I.T. INFORMÁTICA DE GESTIÓN Departamento de Estadística Asignatura: Investigación Operativa Curso: 2007/2008 Relación número 1 de prácticas PRÁCTICA 1: PROGRAMACIÓN LINEAL 1. Modelización mediante hojas de cálculo Tarde o temprano, el analista debe informar al cliente acerca del modelo y dar sus recomendaciones sobre el mismo. Debe tenerse en cuenta la diferencia de lenguaje y conocimientos matemáticos que existe entre el técnico analista y el gestor de la organización: los directivos conocen su negocio, pero, a menudo, no entienden demasiado de modelos matemáticos o de cómo éstos se implementan en hojas de cálculo. Es tarea de quien ha realizado el análisis el presentar el modelo en unos términos que la gente sin educación matemática pueda entender. En general, al trabajar con un modelo matemático en una hoja de cálculo, distinguiremos tres tipos de valores: datos de entrada (inputs): valores dados (fijos); variables de decisión: valores sobre los que se tiene control; datos de salida (outputs): valores finales de interés, determinados por los datos de entrada y las variables de decisión. La modelización con hojas de cálculo consiste en introducir datos de entrada y variables de decisión que, mediante fórmulas adecuadas, den lugar a los datos de salida. 1
Puesto que es muy frecuente que varias personas tengan que trabajar sobre una misma hoja de cálculo, es conveniente adquirir buenos hábitos de modelización que faciliten su legibilidad: Estructura el modelo de forma clara y lógica. Si te es necesario, separa las diferentes partes del modelo mediante varias hojas de cálculo. Pon encabezamientos a las diferentes secciones del modelo. En especial, a los datos de entrada, variables de decisión y datos de salida. Usa formatos que permitan distinguir los datos y las secciones con claridad (negrita, itálica, fuentes de mayor tamaño, colores... ). 2. Modelización de problemas lineales Para resolver modelos lineales, usaremos la herramienta Solver del programa Microsoft Excel. Se trata de una opción poco conocida del menú Herramientas. Figura 1: Menú Solver. 2
En caso de que no nos aparezca, podemos seleccionarla entrando en el submenú Herramientas Complementos. Figura 2: Activando la opción Solver. Para aprender cómo trabajar con esta herramienta y cómo modelizar un problema, resolveremos un ejemplo paso a paso. Un fabricante de bebidas produce semanalmente 955, 1412 y 205 litros de las bebidas Aghwa, Zerbessa y Visky, respectivamente. Estos límites son consecuencia de los recursos de los que dispone y de que, fruto de sus largos años en el negocio, sabe que es imposible vender semanalmente más de 1000, 1500 y 300 litros de estas bebidas, respectivamente. En la elaboración de las bebidas, intervienen cuatro ingredientes que, por razones de espionaje industrial, denominaremos A, B, C y D. Los dos primeros son sólidos y los dos segundos son líquidos. Para obtener un litro de cada una de las bebidas, se usan los siguientes recursos, respectivamente: 300 gramos de producto A, 500 gramos de producto B, 250 mililitros de producto C y 350 mililitros de producto D; 200 gramos de producto A, 700 gramos de producto B, 450 mililitros de producto C y 250 mililitros de producto D; 400 gramos de producto A, 600 gramos de producto B, 350 mililitros de producto C y 550 mililitros de producto D. La venta de un litro de producto A, B y C, reporta un beneficio de 1.2, 1.7 y 2.6 euros, respectivamente. Los recursos semanales disponibles son 750 kilos de 3
producto A, 1800 kilos de producto B, 1050 litros de producto C y 800 litros de producto D. Un buen día, el hijo de nuestro fabricante, que se encuentra cursando la asignatura de Investigación Operativa, le comenta a su padre que esa política de producción está lejos de ser óptima. El padre, sin dejarse amilanar por la impertinencia de su hijo, ignorante de los negocios, le reta a que, si encuentra una solución mejor, le dará el incremento neto de beneficios de una semana. Consigue algún beneficio el muchacho? En caso afirmativo, a cuánto asciende? Con la habilidad que ya hemos adquirido formulando modelos, nos parecerá elemental definir las siguientes variables de decisión: x 1 = número de litros de Aghwa, x 2 = número de litros de Zerbessa, x 3 = número de litros de Visky. Con estas variables, nuestro modelo es el siguiente: Max. 1.2x 1 + 1.7x 2 + 2.6x 3 s.a 0.30x 1 +0.20x 2 +0.40x 3 750, 0.50x 1 +0.70x 2 +0.60x 3 1800, 0.25x 1 +0.45x 2 +0.35x 3 1050, 0.35x 1 +0.25x 2 +0.55x 3 800, x 1, x 2, x 3 0. Podemos distinguir las siguientes partes en la hoja de cálculo que vamos a crear: 1. Datos de entrada. Todos los datos de entrada numéricos (es decir, los valores necesarios para calcular la función objetivo y las restricciones) deben aparecer en la hoja de cálculo. Usaremos la convención de enmarcar estos valores con borde azul y fondo sombreado. Trataremos de situarlos en la sección superior izquierda de la hoja de cálculo. 2. Celdas cambiantes. En lugar de usar nombres de variables (por ejemplo, x 1 ), los modelos en hojas de cálculo emplean un conjunto de celdas que desempeña el papel de las variables de decisión. Los valores de estas celdas pueden cambiarse para optimizar el objetivo. En Excel estas celdas se denominan celdas cambiantes. Enmarcaremos estas celdas con borde rojo. 3. Celda (función) objetivo. Una celda, denominada celda objetivo, contiene la función objetivo. La herramienta Solver varía los valores de las celdas cambiantes para optimizar el valor de la función objetivo. Enmarcaremos la celda objetivo con un borde doble negro. 4
4. Restricciones. En Excel, las restricciones no se muestran directamente en la hoja de cálculo. En su lugar, especificamos las restricciones en el menú de Solver. Por ejemplo, podríamos establecer un conjunto de restricciones que fuese B15 : D15 B16 : D16. Esta declaración implica tres restricciones separadas: el valor de la celda B15 debe ser menor o igual que el valor de B16, el valor de la celda C15 debe ser menor o igual que el valor de C16 y el valor de la celda D15 debe ser menor o igual que el valor de D16. Otra manera de trabajar es mediante rangos, etiquetando conjuntos de celdas. De este modo, una restricción podría ser Usado Disponible. 5. No negatividad. Normalmente, queremos que las variables de decisión sean positivas. Esta restricción se incluye seleccionando el submenú Opciones de Solver y marcando Asumir no negativos. Apliquemos ahora este esquema a nuestro problema. En la hoja de cálculo pract1.xls aparece cada paso en una hoja distinta del fichero para que puedas ver la evolución de la construcción del modelo. Inicialmente, como resultará obvio, la hoja está vacía (Hoja 1). Después, le damos un título y añadimos los primeros datos (Hoja 2). En concreto, hemos introducido los beneficios unitarios y el bloque constituido por los tres beneficios (B7:B9) lo hemos definido como el rango Beneficios. Figura 3: Hoja 2. 5
Figura 4: Hoja 3. De modo análogo, vamos añadiendo los demás datos (Hoja 3). Observemos que hemos definido los nuevos rangos Disponibles y Límites. A continuación (Hoja 4), establecemos las celdas cambiantes que serán las variables. Como valores iniciales, podemos establecer cualquier valor, incluso aunque no sea factible. Establecemos el rango Variables (C27:C29). El siguiente paso es definir la función objetivo: en la celda C31, escribimos = SUMAPRODUCTO(Beneficios; Variables). También podríamos haber escrito = SUMAPRODUCTO(B7 : B9; C27 : C29), pero el usar rangos nos facilita tanto la escritura como la lectura del modelo. Finalmente, antes de pasar a introducir las variables en el menú Solver, escribimos unas líneas que nos calculan el consumo de los distintos materiales. En realidad, este paso no es necesario, pero nos permite visualizar mejor los datos y estar preparados para responder a preguntas como cuántos kilos del producto A se usan?. Para ello, calculamos el la cantidad de recurso utilizado para cada uno de los cuatro productos. 6
Figura 5: Hoja 4. Escribimos = B19 C$27 + C19 C$28 + D19 C$29. en la celda H27 y después la copiamos en las tres inferiores. Observa el uso que se hace de celdas relativas y celdas absolutas en la fórmula (Hoja 5). Estas cuatro fórmulas, de hecho, van a ser luego las restricciones que necesitamos declarar. Ahora ya lo tenemos todo preparado para poder introducir el modelo en el menú Solver: Celda objetivo: la celda en donde hemos declarado la función objetivo. Valor de la celda objetivo: elegiremos Máximo o Mínimo según estemos maximizando o minimizando, respectivamente. Cambiando las celdas: seleccionamos las celdas cambiantes que actúan como variables de decisión. 7
Figura 6: Hoja 5. Sujeta a las siguientes restricciones: aquí introducimos las restricciones. Podemos hacerlo mediante el uso de rangos, si los hemos ido declarando, o mediante fórmulas concretas. En la imagen, vemos que se ha usado la primera opción, pero, por ejemplo, la primera familia de restricciones, equivale a Usados Disponibles, H27 : H30 C12 : C15. Por supuesto, también podríamos haber escrito las restricciones de esta familia una a una: H27 C12, H28 C13, H29 C14, H30 C15. 8
Figura 7: Declaración del modelo. Finalmente, y tras no olvidarnos de seleccionar la opción de que los valores sean no negativos, resolvemos el modelo. Vemos que la solución óptima, producir 742.8571 litros de Aghwa, 1500 litros de Zerbessa y 300 litros de Visky da un beneficio de 4221.29 euros. Fácilmente, comprobamos que la producción propuesta inicialmente por el fabricante reporta un beneficio de 4079.4 euros. Es decir, gracias al análisis del problema, ha habido un incremento del 3.48 %. El hijo gana, con escaso esfuerzo, 141.89 euros. En las celdas que usamos para escribir el uso de las restricciones, podemos ver las distintas cantidades de recursos utilizados. En particular, podemos observar que no producimos más porque hemos agotado un recurso (producto D). Si no hubiésemos agotado completamente ninguno de los cuatro, la solución no podría ser óptima, pues seguiríamos produciendo hasta agotar alguno. Este breve análisis es la parte más importante en la resolución del modelo para un analista: la interpretación del modelo y la extracción de conclusiones. 9
3. Ejercicios evaluables: Figura 8: Solución óptima El plazo para entregar los ejercicios de esta primera práctica concluye el viernes 16 de noviembre a las 9 de la mañana. 3.1. Opción A: El primer ejercicio debe resolverse con Excel. La formulación del modelo debe entregarse en papel. La hoja de cálculo debe enviarse a sergio.garcia@uc3m.es. El segundo ejercicio debe resolverse iteración por iteración y entregarse en papel. 1. (0.35 puntos) En Elche, junto al río Vinalopó, existen tres plantas industriales: P1, P2 y P3. Todas producen dos tipos de residuos contaminantes: C1 y C2. Si se procesan los residuos, se puede disminuir la contaminación. Los costes y beneficios de procesar una tonelada de residuos para cada una de las tres plantas son los siguientes: 10
Coste Reducción (t) Planta (euros) C1 C2 P1 15 0.10 0.45 P2 10 0.20 0.25 P3 20 0.40 0.30 Por ejemplo, procesar una tonelada de residuos en la planta P1 cuesta 15 euros, pero reduce en 0.10 y 0.45 toneladas la emisión de C1 y C2, respectivamente. Las autoridades locales desean reducir los vertidos de C1 y de C2 en al menos 30 y 40 toneladas, respectivamente. Cuál es la política de procesamiento de menor coste? 2. (0.25 puntos) Resuelve el problema anterior mediante el algoritmo del símplex. 3.2. Opción B: El ejercicio debe resolverse con Excel. La formulación del modelo debe entregarse en papel. La hoja de cálculo debe enviarse a sergio.garcia@uc3m.es. 1. (0.75 puntos) En Elche, junto al río Vinalopó, existen tres plantas industriales: P1, P2 y P3. Todas producen dos tipos de residuos contaminantes: C1 y C2. Si se procesan los residuos, se puede disminuir la contaminación. Semanalmente, los vertidos (en toneladas) aparecen reflejados en la siguiente tabla: C1 C2 P1 80 60 P2 30 50 P3 50 40 Por delito ecológico, cada tonelada no procesada de C1 tiene una multa de 30 euros y cada tonelada de C2 sin procesar se penaliza con 40 euros. En cambio, procesar una tonelada de residuos tiene un coste que depende de la planta y el contaminante. Éstos aparecen (en euros) en la siguiente tabla: C1 C2 P1 5 7 P2 4 6 P3 5 5 Procesar una tonelada de residuos necesita el siguiente tiempo (en horas): C1 C2 P1 6 10 P2 4 5 P3 8 7 11
Las plantas pueden procesar residuos durante las veinticuatro horas del día todos los días de la semana. Las plantas disponen de 5, 2 y 3 equipos de procesamiento de residuos, respectivamente. Cada planta sólo puede procesar residuos generados por ella misma. a) Cuál es la política de procesamiento que minimiza el coste total? b) Recientemente, un grupo ecologista ha donado un nuevo equipo de procesamiento de residuos. En qué planta debería instalarse? 12