1 Grupo de los lunes 2011 Marina Andrés- Marité Coronel- Enrique Di Rico Gema Fioriti -Erica Guzmán - Claudia Kerlakian Cecilia Lamela - Rodolfo Murua- Carmen Sessa Propuesta de introducción al trabajo con polinomios y funciones polinómicas Incorporación del Geogebra al trabajo en el aula En estado de estudio y reelaboración Agosto 2011
2 Problema 1 Sean f y g son dos funciones lineales, definimos la función h(x) de la siguiente manera: para cada valor de x, h(x) = f(x). g(x). A partir de los gráficos de f(x) y de g(x) que se dan a continuación, Les proponemos: a) Calcular el valor de h(x) en cada caso: a) h (0) = b) h (2) = c) h(6)= d) h(3)= e) h(-2)= f) h (-4)= g) h (-8)= b) Decidir si h(x) es negativa, positiva o cero: a) h (-10) b) h (-20) c) h(-5) c) Proponer un gráfico aproximado de h(x). d) h (6) e) h ( 10) h) h (2,5)= Problema 2 En el siguiente sistema de coordenadas J es la gráfica de j(x) y K es la gráfica de k(x), ambas funciones lineales Definimos: h(x) = j(x).k(x) a) Encuentren por lo menos 3 puntos que pertenezcan al gráfico de h(x). Propongan argumentos para fundamentar la respuesta. b) Establezcan el conjunto de valores de x para los cuales la función h(x) es positiva, negativa o cero. c) Tracen un gráfico aproximado de h(x).
3 Problema 3 En el sistema de coordenadas F es la representación gráfica de f(x) y G es la representación gráfica de g(x), ambas funciones lineales. Definimos h(x) = f (x). g (x) a) Establezcan el conjunto de valores de x para los cuales la función h(x) es positiva, negativa o cero. b) Propongan un gráfico aproximado de h(x) Problema 4 Con Geogebra. Escriban las fórmulas que correspondan a los gráficos J y K del problema 2. Usen el software para graficar j(x) y k(x). Introduzcan la función producto h(x) como objeto dependiente (es decir escribir en la entrada h(x)=j(x) k(x)). a) Confronten la gráfica de h(x) producida mediante el software con la que propusieron en el problema 2. b) Supongamos que una de las rectas permanece fija y la otra se mueve paralelamente a ella misma. Resultan distintas funciones h. Es posible que el gráfico de h (x) no atraviese al eje de las x? Expliquen sus respuestas. c) Es posible que el gráfico de h(x) no toque ni atraviese al eje de las x? Problema 5 a) Propongan, si es posible, dos funciones lineales cuyo producto sea una función cuadrática que tenga mínimo y otras dos para que la función cuadrática tenga máximo. Si no hay, justificar la respuesta. b) Buscar pares de rectas para que el mínimo de la parábola esté en el primer cuadrante, en el segundo, en el tercero y en el cuarto cuadrante. Si no hay, justificar la respuesta. c) Idem con el Máximo Problema 6 Para discutir colectivamente, a modo de síntesis: 1) Es cierto que siempre que multiplicamos dos rectas obtenemos una parábola? 2) Cómo obtenemos los ceros, el conjunto de positividad y el conjunto de negatividad de la parábola observando las rectas en el gráfico? 3) Es cierto que toda parábola puede ser escrita como el producto de dos rectas? 4) Cómo deben ser las rectas para que su producto sea una parábola que tenga máximo? y mínimo? 5) Cómo deben ser las rectas para que su producto sea una parábola con un cero doble? y con dos ceros simples? Problema 7 Se sabe que h(x) = -x 2 + 2x +3 es producto de dos funciones lineales g(x) y f(x). Puede ser que una de ellas sea que g(x) = x + 1? Si les parece que sí encuentren f. Si les parece que no, justifiquen. Lo mismo si h(x) = 0,5x 2 + 1,5x 9 y g(x) = x + 2 (ésta no se puede) Si h(x) = 2x 2 4x 16, hallar dos funciones lineales f(x) y g(x) tales que h(x) = f(x). g(x)
4 Problema 8 A continuación se dan los gráficos de f(x) y de g(x). Sea h(x) = f(x). g(x) a) Calcular: h (1) = h(0) = h(-3) = h (-2) = h(3) = h(-4) = b) Decidir si h es positiva, negativa o cero en cada caso h (6), h (1,5), h(-4), h (0), h (-2,5), h (-20) c) Indicar ceros, el conjunto de positividad y el de negatividad. d) Graficar aproximadamente. Problema 9 Con Geogebra: a) Dibujen h, buscando antes la fórmula factorizada de la parábola y la fórmula de la recta. Guarden este archivo b) Pueden expresar h como producto de 3 rectas? Prueben en papel y con Geogebra. Grafiquen h(x), escriban la fórmula de las tres rectas que propusieron y chequeen que el producto les da h(x). Guarden este archivo. c) Abran el archivo que guardaron en a). Dejen fija la parábola y muevan la recta paralelamente a ella misma de tal manera que el producto h atraviese el eje x una sola vez. Guarden este archivo sin modificar el anterior (ir a guardar como ). Primero hay que explicar que significa que atraviese al eje una sola vez. En la actividad 1 ya ha aparecido esta terminología. Para dejar fija la parábola hay que apoyarse en la parábola, con botón derecho ir a propiedades, básico, objeto fijo. d) Abran el archivo que guardaron en a) Dejen la recta fija y cambien la parábola para lograr que h tenga un cero simple y otro doble (pueden trabajar directo con las fórmulas). Después del problema 9, se sistematiza lo que sabemos hasta ese momento, completando entre todos el cuadro: Tres raíces distintas Función cúbica Dos raíces distintas Problema 10
5 Exploren con geogebra que otras cosas pueden pasarle a los ceros de una cubica dada como producto de una parábola y una recta o como producto de tres rectas. Se termina el cuadro. Problema 11 En cada caso, hallar si existe, la fórmula de una función cúbica que verifique: a) Las raíces son -5, -2 y 4 y la función toma valores negativos para x mayores que 4. b) Las raíces son -3, 2 y 8 y el gráfico de la función corta al eje de las y en 12. c) Las raíces sean 2 y 7. d) Las raíces son 0 y -1 y la función vale 10 en x =1. La función que encontraron en cada caso, es la única que cumple esas condiciones? Si creen que sí, justifiquen, y si creen que no, hallen al menos tres fórmulas diferentes. Problema para reentrar de las vacaciones de invierno Problema 12 En cada caso, hallar, si existe, la fórmula de una función cúbica que verifique lo pedido. Si les parece que no hay expliquen porqué: a) que tenga ceros en x= -1/2, x= 13, x= 3. En la puesta en común se discute si algunos de los ejemplos que dan ellos, se puede escribir como el producto de una parábola por una recta, aún con coeficiente principal 1, ver que se pueden armar 3 parábolas. b) que tenga un solo cero, y esté en x= 7. Este ítem permite discutir que el cero puede ser simple, o triple, DOBLE nunca. c) que tenga un solo cero, y que sea cero doble En la puesta en común al final, esto ya quizás se discutió al discutir el ítem anterior d) que tenga un cero doble en x= -5 La discusión pasaría por el hecho de que necesariamente debe haber también un cero simple. Y además, que el cero doble puede venir de la recta y un cero de la parábola o de la parábola solamente. e) que tenga ceros en x = -1/5, x = 3, x = -3 y en x = 0. f) que no tenga ceros. Problema 13 La función h(x)= 4x 3-6x 2-22x+12 es el producto de dos funciones g ( x). f ( x ). a) Puede ser que una de ellas sea que g(x) = 2x - 1? Si les parece que sí encuentren f. Si les parece que no, justifiquen.
6 b) Y si fuera g(x)= x-1? c) Es posible escribir h(x) como producto de tres lineales? Problema 14 Dadas las funciones ( ) = + h ( x) = x x x + ( ) h x x x x 1 2 2 2 2 8 8 h3 x = 2x 2x + 8x 8 h x x x 4 = 2 + 2 a) Cuáles de estas funciones tienen por raíz x = 1? Usando este dato, busquen si es posible, una recta y una parábola cuyo producto sea cada h. b) Si es posible escribir, las funciones polinómicas dadas como producto de tres lineales. De no ser posible, expliquen por qué. c) Realicen un gráfico aproximado de cada función h( x ). Problema 15 Exploren que pasa cuando multiplico 2 parábolas. Acá se puede llegar a discutir que lamentablemente no se puede distinguir visualmente x 4 de x 2. Problema 16 Inventen funciones De grado 6: con 6 ceros, con 4 ceros, con 3 ceros dobles, sin ceros, etc.. De grado 7, con 1 cero, con 5 ceros, etc. Sistematizar que - No puede haber más raíces que el grado - Que grado impar siempre tiene raíces pero grado par puede no tener.