FACULTAD DE INGENIERÍA Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Curso de Apoyo en Matemática Departamento de Matemática http://www.ing.unp.edu.ar/matematica
El siguiente material, elaborado por docentes del Departamento de Matemática, está dirigido a los alumnos aspirantes a ingresar a la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco. El mismo tiene como objetivo orientar al alumno en el estudio de las temáticas que se evalúan en el eamen de ingreso a la Facultad, y aportar una nutrida cantidad de ejemplos y ejercicios que permitan el desarrollo de las habilidades y destrezas necesarias para abordar el estudio de las áreas básicas de la Ingeniería, Informática y Matemática. Bienvenidos a la Facultad de Ingeniería y mucha suerte. Departamento de Matemática Facultad de Ingeniería
INDICE TEMÁTICO. Números..... Números naturales..... Números enteros..... Números racionales...8.. Números reales...... Orden en R...... Potenciación y radicación en R...6.5. Números complejos....5.. Operaciones en C.... Ecuaciones lineales o de primer grado...6. Recta real...6.. Intervalos reales...6.. Valor absoluto o módulo de un número real..... Inecuaciones lineales.... Función lineal y ecuación de la recta...9.. Función...9.. Función lineal y ecuación de la recta...56... Función lineal...56... Pendiente de una recta...57... Función de proporcionalidad...6... Ecuación de la recta...6.. Sistemas de ecuaciones...68.. Rectas perpendiculares...7.5. Función valor absoluto...7 5. Ecuaciones y funciones cuadráticas...75 5.. Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado...76 5.. Funciones cuadráticas...8 6. Ecuaciones polinómicas y racionales...98 6.. Polinomios...98 6... Operaciones con polinomios...99 6... Suma de polinomios...99 6... Resta de polinomios...99
6... Producto de polinomios...00 6... División de polinomios...00 6... Raíces de un polinomio. Ecuaciones polinómicas...0 6... Divisibilidad de polinomios...0 6... Regla de Ruffini...0 6..5. Factorización de polinomios...05 6.. Epresiones racionales...08 6... Operaciones con epresiones racionales...0 6... Suma y resta...0 6... Producto... 6... División... 6... Raíces de una epresión racional. Ecuaciones racionales... 7. Eponenciales y logaritmos...9 7.. Función eponencial...0 7... Ecuaciones eponenciales... 7.. Función logarítmica. Logaritmos...5 7... Propiedades de los logaritmos...7 7... Cambio de base...8 7.. Ecuaciones eponenciales y ecuaciones logarítmicas...0 8. Funciones trigonométricas de ángulos... 8.. Ángulos... 8... Sistemas de medición de ángulos...6 8.. Funciones trigonométricas de un ángulo...9 8.. Triángulos rectángulos... 8.. Signos de las funciones trigonométricas... 8.5. Relaciones entre las funciones trigonométricas...5 8.6. Funciones trigonométricas inversas de un ángulo...7 8.7. Identidades trigonométricas...55 8.7.. Razones trigonométricas de a + b y de a - b...55 8.7.. Razones trigonométricas del ángulo doble...55 8.7.. Teoremas del seno y del coseno...55 9. Números complejos en forma polar...57 Soluciones...6
SIMBOLOS N = {,,, } N 0 = N {0} el conjunto de los números naturales el conjunto { 0,,,, } N - Z = {, -, -, -, 0,,,, } Q R C A A A B A B A B A B = igual el conjunto { -, -, -, -, } el conjunto de los números enteros el conjunto de los números racionales el conjunto de los números reales el conjunto de los números complejos pertenece al conjunto A no pertenece al conjunto A el conjunto A está incluido en el conjunto B el conjunto A no está incluido en el conjunto B conjunto A unión B, formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B conjunto A intersección B, formado por los elementos que pertenecen al conjunto A y al conjunto B conjunto vacío distinto < es menor que > es mayor que (a, b) [a, b] (a, b] [a, b) es aproimadamente igual a es menor o igual que es mayor o igual que el intervalo abierto de etremos a y b el intervalo cerrado de etremos a y b el intervalo semiabierto a izquierda o semicerrado a derecha, de etremos a y b el intervalo semiabierto a derecha o semicerrado a izquierda, de etremos a y b infinito
Dom f Im f a a n n a a b sen α cos α tg α arc sen α arc cos α dominio de la función f imagen de la función f valor absoluto de a, que vale a si a 0, y vale a en otro caso. n-ésima potencia de a raíz n-ésima de a a divide a b seno del ángulo α coseno del ángulo α tangente del ángulo α arco seno del ángulo α arco coseno del ángulo α arc tg α arco tangente del ángulo α rad radianes i número complejo que simboliza a la unidad imaginaria e número cuyo valor aproimado es,7888 π número cuyo valor aproimado es,596 z módulo del número complejo z cuantificador que se lee para todo cuantificador que se lee eiste conectivo lógico que se lee y conectivo lógico que se lee o conectivo lógico que se lee si y sólo si conectivo lógico que se lee implica log a b logaritmo en base a de b log b logaritmo en base 0 de b, o logaritmo decimal de b ln b logaritmo en base e de b, o logaritmo natural de b
Números. NÚMEROS A lo largo de esta primera Unidad recorreremos los distintos conjuntos numéricos, recordando cómo operar en cada uno de ellos y afianzando las propiedades de las operaciones. Esta Unidad es en cierta manera el basamento sobre el cual construiremos las siguientes, y es por ello que debe brindársele mucha atención. Recordamos especialmente dejar de lado la calculadora por un momento, a menos que sea estrictamente necesario. Esto permitirá que el repaso sea fructífero y sirva de apoyo para futuras unidades. A lo largo del módulo Ud. encontrará una abundante y variada presentación de actividades, las cuales permitirán adecuar el trabajo a las necesidades de cada estudiante. Por esto mismo, se han marcado en algunos casos ciertos incisos como actividades complementarias. La Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco posee sedes en las ciudades de Comodoro Rivadavia, Trelew, Puerto Madryn, Esquel y Ushuaia. La ciudad de Comodoro Rivadavia se encuentra a una altura de 6 metros sobre el nivel del mar en el centro del Golfo San Jorge. El ejido urbano posee una superficie de 58/0 Km, con una costa de aproimadamente 6 km. La ciudad de Comodoro Rivadavia es cabecera del Departamento Escalante, en la Provincia del Chubut, Patagonia Turística Central. Su población es de.68 personas (datos provisorios del Censo 00, para el aglomerado Comodoro Rivadavia - Rada Tilly). De ellas, un 60,6% son nativos, un % provienen de otros lugares de la Argentina y un, % provienen de otros países. Uno de sus grandes atractivos turísticos es el parque eólico, emplazado en el cerro Arenales con una altura de 00 metros sobre el nivel del mar. La ciudad también cuenta con un puerto principal ubicado en la zona Central de la Ciudad, en el etremo de la Punta Borja, diseñado para atender buques de hasta 80 mts. de eslora, con un calado máimo de 0 pies (0 mts.). Habrás notado que todos los datos vertidos aquí hacen referencia a cantidades numéricas epresadas en diferentes formas. Es claro que los números conviven con nosotros en el trabajo, al leer el diario, al ver televisión, en los momentos de esparcimiento, al efectuar compras, etc. A continuación analizaremos cada uno de los conjuntos numéricos que se presentan en Matemática. Página
Curso de Apoyo en Matemática.. Números Naturales Los números naturales también sirven para ordenar. Así, decimos que la Tierra es el tercer planeta a partir del Sol, que ésta es la primer unidad del Módulo del Ingreso, etc. A los números que utilizamos para contar la cantidad de elementos de un conjunto no vacío se los denomina números naturales. Designamos con N al conjunto de dichos números. N = {,,,, 5,... }. Es claro que la suma y el producto de dos números naturales es un número natural. En símbolos, Observemos que... - = 0 N - = - N = N si a, b N entonces a + b N y a. b N. Sin embargo, no siempre la diferencia de dos números naturales es un número natural. Así, si a, b N y b < a entonces a - b N. Los números naturales están ordenados. Podemos representarlos en la recta numérica como sigue: Si al conjunto de los números naturales le agregamos el número cero, obtenemos un nuevo conjunto que denotamos con N 0 = N {0}. Observemos que... a N si y sólo si - a N - N N - =, es decir, no eiste un número que pertenezca al conjunto N y al conjunto N - simultáneamente. Recordemos que el símbolo denota al conjunto vacío. 0 Si agregamos estos nuevos elementos al gráfico anterior resulta: Por otro lado, si reemplazamos cada elemento del conjunto de los números naturales por su opuesto, es decir, en lugar de escribimos -, en lugar de escribimos -, y así siguiendo, obtenemos un nuevo conjunto que denotaremos con N - = {-, -, -, -, -5,...} = {- a / a N } - - - 0 El conjunto que hemos obtenido de esta manera nos conduce a la próima sección. Página
Números.. Números Enteros N Z Definimos al conjunto de los números enteros como Z = N - {0} N. De inmediato resulta que todo número natural es un número entero. Para pensar. Eiste un número entero que sea menor o igual que todos los demás?, y mayor o igual que todos los demás? Puede serle útil representar en la recta numérica los números indicados y analizar allí la situación. Cuántos enteros eisten entre los números consecutivos y?, y entre 5 y 6?, y entre n y n +?. Cuántos enteros eisten entre y 0?, y entre - y 7?. Qué puede afirmarse sobre la cantidad de enteros que eisten entre dos enteros dados?. Cuántos números enteros eisten entre dos números enteros dados?. Observemos que... - Z implica - (-) = Z, -5 Z implica + (-5) = - Z, -5 Z implica - (-5) = 9 Z, -5 Z implica. (-5) = -0 Z Retoma la lectura del artículo al principio de esta unidad. b Z implica - b Z a, b Z implica a + b Z a, b Z implica a - b Z, pues: a - b = a + (- b); como - b Z ; por lo anterior resulta a + (- b) Z. a, b Z implica a. b Z Cuál es la distancia entre la cima del cerro Arenales y un punto ubicado en la parte inferior de un barco cuyas dimensiones son las máimas permitidas para ingresar el puerto local? Recuerda que... pie = 0 cm. 7 : =,5 Z Observemos que... no siempre la división de dos números enteros es un número entero Página
Curso de Apoyo en Matemática 7 a b r q Al realizar una división entre dos números enteros puede que el resto sea distinto de cero. Algoritmo de la división Sean a, b Z, a 0. Eisten enteros únicos q, r tales que b = a. q + r con 0 r < a = - = Recordemos que a denota al valor absoluto del número a. En la Unidad trataremos este tema con mayor profundidad. Ejemplos: El resto de la división entre dos números enteros nunca puede ser negativo. a) Para b = 8, a = 5 resultan q =, r = 9, pues 8 = 5. + 9 b) Para b = 8, a = - 5 resultan q = -, r = 9, pues 8 = (- 5). (- ) + 9 c) Para b = - 8, a = 5 resultan q = -, r = 6, pues - 8 = 5. (- ) + 6 d) Para b = - 8, a = - 5 resultan q =, r = 6, pues - 8 = (- 5). + 6 Divisibilidad Si r = 0, resulta b = a. q y se dice que a divide a b (o que b es múltiplo de a, o que b es divisible por a, o que a es divisor de b ). 6 =. + 0, de modo que r = 0 y así divide a 6 = 5. +, de modo que r = y así 5 no divide a Ejemplos: a) divide a 6 pues 6 =. b) 5 no divide a pues no eiste ningún entero que multiplicado por 5 dé.,, 6 son números primos Un número entero a es primo si tiene eactamente cuatro divisores:, -, a y - a. Página
Números Máimo común divisor Si se descomponen dos números enteros positivos a y b en sus factores primos, el máimo común divisor entre a y b, es el producto de los factores primos comunes, con el menor eponente. Se denota mcd (a, b). Recordemos que... para realizar la descomp osición de un número en factores primos comenzamos dividiendo, de ser posible, por los números primos,, 5, 7,, hasta obtener el número. La segunda columna obtenida presenta la descomposición del número en factores primos. Ejemplo: Si a = 7 y b = 8 resulta 7 8 6 8 9 7 7 7 =. 8 =.. mcd (7, 8) =. =, o sea, es el mayor de los divisores comunes entre 7 y 8. Mínimo común múltiplo Si se descomponen dos números enteros positivos a y b en sus factores primos, el mínimo común múltiplo entre a y b es el producto de los factores primos comunes y no comunes con el mayor eponente. Se denota mcm (a, b) Ejemplo: 7 8 6 8 9 7 7 7 = 8 = 7 Tomando los números del ejemplo anterior resulta mcm (7, 8) =.. 7 = 50 o sea 50 es el menor de los múltiplos comunes entre 7 y 8. Actividades de Aprendizaje ) Efectuar las siguientes operaciones: a) 5 - (-) + (-8) : (-) 5 b) 7 - (-) - (-8) : (-8) + (-) : (-) c) 6 : (-) + (-7). (-5) : (-) d) - : 8 + 5 Ejercicios complementarios e) : - - 8 : f) : - - : g) -. - 0 + - 5 Página 5
Curso de Apoyo en Matemática ) El número - 5 es menor que, es decir, -5 <. a) Es (-5) menor que? b) Es (-5) menor que? ) El número - es menor que -, es decir - < -. a) Es (- ). 6 menor que (-). 6? b) Es (- ). (-6) menor que (-). (-6)? ) Dadas las siguientes afirmaciones, señalar cuáles son verdaderas (V) y cuáles son falsas (F). Dar un contraejemplo en caso de ser falso. a) Si z Z entonces - z Z. b) Si z Z entonces z Z. c) Si z Z entonces z Z. d) Si z = entonces z Z. 5) a) El cociente de dos números es 9, cuál es el cociente de sus cuadrados? b) El cociente de dos números es 9, cuál es el cociente de sus cubos? 6) Se lanzan tres monedas diferentes. Cuántos resultados distintos pueden aparecer?. 7) Sabemos de dos números enteros e y que su producto. y = - 6 y que es positivo. a) Cuál es el signo de cada uno de los productos siguientes:. y.. y (-). y.. y ( - )( - y )( - ) b) Calcular el resultado de cada uno de los productos siguientes: ( - ) ( - ) y = y : ( - ) = - y = y : = y = 8) p y q representan números enteros, de los cuales sabemos que p q. Completar con o según corresponda: a) p... q b) - p... - q c) - p... q d) p. a... q. a, siendo a 0 9) a) Sean a y b enteros, b 0. Si a - b = 75 y la división de a por b tiene cociente 5 y resto 7, hallar a y b. b) Si se divide un número natural a por se obtiene como cociente entero un número que llamamos b y el resto 0. Al dividir b por obtenemos como cociente entero un número c y el resto. Luego dividimos c por y en este caso el cociente es y el resto 0. Cuál es el número a? Página 6
Números 0) a) Hallar el mínimo común múltiplo entre 8 y. b) Hallar el máimo común divisor entre 5 y 9. ) Tengo cierta cantidad de botones. Si los agrupo en montones de a cuatro me queda uno suelto. Si los agrupo de a tres, también me queda uno suelto y lo mismo me sucede si los coloco de a dos. Cuando los pongo en grupos de a cinco no me sobra ninguno. a) Si tengo menos de 0 botones, cuántos tengo? b) Si tengo más de 50 botones y menos de 00, cuántos tengo? ) En el país ABC las elecciones presidenciales son cada 6 años, las de gobernadores son cada años y las de senadores cada 8 años. En 97 coincidieron las elecciones para presidente, gobernadores y senadores. Cuándo volverán a coincidir?. ) Tres hombres recorren 8, 5 y 0 kilómetros por día respectivamente. a) A qué distancia del punto de partida está el lugar más cercano al que pueden llegar los tres simultáneamente, en un número entero de días?. b) Cuántos días empleará cada uno en llegar a él?. ) Escribir V (verdadero) o F (falso) según corresponda. a) Z, - > b) b Z, b + 0 = 0 c) a Z, a + 0 0 d) t Z, t - e) a Z, a + 0 = a a, b Z, a + b Z, es decir, Para cada par de números enteros a y b, su suma a + b es un número entero. z N, z Z, es decir, Todo número natural z, es un número entero. a Z, (- a) Z, a + (-a) = 0, es decir, Para todo número entero a, eiste el número entero (-a), llamado opuesto de a tal que a + (-a) = 0 Sean a, b Z, a 0. q, r Z únicos, tales que b = a. q + r con 0 r < a. (Recordar el Algoritmo de la división) Recordemos que... El símbolo se lee para todo, así, a Z se utiliza para simbolizar que la propiedad que aparece a continuación se verifica para todos los números enteros El símbolo se lee eiste, así, a Z se utiliza para simbolizar que la propiedad que aparece a continuación se verifica al menos para algún número entero Página 7
Curso de Apoyo en Matemática.. Números Racionales a : b se lee a dividido b Como mencionamos anteriormente, no es cierto en general que si a, b Z entonces a : b Z. Ejemplo: : = Z. Pueden usar los racionales, por ejemplo, para indicar la quinta parte de como 5 Llamamos número racional a todo número que se puede n epresar como fracción donde n y m son enteros y m m 0. Con Q denotamos la totalidad de los números racionales. Observemos que... Z Q Todo número entero es racional, pues si m Z escribimos m = m Q. Es decir Z Q. La recíproca es falsa, por ejemplo, Q pero Z. La suma, la diferencia y el producto de dos números racionales es un número racional. El inverso de cualquier número racional no nulo es un número racional. Si u, v Q entonces: u + v Q u - v Q u. v Q Si u 0 entonces Q u Recordemos que... no eiste un número entero que sea menor o igual que todos los demás, ni tampoco uno que sea mayor o igual que cualquier otro entero. Además, no podemos encontrar un número entero entre dos enteros consecutivos, pero sí podemos hallar una cantidad finita de enteros entre dos números enteros no consecutivos. Para pensar. Eiste un número racional que sea menor o igual que todos los demás?, y mayor o igual que todos los demás? Hallar un número racional entre número racional entre 7 y. Hallar un 7 y 8. Puede hallarse más de un número racional con esta propiedad?; Qué se concluye?. Página 8
Números Los números racionales se epresan en diferentes formas. Ejemplo: El número racional tres cuartos puede epresarse como: - = - 6 9 75 = = = 8 00 = 0,75 = 0,750 =... forma fraccionaria forma decimal Todo número racional puede epresarse como número decimal eacto o periódico. Ejemplos: = 0,5 es decimal eacto ) = 0,... = 0, período 86 = 7,8888... = 7, 8 período 8 9 ) =,8... =,8 6 período Cada parte de un número decimal tiene un nombre especial: Parte entera Parte decimal 5, 8 ) Parte periódica Parte no periódica A continuación indicaremos cómo pasar de la forma decimal a la forma fraccionaria. Página 9
Curso de Apoyo en Matemática FORMA DECIMAL EJEMPLO 75 Eactas 0,75 = 00 OBSERVACIÓN En el numerador aparece la parte decimal, y en el denominador tenemo s el seguido de tantos ceros como cifras decimales tengo. Periódicas Puras 0,55... = Mitas 0,755 = = 5 En el numerador aparece la parte periódica, 0, 5 = mientras que en el denominador tenemos 99 tantos números 9 como cifras tiene el período. 0,75 = 75-7 990 77 = 990 En el numerador aparece la diferencia entre la parte decimal y la parte decimal no periódica, mientras que en el denominador tenemos tantos números 9 como cifras tiene el período seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte no periódica. Más ejemplos: FORMA DECIMAL Eactas 5 0,05 = 000, = 00 EJEMPLO Periódicas Puras Mitas 0,... = 0, ) = 9,888... = 0,8... = 0,8 ) =,755... = 8 7, 8 = + = 99 99 8-8 90,75 = + 5,... = 5, ) = 5 + 75 = 90 75-7 990-900 77 67 = + = 990 990 6 = 5 + = 900 900 ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 5) Calcular: 5 a) 0 - - + +. - 9 5 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS d) 5 - - - 8 5 Página 0
Números b) : - + - : 5 5 7 c) - 7 5 + - + : - + - 6 6 e) + -7 5-6 + : - + - 6 6) Escribir en forma decimal y fraccionaria: a) 5 décimos b) 5 centésimos c) centésimos d) 8 milésimos 7) a) De qué número es 00 la quinta parte?. b) De qué número es 850 el 5%?. 8) Dadas las fracciones y?. Cuál es mayor? 9) Epresar en forma fraccionaria y resolver: a) (, + 8, ) 5, - 6 ( 5, - 0, ) - 0, ) ) ) ) c) 0, 09:0, - 0, :0, - 0, 05. + 0, 5., - 0, d) b) 0, 09 + + 0, 7-0, 7-5 - 0, 5 ) ) ) ) + 0,-,5.( 0, 9-0,) ) ) 0,- 0, ( ) 0) En un colegio, elegida? de los alumnos estudian inglés y el % francés. Cuál es la lengua más ) Un auto recorre 50 km. en tres cuartos de hora, y otro recorre 6 km. en 7 minutos. Cuál es el más rápido? ) Al tostarse el café, éste pierde un quinto de su peso. Si se tuestan 80 kg., cuánto pesarán después? ) El agua al congelarse aumenta su volumen un décimo del mismo. Qué volumen ocuparán 00 litros de agua después de helarse?. ) Una aleación está compuesta por de cobre, 9 9 kilogramos de cada metal habrá en 8 kg. de aleación?. de estaño y 9 de cinc. Cuántos 5) Si al numerador de una fracción le aumentamos, la fracción queda aumentada en. Cuál es el denominador de la fracción?. Justifique su respuesta. 6) Juan toma la mitad de un cordel; de lo que queda, Pedro toma la mitad; de lo que queda, María toma la mitad; de lo que resta, Carmen toma 5. Al final quedan 0 cm. Cuál era la longitud del cordel?. Página
Curso de Apoyo en Matemática 7) Javier y Carlos son dos hermanos. Javier tiene los 9 0 de la edad de su padre y Carlos los 5. Cuál es el mayor?. 8) Un curso tiene alumnos. Para colaborar en la organización de un acto fue convocada a concurrir hora antes del inicio la cuarta parte del curso. De los que se esperaban sólo asistió la mitad. Tomando como unidad el curso, cómo epresaría la parte del curso que asistió?. Números Reales El número π aparece al calcular la longitud de una circunferencia y el área de un círculo. El número e se presenta en procesos de crecimiento de una población animal o vegetal, y en problemas de desintegración radiactiva. Seguramente habrás visto en el tendido de cables eléctricos que los cables entre un poste y otro determinan una curva en cuya ecuación también está presente el número e. Otro número irracional muy famoso, + 5 llamado el número de oro, se obtiene si realizas, por ejemplo, el cociente entre las longitudes del lado menor y el lado mayor de las hojas tamaño A que comúnmente se utilizan en fotocopiadora, o realizando el mismo cálculo con los lados de una tarjeta de crédito. A los números reales que no se los puede epresar en forma de fracción, se los denomina números irracionales. Es decir, un número irracional epresado en forma decimal no es eacto ni periódico. Ejemplos: a) 0,567890... La parte decimal de este número irracional es la sucesión de los números naturales. b) π,5965 El símbolo indica que se esto representa una aproimación del número irracional π. Notemos que también eisten otras aproimaciones para este número; por ejemplo:, ;, ;,59 ;,6 ;... etc. c) e,7 Representa una aproimación del número irracional e. Al efectuar cálculos en los que intervienen los números irracionales, tomamos una cantidad finita (entre y 5) de cifras decimales. Por lo tanto, podemos considerar e,78 o bien e,788. No te parece curioso? N Q Z Números irracionales R La unión del conjunto Q de números racionales y el conjunto de los números irracionales es el conjunto R de los números reales. Página
Números Todos los números que hemos estudiado en las secciones anteriores son números reales. El conjunto de los números reales también puede representarse sobre una recta. A cada número real le corresponde un único punto de la recta, y cada punto de la recta representa un único número real. A esta recta la llamamos recta real. No siempre somos capaces de representar eactamente a un número real, sin embargo siempre es posible obtener una representación aproimada de él a partir de su epresión decimal. Observemos que... no eiste un número real que sea mayor o igual a todos los demás, ni uno que sea menor o igual que todos los demás. Además, entre dos números reales dados cualesquiera eisten infinitos números racionales, e infinitos números irracionales. Ejemplos: La representación de los números ; - ; 0, ; - 5 y es la que sigue: - 5 0. - - 0 ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 9) Indicar cuál de los siguientes números es racional y cuál es irracional. a) 5 b) 0,999... c),75 d) 0,... e),... f) 0,75757... g) 0,0000000000... h) 7 0) Escribir: a) Tres números racionales entre 0, y 0, b) Tres números periódicos entre 0, y 0, c) Dos números irracionales entre 0, y 0, ) Indicar si el desarrollo decimal es periódico o no: a),... b) 0,0000000000... c) 0.7575... d) 0,... ) Completar con SI o NO, según corresponda, la siguiente tabla: Página
Curso de Apoyo en Matemática Número 7 0 -,08,... -,... 5 Natural Entero Racional Irracional Real 7 6 8 ) Indicar si es V (Verdadero) o F (Falso). Justificar. a) Todo número real es racional. b) Todo número natural es entero. c) Todo número entero es racional. d) Todo número real es irracional. ) Representar en la recta real los siguientes números en forma aproimada: a) -5 b) c) - 7 d) 5 d) p e),5 Observemos que... al efectuar las representaciones de estos números, los mismos están ordenados en la recta numérica. Esto nos lleva a establecer lo que llamaremos una relación de orden entre ellos.... Orden en R a b se lee: a es menor o igual que b Si en R definimos la relación de orden que indicamos observamos que: Siempre podemos comparar dos números reales cualesquiera. Dados dos números reales a y b, se tiene una y sólo una de las siguientes situaciones: a < b ; b < a ; a = b Esto nos permite representar ordenadamente los números reales en la recta numérica. Página
Números - < - + < + - < y > 0 -. <. - < y- < 0 -. (- ) >. (-) Además se satisfacen las siguientes propiedades: a, b R, a < b a + c < b + c a, b, c R, a < b y c > 0 a. c < b. c a, b, c R, a < b y c < 0 a. c > b. c El símbolo se lee sí y sólo si El símbolo se lee implica ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 5) Completar con > ó < según corresponda: a) - < 0 y > 0 -.... 0. 5 7 5 7 b) > y - < 0. (- ).... (- ) c), <, + 0,0... + 0,0 d) - 7 < - 6 y - < 0-7. -... (- 6). - 6) Completar la tabla con los signos > ; < ; = según corresponda: a b a...b a... b a(-)...b(-) 8 8 > 8 > 8 (-) < (-) -6-0 - 8 0 7) Si a y b son reales positivos y además a < b y b >, cuál de las siguientes proposiciones es falsa?. Justificar dando un contraejemplo. a) a b > 0 b) b > a c) d) 0 b + a e) b + a > 0 a b > 8) Escribir un número comprendido entre los siguientes: a) y 5 b), y, Página 5
Curso de Apoyo en Matemática 55 c) y d) π y.. Potenciación y Radicación en R Potenciación Recordemos que... a n = a. a. a... a n veces donde a es un número real al que denominaremos base y n es un número natural que llamaremos eponente. Ejemplo: =... 6 = 8 Etensión de la definición de pop tenciación a eponentes ene teros Por convención se tiene, para a 0 que a 0 = y a - n = n a Ejemplo: 5 - = 5 = 5 Algunas propiedades importantes que debemos recordar son:. = 5. - = Producto de potencias con la misma base. : = 0 = : - = 6 Cociente de potencias con la misma base. a m. a n a m : a n = a m+n = a m - n ( -5 ) = -5 ( - ) - = Potencia de una potencia. (a m ) n = a m.m (. 5) - = - 5 - (. y ) = y 6 Potencia de un producto. (a. b) n = a n. b n ( : 5) - = - : 5 - ( : y ) = : y 6 Potencia de un cociente. (a : b) n = a n : b n Página 6
Números Definimos Radicación ión n a = b si b n = a donde: n es un número natural. n a se lee raíz n-ésima de a. Denominamos a n índice de la raíz, y a radicando. - 7 = - pues (-) = - 7 8 = pues = 8 Observemos que... para que la definición tenga sentido, si n es impar, a puede ser cualquier número real, No tiene sentido considerar - en el conjunto R, dado que no eiste un número real tal que elevado al cuadrado nos dé por resultado -. si n es par, a debe ser un número real positivo. 5 7 6 = 6 5 = 7 La raíz n-ésima de un número suele también denotarse como potencia n a = a n. Además 5 = 5 Observemos que... n p p a = a n si a 0. Si a < 0, esta afirmación no siempre tiene sentido, ya que pueden presentarse casos como el siguiente: (-) / = ( ) - pero (-) / = ((- ) / ) = ( ) - no tiene sentido en el conjunto R. También se satisfacen las siguientes propiedades: < - > - > a > 0, b > 0 y a < b a - > b - - < - > > a < 0, b < 0 y a < b a - > b - Página 7
Curso de Apoyo en Matemática El siguiente cuadro resume las propiedades que verifican las operaciones de suma, producto, potencia y raíz en R y en cada subconjunto de éste. OPERACIONES PROPIEDADES N Z Q R Suma. Asociativa a + (b + c) = (a + b) + c. Conmutativa a + b = b + a. Elemento neutro 0. Elemento opuesto de a - a Producto 5. Asociativa (a. b). c = a. (b. c) 6. Conmutativa a. b = b. a 7. Elemento neutro 8. Elemento inverso de a (a 0) a Suma-Producto 9. Distributiva a. (b + c) = a. b + a. c Potencias Raíces. Producto de potencias con la misma base. Cociente de potencias con la misma base a m. a n = a m+n a m : a n = a m - n. Potencia de una potencia (a m ) n = a m.m. Potencia de un producto (a. b) n = a n. b n 5. Potencia de un cociente (a : b) n = a n : b n. Producto de radicales con el mismo índice. Cociente de radicales con el mismo índice. Raíz de una raíz m n a = n a. n n b = a. b n a : n n b = a : b n.m a. Potencia de un radical ( ) m n a = n m a Observaciones: En el conjunto de los números naturales no eiste elemento neutro para la suma. Además ningún número natural posee elemento opuesto. Ecepto el, ningún número entero no nulo posee inverso multiplicativo. Las propiedades son válidas en cada conjunto, siempre que las epresiones involucradas tengan sentido. En virtud de las propiedades que verifican la suma y el producto de números reales, se dice que R es un cuerpo, y está ordenado por la relación de orden. Página 8
Números ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 9) Calcular las siguientes potencias: 0 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS a) - b) g) h) 5 5 0 c) - d) (- ) - i) - 5 j) (- ) 5 e) (- ) f) 0 5 k) - 5 l) (0,) - 0) Calcular las siguientes epresiones: EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS a). 5 b) (- ). 5 e) (- ). (- ) 5 f) (- ) : (- ) 5 c) 5 : - 5 d) - : -6 g) : - h) (- ) : 5 ) Se sabe que =. Tiene la potenciación la propiedad conmutativa a m = m a?. Justificar. ) Escribir como radicales los siguientes números: ) Epresar como potencia fraccionaria /, 7 /, 5 0,5, 0,, 7 -/, 9 -/, 5 0/5, 8 -/ a) b) : c) 5 d) 5 ) Simplificar, si es posible: a) b) 8 5 c) 9 7 d) 5 0 5) Etraer factores del radicando: a) 8 b) 8 c) d) 50 6) Calcular usando propiedades: EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS a) b) 5 : g) 5 h) c) e) 9 d) 8 : i) : f) : k) : 5 j) 0, 5 8 l) : 8 : 9 : 6 7) Resolver usando propiedades y reduciendo las epresiones: a) + 8 + 8 - b) 5 + 5 + 80-80 c) - 5 6 + 86 d) e) - 5-5 50 + 9 9 5 5-6 Página 9
Curso de Apoyo en Matemática 8) Simplificar las siguientes epresiones: a) b) - 00 d) 0: 0, 00 e) - 5 5. 5 :. 5 ( ) - 5 0 ( ) c) ( 6 ) : 8 9) Eliminar las raíces del denominador y simplificar: a) - b) - c) + 5 d) + - y y 50) Resolver 6 / 7 a) / / / 6 7 b) / c) 8 9 / / ( a ) 0 donde a 0 5) Calcular la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 0 cm. y cm. Epresar el resultado con dos decimales. 5) Calcular el área de un triángulo equilátero cuyos lados miden 0 cm. Epresar el resultado con tres decimales. 5) El área de un cuadrado mide 50 cm. Cuál es el área del cuadrado construido sobre su diagonal?. 5) Calcular el área de un círculo de 00 cm. de radio y epresar el resultado con tres decimales eactos. 55) Determinar entre qué números enteros se encuentra la raíz cuadrada positiva de: 7, 50, 05, 0. 56) Indicar el error cometido: - 0 = 9-5 -0 + 5 = 9-5 + 5 Página 0
Números 5 5.. + = 5 5.. + 5 5 - = - 5 5 - = - = 57) Sean a, b, c números reales. Indicar V (verdadero) o F (falso); en este último caso, justificar la respuesta proponiendo un contraejemplo. a) a.0 = 0 b) (-a)(-b) = -(ab) a a a c) = +, siendo b + c 0, b 0, c 0 b + c b c b + c b c d) = +, siendo a 0 a a a e) a (b - c) = ab - ac EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS f) a + (-b + c) = a - b + c g) a - (b + c) = a - b + c h) a R, a. a - =, donde a 0 i) a R, (a - ) - = a, donde a 0 j) el cociente entre un número a y su opuesto es igual a (-), donde a 0 k) a (-b) = ab l) - (-a) = a.5 Números Complejos No es cierto en general, que la raíz cuadrada de un número real sea siempre un número real. Por ejemplo, hemos visto que no hay ningún número real cuyo cuadrado es -. Es decir, no eiste a R tal que a = -. El nombre de i a surgió en 777, y se debe al matemático Euler. Hasta entonces se trabajaba con epresiones tales como, manipulándolas del mismo modo que a los números reales. La unidad imaginaria i cumple la propiedad: i = -, también se suele escribir en lugar de i. A los números de la forma a + b i donde a y b son reales se les llama números complejos. Al conjunto formado por dichos números se lo denota C. Re( i) = Im( i) = - En un número complejo a + b i, con a, b R, a se llama parte real y se la denota con a = Re(a + b i), y b se llama parte imaginaria y se la denota con b = Im(a + b i). Página
Curso de Apoyo en Matemática Observemos que... No es cierto que la parte imaginaria de + i sea i, sino que Im( + i) =. para el número complejo a + b i, si a = 0, el número complejo solo tiene parte imaginaria, es decir, es imaginario puro. si b = 0, el número complejo sólo tiene parte real. Por tanto, el conjunto R de los números reales esta incluido en el conjunto C de los números complejos. la parte imaginaria está conformada solamente por b. Ejemplos: Los siguientes son complejos conjugados: a) + i y - i A dos números complejos se les llama conjugados si tienen la misma parte real y opuestas sus partes imaginarias. b) - 5 + i y - 5 - I Observemos que... en el conjunto de los números complejos tienen sentido ahora, las propiedades de las raíces, sin tener en cuenta el signo del radicando. Ejemplos: a) - =.(-) = - = i b) ( ) = ( ) = 9 c) ( ) = ( i ) = ( ) i = 9 = 9 Los números complejos permitirán resolver ecuaciones como las siguientes, que serán tratadas más adelante: + = 0 + = 0-6 + = 0 + 5 + = 0 Página
Números Representación de 5 + i y Representación de 5 + i y su conjugado 5 i y 0 - - - 0 5 5 5 + i 5 + i 5 - i El número complejo a + b i se representa en el plano mediante el punto P de coordenadas (a, b). El eje de las abscisas se llama eje real, y el de las ordenadas, eje imaginario. De esta forma, a cada número complejo le corresponde un punto del plano y a cada punto del plano le corresponde un número complejo. Si unimos el origen con el punto P obtenemos un segmento orientado que llamamos vector y representamos por OP. Así pues, a cada número complejo le hacemos corresponder un vector. y 0 a P(a, b) b.5. Operaciones en C Suma y Resta La suma y resta de números complejos se realiza sumando o restando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí respectivamente. Ejemplos: Re(+i) = Re(8 5i) = 8 Re(( + i) + (8-5i)) = 0 Im( + i) = Im(8 5i) = -5 Im(( + i) + (8 5i)) = - Ahora resolveremos algunas operaciones: a) ( + i) + (8-5i) ( + i) + (8-5i) = ( + 8) + ( + (- 5)) i = 0 - i b) ( + i) - (8-5i) ( + i) - (8-5i) = ( - 8) + ( - (- 5)) i = - 6 + 8 i Página
Curso de Apoyo en Matemática Producto El producto de dos números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y recordando que i = -. División La división de dos números complejos se realiza multiplicando dividendo y divisor por el complejo conjugado del divisor. Ejemplo: Resolveremos: 0 + 0 i + i Multiplico dividendo y divisor por el complejo conjugado del denominador. 0 + 0 i + i = (0 + 0 i). (- i) ( + i).(- i) = 60+ 90 i - 0i 9 -i - 0 i El complejo conjugado de + i es i. = 90 + 70i 0 = 9 + 7 i ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 58) Resolver las siguientes operaciones epresando los resultados en forma binómica: + b) i + ( 5 + i) c) + i i d) 6 + 5 + 9 a) ( i ) + + 5i ( 7i) ( ) e) ( + i) + ( i ) ( + i) f) g) i i + i + i ( i)( + i) i 59) Calcular Recordemos que... Cuadrado de un binomio Cubo de un binomio (a + b) = a + ab + b (a - b) = a - ab + b (a + b) = a + a b + a b + b (a - b) = a - a b + a b - b { } a) Re ( -i) + ( - + i) - 5( - ) ( ) ( ) -i - + i b) Im - i Página
Números 60) Sabemos que i = -. Por lo tanto i = i.i = -i, y también se tiene que i = (i ) = (-) =. Teniendo esto en cuenta, calcular i 5, i 6, i 7, i 8, i 6, i, i 5. 6) Comprobar que + i, y - - i son las raíces cuadradas de 5 + i. 6) Representar en un mismo gráfico los números complejos z = + i y z = 5 i. Calcular z + z y graficar. Observar la relación geométrica entre z, z y z + z. 6) Dado el número complejo z = a + bi. Hallar las epresiones de z + z y z. z. 6) Calcular a) Re c) Im + i + ( + i ) 5 i 8i ( + i) b) Re {( i) ( 6i) } d) Im ( 7i ) 7 8i Página 5
Curso de Apoyo en Matemática. ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO El objetivo de esta unidad es repasar las ecuaciones lineales o de primer grado y resolver ecuaciones lineales por medio de propiedades vistas en la Unidad Nº. También resolveremos problemas donde se plantean ecuaciones lineales con una incógnita. Para ello veremos ejemplos de ecuaciones, cómo resolverlas y cómo traducirlas al lenguaje simbólico. En próimas unidades analizaremos cómo resolver ecuaciones de mayor grado. Comenzamos con la siguiente situación: En un espectáculo el mago realiza el siguiente truco _ Piensa un número... _ Súmale 5 al número pensado... _ Multiplica por el resultado... _ Al resultado réstale 9... _ Divide por... _ Resta 8... _ Dime cuál es el resultado obtenido y te diré que número pensaste. El espectador dice: _ Instantáneamente el mago afirma con solvencia: _ El número que pensaste fue el 8. Cómo lo hizo? Trataremos a lo largo de esta unidad de resolver situaciones problemáticas como la anterior por medio de ecuaciones lineales con una incógnita. Página 6
Ecuaciones Lineales o de Primer Grado Analicemos las siguientes igualdades: + + = 7 + + = 5 Estas son igualdades numéricas, ( + y ) = + y + y a = 0 mientras que éstas son igualdades algebraicas o literales En el siguiente cuadro podemos ver una clasificación de las igualdades algebraicas teniendo en cuenta si se verifica para algunos ó todos los números reales. A continuación nos dedicaremos a estudiar las ecuaciones lineales. Igualdad algebraica Identidad Ecuación Se verifica para cualquier valor dado a sus letras. Se verifica para algunos valores dados a sus letras. Ejemplo a.( m n ) = am an Ejemplo y = + 5 Las letras que aparecen en la ecuación se llaman incógnitas. Página 7
Curso de Apoyo en Matemática En el caso de las igualdades algebraicas, éstas se verifican siempre pues por ejemplo a.( m n ) = am an es la propiedad distributiva. Cualquier valor de a, m y n es solución. Por ejemplo para a =, m =, n = - tenemos ( (-) ) =. -.(-) =. En el ejemplo y = + 5, los valores y =, = - son soluciones, pues. - = - + 5 mientras que y =, = no es solución pues. = + 5 = 9. Las soluciones de una ecuación son los valores que al sustituirlos en las incógnitas hacen cierta la igualdad. Ecuación lineal Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas de eponente. Ejemplos. Las primeras cuatro ecuaciones son ejemplos de ecuaciones lineales o de primer grado. Las ecuaciones, y tienen una incógnita y la ecuación + y = tiene dos incógnitas.. + = 5. =. + 5 = 5. + y = Para pensar. Estas no son ecuaciones lineales. Por qué?. t t + = 0.. y =. cos =. 6 = Página 8
Ecuaciones Lineales o de Primer Grado Ejemplos: Resolvamos las siguientes ecuaciones a) + = 5 Aplicando propiedades Se puede resolver despejando. + + (-) = 5 = 5 - = = = Verificación: + = 5. + = 5 + = 5 5 = 5 5 = = = Una vez resuelta la ecuación es conveniente verificar que el valor obtenido es la solución de la ecuación. Para ello, debemos sustituir el valor hallado en la ecuación. La ecuación + = 5 tiene solución única =. b) + y = Es una ecuación que tiene infinitas soluciones, pues se verifica para infinitas parejas de números. Por ejemplo: + = =, y = -5 + 9 = = -5, y = 9 + 0 = =, y = 0 7 8 + = = =, y = 7 c) = Para pensar... En este ejemplo observamos que hemos obtenido 0. = 0 Cuántas soluciones tiene esta igualdad? = = = 0 0. = 0 Página 9
Curso de Apoyo en Matemática d) + 5 = Para pensar... En este ejemplo obtenemos 5 = 0. Cuál es el número de soluciones de esta igualdad? + 5 = 5 = 5 = 0. 5 = 0 e) + 9 = 5 La solución es = que pertenece al conjunto de los números reales; por lo tanto esta ecuación tiene solución en R. Atención No olvides nunca verificar. + 9 = 5 ( + ) = 5( - 9) + = 5 5 + 5 = 5 8 = = f) + 6 + 8 = 578 Recuerda que... para sumar o restar fracciones de distinto denominador, primero debes hallar un múltiplo común entre los denominadores. Así, 6 es el mínimo común múltiplo entre, 6 y 8. + + 6 8 = 578 9 + 6 + = 578 6 7 = 0.808 =. Ahora trataremos de resolver problemas utilizando ecuaciones lineales. Para ello podemos tener en cuenta los siguientes pasos: Pasos a tener en cuenta lectura comprensiva del enunciado; traducción al lenguaje simbólico; epresión de la ecuación correspondiente; resolución de la ecuación; verificación del resultado obtenido. Ahora veremos cómo resolver un problema paso a paso. Volvemos al problema del mago del inicio de esta unidad. Página 0
Ecuaciones Lineales o de Primer Grado En un espectáculo el mago realiza el siguiente truco. _ Piensa un número... _ Súmale 5 al número pensado... _ Multiplica por el resultado... _ Al resultado réstale 9... _ Divide por... _ Resta 8... _ Dime cuál es el resultado obtenido y te diré que número pensaste. El espectador dice: _ Instantáneamente el mago afirma con solvencia: _ El número que pensaste fue el 8. Cómo lo hizo? traducción al lenguaje simbólico Piensa un número Súmale 5 fi + 5 Multiplica por el resultado fi ( + 5) Al resultado réstale 9 fi ( + 5) - 9 Divide por fi (( +5) - 9): Resta 8 fi (( + 5) - 9): - 9 El espectador dice fi epresión de la ecuación correspondiente ( + 5-9): - 8 = resolución de la ecuación ( + 5-9): - 8 = + = = 8 verificación del resultado obtenido (.8 + 5 9): 8 = Página
Curso de Apoyo en Matemática Ejemplo: De un depósito lleno de líquido se saca la cuarta parte del contenido; después la mitad del resto y quedan aún 500 litros. Calculemos la capacidad del depósito. traducción al lenguaje simbólico capacidad del depósito fi un cuarto del contenido mitad del resto fi fi quedan aún fi 500 litros epresión de la ecuación correspondiente = + + 500 resolución de la ecuación = + 8 + 500 - - 8 = 500 8 - - 8 = 500 = 500 8 = 500 : 8 = 000 verificación del resultado obtenido = + 8 + 500 000 = 000 + 8 000 + 500 000 = 000 Página
Ecuaciones Lineales o de Primer Grado Veamos el siguiente cuadro que muestra algunos ejemplos clásicos de cómo pasar del lenguaje coloquial al lenguaje simbólico que pueden aparecer en algunos problemas que involucren ecuaciones lineales. Lenguaje coloquial Lenguaje simbólico La suma de un número y su consecutivo + ( + ) Un número par El siguiente de un número par + La suma de tres números consecutivos + ( + ) + ( + ) La mitad de un número La tercera parte de la diferencia entre dos a b números El perímetro de un rectángulo a l + b En resumen, podemos concluir que una ecuación lineal o de primer grado puede tener : La ecuación + 8 = 9 tiene solución única = solución única La ecuación + 5 = 5, no tiene solución, pues es imposible que sumando 5 a un número obtengamos ese mismo número. ninguna solución La ecuación = tiene infinitas soluciones, pues es válida la identidad para cualquier valor de. infinitas soluciones Actividades de Aprendizaje ) Epresar simbólicamente la ecuación correspondiente: a) Un número más su quinta parte es. b) Un poste tiene bajo tierra /7 de su longitud y la parte emergente mide 8 metros. c) El perímetro de un cuadrado es de m. d) En una biblioteca hay libros distribuidos en dos estantes, en el de abajo hay 7 libros menos que en el de arriba. Página
Curso de Apoyo en Matemática ) Resolver las siguientes ecuaciones lineales en R: a) + 9 = 90 b) - + = c) ( - ) - ( - ) = 8 d) - - e) - 7 = f) 6 (a + 8) = g) m- 0-5 m - = m - 7 0 5 m - 6 - i) 5 (0 - ) =. ( - ) k) t h) 5 z ) Un número más su quinta parte es. Calcular dicho número. t - 5 t - = 0 5 - z + - + = 0 - a 7 + a - - = 5 z ) La suma de dos números consecutivos es. Cuáles son dichos números?. 5) Un número es igual al doble de su consecutivo. Cuál es dicho número?. 6) La suma de tres múltiplos de consecutivos es 6. Calcular dichos números. 7) El perímetro de un rectángulo es 6m. Si el doble del ancho ecede en 7 m a los tres cuartos del largo. Cuáles son las dimensiones del rectángulo?. 8) El perímetro de un triángulo isósceles es 80 cm. Cada uno de los lados iguales es 0 cm mayor que la base. Cuál es la longitud de cada lado?. 9) Un niño tiene el triple de la edad que tenía hace 8 años. Qué edad tiene ahora?. 0) Un padre tiene años y su hijo 0 años. Dentro de cuántos años la edad del padre será el triple de la edad del hijo?. ) De una cierta clase de vino que contiene % de alcohol, se han obtenido por destilación 67,68 litros de alcohol. Cuál fue la cantidad de vino empleado?. ) El jueves, Leticia invirtió el 0% de sus ahorros en ropa. El viernes, gastó las dos terceras partes del dinero que le quedaba en un libro para su hermano, y aún tiene $0. b) Cuánto dinero tenía ahorrado Leticia?. c) Es cierto que gastó lo mismo en ropa que en el libro para su hermano?. ) Un hombre repartió su herencia del siguiente modo: a su hijo mayor le dejó la mitad, al segundo la tercera parte del resto, al tercero la seta parte del resto y al cuarto $.000.000. Cuál era el valor de la herencia?. Página
Ecuaciones Lineales o de Primer Grado ) Un comerciante hace un testamento de la siguiente forma: dos tercios a su único hijo; un quinto, a una familia muy amiga, y los 9000 restantes, a una institución de beneficencia. A cuánto asciende el total de la herencia?. 5) En una reunión hay el doble número de mujeres que de hombres y el triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. Hallar el número de hombres, mujeres y niños que hay en la reunión si el total es de 56 personas. 6) Durante su primera hora de trabajo, el dueño de un puesto de revistas vendió la cuarta parte de los diarios que tenía y, durante la segunda hora, vendió la seta parte de los que le quedaban. Contó los ejemplares y notó que aún había 5. Cuántos diarios tenía al principio?. 7) Ana, Vivi y Carla comparten un departamento y las tres aportaron su último sueldo a un fondo común, que fue de $600. Ana gana las dos terceras partes del sueldo de Vivi, y Carla gana la mitad del sueldo de Ana. Cuál fue el último sueldo de cada una?. Es cierto que Vivi cobró tanto como Ana y Carla juntas?. 8) Una compañía de aviación divide a los pasajeros en tres categorías. En uno de sus aviones, la cantidad de asientos de primera clase es la octava parte del total; la categoría ejecutiva tiene una vez y media la cantidad de asientos que primera clase, y hay 65 asientos de clase turista. Cuántos asientos tiene ese avión? Página 5
Curso de Apoyo en Matemática. RECTA REAL Es muy común manejarse en la vida cotidiana con números que oscilan en ciertos rangos. Muchos de los fenómenos que se producen en la naturaleza no tienen soluciones eactas, y para resolverlos debemos contentarnos, por ejemplo, con acotarlos entre dos valores determinados. En esta unidad precisamente aprenderemos a manejarnos con este tipo de situaciones. Para ello, en principio, daremos la noción de intervalo, y finalizaremos entrenándonos en la resolución de inecuaciones.. Intervalos reales La Ballena Franca, visita cada año las costas de la Península de Valdés, se aparea y pasea sus ballenatos. Esto constituye un gran atractivo turístico en nuestra provincia. El peso de la Ballena Franca oscila entre 0 a 5 toneladas. Un macho adulto mide unos metros, en tanto que una hembra mide unos,5 metros. Desde la playa El Doradillo considerada área natural de reproducción, se puede disfrutar plenamente de un avistaje costero. La temporada de Ballenas se etiende de Junio a Diciembre. La máima concentración de ballenas se produce entre Octubre y Noviembre, época en que pueden contabilizarse entre 50 a 00 individuos. Esto convierte a las aguas vecinas de la Península Valdés en el área de cría más importante del Hemisferio Sur. Aunque no lo creas, mucha de la información aquí indicada puede epresarse matemáticamente, como veremos a continuación. Página 6
Recta Real En símbolos, { R / < < 5} números reales mayores que y menores que5 En símbolos, { R / } números reales En símbolos, 50 < < 00 menores o iguales que/ Frecuentemente trabajaremos con subconjuntos de números reales, epresados de acuerdo con alguna relación de orden. Así, por ejemplo, hablaremos de o de los números reales mayores que y menores que 5 los números reales menores o iguales que Otras veces deberemos simbolizar epresiones tales como: la cantidad de ballenas que puede contabilizarse entre Octubre y Noviembre se halla entre 50 y 00 Estos subconjuntos de R se definen mediante intervalos. Intervalo abierto (a, b) Si a, b R y a < b, se define (a, b) = { R / a < < b}. Gráficamente: a b ó a b Intervalo cerrado [a, b] Si a, b R y a b, se define [a, b] = { R / a b}. Gráficamente: Si a coincide con b, el intervalo cerrado es un único punto. a b ó a b Página 7
Curso de Apoyo en Matemática Intervalos semiabiertos o semicerrados Si a, b R y a < b se define: (a, b] = { R / a < b } [a, b) = { R / a < b } Gráficamente: (a, b] se representa como [a, b) se representa como a a b b En todos los casos, los números a y b se llaman etremo inferior y etremo superior del intervalo, respectivamente. Ejemplo: a b Etremo inferior Etremo superior Atención Los símbolos - y + deben ser considerados con especial cuidado, recordando que se usan solamente por conveniencia de notación y nunca como números reales. Estas definiciones se pueden generalizar, considerando a la recta y a la semirrecta como intervalos, con sólo introducir los símbolos - y +. Así, tenemos Página 8 en símbolos [ c, + ) = { R / c } ( c, + ) = { R / > c } (-, d ] = { R / d } (-, d ) = { R / < d } (-, + ) = R gráficamente c c d d 0
Recta Real Ejemplos: [ -, ] = { R / - } fi ( -, - ) = { R / < - } fi ( -, e) fi -, fi ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE ) Dados los siguientes subconjuntos de R: a) A = { / N - < < } b) B = { / Z - < < } c) C = { / Q - < < } d) D = { / R - < < } Recuerda observar a qué conjunto numérico pertenecen los elementos. Por ejemplo, en el conjunto B los elementos son números enteros tales que - < <. i) Analizar los elementos que pertenecen a cada conjunto. Es posible determinar la cantidad de elementos?. ii) Representar en la recta real, de ser posible, cada conjunto. ) En caso de que eistan infinitos números, el modo de indicarlos es mediante la notación de intervalos. a) Cuáles son los números naturales comprendidos entre - y?. b) Cuáles son los números enteros comprendidos entre - y?. c) Cuáles son los números racionales comprendidos entre - y?. d) Cuáles son los números reales comprendidos entre - y?. ) Epresar mediante intervalos cada uno de los siguientes subconjuntos de R: el conjunto de los números reales que satisfacen: a) es mayor que y menor que 6. b) es mayor o igual que -. Página 9