2. PUNTOS, RECTAS Y PLANOS

2. PUNTOS, RECTAS Y PLANOS 2.1. RELACIONES ENTRE LOS PUNTOS DEL ESPACIO Y LOS VECTORES. AXIOMAS DEL ESPACIO AFÍN Entendemos por espacio afín tridimensional como el conjunto de puntos del espacio intuitivo de la Geometría tradicional, en el que introducimos los vectores como herramienta de trabajo. Las relaciones básicas entre puntos y vectores vienen dadas por los siguientes axiomas: A.1 A todo par de puntos A y B le corresponde un único vector v V3 tal que v AB. A.2 Para todo par de puntos A y B se cumple que BA AB. (En consecuencia, AA o ) A.3 (Regla de CHASLES) Para cualesquiera tres puntos A, B y C, se verifica que AB BC CA 0. (En consecuencia: AB BC AC ) A.4 Dados un punto A y un vector w V3, existe un único punto P tal que w AP. 2.2 SISTEMA DE REFERENCIA CARTESIANO. COORDENADAS. 2.2.1 Un sistema de referencia R está formado por un punto O (llamado origen de coordenadas) y una base B (i, j, k) de V3. R (O;i, j, k) Cada uno de los vectores de la base determina con el origen rectas llamadas ejes de coordenadas: Eje de abscisas (OX), eje de ordenadas (OY) y eje de cotas (OZ). Sea P un punto del espacio. El vector p OP se llama vector de posición del punto P, de modo que p p1i p2 j p3 k ; esto es: p ( p1, p2, p3 ). Pues bien: Las coordenadas cartesianas del punto P en el sistema de referencia R coinciden con las coordenadas vectoriales en la base B de su vector de posición. Y escribiremos: P (p1, p2, p3) En particular, O(0,0,0) (origen de coordenadas de la base). 2.2.2 COORDENADAS DE UN VECTOR DE EXTREMOS CONOCIDOS. Sean dos puntos del espacio A(a1, a2, a3) y B(b1, b2, b3). Sus vectores de posición: OA (a1, a2, a3) y OB (b1, b2, b3). Entonces OA AB OB AB OB OA. 1

Es decir: Las coordenadas de un vector son las de su extremo menos las de su origen. AB (b1 a1, b2 a2, b3 a3) 2.2.3 CONDICIÓN PARA QUE TRES PUNTOS ESTÉN ALINEADOS. Sean tres puntos A(a1, a2, a3 ), B(b1,b2,b3 ) y C(c1,c2,c3 ). Para que estén alineados es preciso que dos vectores determinados por ellos sean colineales. Esto es: Puntos no alineados: 2.2.4 CONDICIÓN PARA QUE CUATRO PUNTOS SEAN COPLANARIOS. Sean cuatro puntos del espacio A(a1, a2, a3 ), B(b1,b2,b3 ), C(c1,c2,c3 ) y D(d1, d2, d3 ). Para que sean coplanarios, es preciso que los tres vectores determinados por ellos sean coplanares (o linealmente dependientes). Esto es: La condición puede expresarse así. 2.2.4 PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO. PUNTO SIMÉTRICO. 2

Sea un segmento AB cuyos extremos son A(a1, a2, a3 ) y B(b1,b2,b3 ). El punto medio M (x, y, z) de dicho segmento satisface la condición vectorial: AM MB Entonces: (x a1, y a2, z a3 ) (b1 x,b2 y,b3 z). Igualando y despejando: Dados dos puntos A(a1, a2, a3 ) y P( p1, p2, p3 ), el punto simétrico de A respecto del centro de simetría P es otro punto A'(x, y, z) que verifica que AP PA'. Pasando a coordenadas y despejando, queda: A'(2p1 a1, 2p2 a2, 2p3 a3). 2.2.5 DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN PARTES IGUALES. Sean A(a1, a2, a3 ) y B(b1,b2,b3 ) los extremos de un segmento AB. Los puntos E1, E2,..., En 1 que dividen al segmento en n partes iguales se obtienen de las relaciones vectoriales n AE1 AB, n AE2 2AB,..., n AEn 1 (n 1) AB. 2.2.6 BARICENTRO (O CENTRO DE GRAVEDAD) DE UN TRIÁNGULO. Sea un triángulo de vértices A(a1, a2, a3 ), B(b1,b2,b3 ) y C(c1,c2,c3 ). El baricentro G es el punto donde se cortan las medianas del triángulo y goza de la siguiente propiedad: En cada mediana, se encuentra a dos terceras partes del vértice y una tercera parte del punto medio del lado opuesto. Entonces, si es el punto medio del lado, de la expresión vectorial despejando:, pasando a coordenadas, igualando y 2.3 ECUACIONES DE UNA RECTA EN EL ESPACIO 3

Una recta r es una infinitud de puntos del espacio unívocamente determinada por un punto conocido P( p1, p2, p3 ) y un vector no nulo (vector director) dr (d1, d2, d3 ). r P r y dr // r, dr 0 La condición para que un punto pertenezca a la recta es que el vector que une el punto conocido con dicho punto sea colineal con el vector director de la recta. Esto es: X (x, y, z) r PX // dr Es decir, existe un escalar (llamado parámetro) tal que PX dr. De OP PX OX x p dr Ecuaciones de la recta que pasa por dos puntos A(a1, a2, a3 ) y B(b1,b2,b3 ) : NOTA: Si en las ecuaciones anteriores añadimos la condición 0 1, obtendremos las ecuaciones del segmento AB. 4

2.4. POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS Sean dos rectas Discusión geométrica: Consideremos los vectores directores dr=(d1,d2,d3) y ds=(t1,t2,t3). Y los puntos conocidos de cada una de ellas P( p1, p2, p3 ) y Q(q1, q2, q3 ): Discusión algebraica: Ponemos las rectas en forma paramétrica UTILIZANDO PARÁMETROS DISTINTOS Igualamos y consideramos un sistema en las incógnitas y : La matriz de coeficientes: A = y la ampliada: A* = 5

rank (A) = 1 = rank (A*) S.C.I. Recta coincidentes rank (A) = 1 rank (A*) = 2 S.I. Rectas paralelas rank(a) = 2 = rank (A*) S.C.D. Rectas concurrentes det A* 0, es decir, rank (A*) = 3 S.I. Rectas alabeadas Para obtener su punto de intersección M r s, los valores de los parámetros (, ) ( 0, 0) que nos proporciona la solución única se sustituyen en las respectivas ecuaciones paramétricas, debiéndose obtener el mismo resultado M (x0, y0, z0). 2.5 ECUACIÓN DE UN PLANO EN EL ESPACIO Un plano es una doble infinitud de puntos determinada unívocamente por un punto conocido P (p1, p2, p3) y dos vectores no colineales u (u1,u2,u3 ) y v (v1,v2,v3 ) (que constituyen la dirección bidimensional): La condición para que un punto pertenezca al plano es que el vector que une el punto conocido del plano con dicho punto sea combinación lineal de los dos vectores de la dirección bidimensional. X (x, y, z) PX es combinación lineal de u y v. Es decir, que existen dos escalares y (llamados parámetros) tales que PX u v De OP PX OX x p u v ECUACIONES DEL PLANO Ecuación vectorial del plano: La condición necesaria y suficiente para que un punto pertenezca a un plano es que su vector de posición sea igual al vector de posición de un punto conocido del plano más una combinación lineal de la dirección bidimensional del plano: 6

Si expresamos esta relación vectorial en coordenadas: Obteniendo una nueva ecuación para el plano: (Ecuaciones paramétricas del plano) Volviendo al inicio, que sea combinación lineal de y significa que Expresando esta condición mediante coordenadas: Ahora, si llamamos: es decir,, nos queda: Que es la ecuación del plano que pasa por un punto P(p1, p2, p3) y es perpendicular a un vector = (A, B, C), al que llamaremos vector normal (o característico, o asociado) al plano. Ahora, si llamamos incógnitas y dos grados de libertad:, nos queda una ecuación lineal con tres Ecuación general (o implícita, o cartesiana) del plano. Es la más usada. Ejemplos: Si la ecuación general es homogénea ( Ax By Cz 0), el plano pasa por el origen de coordenadas. El plano coordenado OYZ: x 0. El plano coordenado OXZ: y 0. El plano coordenado OXY: z 0. Un plano paralelo a OYZ: Ax D 0. Un plano que contenga al eje OX: By Cz 0. Un plano paralelo al eje OX: By Cz D 0. Etcétera. Plano que pasa por tres puntos: Sean los puntos no alineados P( p1, p2, p3 ), Q(q1, q2, q3 ) y T (t1,t2,t3 ) (Esto es, PQ PT 0). El plano que los contiene es único y su ecuación es: Ecuación canónica (o segmentaria) de ciertos planos: 7

Sea un plano que corta a los ejes de coordenadas en puntos distintos del origen: (a,0,0), (0,b,0) y (0,0,c), con abc 0. Esto es, la ecuación general de es completa (con todos los coeficientes no nulos). Entonces: z x a y a b 0 0 bcx acy abz abc 0 a 0 c x y z 1 a b c Los números reales a, b y c se denominan, respectivamente, abscisa en el origen, ordenada en el origen y cota en el origen. 2.6 POSICIÓN RELATIVA DE UNA RECTA Y UN PLANO EN EL ESPACIO Consideremos la recta r que pasa por P( p1, p2, p3 ) y cuyo vector director es dr (d1, d2, d3 ), y el plano Ax By Cz D 0, en el que n ( A, B,C) es su vector normal. Recta contenida en el plano: Recta y plano paralelos: Recta y plano secantes: 8

Discusión algebraica: Ponemos la recta en forma paramétrica: y sustituimos en la ecuación general del plano Ax By Cz D 0, obteniéndose una ecuación de primer grado en la incógnita : A( p1 d1) B( p2 d2 ) C( p3 d3 ) D 0 a) Si esta ecuación es incompatible, recta y plano no tienen ningún punto común. Son paralelos. b) Si esta ecuación es compatible e indeterminada, todos los puntos de la recta pertenecen al plano. La recta está contenida en el plano. c) Si esta ecuación es compatible y determinada, el valor único de obtenido 0 Ap1 Bp2 Cp3 D se sustituye en las ecuaciones paramétricas de Ad1 Bd2 Cd3 r y de este modo obtenemos el punto de intersección: * r M p1 0d1, p2 0d2, p3 0d3 2.7. POSICIÓN RELATIVA DE DOS PLANOS Sean los planos. Para estudiar su posición relativa, discutimos el sistema que determinan, cuyas matrices asociadas son: Se pueden dar los siguientes casos: SECANTES Se cortan en una recta r rank(a) = 2 PARALELOS rank( A) 1 rank( A*) 2 Nota: Cualquier plano paralelo al plano Ax By Cz D 0 se puede expresar así Ax By Cz K 0 (K se calculará según la otra condición que se nos proporcione) 9

COINCIDENTES rank(a) rank(a*) 1 Para el caso de dos planos secantes, la recta intersección recordemos que se obtenía: OBTENCIÓN DE UN PUNTO DE LA RECTA: Se da un valor cualquiera a la incógnita libre y se calculan las otras dos. OBTENCIÓN DE UN VECTOR DIRECTOR DE LA RECTA: Si n1 (A1, B1, C1) y n2 ( A2, B2,C2 ), como dr es perpendicular a ambos, 2.8 2.8 POSICIÓN RELATIVA DE TRES PLANOS Sean los planos dr n1 n2 Y consideremos las matrices asociadas al sistema lineal formado por ellos: A= A* = Pueden darse los siguientes casos: det(a) 0 Se cortan en un único punto (el vértice del triedro que determinan), cuyas coordenadas se obtienen resolviendo el sistema. Si: rank(a) 2 rank(a*) 3 (los planos no tienen ningún punto en común) Los planos se cortan dos a dos y las tres rectas determinadas son paralelas, obteniéndose un prisma triangular (sin bases). Si: 10

El segundo y el tercer plano son paralelos y el primer plano corta a ambos. rank(a) 2 rank(a*) 2 Los tres planos se cortan en una recta (arista), que viene dada como intersección de dos de ellos. De la resolución de dicho sistema se obtienen las ecuaciones paramétricas de la arista. rank(a) 1 rank(a*) 2 Los tres planos son paralelos rank(a) rank( A*) 1 Los tres planos coinciden 2.9 HAZ DE PLANOS Sean dos planos que determinan una recta r. Llamamos haz de planos de arista r al conjunto de todos los planos que pasan por r. Entonces, si un plano pertenece a dicho haz, su ecuación general ha de formar con las de 1 y 2 un sistema compatible e indeterminado con un grado de libertad. Es más, la ecuación de ha de ser combinación lineal de las de estos dos planos que determinan el haz. Así pues, la ecuación del haz:, / ( A1x B1 y C1z D1 ) ( A2 x B2 y C2 z D2 ) 0 En particular, si 0, obtenemos 2. En cambio, para 0, obtenemos 1. Si suponemos que 0, dividiendo entre, y poniendo, queda: 11

2.10 PROYECCIONES ORTOGONALES Y PUNTOS SIMÉTRICOS 2.10.1 Proyección ortogonal de un punto sobre un plano. Punto simétrico de un punto respecto de un plano (simetría especular) La proyección ortogonal de un punto P sobre un plano es el punto M de intersección del plano con la recta r, que pasa por P y es perpendicular al plano. El punto simétrico P se obtiene de la igualdad vectorial PM MP'. 2.10.2 Proyección ortogonal de un punto sobre una recta. Punto simétrico de un punto respecto de una recta (simetría axial) La proyección ortogonal de un punto P sobre una recta r es el punto M de intersección de la recta con el plano que pasa por P y tiene como vector normal el vector director de r. El punto simétrico P se obtiene de la igualdad vectorial PM MP'. 2.10.3 Proyección ortogonal de una recta sobre un plano. Recta simétrica de una recta dada respecto de un plano. Consideremos una recta r que no está contenida en el plano. La proyección ortogonal de r sobre es otra recta s que resulta de la intersección de con otro plano ' que contiene a r y es perpendicular a ; en otras palabras, ' pasa por el punto dado de r y tiene como dirección bidimensional dr y n. Para obtener la recta simétrica de r respecto de, tomamos dos puntos de ella P y Q y calculamos los puntos simétricos respectivos P y Q respecto de. La recta buscada es r'(p', Q'), es decir, la recta que pasa por ellos. 2.11 PROBLEMAS VARIADOS DE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS 2.11.1 PERPENDICULARIDAD: Condiciones de perpendicularidad: 12

2.11.2 RECTA QUE PASA POR UN PUNTO Y SE APOYA EN OTRAS DOS: Tenemos dos rectas r1 y r2 y queremos calcular otra que pasa por un punto P y toca a las otras dos. Procedemos así: Calcula os el pla o π1 que contiene a r1 y al punto P. Calcula os el pla o π2 que contiene a r2 y al punto P. La recta s que resulta de la intersección de ambos planos (s 1 2) es la solución buscada. 2.11.3 RECTA QUE SE APOYA EN OTRAS DOS Y ES PARALELA A UNA TERCERA El procedimiento es exactamente igual que el anterior cambiando la condición de que contiene al punto P a que los planos han de contener al vector director de la tercera recta. Tenemos, pues, dos rectas r1 y r2 y queremos calcular otra que es paralela a una tercera recta s y toca a las otras dos. Procedemos así: Calcula os el pla o π1 que contiene a r1 y es paralelo a la recta s. Calcula os el pla o π2 que contiene a r2 y es paralelo a la recta s. La recta que resulta de la intersección de ambos planos (s 1 2) es la solución buscada. 2.11.4 PERPENDICULAR COMÚN A DOS RECTAS QUE SE CORTAN La recta perpendicular común a dos rectas secantes r y s es la recta que pasa por el punto de intersección de ellas y tiene como vector director dr ds, esto es, el vector perpendicular común. 2.11.5 PERPENDICULAR COMÚN A DOS RECTAS QUE SE CRUZAN 13

Sean dos rectas alabeadas r y s. Para obtener la recta perpendicular común podemos proceder del siguiente modo: 2.11.6 PERPENDICULAR A UNA RECTA POR UN PUNTO EXTERIOR 2.11.7 No conviene olvida ue Si una recta es paralela a un plano, el vector director de la recta es uno de los vectores directores del plano. Si una recta es paralela a un plano, el producto escalar del vector de la recta con el vector normal del plano es cero, pues son perpendiculares. Si una recta es perpendicular a un plano, el vector director de la recta es el normal del plano. Si dos planos son perpendiculares, el vector normal de uno es director del otro. * Si nos piden calcular el punto sobre una recta que cumpla una condición, suele ser buena idea pasar la recta a forma paramétrica y tener así las tres coordenadas del punto dependiendo únicamente de un parámetro, λ. 14

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