Apuntes: Matemáticas Financieras 1. Lección 5 - Comparación y Sustitución de capitales 1.1. Comparación de Capitales Se dice que dos capitales son equivalentes cuando tienen el mismo valor en la fecha en la que se efectúa la comparación. Si se utiliza la ley financiera de descuento comercial o racional, la fecha es el momento presente p = 0) y por lo tanto deben coincidir los momentos actuales. Si se utiliza la ley financiera de capitalización simple, la comparación se realiza en la fecha de acumulación de intereses. El esquema gráfico se presenta en el gráfico 1) Figura 1: Comparación de capitales: Descuento Así, dados dos capitales C 1, t 1 ) y C 2, t 2 ) y una ley de descuento de tal forma que C 1, t 1 ) V 1 0 y que C 2, t 2 ) V 2 0, entonces dichos capitales serán equivalente si V 1 0 = V 2 0. Si la ley de descuento utilizada es el descuento comercial a tanto d, los valores actuales toman la forma V 1 0 = C 1 1 d t 1 ) y V 2 0 = C 2 1 d t 2 ). Si se utiliza el descuento racional los valores actuales toman la forma V 1 0 = C 1 1+i t 1 y V 2 0 = C 2 1+i t 2 y si se utiliza el descuento compuesto V 1 0 = C 1 1 d) t 1 y V 2 0 = C 2 1 d) t 2 Por otro lado, se pueden ordenar los capitales comparando los valores en la fecha de comparación. Así, en el caso del descuento si V 1 0 > V 2 0 entonces se preferirá el capital C 1, t 1 ), es decir: Si V 1 0 > V 2 0 = C 1, t 1 ) C 2, t 2 ) 1
1.1 Comparación de Capitales Se ha de pagar una letra de 7500 euros dentro de 60 días y se acuerda hoy sustituirla por otra de cuantía equivalente con vencimiento dentro de 120 días aplicando el descuento comercial al 12 % anual. Si se utiliza el año comercial, determinar dicha cuantía. Hoy el valor actual de la letra de 7500 euros toma la forma aplicando la ley de descuento comercial) ) V0 1 60 = C 1 1 d t 1 ) = 7500 1 0,12 = 7350 360 Por otro lado, la otra letra tendrá un valor actual que dependerá de la cuantía y que toma la forma: V0 2 = C 2 1 d t 2 ) = C 2 1 0,12 120 ) = C 2 0,96 360 Ambos capitales serán equivalentes si los valores actuales coinciden V 1 0 = V 2 0 y esto ocurre si 7350 = C 2 0,96 Y por lo tanto C 2 = 7350 0,96 = 7656,25 En otros casos queremos comparar capitales en un instante p mayor a ambos vencimientos. Para ello, se utiliza la ley de capitalización siendo p es el momento de acumulación de capitales. Así se encuentra C 1, t 1 ) Mp 1 y C 2, t 2 ) Mp 2. Entonces ambos capitales serán equivalente si el montante de ambos coincide en p, es decir si Mp 1 = Mp 2. El esquema gráfico se presenta en el gráfico 2) 2
Apuntes: Matemáticas Financieras Figura 2: Comparación de capitales: Capitalización Si la ley de capitalización utilizada es la capitalización simple al tipo i, los montantes toman la forma M 1 = C 1 1 + i t 1 ) y M 2 = C 2 1 + i t 2 ). Si se utiliza la capitalización compuesta, los montantes son M 1 = C 1 1 + i) t 1 y M 2 = C 2 1 + i) t 2. Por último, al igual que ocurría con las leyes de descuento, con las leyes de capitalización no sólo sirven para encontrar capitales equivalente sino que también sirven para ordenar capitales. Para ello se comparan los montantes en el instante p y se observa si se cumple: Si Mp 1 > Mp 2 = C 1, t 1 ) C 2, t 2 ) El 14 de Junio se han colocado treinta mil euros en capitalización simple al 12 % anual. Sabiendo que los intereses se acumulan al final del año obtener el capital equivalente el día 2 de octubre se utiliza el año comercial). En primer lugar, del 14 de junio al 31 de diciembre hay 200 días y del 2 de octubre al 31 de diciembre hay 90 días. Para encontrar el capital equivalente hay que igualar los montantes de la capitalización en el momento del devengo de intereses, es decir el 31 de diciembre. Para el primer capital, el montante toma la forma: M 1 = C 1 1 + i t 1 ) = 30000 1 + 0,12 200 ) = 30000 1,066) = 32000 360 Para el segundo capital, el montante toma la forma: 3
1.1 Comparación de Capitales M 2 = C 2 1 + i t 2 ) = C 2 ) 90 1 + 0,12 = C 2 1,03) 360 Ambos capitales serán equivalentes si los montantes coinciden, cosa que ocurre si C 2 1,03) = 32000 C 2 = 32000 1,03 = 31067,96 Si se utiliza la ley de descuento compuesto o capitalización compuesta, la comparación se puede hacer en cualquier momento del tiempo. Problema: Si se utilizan leyes financieras simples, la equivalencia o comparación de capitales se modifica al variar la fecha en la que se efectúa la operación. Por ejemplo, para el descuento comercial se observa que dados capitales que están en dos momentos del tiempo, y un instante p, el descuento del primero será: y para el segundo C 1 [1 d t 1 p)] p, es decir si: C 2 [1 d t 2 p)] Ambos serán equivalentes si coinciden los valores descontados en el instante y despejando: C 1 [1 d t 1 p)] = C 2 [1 d t 2 p)] C 1 = C 2 [1 d t 2 p)] [1 d t 1 p)] 4
Apuntes: Matemáticas Financieras resultado que depende no solo de t 1 y t 2 sino también de p y por lo tanto variando p se puede variar la relación de equivalencia. Si se utiliza el descuento compuesto, la igualdad queda: y despejando C 1 1 d) t 1 p = C 2 1 d) t 2 p C 1 = C 2 1 d)t 2 p 1 d) t 1 p = C 2 1 d) t 2 p t 1 +p = C 2 1 d) t 2 t 1 que no depende del momento p. Por lo tanto, cuando se comparan capitales con leyes simples se debe especificar el momento de la comparación mientras que si se utilizan leyes compuestas el resultado no depende de la fecha en la que se haga la comparación. El 14 de Junio se han colocado treinta mil euros en capitalización simple al 12 % anual. Sabiendo que los intereses se acumulan el 1 de Diciembre obtener el capital equivalente el día 2 de octubre se utiliza el año comercial). Comparar el resultado en el caso de que los capitales se acumularan a final de año. Ahora, en este caso, el número de dias que pasan del 14 de junio al 1 de diciembre es 170 y del 2 de octubre al 1 de diciembre es 60 días. Para encontrar el capital equivalente hay que igualar los montantes de la capitalización en el momento del devengo de intereses, es decir el 11 de diciembre. Para el primer capital, el montante toma la forma: M 1 = C 1 1 + i t 1 ) = 30000 1 + 0,12 170 ) = 30000 1,056) = 31700 360 Para el segundo capital, el montante toma la forma: 5
1.2 Suma de Capitales M 2 = C 2 1 + i t 2 ) = C 2 ) 60 1 + 0,12 = C 2 1,02) 360 Ambos capitales serán equivalentes si los montantes coinciden, cosa que ocurre si C 2 1,02) = 31700 C 2 = 31700 1,02 = 31078,43 Ahora el capital equivalente es 31078.43e que es distinto a 31067.96 e que era el capital equivalente si se utilizaba como momento de valoración el 31 de diciembre. Por lo tanto la relación de equivalencia cambia si se modifica p, el momento de valoración. 1.2. Suma de Capitales A veces, en la práctica, surge la necesidad de sustituir dos capitales por un único capital, o lo que es lo mismo, sumar ambos capitales. Así, dados C 1, t 1 ) y C 2, t 2 ) y una ley financiera de valoración en p, el capital C, t) es la suma de los capitales anteriores si se verifica para el descuento comercial con p = 0 la siguiente igualdad: C 1 1 d t 1 ) + C 2 1 d t 2 ) = C 1 d t) En la ecuación anterior hay dos incógnitas C y t por lo que se debe fijar una de ellas para encontrar la otra. Lo más usual es fijar t y calcular C. Si se quiere encontrar la suma a partir de la ley de capitalización simple dado un instante p, dicha expresión es: C 1 [1 + i p t 1 )] + C 2 [1 + i p t 2 )] = C [1 + i p t)] 6
Apuntes: Matemáticas Financieras La fecha t en la que se efectúa la suma se denomina vencimiento común. Una familia tiene dos depósitos en el banco, uno de 20000 euros que vence dentro de 3 meses y otro de 15000 euros que vence dentro de 5 meses. Ambos depósitos están retribuidos a un interés simple del 5 %. Si se quieren cambiar ambos por otro capital, retribuido al mismo tipo, que venza dentro de 6 meses, encontrar la cuantía que resulta equivalente si se utiliza como momento de valoración un año a partir de este momento. Para sumar ambos capitales se valoran dentro de un año y se suman. El primer capital valdrá dentro de un año lo siguiente: C 1 [1 + i p t 1 )] = 20000 [1 + 0,05 1 312 ] ) = 20000 1,0375 = 20750 y el segundo valdrá: C 2 [1 + i p t 2 )] = 15000 [1 + 0,05 1 512 ] ) = 15000 1,0292 = 15437,5 será Por otro lado, el capital suma con vencimiento 6 meses y valorado en 1 año C [1 + i p t)] = C [1 + 0,05 1 612 ] ) = C 1,025 Y la suma de los capitales en p debe ser igual la capital suma y por lo tanto C 1,025 = 20750 + 15437,5 = 36187,4 C = 36187,4 1,025 = 35304,88 7
1.2 Suma de Capitales En la práctica a veces se exige que C = C 1 + C 2 siendo la incognita en ese caso t que se denomina vencimiento medio. Para obtenerlo, se sustituye la igualdad anterior en las ecuaciones de la suma. Para el descuento sería: C 1 1 d t 1 ) + C 2 1 d t 2 ) = C 1 + C 2 ) 1 d t) y simplificando se obtiene: t = C 1 t 1 + C 2 t 2 C 1 + C 2 Siendo el vencimiento medio la media ponderada de los vencimientos de cada activo y siendo los pesos de la ponderación las cuantías C 1 y C 2. Se han de pagar dos letras, la primera de diez mil euros dentro de 45 días y la segunda de veinte mil euros dentro de 90 días y se decide sustituirlas por una sola. Si la letra tiene que ser la suma aritmética de las dos anteriores y se utiliza el descuento comercial al 15 % anual, Cual debe ser el vencimiento de dicha letra? El ejercicio está pidiendo el vencimiento medio, ya que la cuantía de la suma de ambos capitales es justamente la suma aritmética C = C 1 + C 2, que en este caso toma el valor C = 10000 + 20000 = 30000. El vencimiento se obtiene a partir de la expresión del vencimiento medio: t = C 1 t 1 + C 2 t 2 C 1 + C 2 = 10000 45 + 20000 90 10000 + 20000 = 75 días. Y por lo tanto la letra debe ser de treinta mil euros a pagar dentro de 75 Si se utiliza la capitalización simple, sustituyendo la suma en C, se obtiene: C 1 [1 + i p t 1 )] + C 2 [1 + i p t 2 )] = C 1 + C 2 ) [1 + i p t)] 8
Apuntes: Matemáticas Financieras y simplificando se obtiene la misma expresión para el vencimiento medio: t = C 1 t 1 + C 2 t 2 C 1 + C 2 Y por lo tanto, el vencimiento medio con el descuento comercial y la capitalización simple es igual y no depende ni del momento en que se haga la valoración ni de los tantos i ó d, tan solo depende de los capitales sumados. n capitales: De forma intuitiva, la expresión del tipo medio se puede extender al caso de t = C 1 t 1 + C 2 t 2 + + C n t n C 1 + C 2 + + C n Si la ley de capitalización fuese otra más compleja por ejemplo la compuesta) entonces la expresión del vencimiento medio se obtendría de forma análoga pero tendría una expresión más complicada. Así, en el caso del descuento compuesto, dicho vencimiento se obtiene de: C 1 1 + i) t 1 + C 2 1 + i) t 2 = C 1 + i) t y de nuevo, al sustituir la condición C = C 1 + C 2 se obtiene que C 1 1 + i) t 1 + C 2 1 + i) t 2 = C 1 + C 2 ) 1 + i) t o que y tomando logaritmos 1 + i) t = C 1 1 + i) t 1 + C 2 1 + i) t 2 C 1 + C 2 C1 1 + i) t 1 + C 2 1 + i) t ) 2 t Ln1 + i) = Ln C 1 + C 2 9
1.2 Suma de Capitales o también ) Ln C1 1+i) t 1 +C 2 1+i) t 2 C 1 +C 2 t = Ln1 + i) Se han de pagar dos letras, la primera de diez mil euros dentro de 45 días y la segunda de veinte mil euros dentro de 90 días y se decide sustituirlas por una sola. Si la letra tiene que ser la suma aritmética de las dos anteriores y se utiliza el descuento compuesto al tanto de descuento 15 % anual, Cual debe ser el vencimiento de dicha letra? En primer lugar, el tanto de descuento implica un tipo de interés de: i = 0,15 1 0,15 = 0,176 El ejercicio está pidiendo el vencimiento medio, ya que la cuantía de la suma de ambos capitales es justamente la suma aritmética C = C 1 + C 2, que en este caso toma el valor C = 10000 + 20000 = 30000. El vencimiento se obtiene a partir de la expresión del vencimiento medio: ) Ln C1 1+i) t 1 +C 2 1+i) t 2 C 1 +C 2 t = Ln1 + i) Ln = 10000 1+0,176) 45 +20000 1+0,176) 90 10000+20000 Ln1 + 0,176) ) = 52 días. Y por lo tanto la letra debe ser de treinta mil euros a pagar dentro de 52 Con la capitalización compuesta se haría de forma similar. Sin embargo, es importante señalar que el vencimiento medio se aplica fundamentalmente en operaciones de corto plazo donde se utilizan leyes financieras simples. 10
Apuntes: Matemáticas Financieras 1.2.1. Desdoblamiento de capitales El desdoblamiento de capitales es la operación inversa a la suma de capitales, ya que en este caso se tiene un capital suma y se pretende descomponer entre varios capitales. Se suele utilizar cuando el deudor debe realizar un pago grande en t y quiere sustituirlo por pagos más pequeños en diversos momentos del tiempo. En operaciones de corto plazo se utiliza el método del vencimiento medio en descuento comercial. Así, si el capital C, t) se quiere desdoblar en capitales C 1, t 1 ) y C 2, t 2 ), a partir del sistema: C = C 1 + C 2 t = C 1 t 1 +C 2 t 2 C 1 +C 2 Se obtienen las soluciones para t 1 y t 2 dados C 1 y C 2 o las soluciones para C 1 y C 2 dados t 1 y t 2. Por ejemplo, para el segundo caso se obtiene que: y C 1 = C t 2 t) t 2 t 1 C 2 = C t t 1) t 2 t 1 Se ha de pagar una letra de diez mil euros dentro de 2 meses. Debido a que la empresa tiene dificultades para pagar dicha letra, negocia la posibilidad de pagar una letra dentro de 1 mes y otra dentro de 4 meses.si se utiliza el descuento comercial al tanto de descuento del 15 % anual, Cual deben ser las cuantías de las nuevas letras? Aplicando las expresiones anteriores, las cuantías toman la forma: C 1 = C t 2 t) t 2 t 1 = 10000 4 2) 4 1 11 = 20000 3 = 6666,66
1.2 Suma de Capitales y C 2 = C t t 1) t 2 t 1 = 10000 2 1) 4 1 = 10000 3 = 3333,33 Un caso especial de desdoblamiento de capitales se denomina prórroga de vencimiento. En ese caso el capital suma C, t) se desdobla en dos capitales de tal forma que en un momento del tiempo se paga una parte C 1, t 1 ) y hay que determinar en que momento se paga el resto t 2 ). En ese caso el sistema que hay que resolver es el que aparece arriba pero ahora la incógnita es t 2 : C 2 = C C 1 y la solución es t = C 1 t 1 +C 2 t 2 C 1 +C 2 t 2 = C t + C 1 t 1 C 2 Se ha de pagar una letra de diez mil euros dentro de 2 meses. Debido a que la empresa tiene dificultades para pagar dicha letra, negocia la posibilidad de pagar una letra de dos mil euros dentro de 1 mes y el resto en otro momento del tiempo. Si se utiliza el descuento comercial al tanto de descuento del 15 % anual, Cual debe ser el vencimiento para la letra restante de ocho mil euros? Lo que se pretende encontrar es la prórroga de vencimiento cuya solución, como se ha visto antes, es: t 2 = C t + C 1 t 1 C 2 = 10000 2 + 2000 1 8000 = 22000 8000 = 2,75 Debe pagarse a los 2.75 meses. 12