Algunos resultados acerca de B-matrices.

XXI Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones XI Congreso de Matemática Aplicada Ciudad Real, 21-25 septiembre 2009 (pp. 1 8) Algunos resultados acerca de B-matrices. Manuel F. Abad 1, María T. Gassó 1, Juan R. Torregrosa. 1 1 Instituto de Matemática Multidisciplinar, Universidad Politécnica de Valencia. 46022 Valencia. E-mails: maabrod@mat.upv.es, mgasso@mat.upv.es, jrtorre@mat.upv.es. Palabras clave: B-matriz, P -matriz, suma sub-directa, Hadamard, completación matriz parcial. Resumen En este trabajo presentamos algunos resultados en relación con las B-matrices, introducidas por J.M. Peña en [3], tales como nuevas propiedades, la suma sub-directa o la heredabilidad de este concepto con respecto al producto Hadamard. Generalizamos la clase de B-matrices introduciendo el concepto de DB-matriz. Una DB-matriz es una matriz real de tamaño n n que satisface las mismas condiciones que una B-matriz para las filas, pero además también las satisface simultáneamente para las columnas. Presentamos caracterizaciones de este tipo de matrices, sus relaciones con otras clases conocidas de matrices y sus propiedades hereditarias. Finalmente abordamos el problema de completación de B-matrices parciales. 1. Definiciones. En primer lugar, presentaremos las definiciones de algunos términos que utilizaremos a lo largo del trabajo. Definición 1.1 Una matriz real A = (a ij ), de tamaño n n, se dice que es diagonal dominante por filas (RDD) si a ii k i a ik i = 1,..., n. (1) Definición 1.2 Una matriz real A = (a ij ), de tamaño n n, se dice que es diagonal dominante por columnas (CDD) si a jj k j a kj j = 1,..., n. (2) 1

Manuel F. Abad, María T. Gassó, Juan R. Torregrosa. Si en las dos definiciones previas las desigualdades son estrictas, hablaremos de matriz estrictamente diagonal dominante por filas (SRDD) y matriz estrictamente diagonal dominante por columnas (SCDD), respectivamente. Definición 1.3 El producto Hadamard (o producto componente a componente) de dos matrices A = (a ij ) y B = (b ij ) de tamaño n n es A B = (a ij b ij ). 2. Algunos nuevos resultados sobre B-matrices. Definición 2.1 Una n n matriz real A = (a ij ) se dice que es una B-matriz si para todo i = 1, 2,..., n ( ) 1 a ik > 0 y a ik > a ij, j i. (3) n Estas matrices fueron introducidas por J.M. Peña en [3] donde, además de describir algunas de sus propiedades, presenta aplicaciones de las mismas en la localización de valores propios reales. Un ejemplo de B-matriz podría ser el siguiente. Ejemplo 2.1 21 4 8 2 10 2 Es sencillo comprobar que el ejemplo anterior cumple las condiciones (3). 2.1. Propiedades de las B-matrices A continuación presentamos una serie de propiedades de la clase de B-matrices. Algunas de ellas fueron ya obtenidas en [3], y otras son aportaciones nuestras a este trabajo. Sean A = (a ij ) y B = (b ij ) B-matrices de tamaño n n, y sea α un número real positivo, entonces se cumple: 1. A es no singular con determinante positivo. 2. A es una P -matriz. 3. Los elementos de la diagonal de A cumplen a ii > máx{0, a ij j i}. (4) 4. La media de cada fila de A tiene como límite inferior cualquier elemento de fuera de la diagonal de la fila y como límite superior el elemento de la fila perteneciente a la diagonal. 5. A + B es una B-matriz. 6. αa es una B-matriz. 2

Algunos resultados acerca de B-matrices. 7. El producto de B-matrices no es B-matriz, como se puede comprobar en el siguiente ejemplo. Ejemplo 2.2 Sean las B-matrices 5 4 4 0,1 5 0 y B = 0,1 0 5 2 3 2 el producto de ambas es AB = 29 50,5 74,5 10,1 15,05 10,05 20,1 45,05 80,05 que claramente no es B-matriz. 8. La matriz transpuesta de una B-matriz no es, en general, una B-matriz, como se puede comprobar en el siguiente ejemplo. Ejemplo 2.3 La transpuesta de la matriz 21 4 8 2 10 2 es A T = que claramente no es B-matriz. 21 2 4 4 10 9 8 2 16 9. La inversa de una B-matriz no es, en general, una B-matriz, como podemos comprobar en el siguiente ejemplo. Ejemplo 2.4 La inversa de la B-matriz 2 3 2 no es B-matriz. 10. Todas las submatrices principales de A son B-matrices. 11. Si A es simétrica, entonces es definida positiva. 12. Sea A una Z-matriz, entonces son equivalentes: (i) A es B-matriz. (ii) La suma de cada fila de A es positiva. (iii) A es SRDD con entradas de la diagonal positivas. De esta propiedad se deduce que A es B-matriz y Z-matriz simultáneamente si y sólo si A es M-matriz. 3

Manuel F. Abad, María T. Gassó, Juan R. Torregrosa. 13. Sea A una Z-matriz. Como hemos visto en el punto anterior, si además es B-matriz implica que es M-matriz. Pero si A es M-matriz no tiene por qué ser B-matriz, como podemos ver en el siguiente ejemplo. Ejemplo 2.5 La matriz es M-matriz, pero no es B-matriz. 1 0,5 0,2 0,5 1 0,5 0,5 0,5 1 14. Sea D = diag(d 1,..., d n ), d i > 0 para i = 1,..., n., entonces DA es B-matriz. 15. Sea D = diag(d 1,..., d n ), d i > 0 para i = 1,..., n., entonces DAD 1 no es necesariamente B-matriz, como podemos comprobar en el siguiente ejemplo. Ejemplo 2.6 Sea la B-matriz y sea la matriz diagonal positiva D = 2 3 2 3 0 0 0 5 0 0 0 7 Es sencillo comprobar que DAD 1 no es una B-matriz. 16. Sea P una matriz permutación. Entonces P AP T es una B-matriz. 2.2. Suma sub-directa de B-matrices La suma sub-directa de matrices fue introducida por Johnson y Fallat en [1], recordemos en primer lugar el concepto: Sean A, B matrices cuadradas de tamaño n 1 y n 2, respectivamente, y sea k un entero tal que 1 k mín{n 1, n 2 }. Supongamos que A y B están particionadas de la siguiente manera ( ) ( ) A11 A A = 12 B11 B, B = 12, A 21 A 22 B 21 B 22 donde A 22 y B 11 son matrices cuadradas de tamaño k k. Entonces, la suma sub-directa de orden k de A y B, expresada por C=A k B, es la matriz de tamaño n 1 + n 2 k: A 11 A 12 0 C = A 21 A 22 + B 11 B 12 0 B 21 B 22 Presentamos nuestro resultado principal acerca de la suma sub-directa de B-matrices. Teorema 2.1 Sean A y B B-matrices de tamaño n 1 y n 2 respectivamente, particionadas del modo mencionado anteriormente, y sea C = A k B, con 1 k mín{n 1, n 2 }, la suma sub-directa de orden k de A y B. Entonces C es una B-matriz. 4

Algunos resultados acerca de B-matrices. 2.3. Producto Hadamard de B-Matrices. En esta sección presentamos algunos resultados sobre el producto Hadamard de B- matrices. Teorema 2.2 Sean A y B B-matrices de tamaño n n. Entonces el producto Hadamard A B es una B-matriz. Teorema 2.3 Sea A una B-matriz de tamaño n n. Entonces el producto Hadamard A A 1 es una B-matriz. En general, el producto Hadamard de una B-matriz por la inversa de otra B-matriz distinta no es una B-matriz, como se puede observar en el siguiente ejemplo. Ejemplo 2.7 Sean las B-matrices 21 4 8 2 10 2 B = 2 3 2 Es sencillo comprobar que el producto Hadamard A B 1 no es una B-matriz. 3. DB-matrices. Generalizamos la clase de B-matrices introduciendo el concepto de DB-matriz. Una DB-matriz es una matriz real de tamaño n n que satisface las condiciones (3) no sólo para las filas sino también para las columnas. Presentamos caracterizaciones de este tipo de matrices, sus relaciones con otras clases conocidas de matrices y sus propiedades hereditarias. 3.1. Caracterización de las DB-matrices Definición 3.1 Una n n matriz real A = (a ij ) se dice que es una DB-matriz si para todo i = 1, 2,..., n ( ) 1 a ik > 0 y a ik > a ij, j i. (5) n y, simultáneamente, para todo j = 1, 2,..., n ( ) 1 a kj > 0 y a kj > a ij, j i. (6) n Un ejemplo de esta clase de matrices sería el siguiente: Ejemplo 3.1 1 0,5 0,4 0,3 2 0,1 0,2 0,2 1 Es sencillo comprobar que la matriz A satisface las condiciones (5) y (6). 5

Manuel F. Abad, María T. Gassó, Juan R. Torregrosa. Obviamente, toda DB-matriz es B-matriz, pero el recíproco no es cierto, como se puede comprobar en el siguiente ejemplo. Ejemplo 3.2 La matriz es una B-matriz pero no una DB-matriz. 2 3 2 3.2. Propiedades de las DB-matrices Enumeramos a continuación algunas propiedades hereditarias de las DB-matrices. Sean A = (a ij ) y B = (b ij ) DB-matrices de tamaño n n, y sea α un número real positivo, entonces se cumple: 1. A + B es DB-matriz. 2. αa es DB-matriz. 3. El producto de DB-matrices no es DB-matriz. Ejemplo 3.3 La matriz resultante de multiplicar por sí misma la matriz del ejemplo 3.1 no es DB-matriz. 4. A T es DB-matriz. 5. La inversa de A es DB-matriz. Además, si todas las entradas de A son positivas, la inversa de A es M-matriz. 6. A es B-matriz y, en consecuencia, P -matriz. 7. A es no singular y su determinante es positivo. 8. Las submatrices principales de A son DB-matrices. 9. Sea D = diag(d 1,..., d n ), d i > 0 para i = 1,..., n., entonces DA es una DBmatriz. 10. Sea D = diag(d 1,..., d n ), d i > 0 para i = 1,..., n., entonces DAD 1 no es necesariamente una DB-matriz, como podemos comprobar en el siguiente ejemplo. Ejemplo 3.4 Sea la DB-matriz del ejemplo 3.2, y sea la matriz diagonal positiva 0,1 0 0 D = 0 5 0 0 0 7 Es sencillo comprobar que DAD 1 no es una DB-matriz. 11. Sea P una matriz permutación. Entonces P AP T es una DB-matriz. 6

Algunos resultados acerca de B-matrices. 12. Se cumple lo siguiente para los elementos de la diagonal de una DB-matriz: a ii > máx{0, a ij j i} a jj > máx{0, a ij j i} (7) 13. Cada media de cada fila tiene como límite inferior cualquier elemento de fuera de la diagonal de la fila y como límite superior el elemento de la fila perteneciente a la diagonal. Cada media de cada columna tiene como límite inferior cualquier elemento de fuera de la diagonal de la columna y como límite superior el elemento de la columna perteneciente a la diagonal. Además de las propiedades anteriores, se obtienen las que presentamos a continuación. Proposición 3.1 Sea A una DB-matriz simétrica. Entonces A es definida positiva. Proposición 3.2 Sea A una Z-matriz. Entonces, son equivalentes: (i) A es una DB-matriz. (ii) La suma de las filas de A y la suma de las columnas de A es positiva. (iii) A es SRDD y SCDD con entradas positivas en la diagonal. Corolario 3.1 Sea A una DB-matriz. Entonces A es Z-matriz si y sólo si es M-matriz. Corolario 3.2 Sea A una Z-matriz. Entonces A es DB-matriz si y sólo si A es B-matriz. Teorema 3.1 Sean A y B DB-matrices de tamaño n 1 y n 2 respectivamente, particionadas como en el teorema 2.1, y sea C = A k B, con 1 k mín{n 1, n 2 }, la suma sub-directa de orden k de A y B. Entonces C es una DB-matriz. 4. Completacíón de B-matrices parciales. En esta última sección abordamos el problema de completación de B-matrices parciales. Una matriz parcial es una matriz en la cual algunas de sus entradas son especificadas y otras no. Cuando se le asignan valores a las entradas no especificadas, la matriz resultante recibe el nombre de completación de la matriz parcial. En un problema de completación nos planteamos bajo qué condiciones podemos obtener una completación de una matriz parcial con algunas propiedades preestablecidas. Una matriz parcial decimos que es una B-matriz parcial si cualquier submatriz completamente especificada es una B-matriz. Estudiamos en este trabajo bajo qué condiciones una B-matriz parcial admite una completación B-matriz. Partiendo de la heredabilidad del concepto de B-matriz por diagonales positivas podemos, sin pérdida de generalidad, suponer que los elementos de la diagonal de las B-matrices parciales están especificados y son unos. Estudiamos, en primer lugar, el caso no posicionalmente simétrico, esto es, aquél en el que las incógnitas aparecen en posiciones no simétricas de la matriz parcial. Comenzamos con B-matrices parciales 3 3 donde sólo existe un elemento no especificado. Sea la B-matriz parcial 7

Manuel F. Abad, María T. Gassó, Juan R. Torregrosa. 1 a 12 x a 21 1 a 23 a 31 a 32 1 Esta matriz admite completación B-matriz siempre que 1 a 12 < x < 1 + a 12, a 12 ] 1, 1[. 2 Para órdenes mayores de la B-matriz parcial, en general no existe completación B- matriz, como se puede observar en el siguiente ejemplo. Ejemplo 4.1 La B-matriz parcial de tamaño 4 4 A = 1 a 12 x a 14 a 21 1 a 23 a 24 a 31 a 32 1 a 34 a 41 y a 43 1 no admite completación B-matriz para ninguna combinación de valores de x e y. En cuanto al caso posicionalmente simétrico (incógnitas en posiciones simétricas de la matriz parcial), en general la respuesta al problema es negativa, como podemos comprobar en el siguiente ejemplo. Ejemplo 4.2 La B-matriz parcial A = no admite completación B-matriz. 1 0,8 x 0,7 0,2 1 0,4 y z 0,1 1 0,2 0,1 t 0,3 1 Sin embargo, podemos demostrar el siguiente resultado. Teorema 4.1 Sea A una B-matriz parcial, posicionalmente simétrica, de tamaño 3 3 con diagonal especificada. Entonces A admite completación B-matriz. Estamos trabajando para establecer condiciones bajo las cuales una B-matriz parcial, posicionalmente simétrica, de tamaño n n, n > 4, admite una completación B-matriz. Referencias [1] S. Fallat, C. Johnson, Sub-direct sums and positivity classes of matrices. Linear Algebra and its Applications, 288 (1999), 149-173. [2] C. Johnson. A Hadamard Product involving M-matrices. Linear and Multilinear Álgebra 1977, Vol.4, pp. 261-264. [3] J. M. Peña, A class of P-Matrices with applications to the localization of the eigenvalues of a real matrix, Siam J. Matrix Anal. Appl. Vol. 22, No. 4, pp. 1027-1037, 2001. 8