movimiento circular uniforme como el movimiento oscilatorio son periódicos y en ambos casos el periodo es el mismo. Figura 2. Grafica de la posicion para la proyeccion del movimiento circular sobre el eje x. Si la proyección se hace sobre el eje y se tiene: figura 3. Figura 3. Proyección del movimiento circular sobre el eje y. Para un tiempo t, la posición y del objeto es: ), como, se puede escribir que En la figura 4, se representa gráficamente la variación de la posición con respecto al tiempo de la proyección del objeto sobre el eje x.
Figura 4. Grafica de la posicion para la proyeccion del movimiento circular sobre el eje y. VELOCIDAD: Analicemos ahora que sucede con la velocidad en la proyección del movimiento circular uniforme. La velocidad lineal, v, del cuerpo que describe el movimiento circular uniforme es tangente a la trayectoria (figura 5). Figura 5. Velocidad del objeto con movimiento circular uniforme. La velocidad de la proyección del objeto sobre el eje x, vista desde el borde de la mesa, se expresa como: El signo menos de la expresión se debe a que la velocidad de la proyección está orientada en la dirección negativa del eje x.
Como la velocidad tangencial y la velocidad angular en un movimiento circular se relacionan mediante la expresión: proyectada sobre el eje x, como:. Podemos expresar la velocidad del objeto Como varía entre 1 y -1, se deduce que La anterior expresión muestra que la velocidad del movimiento de la proyección del movimiento circular uniforme, varia de tal manera que es máxima en los extremos y es igual a cero en el centro de la trayectoria. (Figura 6). Figura 6. Grafico v t, para el movimiento de la proyección de un movimiento circular uniforme sobre el eje x. Modificando ligeramente la ecuación de velocidad encontramos una expresión de la velocidad en función de la elongación, x:
Figura 7. Grafico v x, para el movimiento de la proyección de un movimiento circular uniforme sobre el eje x. Consulta en un libro como se realizó la transformación anterior. Si la proyección se hace sobre el eje y, la ecuación de velocidad es: y su grafica es (figura 8) Figura 8. Grafico v t, para el movimiento de la proyección de un movimiento circular uniforme sobre el eje y. ACELERACION: Considera el objeto que describe la circunferencia (Figura 9), recuerda que la aceleración que éste experimenta es centrípeta. Figura 9. Aceleración del objeto con movimiento circular uniforme y de la proyección sobre el eje x.
Para el observador a la altura de la mesa, la aceleración del movimiento sobre el eje x, es la componente de la aceleración centrípeta sobre el mismo eje, así que la aceleración del movimiento de la proyección es: en un movimiento circular uniforme la aceleración centrípeta se expresa como: donde v es la velocidad y A es el radio de la trayectoria. Como, la aceleración centrípeta es, Tenemos entonces que la aceleración del movimiento de la proyección se expresa como Como varía entre 1 y -1, se deduce que En la figura 10, puede ver la gráfica de la aceleración en función del tiempo. Al comparar las ecuaciones obtenidas para la posición y la aceleración del movimiento circular proyectado sobre el eje x, a saber tenemos que la aceleración se expresa como
Figura 10. Grafica a t para el movimiento de la proyección del movimiento circular uniforme sobre el eje x. Si la proyección se hace sobre el eje y, la ecuación de aceleración es: y su grafica es (figura 11) Figura 11. Grafico a t, para el movimiento de la proyección de un movimiento circular uniforme sobre el eje y. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE Hemos visto que el movimiento de la proyección de un objeto que describe un movimiento circular uniforme es armónico simple. En la figura 12, se muestra una comparación entre el movimiento de la proyección de un objeto que describe un movimiento armónico simple con periodo T y un objeto atado a un resorte que oscila con respecto a la posición de equilibrio O con igual periodo. En ambos casos para el instante t = 0, el objeto se encuentra en la posición x = A, para el instante
t = T/4, el objeto se encuentra en la posición de equilibrio, la velocidad es máxima y dirigida hacia la parte negativa del eje x. Para el instante t = T/2, el objeto se encuentra en la posición x = - A, y su velocidad es igual a cero. En el instante t = 3T/4, el objeto se encuentra en la posición x = 0 y se mueve hacia la parte positiva del eje x. en el instante t = T el objeto ocupa nuevamente l posición x = A y su velocidad es igual a cero. En la siguiente tabla se muestran las ecuaciones del movimiento armónico simple. CINEMATICA Si en Si en Posición Velocidad Aceleración En las ecuaciones del movimiento armónico simple se cumple que Puesto que el máximo valor que toma la función seno es igual a ±1, a partir de las ecuaciones podemos ver que el valor de la velocidad máxima del objeto es Puesto que el máximo valor que toma la función coseno es igual a ±1, a partir de las ecuaciones podemos ver que el valor de la aceleración máxima del objeto es
Figura 12. Comparación de la proyección del movimiento circular uniforme con el movimiento de un cuerpo que oscila sujeto a un resorte.