UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL

UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL ESTUDIO EXPERIMENTAL DE LA REACCIÓN DE UN SUELO ARENOSO ANTE UNA PLACA RÍGIDA SOLICITADA POR CARGA VERTICAL Y MOMENTO MEMORIA PARA OPTAR AL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL DARIO BORIS MUTOLI LOPICICH PROFESOR GUIA: SR. CLAUDIO FONCEA NAVARRO MIEMBROS DE LA COMISIÓN: SR. RAMON VERDUGO ALVARADO SR. RICARDO MOFFAT COVARRUBIAS SANTIAGO DE CHILE 2007

RESUMEN DE INFORME FINAL PARA OPTAR AL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL POR: DARIO BORIS MUTOLI LOPICICH FECHA: 22/11/2007 ESTUDIO EXPERIMENTAL DE LA REACCIÓN DE UN SUELO ARENOSO ANTE UNA PLACA RÍGIDA SOLICITADA POR CARGA VERTICAL Y MOMENTO Este estudio analiza, a través de ensayos de laboratorio, las variaciones que el coeficiente de reacción de una arena limpia experimenta cuando se incorpora una solicitación de momento a una placa rígida sometida a una carga vertical centrada. Estos ensayos requirieron proyectar una instalación cuyas dimensiones no limitaran la validez de los resultados y permitiera la depositación homogénea de la arena a diferentes densidades relativas. En el diseño de fundaciones se modela generalmente el suelo como una cama de resortes independientes unos de otros utilizando una constante de reacción ante carga vertical que se denomina coeficiente de balasto o coeficiente de reacción del suelo. Para obras de importancia el coeficiente de reacción del suelo se obtiene a partir de pruebas de placa de carga en las que se aplica una carga vertical centrada. En la realidad sin embargo, las fundaciones están sometidas simultáneamente a cargas verticales y de momento para condiciones de servicio. Una revisión de la literatura nos revela que muy pocos estudios han sido realizados considerando asentamiento y rotación de fundaciones cargadas excéntricamente. Con muy pocas excepciones, que se presentan en este estudio, las placas cargadas sobre arena en los estudios realizados anteriormente fueron sometidas a cargas verticales con excentricidad constante. Sin embargo, una carga axial constante combinada con un momento creciente es una condición de carga más representativa de lo que ocurre con las fundaciones de edificios sometidos a cargas laterales. Los resultados de los ensayos realizados han permitido determinar que la arena ensayada demuestra tener una mayor resistencia al giro ante la solicitación de momento - superpuesto a una carga vertical constante - que la que se considera cuando se utiliza el coeficiente de balasto obtenido de la prueba de carga con solicitación puramente vertical. Lo anterior lleva a caracterizar como conservador el criterio utilizado en el cálculo de fundaciones que iguala la rigidez de un suelo granular para estas dos condiciones de carga. Además, los ensayos demuestran que el centro de giro de la placa, cuando sometida a momento, no coincide con el centro de gravedad de la placa sino que se ubica próximo al borde menos solicitado de ésta, lo que contradice las condiciones asumidas normalmente en el cálculo. Finalmente, para estimar los asentamientos y la rotación que sufrirán las fundaciones rígidas diseñadas sobre arenas se proponen dos métodos. El primero consiste en separar el problema en dos partes, asentamiento y rotación, utilizando dos constantes, una de balasto y la otra de giro. El segundo método es no lineal y se basa en los resultados de los ensayos realizados y en el concepto de área equivalente recomendado por la AASHTO. 2

AGRADECIMIENTOS Agradezco a mis padres, por su apoyo incondicional y su paciencia en aquellos momentos en que el cansancio y el estrés dominaron mi estado de ánimo, ellos se esforzaron siempre por hacerme la vida lo mas simple posible para que yo pudiera dedicar principalmente mi tiempo a la memoria y me distrajera en mis tiempos libres. A mi profesor guía Claudio Foncea, por su inagotable paciencia para leer conmigo página por página proponiendo siempre los cambios precisos para acercar la memoria lo más posible a la perfección. A los profesores de la comisión, Ramón Verdugo y Ricardo Moffat por sus aportes puntuales y objetivos en la corrección de la memoria. A todo el personal del laboratorio de sólidos, quienes durante los primeros seis meses del presente año me ayudaron a realizar una complicada serie de ensayos cuya preparación requirió de parte de cada uno de ellos grandes esfuerzos físicos y dedicación de tiempo. 3

TABLA DE CONTENIDO CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN... 8 1.1 GENERAL... 8 1.2 OBJETIVOS... 8 1.2.1 OBJETIVO GENERAL... 8 1.2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS... 9 CAPÍTULO 2 TEORÍA DE ASENTAMIENTOS Y CRITERIOS DE APLICACIÓN EN ARENAS... 9 2.1 ORIGEN Y LIMITACIONES DE LAS TEORÍAS DE ASENTAMIENTOS... 17 2.2 CAPACIDAD DE CARGA DE ZAPATAS SUPERFICIALES... 20 2.3 PRESIÓN VERTICAL EN EL SUELO BAJO AREAS CARGADAS... 21 2.4 INFLUENCIA DEL TAMAÑO DEL AREA CARGADA... 24 2.5 INFLUENCIA DE LA PROFUNDIDAD EN LAS PROPIEDADES DE LA ARENA... 26 2.6 PRESIÓN DE CONTACTO EN LA BASE DE ZAPATAS RÍGIDAS... 27 2.7 AASHTO LRFD SECCIÓN 10 FUNDACIONES (ZAPATAS)... 28 CAPITULO 3 ESTUDIO BIBLIOGRÁFICO DE ANTECEDENTES EXPERIMENTALES... 33 3.1 ANTECENDENTES EXPERIMENTALES... 33 3.2 MODELO PROPUESTO POR SMITH (2004)... 44 CAPÍTULO 4 DISEÑO DE LOS ENSAYOS... 46 4.1 CRITERIOS... 46 4.2 EQUIPO E INSTALACIONES... 47 4.3 METODOLOGÍA... 50 4.4 ESTIMACIÓN DE LA DENSIDAD RELATIVA DE LAS MUESTRAS... 59 CAPÍTULO 5 RESULTADOS DE ENSAYOS DE PLACA DE CARGA... 62 5.1 INTRODUCCIÓN... 62 5.2 CARGA VERTICAL CENTRADA... 62 5.3 CARGA VERTICAL Y MOMENTO... 63 CAPÍTULO 6 ANÁLISIS DEL ASENTAMIENTO Y REACCIÓN VERTICAL DE LA ARENA ANTE UNA PLACA SOLICITADA POR CARGA VERTICAL Y MOMENTO... 73 6.1 ASENTAMIENTOS PROVOCADOS POR LA APLICACIÓN DE MOMENTO... 73 6.2 RELACIÓN ENTRE EL ASENTAMIENTO DEL BORDE MÁS SOLICITADO Y LA PRESIÓN DE CONTACTO... 83 CAPÍTULO 7 EVALUACIÓN DE LA RESPUESTA DE LA ARENA ANTE EL GIRO DE UNA PLACA SOLICITADA POR CARGA VERTICAL CONSTANTE Y MOMENTO VARIABLE... 89 7.1 INTRODUCCIÓN... 90 7.1 CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES DE REACCIÓN DE LA ARENA CON DISTINTAS DENSIDADES RELATIVAS... 90 7.2 COMPARACIÓN ENTRE EL GIRO MEDIDO EN LOS ENSAYOS Y EL GIRO ESTIMADO A PARTIR DEL COEFICIENTE DE REACCIÓN DE LA ARENA... 95 7.2.1 CASO DE DENSIDAD RELATIVA = 22%... 97 7.2.2 CASO DE DENSIDAD RELATIVA = 52%... 100 7.2.3 CASO DE DENSIDAD RELATIVA = 81%... 103 7.3 EVALUACIÓN DE LA CONSTANTE DE REACCIÓN AL GIRO DE LA ARENA... 106 7.3.1 CASO DE DENSIDAD RELATIVA = 22%... 110 7.3.2 CASO DE DENSIDAD RELATIVA = 52%... 113 7.3.3 CASO DE DENSIDAD RELATIVA = 81%... 116 4

CAPÍTULO 8 METODO PROPUESTO PARA OBTENER EL ASENTAMIENTO Y ROTACIÓN DE ZAPATAS RÍGIDAS EN ARENA SOLICITADAS POR CARGA VERTICAL Y MOMENTO... 120 8.1 ESTIMACIÓN DEL ASENTAMIENTO INICIAL... 121 8.2 ESTIMACIÓN DEL ASENTAMIENTO FINAL Y LA ROTACIÓN... 122 8.3 COMPARACIÓN CON ENSAYOS... 124 8.3.1 CARGA VERTICAL CENTRADA... 124 8.3.2 CARGA VERTICAL Y MOMENTO... 126 ANGULO DE ROTACIÓN... 126 ASENTAMIENTO DEL CENTRO DE LA PLACA... 135 CAPÍTULO 9 DISCUSIÓN, CONCLUSIONES Y TRABAJO FUTURO... 145 9.1 DISCUSIÓN... 146 9.2 CONCLUSIONES... 148 9.3 TRABAJO FUTURO... 149 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 149 ANEXOS 151 ANEXO A: DETERMINACIÓN DE LAS PROPIEDADES DE LA ARENA... 151 A.1 IDENTIFICACIÓN VISUAL... 151 A.2 GRAVEDAD ESPECÍFICA... 151 A.3 DISTRIBUCIÓN GRANULOMÉTRICA... 152 A.4 DENSIDAD MÁXIMA Y MÍNIMA... 155 A.5 ÁNGULO DE FRICCIÓN EN REPOSO... 156 5

DEFINICIÓN DE SÍMBOLOS A: Área cargada bajo la zapata o placa B: Lado de la placa cuadrada B : Ancho equivalente de la placa B 0 : Ancho de la zapata rectangular (en la dirección de aplicación del momento) B 0 : Ancho equivalente de la zapata C C : Coeficiente de curvatura del suelo C U : Coeficiente de uniformidad del suelo D f : Profundidad del sello de fundación bajo la superficie del suelo DR: Densidad relativa E i : Módulo elástico inicial tangente del suelo E s : Módulo de elasticidad del suelo I: Momento de inercia de la placa K s : Coeficiente de reacción del suelo K θ : Coeficiente de reacción rotacional de la arena bajo la placa de carga L 0 : Largo de la fundación rectangular (en la dirección perpendicular a la de aplicación del momento) M: Momento aplicado a la placa o zapata Nc, Nq, N γ : Factores de carga del suelo Q, P: Carga vertical Qmax: Carga vertical máxima aplicada en los ensayos de placa de carga vertical centrada R 2 : Coeficiente de correlación de la curva ajustada V: Volumen interior de la caja o recipiente W: Peso de la arena 6

c: Cohesividad del suelo e: Excentricidad de carga h: Altura de caída libre de la arena p v : Presión vertical del suelo bajo áreas cargadas q, σ: Presión de contacto q*: Presión de contacto inicial aplicada a los ensayos con momento q adm : Carga admisible de un suelo q max : Presión de contacto máxima (no última) registrada en los ensayos con carga vertical centrada; Presión de contacto máxima bajo la placa q ult : Capacidad última de carga del suelo bajo la placa o zapata α: Ángulo de fricción en reposo de la arena β z : Factor de forma δ: Asentamiento del centro de gravedad de un área cargada δ adm : Asentamiento admisible de la placa o zapata δ max : Asentamiento del borde mas solicitado de una placa o zapata rígida δ Q : Asentamiento del centro de gravedad de una placa o zapata rígida provocado por aplicación de carga vertical centrada δ n : Asentamiento normalizado por el ancho de placa Φ: Coeficiente de fricción del suelo γ: Peso por unidad de volumen del suelo ν: Coeficiente de Poisson ρ: Densidad de la arena ρ min : Densidad mínima de la arena ρ max : Densidad máxima de la arena θ: Rotación de la placa o zapata en la dirección de aplicación del momento 7

CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN 1.1 GENERAL En el diseño de fundaciones se modela generalmente el suelo como una cama de resortes independientes unos de otros utilizando una constante de reacción ante carga vertical que se denomina coeficiente de balasto, también conocido en geotecnia como coeficiente de reacción del suelo. Este coeficiente permite obtener los asentamientos ante solicitaciones de una fundación deformable en un típico problema de interacción suelo estructura. El coeficiente de reacción del suelo se obtiene a partir de pruebas de placa de carga en las cuales se aplica una carga vertical centrada creciente. En la realidad las fundaciones están sometidas simultáneamente a cargas verticales y de momento para condiciones de servicio. Este estudio permite analizar, a través de pruebas de carga realizadas en laboratorio, el comportamiento de las placas tanto ante carga vertical centrada como ante carga vertical centrada y momento. 1.2 OBJETIVOS 1.2.1 OBJETIVO GENERAL En Chile y en muchos otros países se modela generalmente la interacción entre el suelo y las fundaciones mediante el uso de programas computacionales como por ejemplo SAFE, los que utilizan una constante de reacción o coeficiente de rigidez con el cual el programa representa una determinada área del suelo bajo las fundaciones con una cama de resortes. Esta constante es obtenida en terreno a partir de ensayos de placa de carga basándose en criterios de asentamiento admisible o de carga admisible dependiendo del tipo de suelo y del tipo de estructura que se apoyará en éste. Las curvas carga deformación de un suelo no son lineales, por lo tanto se deduce que la rigidez, o pendiente de la curva, del suelo depende directamente del nivel de carga que actúa sobre éste y por consiguiente, del asentamiento sufrido en cada punto del área cargada. Por otro lado, si una zapata se ve solicitada por un momento que se superpone a la carga vertical, se produce una redistribución de esfuerzos sobre el área cargada con niveles de esfuerzos variables que, como fue mencionado anteriormente, conlleva a invalidar la hipótesis de una constancia en la rigidez del suelo bajo la fundación. Todo lo anterior justifica un conjunto de ensayos de laboratorio que permita por una parte conocer las curvas esfuerzo deformación de una placa rígida solicitada por carga vertical centrada sobre una misma arena colocada a diferentes densidades relativas, y por otra, compararlas con las variaciones esfuerzo deformación cuando se aplica momento manteniendo en niveles fijos la carga centrada. 8

Algunos autores han desarrollado modelos de predicción de la respuesta de zapatas solicitadas por carga vertical y momento (Smith, 2004). Sin embargo, aunque la mayoría de estos modelos entrega estimaciones bastante precisas de la rotación, éstas resultan de una complejidad matemática que los hace de muy difícil aplicación en la práctica. En este estudio y, a partir de los resultados y comportamiento observado en los ensayos realizados, se propone un procedimiento simplificado para el cálculo del asentamiento y rotación de zapatas solicitadas por carga vertical y momento cuya implementación no representa dificultades o cambios importantes en las prácticas utilizadas en las oficinas de ingeniería, manteniendo sin embargo niveles de precisión satisfactorios y se estudia además un método basado en las recomendaciones de la AASHTO para el diseño geotécnico de fundaciones, que considera la no linealidad del comportamiento del suelo. Los procedimientos propuestos deben ser considerados como tentativos, reconociendo la limitada cantidad de variables incluidas en el estudio, ya que parámetros como granulometría, contenido de humedad y otros, podrán incidir en los resultados. 1.2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS Obtener las curvas de la respuesta en términos de asentamiento de una placa de carga solicitada por carga vertical centrada creciente sobre una arena a distintas densidades relativas. Obtener las curvas de la respuesta en términos de giro y asentamiento de una placa de carga solicitada por carga vertical centrada constante y momento variable sobre una arena a distintas densidades relativas. Comparar la respuesta medida de una arena cargada a distintas densidades relativas ante variaciones de carga vertical distribuida provocadas por la aplicación de momento y variaciones de carga vertical distribuida provocadas por carga puramente vertical a fin de evaluar una constante de reacción rotacional de la arena ante la aplicación de momento para distintas densidades relativas y distintos estados de carga vertical inicial. Comparar la respuesta medida de una arena cargada a distintas densidades relativas ante solicitaciones de momento con las estimaciones de esta respuesta calculadas a partir de un método no lineal basado en las recomendaciones de la AASHTO para el diseño geotécnico de zapatas en arena ante este tipo de solicitaciones. 9

CAPÍTULO 2 TEORÍA DE ASENTAMIENTOS Y CRITERIOS DE APLICACIÓN EN ARENAS El asentamiento de una zapata en arena cargada uniformemente no solo depende de la carga, sino que también de la densidad relativa de la arena, del ancho de la zapata y de la presión de confinamiento del suelo bajo la zapata, la que viene dada a su vez por la profundidad del sello de fundación respecto de la superficie de la arena. Cuando una carga es aplicada sobre una arena el resultado es un asentamiento del área cargada. La relación entre el asentamiento y la carga promedio por unidad de área se puede representar como una curva de asentamiento del tipo que se muestra en la Fig. 2-1. Si la arena es densa o rígida, la curva es del tipo C 1. La abscisa q ult de la tangente a la curva representa la capacidad de carga del suelo. Si la arena es suelta, la curva de asentamiento es similar a C 2 donde la capacidad de carga no queda necesariamente bien definida. La capacidad de carga de este tipo de suelos es comúnmente asumida igual a la abscisa q ult, correspondiente al punto en el cual la curva se hace relativamente recta siempre que no se supere el asentamiento admisible considerado para la estructura que se apoya en el suelo. Carga por unidad de área q ult q ult 0.2B Asentamiento 0.4B 0.6B C1: Arena densa C2: Arena suelta 0.8B B = Ancho de la zapata Fig. 2-1 Relación entre intensidad de carga y asentamiento de una zapata en arena densa y en arena suelta. Las zapatas pueden ser continuas con forma rectangular, o pueden ser zapatas aisladas por lo general cuadradas o circulares. En 2.2 se presenta un método semi-empírico propuesto por Terzaghi (1967) para calcular la capacidad de carga de un suelo bajo una zapata cuadrada, tomando en cuenta el tamaño de la zapata. 10

Debido a la gran variedad y combinaciones de suelos que se encuentran en la práctica, no puede ser desarrollado un solo método para determinar la carga última del suelo que satisfaga todas las circunstancias. El procedimiento debe ser siempre adaptado a las condiciones del suelo reveladas por calicatas y sondajes de exploración. En particular, el procedimiento depende de la profundidad significativa que corresponde a la profundidad hasta la cual la carga sobre la zapata produce incrementos de los estados tensionales en el suelo suficientes para producir una contribución significativa al asentamiento Antes de alcanzar la falla, la intensidad de la presión vertical a lo largo de cualquier línea vertical bajo una carga distribuida decrece al incrementar los valores de la profundidad bajo la superficie. A partir de el uso de las ecuaciones de Boussinesq, se desarrollaron curvas, conocidas como bulbos de presión, que estiman el cambio en la presión vertical en cualquier punto de un suelo bajo una zapata cuadrada provocado por la aplicación de carga vertical sobre la zapata, estas curvas fueron posteriormente modificadas por Sowers (1979) utilizando la ecuación de Westergaard. En la Fig. 2-2 se muestran estas curvas. Fig. 2-2 Curvas de tensión vertical de Boussinesq para zapatas cuadradas, modificadas por Sowers (1979) utilizando la ecuación de Westergaard En las curvas de la Fig. 2-2 se puede ver que el ancho y la profundidad del suelo cuyo estado tensional se ve afectado en forma significativa es determinado por el ancho, B, de la 11

zapata. Esto permite deducir que al aumentar el ancho de la zapata, la profundidad alcanzada por un mismo bulbo de presiones, para una misma presión de contacto, es mayor por lo que se esperaría que mientras más grande sea la zapata, ésta tenga un mayor asentamiento. La teoría detrás de estas curvas se explica en 2.3. Basándose en lo anterior se tiene que para una carga dada por unidad de área de la base de una zapata que se posa sobre arena, la profundidad del cuerpo de arena sujeto a compresión y deformación intensa aumenta con el ancho de la zapata. Por otro lado, la capacidad última de carga de la zapata y el módulo inicial tangente promedio de la arena también aumentan. Como consecuencia de estos factores, el asentamiento varía con el ancho de la zapata, aproximadamente como se muestra en la Fig. 2-3. Asentamiento 0 1 2 3 ft Ancho B de la zapata Fig. 2-3 Relación aproximada entre el lado de una fundación cuadrada y el asentamiento para una misma carga por unidad de área según Terzaghi (1967). En la práctica, la magnitud del asentamiento de zapatas en arena no puede ser estimada en base a resultados de ensayos de laboratorio en especimenes de suelo. Sin embargo, puede ser estimado en forma aproximada por medio de reglas semi-empíricas basadas en parte en la relación observada entre asentamiento y el resultado de ensayos en terreno. De acuerdo con esto, los resultados de observaciones en estructuras y de varios experimentos en terreno y en el laboratorio indican que el asentamiento aumenta al aumentar el ancho de la zapata B 0 aproximadamente como se muestra en la curva (a) de la Fig.2-4. En esta figura, δ 1 es el asentamiento de un área cargada de 1 pie 2 (929 cm 2 ) bajo una carga dada q por unidad de área, y δ es el asentamiento bajo la misma carga por unidad de área de una zapata de ancho B 0. 12

Valores de δ/δ1 12 10 8 6 4 2 (c) (b) (a) 0 0 5 10 15 20 Ancho B 0 de la Zapata [pies] Fig.2-4 Relación aproximada entre el ancho B 0 de la zapata en arena y el radio δ/ δ 1, donde δ representa el asentamiento de una zapata de ancho B 0 y δ 1 el asentamiento de una zapata de 1 pie 2 (929 cm 2 ) sujetas a la misma carga por unidad de área. La curva (a) es para condiciones habituales. La Curva (b) representa la posible relación para arenas sueltas. La curva (c) representa arenas con bajo contenido orgánico. En 2.4 se profundiza un poco más en el origen de estas relaciones y se discute su importancia en la práctica habitual. Sin embargo, es importante mencionar que la profundidad significativa depende no solo del tamaño de la zapata y de la carga que soporta, sino que también depende en gran parte del perfil del suelo y de las propiedades físicas de los suelos que constituyen los estratos individuales. Si el módulo tangente inicial del suelo aumenta con la profundidad bajo la zapata, la profundidad significativa podría incluso ser menor que el ancho B 0 de la zapata. Por otro lado, si el suelo bajo la zapata se hace más blando con la profundidad, la profundidad significativa podría ser igual a varias veces B 0. En suelos, el aumento de la presión de confinamiento que se produce con la profundidad bajo la superficie provoca un aumento de la rigidez y de la resistencia. En arenas este aumento es un factor importante en la determinación del comportamiento de las fundaciones. Cuando una zapata es ubicada en o cerca de la superficie del suelo y es cargada, las tensiones efectivas del suelo se ven incrementadas. En arenas no cohesivas el cambio en las tensiones efectivas es prácticamente inmediato. Dado que la rigidez y la resistencia van de la mano con la tensión efectiva, los desplazamientos generados en un suelo por una zapata cargada no son fáciles de predecir. Las arenas son quizá el caso más difícil de considerar porque, en éstas, el campo de presiones de la zapata causa un aumento inmediato de la tensión efectiva y en consecuencia, la rigidez y la resistencia cambian también en forma inmediata. Por lo general antes de ser cargada, las propiedades de la arena varían en forma lineal con la profundidad. Ensayos de laboratorio realizados con el fin de determinar la influencia de la presión de confinamiento en el módulo elástico de las arenas indican que el módulo aumenta en función de la presión de confinamiento elevada a una cierta potencia; frecuentemente se utiliza 0.5 en el análisis. Sin embargo, cuando se aplica la carga a la zapata las tensiones efectivas varían bajo ésta aumentando la rigidez y la 13

resistencia del suelo. Por lo tanto, las propiedades materiales de la arena aumentan con la profundidad pero tienen valores finitos en la base de la zapata. Podría ser razonable entonces postular que el asentamiento de una zapata, δ, en arena varía según la raíz cuadrada del ancho de la zapata (ASCE, 1965), B, es decir: δ = C I p (B) 1/2 Ec. 2-1 donde C es una constante de proporcionalidad que depende de la densidad relativa de la arena, I es un factor de influencia que depende de la forma de la zapata y p es la carga distribuida promedio en la base de la zapata. La influencia de la profundidad en las propiedades de la arena se discute en mayor detalle en 2.5. La relación entre las características de esfuerzo deformación del suelo y la presión de contacto en la base de una zapata perfectamente rígida no es para nada simple. Si la zapata no es rígida, la relación se hace aún más complicada. Por lo tanto, incluso una evaluación aproximada de la distribución de la presión real de contacto es bastante compleja. Es por esto que sin algún conocimiento acerca de la presión de contacto, las zapatas o losas de fundación no pueden ser diseñadas. Por estos motivos se hace necesario estimar la presión de contacto en base a simplificaciones y compensar por el error debido a estas simplificaciones con un adecuado factor de seguridad. En 2.6 se presenta la teoría actualmente aceptada acerca de la distribución real de la presión de contacto en la base de zapatas rígidas. Los procedimientos simplificados se basan en la arbitraria e incorrecta idea de que el asentamiento δ de cualquier elemento de un área cargada es enteramente independiente de la carga sobre los elementos adyacentes. Es además asumido, en discordancia con la realidad, que el radio K s, calculado según la Ec.2-2, q K s = (Ec.2-2) δ entre la intensidad q de la presión en el elemento y su correspondiente asentamiento δ es una constante K s (gramos por centímetro cúbico). En contraste con la verdadera presión de contacto que actúa en la base de la zapata, la presión ficticia q que satisface la Ec.2-2 es conocida como la reacción del suelo. El coeficiente K s es conocido como el coeficiente de reacción del suelo, y las teorías basadas en lo recién asumido son las teorías de reacción del suelo. El coeficiente de reacción del suelo es una relación conceptual entre la presión sobre el suelo y el asentamiento, que es ampliamente utilizada en el análisis estructural de fundaciones. Un gráfico de q versus δ obtenido de ensayos de placa de carga luce cualitativamente como se muestra en la Fig. 2-5. Si este tipo de curva es utilizada para obtener K s según la Ec. 2-2, es evidente que el valor depende de la localización de las coordenadas q y δ dentro del gráfico. 14

q Fig.2-5 Forma cualitativa del resultado de un ensayo de placa de carga Es difícil realizar ensayos de placa de carga excepto con placas de pequeñas dimensiones debido a la gran reacción requerida. Incluso con placas pequeñas, de alrededor de 45cm a 75 cm de lado es difícil obtener δ porque la placa no es perfectamente rígida, por lo que tiende a deformarse entregando resultados erróneos. Apilando placas de menor tamaño sobre las más grandes logra incrementar la rigidez, pero en cualquier caso el gráfico obtenido corresponde a la carga dividida por el área de contacto de la placa (Q/A) y el asentamiento promedio medido de la placa. δ Bowles (1996), representa K s como una constante hasta alcanzarse un asentamiento δ adm (Fig. 2-6). A partir de δ adm la presión del suelo es un valor constante definido por: q = adm K s δ adm q q adm 1 K s δ adm δ Fig.2-6 Determinación del coeficiente de reacción del suelo a partir del resultado de un ensayo de placa de carga según Bowles (1996) 15

Obviamente uno podría dividir la curva q δ en varias partes de manera que K s tomara el valor de la pendiente de la curva en cada región; sin embargo, este método incorporaría mucho refinamiento al problema pues la mayoría de los análisis se realizan en base a valores aproximados, o a lo más a un ensayo de carga aproximado. A algunas personas no les agrada usar el concepto del coeficiente de reacción, sino que prefieren usar el módulo de elasticidad del suelo, E s, en algún tipo de análisis de elementos finitos. Bowles (1996) indica que a partir de su experiencia utilizando ambos métodos, hasta que la precisión para obtener E s sea mayor, el coeficiente de reacción es preferible debido a su facilidad de uso y el ahorro sustancial de tiempo de computación. En la práctica, las oficinas de mecánica de suelos entregan valores del coeficiente de reacción para arenas a partir de ensayos de placa de carga calculándolos como la secante a la curva obtenida entre el origen y el punto de la curva correspondiente a el máximo asentamiento permitido para la estructura que se posará sobre el terreno en estudio (Fig. 2-7), es decir, el valor del coeficiente puede variar para un mismo terreno dependiendo del tipo de estructura que se va a ubicar en éste. A diferencia de la práctica recomendada por Bowles, este método permite que la estimación de las deformaciones que tendrán las fundaciones permanezca para todo estado de carga en el lado seguro de la curva. q q adm 1 K s δ max δ Fig.2-7 Determinación del coeficiente de reacción del suelo a partir del resultado de un ensayo de placa de carga utilizada comúnmente en la práctica de las oficinas de mecánica de suelos. En lo que concierne a zapatas rígidas, la Ec.2-2 lleva a la conclusión que la distribución de la reacción del suelo, q, sobre la base de la zapata debe ser plana, porque las zapatas rígidas permanecen planas cuando se asientan. Por lo tanto, para diseñar una zapata rígida de acuerdo con la Ec.2-2, nosotros simplemente asumimos que la reacción del suelo tiene una distribución lineal. Además, debemos satisfacer los requerimientos de la estática que indican que (1) la reacción total del suelo es igual a la suma de cargas verticales que actúan sobre el suelo, y (2) el 16

momento de la carga resultante vertical sobre cualquier punto arbitrario es igual al momento de la reacción total del suelo sobre ese punto. Es importante notar que la distribución de la reacción del suelo sobre la base de una zapata rígida es independiente del grado de compresibilidad del subsuelo. Este hecho hace fácil visualizar la diferencia entre la reacción del suelo y la presión real de contacto. A pesar de estas obvias discrepancias entre teoría y realidad, las teorías de reacción del suelo pueden ser usadas en forma segura en conexión con las rutinas de diseño de zapatas, porque los errores están por debajo de los acostumbrados márgenes de seguridad y, como regla, están siempre por el lado seguro. En todas las teorías de reacción del suelo, el coeficiente K s, se asume constante y dependiente solo de las propiedades físicas del suelo. Sin embargo, el radio entre la intensidad promedio de la presión sobre la superficie de un sólido y su correspondiente asentamiento no es constante. Para una zapata de un determinado tamaño que se apoya en el suelo, éste decrece al aumentar la intensidad de la carga. Es mas, éste es diferente para diferentes puntos en la base de la misma zapata. Por lo tanto, la evaluación de K s conlleva muchas incertidumbres, y el procedimiento acostumbrado para determinar K s en base a ensayos de carga de pequeña escala está sujeto a limitaciones fundamentadas en la experiencia. Cuando se trata de zapatas solicitadas por cargas inclinadas o excéntricas la utilización del coeficiente de reacción del suelo se hace aún más complicada puesto que la distribución de la presión de contacto entre la zapata y el suelo no son ni siquiera aproximadamente constantes. En 2.7 se presenta un procedimiento teórico recomendado por la AASHTO para el diseño geotécnico de este tipo de zapatas y en el Capítulo 8 se propone además un método de estimación de asentamiento y giro de zapatas solicitadas por carga vertical y momento, basado en las simplificaciones recomendadas por la AASHTO y en los resultados obtenidos en este estudio. En el resto de los capítulos se estudia este problema y su relación con el coeficiente de reacción del suelo desde distintos enfoques, concluyendo con recomendaciones para el diseño geotécnico de este tipo de zapatas. 2.1 ORIGEN Y LIMITACIONES DE LAS TEORÍAS DE ASENTAMIENTOS - Un poco de Historia: El paso más importante en el diseño de una zapata de fundación es la evaluación de la mayor presión que podrá ser aplicada al suelo debajo de la zapata sin causar la falla del suelo ni asentamiento excesivo. Antes del advenimiento de la mecánica de suelos, los métodos para elegir esta presión estaban basados en la experiencia y en el conocimiento inadecuado de las propiedades y el comportamiento de los suelos. A pesar que los métodos tenían muchos errores, eran bastante convenientes. Como consecuencia, su forma general ha sido conservada y se han introducido modificaciones que toman en cuenta los descubrimientos y avances de la mecánica de suelos. Para utilizar en forma apropiada los procedimientos modificados es necesario estar familiarizados con los métodos que prevalecieron durante la primera mitad del siglo XIX. 17

Antes del siglo XIX los marcos de muchos de los grandes edificios consistían en muros principales de gran resistencia pero en parte flexibles interconectados por muros de partición igualmente flexibles intersectándose unos a otros en ángulos rectos. Debido a que este tipo de edificios podían soportar grandes asentamientos sin daño, sus constructores tomaban muy poco en consideración las fundaciones simplemente aumentando el grosor de los muros en la base. Si el suelo era obviamente muy blando como para soportar las cargas, los muros eran colocados sobre pilas. Cuando se empezaron a construir estructuras excepcionales con grandes domos, cámaras acorazadas, o columnas individuales de grandes dimensiones, los diseñadores tendieron a subdimensionar las fundaciones porque no tenían ni reglas ni gran experiencia que los guiara. Como consecuencia, muchos edificios importantes colapsaron o sufrieron deformaciones importantes que los dañaron, llevando a la necesidad de colocarles refuerzos que afectaron enormemente su estética original. El desarrollo de la industria altamente competitiva durante el siglo XIX trajo consigo una gran demanda de edificios grandes y económicos. Los tipos que fueron desarrollados eran más sensitivos al asentamiento diferencial que sus predecesores. Es más, muchos de los lugares más deseables para emplazar edificios industriales se encontraban localizados en regiones que antes habían sido evitadas por las notorias malas características de sus suelos. Por lo tanto, los diseñadores se vieron en la necesidad de encontrar un procedimiento confiable, aplicable a todos los tipos de condiciones de suelos, para proporcionar las zapatas de un cierto edificio de manera tal que todas sufrieran casi los mismos asentamientos. Para satisfacer esta necesidad el concepto de presión admisible del suelo se desarrolló durante los 1870 s en muchos países. El concepto se basaba en el hecho obvio que, bajo condiciones de suelo similares, las zapatas que transmitían las presiones de alta intensidad al suelo generalmente se asentaban más que aquellas que transmitían presiones de baja intensidad. Con este hecho en mente, los ingenieros empezaron a observar la condición de edificios soportados por zapatas que ejercían distintos tipos de presiones al suelo. Las presiones bajo las zapatas de todos aquellos edificios que mostraban daños debido al asentamiento fueron consideradas muy grandes para las condiciones de suelo dadas. La presión máxima no asociada con daños estructurales fue considerada una base satisfactoria para el diseño y fue aceptada como la presión admisible del suelo. Los valores obtenidos por este método meramente empírico para cada tipo de suelo en una cierta localidad fueron recolectados en una tabla de presiones admisibles del suelo que fue posteriormente incorporada al código de edificación de dicha localidad. Aunque la mayoría de los códigos de edificación contenían tablas de presiones admisibles para suelos, éstos no ofrecían ninguna pista en cuanto al origen de los valores o ninguna explicación del significado del término presión admisible del suelo. Estas omisiones fomentaron la creencia que el asentamiento de un edificio sería uniforme si la presión del suelo bajo todas las zapatas era igual a la presión admisible del suelo. El tamaño del área cargada y el tipo de edificio se creían irrelevantes. Muchas fundaciones diseñadas en base a las tablas de presiones admisibles del suelo fueron enteramente satisfactorias, pero de vez en cuando los resultados eran decepcionantes y las estructuras se asentaban en forma excesiva. Debido a que los ingenieros creían que las zapatas no se asentarían en forma notoria si no se sobrepasaba la presión admisible del suelo, éstos atribuían los daños a una defectuosa clasificación del suelo. Ellos asumían que las presiones admisibles habían sido mal elegidas debido a que los términos usados en terreno y los usados en los códigos 18

de edificación no tenían el mismo significado. Para evitar esta dificultad, se hizo gradualmente habitual seleccionar, o al menos verificar, la presión admisible del suelo en base a los resultados de pruebas de carga. Una prueba de carga se realiza aumentando la carga sobre una placa en pequeños incrementos y midiendo los asentamientos correspondientes. La placa descansa sobre el fondo de un pozo al nivel donde se encontrarán las bases de las zapatas. Dependiendo de la preferencia del ingeniero que lleva a cabo la prueba, la placa puede estar rodeada por una caja y el pozo puede ser llenado hasta el nivel de superficie, o el pozo puede ser de tal tamaño que la placa se ubique en el medio de un área nivelada. Los resultados son representados por una curva esfuerzo deformación. Existen muchos métodos para realizar pruebas de carga y muchas reglas para interpretar los resultados. Cualquiera sea el método utilizado, los resultados de las pruebas de carga reflejan solamente las propiedades del suelo localizado a una profundidad de alrededor de dos veces el ancho de la placa de carga, sin embargo, el asentamiento de las zapatas dependerá de las propiedades de un estrato bastante más profundo. En consecuencia, si las propiedades del suelo cambian bajo la profundidad afectada por la prueba de carga, como comúnmente ocurre, los resultados no serán de gran ayuda para el diseño de las zapatas. En el pasado, era una práctica casi universal seleccionar la presión admisible del suelo sin importar el tamaño de las zapatas, el tipo de estructura, y otras características vitales de la fundación propuesta; por lo tanto, no es sorprendente que al incrementar el uso de las pruebas de carga no redujera significativamente la cantidad de zapatas mal diseñadas. De hecho, muchas fundaciones completas fallaron a pesar de la aplicación conciente de pruebas de carga. Para reducir el riesgo de diseños defectuosos, la presión admisible del suelo debe ser elegida, no solo en base a pruebas de carga, sino a partir de las características físicas y mecánicas del suelo además de las características de la fundación a ser colocada. Parte de la información necesaria puede ser obtenida a partir de las teorías conocidas. El resto deriva de las experiencias en construcción. - Propósito de las Investigaciones Acerca del Asentamiento de Zapatas: El diseño de los marcos de un edificio u otra estructura está, con raras excepciones, basado en asumir que la estructura se apoya en una superficie rígida. En realidad, el peso de cualquier estructura comprime y deforma el suelo bajo ésta y, como consecuencia, lo asumido para el diseño nunca es satisfecho por completo. Si la base de la estructura permanece plana, el asentamiento es irrelevante porque los esfuerzos en los marcos no se ven alterados. Por otro lado, si el peso de la estructura causa deformaciones diferenciales importantes, se distorsionan los esfuerzos en parte o en la totalidad de la estructura. Los esfuerzos en los que incurre la estructura no son considerados en el diseño de ésta. Es más, en algunos casos pueden ser lo suficientemente importantes como para afectar la apariencia de la estructura o causar daños irreparables. Debido a la complejidad de las propiedades mecánicas de los suelos, el asentamiento de los edificios puede ser predicho con gran precisión solo bajo condiciones excepcionales. De todas formas, un análisis teórico del fenómeno del asentamiento es indispensable porque los resultados permiten al ingeniero al menos reconocer los factores que determinan la magnitud y la distribución del asentamiento. El conocimiento de estos factores constituye el prerrequisito para convertir la experiencia de la construcción en reglas semi-empíricas para el diseño de fundaciones. 19

- Aproximación Teórica a los Problemas de Asentamiento: Los métodos teóricos para tratar los problemas de asentamiento deben ser elegidos de acuerdo con las propiedades mecánicas del suelo y la naturaleza de la estratificación. Si una cierta estructura está localizada sobre una o más capas de suelo muy compresible, enterrada debajo y separada por capas de suelo relativamente incompresible como arena, el asentamiento depende solo de las propiedades físicas del estrato blando y en la distribución de la presión vertical en este estrato. La experiencia ha demostrado que las presiones verticales pueden ser calculadas con suficiente precisión asumiendo que el subsuelo del edificio es perfectamente elástico y homogéneo. Similarmente, si una estructura descansa en un suelo bastante homogéneo, la distribución de las cargas verticales en secciones horizontales puede ser estimada tras asumir que el suelo es perfectamente elástico. Sin embargo, la intensidad y distribución de todos los otros tipos de esfuerzo probablemente serán bastante diferentes que aquellos en un suelo perfectamente elásticos cargado de igual manera y, además, la determinación de las relaciones esfuerzo deformación es comúnmente impracticable. Es más, en ese tipo de instancias podría ser necesario investigar la relación entre la intensidad de carga, deformación y tamaño del área cargada por medio de métodos semi-empíricos. - Cálculo de la Presión de Contacto: Después que el calculista ha diseñado la fundación de tal manera que los asentamientos diferenciales no sean lo suficientemente grandes como para dañar la superestructura, debe diseñar la fundación. El diseño requiere de calcular los esfuerzos de momento y corte en las zapatas que trasmiten el peso de la zapata al suelo. La presión que actúa en la base de una zapata es conocida como presión de contacto. La distribución de la presión de contacto en la base de algunas fundaciones se asemeja a aquella en la base de una fundación similar soportada por un material elástico isótropo, pero más comúnmente es completamente diferente. Para simplificar el diseño, el cálculo de los momentos en zapatas está comúnmente basado en asumir que las zapatas descansan sobre una cama de resortes uniformemente separados. La experiencia ha mostrado que usualmente es suficientemente preciso para fines prácticos. Sin embargo, el calculista debe estar familiarizado solo con las relaciones generales entre el tipo de suelo y el tipo de distribución de las presiones. Si la diferencia entre la distribución de presión calculada y la real se estima que será grande y en el lado inseguro del diseño, el riesgo es eliminado aumentando el factor de seguridad. 2.2 CAPACIDAD DE CARGA DE ZAPATAS SUPERFICIALES Para calcular la capacidad de carga para zapatas cuadradas o circulares, solo algunos casos especiales han sido resueltos teóricamente; las soluciones requieren el uso de procedimientos numéricos. En base a los resultados de experimentos, una ecuación semi-empírica (Ec 2-3) fue entregada por Terzaghi (1967) para obtener la capacidad de carga q ult para zapatas cuadradas, B X B, en suelo denso o suelto. 20

q ult = 1.2 c N c + g D f N q + 0.4 g B N g (Ec. 2-3) Los valores de N se obtienen de la Fig. 2-8. a partir del valor del ángulo de fricción interna del suelo y c corresponde a la cohesividad del suelo. Fig. 2-8 Relación entre F y los factores de carga (valores de N g, después de Meyerhof 1955) 2.3 PRESIÓN VERTICAL EN EL SUELO BAJO AREAS CARGADAS - Ecuaciones de Boussinesq y Westergaard: La aplicación de una carga vertical concentrada a la superficie horizontal de un cuerpo sólido produce una cantidad de esfuerzos verticales en cada plano horizontal bajo el cuerpo. Es obvio, sin necesidad de realizar cálculos, que la intensidad de la presión vertical en cualquier sección horizontal bajo la superficie disminuye desde un máximo en el punto localizado bajo la carga hasta cero a una cierta distancia de este punto. Una distribución de presión de este tipo puede ser representada como una campana, como se indica en la Fig. 2-9. Ya que la presión introducida por la carga se esparce hacia abajo, la máxima presión vertical en cualquier sección horizontal, representada por la máxima altura de su correspondiente campana de distribución de presiones, disminuye con el aumento de profundidad bajo la superficie cargada. Es más, el equilibrio requiere que el aumento total de presión en cualquier sección horizontal debe ser igual a la carga aplicada. Por lo tanto, al aumentar la profundidad bajo la superficie, la campana de presiones disminuye en altura pero aumenta en ancho. 21

Arena p v z Fig. 2-9 Distribución de presión vertical en un plano horizontal de una capa de arena cargada por una fundación. Tanto la teoría como la experiencia han mostrado que la forma de las campanas de carga es más o menos independiente de las propiedades físicas del suelo cargado. Por lo tanto, cuando se trata de problemas prácticos, es justificable calcular las presiones asumiendo que el material cargado es elástico, homogéneo e isótropo. Con lo anterior asumido, una carga vertical concentrada Q actuando sobre la superficie horizontal de una masa de gran tamaño produce, en un punto N dentro de la masa, una presión vertical de intensidad p v, la que puede ser calculada según la Ec.2-4. 5 / 2 3 Q 1 p v = 2 2 (Ec. 2-4) 2 π z 1+ ( r / z) En esta ecuación z representa la distancia vertical entre N y la superficie de la masa, y r la distancia horizontal desde N hasta la línea de acción de la carga. La Ec. 2-4 es una de un grupo de ecuaciones de esfuerzo, conocida como Ecuación de Boussinesq, que determina por completo el estado de esfuerzo en el punto N (Fig. 2-10). Sin embargo, en contraste con la presión vertical p v, la mayoría de las otras componentes de esfuerzo en el punto N dependen en gran parte de las características de esfuerzo deformación del material cargado. Ya que los suelos no son siquiera aproximadamente elásticos y homogéneos, las otras ecuaciones de esfuerzo de Boussinesq no son generalmente válidas para el cálculo de esfuerzos en suelos. 22

Q dq = qda r a R N z (a) z (b) N p v N dp v Fig. 2-10 (a) Intensidad de la presión vertical en un punto N en el interior de un sólido semiinfinito sobre el cual actúa una carga puntual Q. (b) Presión vertical en un punto N bajo el centro de un área vertical sobre la cual actúa una carga distribuida q. Westergaard en 1938 publicó un análisis que representa en forma más precisa las condiciones elásticas de una masa de suelo estratificada. El asumió una masa homogénea y elástica reforzada por finas láminas indeformables horizontales de espesor despreciable. La ecuación propuesta por Westergaard para calcular el aumento en las tensiones verticales producido por una carga concentrada en la superficie de un suelo compresible es: 3 / 2 Q 1 p v = 2 2 (Ec. 2-5) π z 1+ 2 ( r / z) - Distribución de la Presión en las Secciones Horizontales Bajo Áreas cargadas: Al calcular las presiones verticales en el suelo bajo un edificio, es comúnmente asumido que el edificio es perfectamente flexible. Si un área de gran masa en la superficie recibe una carga uniforme perfectamente flexible de intensidad q, la intensidad de la presión vertical en cualquier punto N (Fig 2-10(b)) bajo la superficie puede ser calculada dividiendo el área cargada en pequeñas partes da, de las cuales cada una soporta una carga dq, la relación se muestra en la Ec.2-6. dq = q da (Ec.2-6) Esta carga se considera concentrada en el centro de da. De acuerdo con la Ec. 2-5, cada carga concentrada produce en un punto N una presión vertical, dp v, definida según la Ec.2-7. dp v 3 / 2 q 1 = da 2 2 (Ec. 2-7) π z 1+ 2 ( r / z) La intensidad de la presión vertical en N debida a toda la carga es determinada integrando la Ec. 2-7 en el área cargada. 23

- Cambio de Presión Según la Profundidad: La intensidad de la presión vertical a lo largo de cualquier línea vertical bajo una carga distribuida decrece al incrementar los valores de la profundidad z bajo la superficie. Por lo tanto, si la capa compresible es muy gruesa, la presión vertical en la capa decrece apreciablemente desde arriba hacia abajo. En la Fig. 2-11 las abscisas de la curva C a representan la intensidad de la presión vertical a diferentes profundidades bajo el centro de un área cuadrada B X B, la cual recibe una carga uniformemente distribuida q. Si la carga total B 2 q es representada por una carga concentrada Q = B 2 q actuando en el centro del área cuadrada, se obtiene la curva C q en vez de C a. La figura muestra que las curvas se vuelven casi idénticas a una profundidad de alrededor de 3B. A cualquier profundidad mayor a 3B, la presión en un plano horizontal producida por la carga distribuida en un área cuadrada es prácticamente la misma que la presión producida por una carga puntual equivalente actuando en el centro del área cargada. Por lo tanto, el esfuerzo p v en las secciones horizontales ubicadas a una profundidad mayor a 3B puede ser calculada por medio de la Ec. 2-5. 0 0 0.5 q q C a B 2B C q (Carga puntual equivalente) 3B Dif 5% Fig. 2-11 Diagrama que ilustra el efecto sobre la presión vertical al reemplazar una carga uniformemente distribuida en un área cuadrada por una carga puntual equivalente ubicada en el centro del área cuadrada. Las curvas representan el esfuerzo a los largo de una línea vertical bajo el centro del área cuadrada. 2.4 INFLUENCIA DEL TAMAÑO DEL AREA CARGADA Si el subsuelo de una fundación es suficientemente homogéneo, el peso del edificio no solo causa una compresión en el suelo bajo él, sino que también una expansión del suelo hacia sus alrededores. Por lo tanto, una parte del asentamiento puede ser considerado como una reducción del espesor del estrato cargado debido a la reducción de su volumen, y la otra como una reducción adicional debido a la expansión hacia los lados. 24

Si el suelo fuese perfectamente elástico y homogéneo hasta una gran profundidad, el asentamiento debido a la expansión lateral sería considerablemente mayor que aquel debido a la reducción de volumen. A una cierta intensidad de carga, el asentamiento de áreas cargadas, que tengan la misma forma, aumentaría en proporción directa con la longitud de las áreas. Con el fin de determinar la influencia del tamaño del área cargada, debemos considerar los factores que determinan las propiedades esfuerzo-deformación de la arena. Investigaciones teóricas de estas relaciones así como ensayos de laboratorio y observaciones en terreno (Kögler 1933) han llevado a la conclusión que para una carga dada por unidad de área de la base de una zapata, la profundidad del cuerpo de arena sujeto a compresión y deformación intensa aumenta con el ancho de la zapata. Por otro lado, la capacidad última de carga de la zapata y el módulo inicial tangente promedio de la arena también aumentan. Como consecuencia de estos factores, el asentamiento varía con el ancho de la zapata, aproximadamente como se muestra en la Fig. 2-3. Un estudio de los antecedentes disponibles de asentamientos (Terzaghi 1967) lleva a la conclusión que el asentamiento diferencial de zapatas continuas uniformemente cargadas y de zapatas aisladas igualmente cargadas y de dimensiones similares será probablemente menor al 50% del máximo asentamiento. Sin embargo, en la práctica, el tamaño de las zapatas que soportan las diferentes columnas de un edificio podría ser bastante diferente porque las cargas en las columnas serán probablemente distintas. Esto es una fuente de asentamiento diferencial adicional. En la construcción de la curva (a) Fig.2-4, el mayor peso ha sido asignado a los datos empíricos derivados de la observación de asentamientos diferenciales de estructuras fundadas sobre zapatas de diferentes tamaños en el mismo depósito de arena. Pequeños experimentos en terreno, incluyendo carga en placas cuadradas de 1 pie (30.48 cm) de lado, probablemente guiarían a la errónea conclusión de que deberían ocurrir asentamientos relativamente grandes al incrementar el ancho de la zapata porque la cohesión aparente debida a la capilaridad de la arena tiene una influencia desproporcionadamente grande en el asentamiento de pequeñas áreas cargadas en comparación con áreas grandes. Para la curva (a), la relación entre δ, δ 1 y B 0 está dada aproximadamente por la Ec.2-8. 2B 2 0 δ = δ1 B0 + 1 (Ec.2-8) en la cual δ y δ 1 están expresados en pulgadas y B 0 en pies. No hay una diferencia significativa entre los asentamientos de zapatas cuadradas y continuas con el mismo ancho B 0, porque el efecto de provocar esfuerzos en la arena a mayor profundidad bajo zapatas continuas se compensa con la restricción que mantiene la arena sin desplazamientos en las direcciones paralelas a la zapata. De acuerdo con la curva (a) Fig.2-4, el asentamiento de una zapata grande, mayor a 20 pies 2 (1.86 m 2 ), excede la de una zapata pequeña de 4 o 5 pies 2 (0.37 o 0.46 m 2 ) por alrededor de un 30%, dadas presiones de suelo iguales. Con un cierto ancho de zapata B 0, el asentamiento decrece un poco al incrementar los valores del radio de profundidad D f /B 0, donde D f es la profundidad de la fundación. Sin embargo, incluso bajo condiciones extremas en zapatas de diferentes tamaños y radios de profundidad, es poco probable que el asentamiento diferencial exceda el 75% del asentamiento total. Normalmente es mucho menor. 25