PROBLEMES RESOLTS D OPTIMITZACIÓ.

PROBLEMES RESOLTS D OPTIMITZACIÓ.. La concentració (en mil ligram ) d una substància durant les tres hores en les quals ha actuat un reactiu 0 t, vé donada per la unció C (t) = - t + 9t t + 8. Troba els instants que s aconseguei el valor màim i mínim de concentració. Solució: Sabem que el valor màim i mínim de la unció continua en l interval [0, ] es buscarà entre els punts següents: ) Punts C (t) = 0 ; ) Punts no eistei derivada ; ) = 0 ; = (etrems de l interval) Procedirem, però, estudiant el gràic de C(t) a partir de la taula de monotonia ja que aií podrem deduir el valor màim i mínim de la unció. Considerarem els punts C (t) = 0-6t + 8 t = 0 t = 0.85 ; t =. 5 0 0< t < 0.85 0.85 0.85 < <.5.5.5<< Signe C - 0 + 0-0 Valor C(t) min MAX La orma del gràic obliga a estudiar el que passa en t = 0 i en t =. Substituint obtenim que C(0) = 8; C(0.85) =.9 ; C(.5) = 6.08; C() =, per tant, el valor màim s aconseguei quan t =0 i el valor mínim quan t = (observem que no són els etrems relatius, cosa que com veurem en els eercicis successius no és lo habitual). Un pastor aproitant una paret eistent de 60 metres que li servirà com a tot o una part d un dels costats vol construir una tanca rectangular per al seu ramat. Si disposa de 00 metres de tanca i es designa la mesura de cadascuna de les parets laterals i 00 la mesura de la paret rontal: a) epressa l àrea de la tanca en unció de b) quin és el domini d aquesta unció c) com aconseguirà la tanca d àrea més gran? d) Quant val aquesta àrea? Solució: a) Funció a maimitzar: AREA = (depén de variables) Relació entre les variables (restriccions): + = 00 = 00 Substituint, resulta Àrea = (00 ) () = 00 b) Evidentment >0, ja que és un problema real. - Si agaem tota la paret = 60; llavors + 60 = 00 ; = 0 ; = 0 - També >0; 00 >0 ; per tant < 50 ( també es pot treure de lògica). Per tant Dom() = [0, 50) c) FUNCIÓ A OPTIMITZAR () = (00 ) () = 00, Domini: 0 < 50 Es tracta d una paràbola (cap avall). El valor màim estarà en el vèrte. Càlcul del vèrte: b 00 v = = = 5 ; = 50 m. a Per tant l àrea màima s aconseguei quan el rectangle de 50 5. d) ÀREA màima = 50 5 = 50 m o també (5) = 00 5 5 = 50 m. Es desitja construir un celler amb orma de paral lelepíped rectangular de 00 m de volum de manera que el llarg de la seua base siga / de l'amplària de la seua base. Se sap que els preus d'un metre quadrat de sòl, sostre i de paret lateral són, respectivament, 5 /m, 00 /m i 56 /m. Determinar raonadament: a) El valor de l'amplària de la base que minimitza el cost. b) El cost mínim. Sol: a) Si és l amplària de la base, el llarg de la base serà / i si l altura del celler la denotem. El cost del sòl, sostre i de paret lateral vindrà donat per la unció C = 5 +00 + 56 + Com el volum del paral lelepíped vé donat per V = / = / i es vol construir-ne un de 00 m, substituint 00 = / i aillant obtenim = 75/ Substituint i operant en la unció cost resulta C() = 89600 700 + (unció racional); Domini = (0, + ) 89600 Estudi de la unció: busquem el mínim: Monotonia Punts a considerar: C'()= 00 - = 0 = 0< < > Per tant, en = tenim el mínim absolut del Signe C - 0 + cost (també és mínim relatiu) C Minim Nota: També es pot resoldre a partir de la derivada: buscar els punts on () = 0 i er l estudi dels màims i mínims. b) Substituint C() = 600

. Volem anar del punt A al punt B atravesant nadant el canal de la igura adjunta. Si nadem a una velocitat de m/s i caminem a una velocitat de m/s, quin ha de ser el punt C per arribar a B en el menor temps possible? I en el major temps? Mesures: PC= ; CB= 00 = Funció a minimitzar: Temps ; t = Estudi de la unció: busquem el temps mínim. Considerem els punts t () = 0 t () = 600 + 00 + - 600+ A 0 m P = 0 = 0 C 00 m 00 - ; Domini 0 00 B 0 0 < < 0 0 0 < < 00 00 Signe t - 0 + t Min - La orma del gràic de la unció en l interval, ens indica clarament que en = 0 hi ha un míim relatiu, que també és el mínim absolut de la unció. I el valor màim? Observant la orma de la unció i calculant els valors en = 0 i = 00, que donen (0) = 90 s ; (00) = 07,70 s., concluim que en = 00 m, es a dir si nada tota l estona des de A ins a B a com era de preveure, s invertei el major temps possible 5. Troba les dimensions del cilindre de volum màim que es pot inscriure en un con de radi 5 cm. i altura 50 cm. Quin és el volum màim? FUNCIÓ A MAXIMITZAR () = π ( 50 ), Domini: 0 < < 5 Dimensions del cilindre: (radi de la base), (altura) Funció a maimitzar: VOLUM = π ( depén dues variables) 50 Relació entre les variables : Semblança de triangles = 5 5 ( observem que = 0 ; = 5 no són realment cilindres) Estudi de la unció: busquem el valor màim. Monotonia: Punts () =0 π (00 6 ) =0 = 0; 0< < 50/ 50/ > 50/ Signe + 0 - Ma 50 =. Si = 50/ (radi), llavors = 50/ (altura). Aquest és el radi i l altura del cilindre de volum màim. Substituint, resulta V ma = (50/) = 5000 π cm 7 6. En una determinat camp quan es planten 5 arbres per hectàrea el rendiment mitjà de cada arbre és de 70 ruits. D altra banda, s ha comprovat sobre el terren que quan es planten més de 5 arbres per hectàrea comença a produir-se saturació i disminuei el rendiment de cada arbre en 0 ruits per arbre addicional plantat. Quin és el nombre òptim d'arbres que cal plantar per hectàrea per a obtenir la màima producció? I quin nombre d arbres s haurien de plantar per aconseguir la mínima producció? Solució: a) ; = 50 ; FUNCIÓ A OPTIMITZAR () = 950 + 0 0, Domini: 0 7 La orma de la unció ens indica que en = 50/ s aconseguei el valor màim de la unció (també és màim relatiu) Funció a maimitzar: () = (5 + ) (70 0), sent = nbe d arbres addicionals que es planten: Restriccions: 0 ; 7 ja que 70 0 0 ; 7 50 5

Estudi de la unció: busquem el valor màim. (en l interval tancat [0, 7] ) (*) Taula de monotonia de la unció. Punts a considerar () = 0 0 0 = 0 = 6 0 0< < 6 6 6< <7 =7 Signe + 0-950 MAX 0 La orma del gràic de la unció en l interval, ens indica clarament que el valor màim de la unció s aconseguei en = 6: és el màim absolut de la unció i també relatiu. Per tant, el nombre òptim d arbres per aconseguir la màima producció serà 5 + 6 = arbres. La mínima producció s aconseguiria quan =7, es a dir 5 + 7 = 6 arbres. (*) NOTA: També en tractar-se de l estudi d una unció en un interval tancat podríem procedir com es a habitualment per a calcular els etrems absoluts: localitzats els punts =0 ; = 6; = 7 s obtenen els valors (0) = 950 ; (6) = 960; (7)=0, observant-se clarament que en = 6 hi ha el màim i en = 7 hi ha el valor mínim 7. Troba un punt de la paràbola = -, en el que la tangent a la paràbola en aquest punt, i en el primer quadrant, determina un triangle d'àrea mínima amb els eios. Solució: Designem P (a, - a ), el punt de la paràbola. La recta tangent a en P, tindrà per equació ( a ) = - a ( a) Aquesta recta talla els eios en els punts M, i N talls amb l ei d abscisses i ordenades respectivament. a + a + a Punt M = 0 ; substituint = + a = M (, 0 ) a a a Punt N = 0; substituint, queda = a + a = + a N ( 0, +a ) FUNCIÓ A MINIMITZAR: àrea del triangle rectangle de vèrtes OMN Substituint, ÀREA = Estudi de la unció: busquem el mínim. + a ( a + ) base alt a ( + a ) = = a 6 + a + a ( a) =, Domini : 0 a a Monotonia. Punts a considerar: ) (a) = a + 8a 6 a =0 a = ± i ; a = ± ; ) a = 0 0 0< a < < a Signe - 0 - Min Per tant el valor del triangle d àrea mínima s aconseguei agaant el punt P (, 8/). (és també mínim realtiu) 8. Es vol tancar un camp rectangular que hi ha a la vora del camí. Si la tanca que dóna al camí, que no volem de longitud inerior a 50m ni superior a 00 m, costa a 8 /m i la dels altres costats a /m, troba l'àrea màima de camp que es pot tancar amb 880. I quina és l àrea mínima? Solució: a) Funció a maimitzar: ÀREA = (depén de dos variables) 880 9 Relació entre variables: 8 + + + = 880 = Restriccions 50 ; 00; > 0 ; 880 9 > 0 < 0 que no aecta ja que 00: FUNCIÓ A MAXIMITZAR Substituint queda () = 880 9 =, Domini: 50 00 0, 5

La unció és () = -,5 b 0 + 0 paràbola (cap avall) : el valor màim està en el vèrte v = = = 60 a 9 - Àrea màima: El valor màim de la unció s aconseguei en =60 : és el màim absolut de la unció i també relatiu. Si = 60 m = 70 m. Per tant, el recinte d àrea màima serà de 60 70 m. - Àrea mínima: Hi haurà que calcular (50)= 750 ; (00) = 08 000 per tant, el camp d àrea mínima tindrà dimensions de 00 50 m Nota: També es pot resoldre a partir de la derivada: buscar els punts on () = 0 i er l estudi dels màims i mínims. (*) NOTA: En tractar-se de l estudi d una unció en un interval tancat podríem procedir aií: ) possibles etrems absoluts: =60 (punt () = 0) i = 50; =00 ( etrems de l interval) ; ) es calculen (60) = 500; (50)= 750 ; (00) = 08 000 i s observa que en = 60 hi ha el màim i en = 00 el mínim 9. Un ull de paper ha de contenir 8 cm de tet imprès. Els marges superior i inerior han de tenir cm d altura cadascun i els laterals cm. Troba les dimensions del ull perquè la despesa de paper siga mínima? Funció a minimitzar: A= ; sent, són les dimensions del ull Relació entre les variables: 8 + 0 ( ) ( ) = 8 ; aïllant resulta = + ; =. Altres restriccions: observar que > ; > FUNCIÓ A MINIMITZAR. Substituint, obtenim () = + 0, Domini: < Busquem el valor mínim de la unció: Estudi de la unció. Monotonia ( 8 + 0)( ) ( Punts a considerar () = 0; () = ( ) 0) = ( 5) ( ) = 0 = 5 ; = - < < 5 5 > 5 Signe - 0 + La orma del gràic de la unció en l interval ens indica que en = 5 tenim el valor mínim. Si = 5, llavors = 0 cm. Aquestes són les dimensions del paper. min 0. De tots els cilindres inscrits en una esera de radi metre troba el volum del que el tinga màim. Solució: Siga r el radi del cilindre inscrit, h la seua altura i V el volum. - Funció a maimitzar: Hi ha que maimitzar la unció V = π r h, que en principi depén de les variables r, h. - Condició que compleien les variables: Observem de la igura que es complei = r h + Aïllant r h h = - = π Funció a maimitzar: Substituint en la unció, resulta V = ( h h ) ; 0 < h < Valor màim de la unció. Estudi de la unció. Monotonia π Punts a considerar V = ( h ) = 0 h = 0 h = ± = ±.5 0< h < h > Signe V + 0 - Volum V MAX h/ La orma de la unció ens indica que si la unció pren el seu valor màim en el seu màim relatiu h =. En tal cas, r = i el volúm màim resulta, V MAX = r π m

. Trobeu les dimensions del cartell d àrea màima amb orma de rectangle que té dos vèrtes subjectes a una estructura rígida parabòlica d equació =, i els altres dos vèrtes estan situats sobre l ei OX. Solució: La igura ens ajuda al plantejament del problema - Vèrtes del rectangle sobre la paràbola (, - ) ; (-, ) FUNCIÓ A MAXIMITZAR: Rectangle de base i altura Area = ( ) ; 0 << ; Operant queda A() = - Valor màim de la unció en el seu domini Punts a considerar A () = 6 =0 = ; = - (aquest el rebutgem) 0< < << Signe A + 0 - Àrea MAX La orma de la unció mostra que quan = tenim àrea màima. Si = ; = = 8. Les dimensions del cartell seran 8 0-5. Uns alts orns produeien al dia tones d acer de baia qualitat i tones d acer d alta qualitat. La 0 - producció màima diària d acer de baia qualitat és de 8 tones. Si el preu d una tona d acer de baia qualitat és de 00 euros i el preu d una tona d acer d alta qualitat és de 50 euros, demostreu que s han de produir 5 tones per dia d acer de baia qualitat per a que el valor de venda de la producció diària siga màim 0 - FUNCIÓ A MAXIMITZAR: substituint resulta () = 00+50, Domini: 0 8 0 - Busquem el valor màim. Estudi de la unció (monotonia) en el seu domini 500 Punts a considerar: () = 00 - = 0 = 5 (no vàlida) ; = 5 (0 - ) 0 0< <5 5 5 < < 8 8 Signe + 0 - Ma La orma del gràic indica que si =5 s obté el valor de venda màim ( = 0 i = 8 són candidats a valor mínim). Un triangle isòsceles que té 0 cm de perímetre gira al voltant de la seua altura engendrant un con. Troba les mesures dels costats del triangle per a que el volum engendrat siga màim. h π 5-0 FUNCIÓ A MAXIMITZAR: substituint resulta () =, Domini: 0 < <,5 Busquem el valor màim. Estudi de la unció (monotonia) 00-50 Punts a considerar: () = π = 0 00-50 = 0 (00-50) = 0 = 0 ; = 5 6 5-0 0< < < <,5 Signe + 0 - Dimensions del con: (radi de la base), h (altura) Funció a maimitzar: Volum del con En aquest cas V = π h / Relació entre les variables + = 0 ; + h = Operant = 5 ; + h = ( 5 ) ; + h = 5 0 + h = 5 0 h = 5 0 Restriccions: Queda clar que h eistei quan 5 0 > 0 ; és a dir quan <,5 Ma La orma del gràic, indica que en = tenim el màim absolut de la unció. Si = m, llavors = m. Les dimensions del triangle isòsceles són: Base = = cm; costats iguals = cm. 5

8. Atesa la unció real ( ) = + es demana que calculeu raonadament la pendent màima de les rectes tangents a la corba = () (Selectivitat 009) Solució: La pendent de la recta tangent en un punt d abscissa sabem que és la derivada de la unció, o siga, () 6 Per tant, hem de buscar el valor màim de la unció g() = () = ( + ) Punts a considerar g () = 0 () = 0 ( + ) 8 6 < -/ -/ -/ < < / / / < Signe g + 0-0 + Pendent g MAX rel min rel = 0 8 6 = 0 = / ; = -/ La orma del gràic de la unció que s observa en la taula no assegura en principi el màim absolut. Observem que g (-/ ) = i lim g( ) = 0, per tant, queda clar que en = -/ la unció () assolei la seua pendent màima sent + el valor d aquesta pendent. 5. A un terren rectangular se l vol tancar eteriorment i també dividir-lo amb tres rectangles iguals mitjançant dues tanques divisòries paral leles als costats més icotets del terren. Si únicament disposem de 80 metres de tanca, quines dimensions del terren maimitzen l àrea? Quant val aquesta àrea? Solució: La igura ens ajuda al plantejament del problema - FUNCIÓ A MAXIMITZAR: Area = ( depèn de dues variables) - Condició que compleien les variables 6 + = 80 80 6 Substituint, resulta A() = = (80 6 ) La unció és una paràbola cap avall A() = -.5 + 60 Domini = (0, 0/ ) b 60 0 El valor màim està en el vèrte v = = = a 9. Si = 0 ; = 0 ÀREA MÀXIMA = 00 m 6. Una inestra té la orma de semicercle muntada sobre un rectangle. El rectangle és de cristall transparent, mentre que el semicercle és de cristall d un color que transmet la meitat de llum per unitat d àrea transparent. Si el perímetre total de la inestra és de 00 m, com s ha de construir la inestra per aconseguir la major quantitat de llum? Solució: Funció a maimitzar: Quantitat llum Àrea total = Àrea rectangle + Àrea semicercle π( ) π Àrea total = + = + Area total = + 0,965 (depen dos variables) 6 π( ) Relació entre les variables: Les variables, compleien la següent equació + + = 00 π π Operant i aïllant, resulta = 00 - = 50 = 50 0,5 0,785 = 50 -,85 Substituint en la unció, resulta () = ( 50, 85) + 0,965 () = 50 -,08875 b 50 50 És tracta d una paràbola. El valor màim està en evidentment el vèrte(*) = = = a (,08877),775 Per tant, les mesures que permeten la major quantitat de llum són =, 96 m ; =,96 Substituint = 50.85 = 0,96 m (*) NOTA: El valor màim també es podria buscar utilitzant derivades 6

7. Amb una corda de 6 m de longitud quin és el triangle isòsceles d àrea màima que podem construir? Solució: Dimensions del triangle : (base), (costats iguals) Funció a maimitzar: AREA = h = h, sent h l altura del triangle Restriccions: + = 6 = = h + h = = 9 6 h = 9 6 >0 ; > 0 ; h >0 0 < < / FUNCIÓ a optimitzar ()= 9-6, Domini: 0 < < / Busquem el valor màim. Estudi de la unció (monotonia) () = 9 6 ; () = 8 8 9 6 8 8 Punts a considerar () = 9 6 Taula de monotonia de la unció = 0 = 0 ( no vàlid) ; = 0< < < < / Signe + 0 - MAX La orma del gràic indica que el valor màim de la unció s aconseguei en = (és també màim relatiu) Si = m, llavors = m. Per tant, el triangle d àrea màima té base = m i costats iguals = m, o siga un triangle equilàter. 8. a) Determineu raonadament el punt (s) del gràic de la unció () = - que està a distància mínima del punt P (, / ) i el valor d aquesta distància. b) Hi ha algun punt a distància màima? Raoneu la resposta. Solució: Si Q és un punt qualsevol del gràic de (), tenim que Q (, ) La distancia de P a Q ve donada per l epressió d = ( ) + ( / ) Operant, resulta la següent unció a optimitzar d() = - Valor mínim de la unció en el seu domini + + + 9 / Punts a considerar d () = 0 + + = 0 = ; = + ; = - < - - - < < < < + + + < Signe d - 0 + 0-0 + distància min rel MAX rel min rel La orma del gràic de la unció mostra que la distància mínima es pota conseguir en = - i = + Calculant, resulta d ( - ) = / i d (+ ) = / Per tant, hi ha dos punts a distància mínima, que son Q ( -, ) i Q ( +, ) La orma del gràic que s observa en la taula de monotonia no assegura l eistència de màim absolut. Observem que lim d( ) = + ; lim d( ) = +, per tant, no hi ha cap punt a distància màima. + 7

9. Considerem el triangle rectangle de vèrtes O(0, 0), A (, 0) i B(, ), >0, >0 estant el vèrte (, ) sobre l el lipse d equació + = tal com indica la igura. Troba les coordenades del vèrte B per a que el triangle rectangle tinga àrea màima. Solució: Funció a maimitzar: Àrea = / ;, base i altura triangle rectangle Relació entre les variables : + = ; = - ; = ± O B A FUNCIÓ A MAXIMITZAR: Àrea =, que en principi depèn de dues variables. Substituint () = = ()= 0'7 - Domini = (0, ] Busquem el valor màim. Estudi de la unció (monotonia) () = 0'7 ; Punts ( ) = 0 = 0 = 0 ; = ± = ± 0'7 Punt a considerar = 0 7 per ser > 0. 0 0< < 0,7 0,7 0,7< < Signe No + 0 - No Àrea MAX La orma de indica que el seu valor màim és = = 0'7 Si = = 0'7, = ; per tant el vèrte B(, ) 0. Provar que el volum de qualsevol con recte inscrit en una esera es menor que el 0% del volum de la mateia. (Selectivitat Jun 005 A) Si el con de volum màim que podem inscriure en una esera té un volum menor que el 0% del volum de l esera, estarà comprovat l enunciat. Es tracta, per tant, bàsicament d un problema d optimització. Funció a maimitzar: VOLUM DEL CON = π r h / V = π (R + ) / R Relació entre les variables (restriccions): R = + = R - R Substituint, queda V = π (R ) (R + ) / que és una unció de π π Busquem el valor màim: π '() = (0 + R R ) () = 0 R R = 0 Equació de n grau. Funció a maimitzar () = ( R )(R + ) () = ( R + R R ) Solucionat l equació + R R =0, queda = R ± R + R R ± R ր = R / = = 6 6 ց = R Valor a considerar = R/ ; És màim? Ho comprovarem pel mètode de la segona derivada π R π R ''() = ( R 6) substituint '' = R 6 < 0 Per tant és MÀXIM El cón de volum màim s aconseguei quan = R/, es a dir quan les seues dimensions són: - altura h = + R = R/ + R = R/ ; - radi base = R = R R 9 = 8R /9 = 8 R / R π R R R π 7R + 9R R R π R πr Volum Con Màim = = R + R R = = = 9 7 7 7 8 Volum esera = πr Relació entre els volums = Vcon πr 8 / 8 8 = = = esera πr = 0,96 < 0% V / 7 8