Capítulo 31B: Corrientes transitorias e inductancia Paul. Tippens 017
Autoinductancia Considere una bobina conectada a una resistencia y voltaje V. Cuando se cierra el interruptor, el aumento de corriente I aumenta el flujo, lo que produce una fuerza contraelectromotriz interna en la bobina. l interruptor abierto invierte la fem. I creciente Ley de Lenz: La fcem (flecha roja) debe oponerse al cambio en flujo: I decreciente
Inductancia La fuerza contraelectromotriz (fcem) inducida en una bobina es proporcional a la tasa de cambio de la corriente DI/Dt. L Di Dt ; L inductance inductancia Di/ Dt creciente Una inductancia de un henry (H) significa que el cambio de corriente a la tasa de un ampere por segundo inducirá una fcem de un volt. 1 V 1 H 1 A/s
jemplo 1: Una bobina de 0 vueltas tiene una fem inducida de 4 mv cuando la corriente cambia a la tasa de A/s. Cuál es la inductancia? Di/ Dt = A/s 4 mv L Di L ; L Dt Di / Dt ( 0.004 V) A/s L =.00 mh Nota: Se sigue la práctica de usar i minúscula para corriente variable o transitoria e I mayúscula para corriente estacionaria.
Cálculo de inductancia ecuerde dos formas de encontrar : N D D t L Di Dt Al igualar estos términos se obtiene: N D Dt L Di Dt Por tanto, la inductancia L se puede encontrar de: Di/ Dt creciente Inductancia L N L I
B Inductancia de un solenoide Solenoide l Inductancia L l campo B que crea una corriente I para longitud l es: B NI 0 Al combinar las últimas dos ecuaciones se obtiene: NIA 0 y = BA L L N A 0 N I
jemplo : Un solenoide de 0.00 m de área y 30 cm de longitud tiene 100 vueltas. Si la corriente aumenta de 0 a A en 0.1 s, cuál es la inductancia del solenoide? Primero se encuentra la inductancia del solenoide: L N A (4 x 10 )(100) (0.00 m ) -7 Tm 0 A l A 0.300 m L = 8.38 x 10-5 H Nota: L NO depende de la corriente, sino de parámetros físicos de la bobina.
jemplo (Cont.): Si la corriente en el solenoide de 83.8 H aumentó de 0 a A en 0.1 s, cuál es la fem inducida? l A L = 8.38 x 10-5 H Di L Dt -5 (8.38 x 10 H)( A - 0) 0.100 s 1.68 mv
nergía almacenada en un inductor n un instante cuando la corriente cambia a Di/Dt, se tiene: Di L ; P i Li Dt Dado que la potencia P = trabajo/t, Trabajo = P Dt. Además, el valor promedio de Li es Li/ durante el aumento a la corriente final I. Por tanto, la energía total almacenada es: Di Dt nergía potencial almacenada en inductor: U 1 Li
jemplo 3: Cuál es la energía potencial almacenada en un inductor de 0.3 H si la corriente se eleva de 0 a un valor final de A? L = 0.3 H U 1 Li U 1 (0.3 H)( A) 0.600 J I = A U = 0.600 J sta energía es igual al trabajo realizado al llegar a la corriente final I; se devuelve cuando la corriente disminuye a cero.
Densidad de energía (opcional) l A La densidad de energía u es la energía U por unidad de volumen V N A L U LI V A 0 1 ; ; Al sustituir se obtiene u = U/V : N AI 0 1 0N A U ; U I u V A u NI 0
Densidad de energía (continúa) l A Densidad de energía: u NI 0 ecuerde la fórmula para el campo B: NI NI B 0 B 0 u 0 NI 0 B 0 u B 0
jemplo 4: La corriente estacionaria final en un solenoide de 40 vueltas y 0 cm de longitud es 5 A. Cuál es la densidad de energía? NI B u -7 0 (4 x 10 )(40)(5 A) B = 1.6 mt 0.00 m -3 B (1.6 x 10 T) (4 x 10 ) -7 Tm 0 A u = 0.68 J/m 3 l A La densidad de energía es importante para el estudio de las ondas electromagnéticas.
l circuito -L Un inductor L y un resistor se conectan en serie y el interruptor 1 se cierra: Di V = i L Dt Di V L i Dt S 1 S V L i Inicialmente, Di/Dt es grande, lo que hace grande la fcem y la corriente i pequeña. La corriente aumenta a su valor máximo I cuando la tasa de cambio es cero.
Aumento de corriente en L i V ( / L) t (1 e ) i I n t = 0, I = 0 n t =, I = V/ Constante de tiempo t: t L 0.63 I t Aumento de corriente Tiempo, t n un inductor, la corriente subirá a 63% de su valor máximo en una constante de tiempo t = L/.
educción -L Ahora suponga que S se cierra después de que hay energía en el inductor: = i Para reducción de corriente en L: Di L Dt Di L i Dt S 1 S V L i Inicialmente, Di/Dt es grande y la fem que activa la corriente está en su valor máximo I. la corriente se reduce a cero cuando la fem se quita.
educción de corriente en L i V e ( / L) t i I n t = 0, i = V/ n t =, i = 0 0.37 I educción de corriente Constante de tiempo t: t L t Tiempo, t n un inductor, la corriente se reducirá a 37% de su valor máximo en una constante de tiempo t.
jemplo 5: l circuito siguiente tiene un inductor de 40 mh conectado a un resistor de 5 W y una batería de 16 V. Cuál es la constante de tiempo y la corriente después de una constante de tiempo? 16 V L 0.040 H t 5 W 5 W Constante de tiempo: t = 8 ms L = 0.04 H Después del tiempo t: i = 0.63(V/) i i 16V 0.63 5 W V ( / L) t (1 e ) i =.0 A
l circuito -C V Cierre S 1. ntonces, conforme la carga Q se acumula en el capacitor C, resulta una fcem : S 1 V = i Q V C i Q C S C i Inicialmente, Q/C es pequeño, lo que hace pequeña la fcem y la corriente i es un máximo I. Conforme la carga Q se acumula, la corriente se reduce a cero cuando b = V.
Aumento de carga V Q C i t = 0, Q = 0, I = V/ t =, i = 0, Q m = C V Q CV e t / C (1 ) Q max q 0.63 I t Capacitor Aumento de carga Tiempo, t Constante de tiempo t: t C n un capacitor, la carga Q aumentará a 63% de su valor máximo en una constante de tiempo t. Desde luego, conforme la carga aumenta, la corriente i se reducirá.
educción de corriente en C V i e t / C n t = 0, i = V/ n t =, i = 0 Constante de tiempo t: t C i I 0.37 I t Capacitor educción de corriente Tiempo, t Conforme aumenta la carga Q La corriente se reducirá a 37% de su valor máximo en una constante de tiempo t; la carga aumenta.
Descarga -C V Ahora suponga que se cierra S y se permite la descarga de C: = i Para reducción de corriente en L: Q C Q i C S 1 S C i Inicialmente, Q es grande y la fem que activa la corriente está en su valor máximo I. La corriente se reduce a cero cuando la fem se quita.
educción de corriente i V e t / C n t = 0, I = V/ n t =, I = 0 t C 0.37 I I i t Capacitor Current Decay educción de corriente Tiempo, t Conforme la corriente se reduce, la carga también se reduce: Q CVe t / C n un capacitor que se descarga, tanto corriente como carga se reducen a 37% de sus valores máximos en una constante de tiempo t = C.
jemplo 6: l circuito siguiente tiene un capacitor de 4 F conectado a un resistor de 3 W y una batería de 1 V. l interruptor está abierto. Cuál es la corriente después de una constante de tiempo t? 1 V 3 W C = 4 F t = C = (3 W)(4 F) Constante de tiempo: t = 1 s V i t / C (1 e ) Después del tiempo t: i = 0.63(V/) i 1V 0.63 3 W i =.5 A