Pág. 1 de 14 UNIDAD 3 DIVISIBILIDAD 1. LA RELACIÓN DE DIVISIBILIDAD Descomposición factorial gráfica de números primos y números compuestos: (Fuente: #flippmath) Actividades de clase 1.1. Es cierto que. a. 35 es divisor de 728. b. si sacas del horno 100 magdalenas y las empaquetas por docenas queda alguna suelta? c. existe relación de divisibilidad entre 15 y 75. d. se puede cortar un listón de 1,80 m en un número exacto de trozos de 20 cm? e. existe relación de divisibilidad entre 2070 y 46. f. 100 minutos son un número exacto de cuartos de hora?
Pág. 2 de 14 1.2. LA BIBLIOTECA En la biblioteca del Instituto tengo que colocar 522 libros en las estanterías pero con la condición de poner exactamente 29 libros en cada una de ellas. a. A esto de distribuir los 522 libros en estanterías de manera que en cada una haya 29 libros sin sobrar ni faltar ninguno es equivalente a decir de manera matemática que VERDADERO o FALSO 522 es múltiplo de 29 522 es divisor de 29 29 es múltiplo de 522 29 es divisor de 522 La división entre 522 y 29 ha de ser exacta b. Podré colocarlos de esta manera o habrá alguna estantería que se quede sin llenar? 1.3. SOUTH PARK Observa la siguiente orla de la clase de South Park: a. Podemos formar grupos en la clase de 7 alumnos sin que falte ni sobre ninguno? Y grupos de 9 alumnos? b. Si todas las clases del Instituto tienen el mismo número de alumnos que esta, puede haber 720 alumnos en total? Y 850?
Pág. 3 de 14 Actividades de refuerzo 1.4. Razona si : a. 1800 es múltiplo de 90. b. 13 es divisor de 613. c. Existe relación de divisibilidad entre 513 y 19. d. Existe relación de divisibilidad entre 44 y 688. 1.5. Justifica si es cierto o no: a. Se pueden guardar 300 litros de aceite en bidones de 15 litros sin que sobre nada? b. Marta da pasos de 60 cm. Puede recorrer 100 metros en un número exacto de pasos? c. Algún mes tiene un número exacto de semanas. 1.6. EL ESTANQUE Y LOS CUBOS De un estanque quieres sacar exactamente 84 litros de agua. Explica cómo lo harías si dispones de los cubos de la imagen y quieres realizar el mínimo número de viajes posibles. 2. MÚLTIPLOS Y DIVISORES Actividades de clase 2.1. Calcula: a. Los cinco primeros múltiplos de 9. b. Tres múltiplos impares de 17. c. Los múltiplos de 20 comprendidos entre 150 y 210. d. El primero múltiplo de 8 mayor que 100.
Pág. 4 de 14 2.2. Encuentra todos los divisores de: a. 18 b. 60 c. 13 2.3. Verdadero o falso? a. Un múltiplo de a es mayor o igual que a. b. Un divisor de a es siempre menor que a. c. Un número tiene infinitos divisores. d. Los múltiplos de un número son infinitos. e. El mayor divisor de a es a. f. El menor divisor de a es 1. 2.4. EQUIPOS EN CLASE De cuántas formas diferentes se pueden repartir en equipos iguales los 24 alumnos y alumnas de una clase? Cuántos equipos salen en cada caso? Actividades de refuerzo 2.5. Calcula: a. Los cinco primeros múltiplos de 40. b. El último múltiplo de 8 antes de 200. c. Los múltiplos de 7 comprendidos entre 200 y 300. 2.6. Completa la tabla, escribiendo los diez primeros múltiplos de los siguientes números: Números Múltiplos 3 5 10 12
Pág. 5 de 14 13 20 CONTESTA A LAS SIGUIENTES PREGUNTAS: Qué número tiene un solo múltiplo? Qué número es múltiplo de todos? Qué número es divisor de todos? De qué número son todos múltiplos? Qué números tienen el mismo divisor? RESPUESTAS 2.7. Encuentra todos los divisores de: a. 12 b. 55 c. 29 2.8. CAJAS DE BOMBONES De cuántas formas diferentes se pueden envasar 60 bombones en cajas con el mismo número de unidades sin que sobre ninguno? Y si hubiera 72 bombones? 2.9. NÚMEROS PERFECTOS Se dice que un número es perfecto, cuando es igual a la suma de sus divisores, excepto él mismo. Por ejemplo, el número 6, es perfecto ya que surge de sumar sus divisores (excepto el mismo): 1 + 2 + 3 = 6. El número 28, también es perfecto, sus divisores son 1, 2, 4, 7, 14 y 28, por ello: 1 + 2 + 4 + 7+ 14 = 28. Según esto, podrías decir si los números 496 y 8128 son perfectos?
Pág. 6 de 14 3. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD. Actividades de clase 3.1. De los siguientes números, di cuáles son múltiplos de 2, 3, 5, 9, 10 y 11: a. 176 b. 5760 c. 3817 3.2. Escribe: a. Un número de tres cifras divisible por 3 y no divisible por 2. b. Un número de cuatro cifras que sea divisible por 5 y también por 2. c. Un número de cinco cifras divisible por 9. d. El mayor número de tres cifras diferentes que es múltiplo de 3 y de 5. Y el menor? 3.3. Busca en cada caso todos los posibles valores de a para que el número resultante sea, a la vez, múltiplo de 2 y 3. 4 a 3 2 a 1 a 8 Actividades de refuerzo 3.4. De los siguientes números, di cuáles son múltiplos de 2, 3, 5, 9, 10 y 11: a. 679 b. 417 c. 1023
Pág. 7 de 14 3.5. ERASTÓSTENES Busca en Internet quién era Erastóstenes y responde al siguiente problema: La Criba de Erastóstenes es un algoritmo (un conjunto prescrito de reglas bien definidas, ordenadas y finitas, que permite realizar una actividad mediante pasos sucesivos), para obtener los primeros números primos. El procedimiento consiste en colocar en un cuadro los 100 primeros números naturales, colocados en fila de 10 en 10, dejando sin rellenar el cuadro que corresponde al número 1. Luego se siguen los siguientes pasos: A partir del número 2, tachamos los números que sean múltiplos de 2. El siguiente número que aparece sin tachar, más cercano al 2 es el número 3. Se tacha en la tabla todos los múltiplos de 3. El siguiente número que aparece sin tachar, más cercano al 3 es el número 5. Se tacha en la tabla todos los múltiplos de 5. El siguiente número que aparece sin tachar, más cercano al 5 es el número 7. Se tacha en la tabla todos los múltiplos de 7. Y así sucesivamente. Podrías siguiendo este algoritmo indicar los primeros 120 números primos? Los 120 primeros números primos son:
Pág. 8 de 14 4. DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS.. Actividades de clase 4.1. Descompón los siguientes números en factores primos, siguiendo los criterios de divisibilidad. 75 54 100 Una vez descompuestos en factores primos, indica el resultado en forma de potencia: 75 = 54 = 100 = 4.2. Qué números tienen las siguientes descomposiciones factoriales? a. 2 3 5 b. 2 3 2 c. 2 3 11 4.3. Descompón en factores primos los siguientes números: a. 580 b. 88 c. 169 4.4. Dados los siguientes números: 14 17 28 29 57 63 99 4 s 5 s 223 521 a. Clasifícalos en números primos y compuestos b. Descomponlos en factores primos. Qué observas en la descomposición factorial de los números que son primos?
Pág. 9 de 14 4.5. Verdadero o falso? a. El número 1 no es primo ni compuesto. b. No hay números primos mayores que 100. c. Un número, si es impar, es primo. d. Un número primo sólo se puede descomponer factorialmente en el producto de él mismo por el número 1. Actividades de refuerzo 4.6. Copia y completa: 4.7. Descompón los siguientes números en factores primos, siguiendo los criterios de divisibilidad. 132 48 39 Una vez descompuestos en factores primos, indica el resultado en forma de potencia: 132 = 48 = 39 =
Pág. 10 de 14 4.8. Descompón en factores primos los siguientes números: a. 78 b. 170 c. 98 4.9. Qué números tienen las siguientes descomposiciones factoriales? a. 2 2 3 2 5 b. 2 5 13 c. 2 5 2 7 4.10. Dados los siguientes números: 9 47 53 71 79 91 104 10 t 1024 2000 a. Clasifícalos en números primos y compuestos. b. Descomponlos en factores primos. Qué observas en la descomposición factorial de los números que son primos? 5. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR Actividades de clase 5.1. Obtén los tres primero múltiplos comunes de: a. 100 y 150 b. 20, 30 y 40 5.2. Copia y completa el siguiente cuadro: En forma de potencia (a n ) Descomposición factorial de 12 Descomposición factorial de 20 Resultado Descomposición factorial de 35
Pág. 11 de 14 m.c.d. (12, 20, 35) m.c.m. (12, 20, 35) 5.3. Calcula el mínimo común múltiplo y máximo común divisor de: a. 50 y 75 b. 42 y 63 c. 20, 30 y 40 5.4. HEMOS PERDIDO EL ALSA Mi hermana y yo nos hemos levantado tarde. Se nos echa la hora encima y a toda prisa salimos hacia la estación de autobuses de San Lorenzo de el Escorial. Corremos, corremos!!... pero de nada sirve, hemos llegado tarde. Mi hermana ha perdido el 664 y yo el 661, que salían a las 8 de la mañana. Miramos los horarios y vemos que el 661 sale cada 15 minutos y 664 cada 25 minutos, con lo que yo podría coger el de las 8:15 y mi hermana el de las 8:25. En esto que mi hermana me dice Si te parece bien podemos ir a desayunar, hablamos de nuestras cosas, y cogemos los primeros autobuses que salgan a la vez a. Cuánto tiempo tendremos para desayunar si acepto la propuesta? b. A qué hora saldrán los autobuses? 5.5. GARRAFAS DE ACEITE El dueño de un restaurante compra un bidón de 80 litros de aceite de oliva y otro de 60 litros de aceite de girasol, y desea envasarlos en garrafas iguales, lo más grande que sea posible, y sin mezclar. Cuál será la capacidad de las garrafas?
Pág. 12 de 14 5.6. EL EBANISTA Un ebanista quiere cortar una tabla de madera de 100 cm de largo y 60 cm de ancho, en cuadrados lo más grandes posibles y cuyo lado sea un número entero: a. Cuál debe ser la longitud del lado? b. Si el siguiente rectángulo representa la tabla: Haz un dibujo a mano alzada con la solución que has obtenido y di cuántos cuadrados de madera obtienes en total. 5.7. MONEDAS Ramón tiene un montón de monedas de 10 céntimos que puede agrupar en montones de 80 céntimos y también en montones de un euro. Cuánto dinero tiene, sabiendo que en total hay más de 5 pero menos de 10? 5.8. LÍO DE ALARMAS La alarma del móvil suena cada 9 minutos, la de la tablet cada 15 minutos y la del despertador cada 21 minutos. Si acaban de coincidir, cuánto tiempo pasará para que los tres vuelvan a coincidir?
Pág. 13 de 14 5.9. COLLARES BENÉFICOS El sábado fui con mis amigos a comprar unas cuentas de colores para formar collares lo más grandes posibles. Para ello compramos 240 cuentas amarillas, 320 cuentas moradas y 200 cuentas naranjas. Si cada collar tiene que tener el mismo número de cuentas, sin que sobren y sin mezclar colores. a. Cuántas cuentas debo emplear en cada collar? b. Cuántos collares puedo hacer de cada color? Si la idea es venderlos el domingo en un Mercadillo Solidario, para colaborar con la protectora de animales El Refugio, y se vende cada collar a 15, cuánto dinero se podría donar, si descontamos 55, que ha sido el dinero empleado en comprar las cuentas, los cierres y los hilos para montar los collares? Actividades de refuerzo 5.10. Obtén los tres primero múltiplos comunes de: a. 15, 25 y 50 b. 20 y 40 5.11. Copia y completa el siguiente cuadro: En forma de potencia (a n ) Descomposición factorial de 54 Resultado Descomposición factorial de 60 m.c.d. (54, 60) m.c.m. (54, 60) 5.12. Calcula el mínimo común múltiplo y máximo común divisor de: a. 42 y 63 b. 99 y 165 c. 15, 50 y 75
Pág. 14 de 14 5.13. LA BIBLIOTECA Una biblioteca está abierta todos los días, incluso los festivos. Si Ana va cada 4 días y Juan cada 6 días y han coincidido hoy. Dentro de cuántos días vuelven a coincidir? 5.14. Supón que tienes una hoja de papel de 30cm x 21cm, y quieres dibujar sobre ella una cuadrícula lo más grande que sea posible en la que no haya cuadrados fraccionados. Cuál debe ser el mayor tamaño de los cuadros? 5.15. ENGRANAJES Estas ruedas dentadas forman un engranaje como el de los motores a. Cuántos dientes de cada rueda deben pasar para que vuelvan a coincidir el punto señalado en color rojo? b. Cuántas vueltas habrán dado cada una de las ruedas? 5.16. EL GALGO Y LA LIEBRE Un galgo persigue a una liebre. La liebre da saltos de 3 m y el galgo da saltos de 4 m. Si en un momento determinado las huellas del galgo coinciden con la de la liebre, cuántas veces vuelve a ocurrir lo mismo en los siguientes 200 m? 5.17. LA FÁBRICA EMBOTELLADORA Qué es una fábrica embotelladora? Documéntate y responde al siguiente problema: Queremos embotellar 120 litros de agua, 168 litros de zumo y 132 litros de leche, en el menos número posible de garrafas de la misma capacidad, sin mezclar los tres productos. Cuántas garrafas de cada tipo se obtienen?