TEMA 1: Divisibilitat Teoria 1.0 Repàs de nombres naturals. Jerarquia de les operacions Quan en una expressió apareixen operacions combinades, l ordre en què les hem de fer és el següent: 1. Les operacions que hi ha entre parèntesis 2. Les potencies i arrels 3. Els productes i les divisions, d esquerra a dreta 4. Les sumes i les restes, d esquerra a dreta Calculeu la expressió: 2 + 4 5 (5 3) 12:4 Recorda 1. Primer sempre els parèntesis i respectem sempre l ordre. 2 + 4 5 - ( 5 3 ) + 12:4 = 2 + 4 5 2 + 12:4 = 2. Fem les multiplicacions i divisions 2 2 + 4 5 2 + 12 : 4 = 2 + 20 2 + 3 20 3 3. Fem les sumes i les restes 2 + 20 2 + 3 = 23
1.1 Divisibilitat en els nombres naturals Elements de la divisió de nombres naturals: Dividend ( D ) divisor ( d ) Residu ( r ) quocient ( q ) Una divisió és exacta si el residu és zero, en aquest cas es compleix que D = d q Una divisió és entera o inexacta si el residu és diferent de zero, en aquest cas D = d q + r Quan una divisió entre dos nombres és exacta, diem que entre els dos nonbres hi ha una relació de divisibilitat, D és divisible per d 1.2 Múltiples d un nombre Un nombre b és múltiple d un nombre a si la divisió de b entre a és exacta NOTA 24 és múltiple de 8 ja que la divisió de 24 entre 8 és exacta (8 3 =24) 25 o és múltiple de 8 ja que la divisió de 25 entre 8 no és exacta (8 3+1 =24) Per obtenir multiples d un nombre només cal multiplicar-lo per 1,2,3, 4... 1.3 Divisors d un nombre Un nombre a és divisor d un altre nombre b si la divisió de b entre a és exacta 8 és divisor de 24 ja que la divisió de 24 entre 8 és exacta (8 3 =24) 8 no és divisor de 25 ja que la divisió de 25 entre 8 no és exacta (8 3+1 =24) NOTA Qualsevol nombre a és divisor de si mateix (la divisió de a entre a sempre és exacta) El nombre 1 sempre és divisor de qualsevol nombre a (la divisió de a entre 1 sempre és exacta) Mètode per trobar tots els divisors d un nombre: es tracta de escriure tots els possibles productes per obtenir el nombre
Trobeu tots els divisors de 24. 1 24= 24 2 12 = 24 3 8 = 24 Divisors de 24 = {1,2,3,4,6,8,12,24} 4 6 = 24 1.4 Nombres primers i compostos Un nombre a és primer si només és divisible per 1 i per el mateix (els seus únics divisors són l 1 i el mateix) Si un nombre a té més divisors que l 1 i ell mateix direm que és un nombre compost El nombre 1 no és ni primer ni compost Divisors de 24 = {1,2,3,4,6,8,12,24} el nombre 24 és compost Divisors de 17 = {1,17} el nombre 17 és primer 1.5 Criteris de divisibilitat Un nombre és divisible per 2 si acaba en 0 o parell (2,4,6,8). Ex: 10, 24, 62, 5.256, 90.070,... Un nombre és divisible per 3 si la suma de les seves xifres dóna 3, 6, 9 (o múltiple de tres). Ex: 21, 612, 1.359 (1+3+5+9=18=1+8=9),... Un nombre és divisible per 5 si acaba en 0 o 5.. Ex: 30, 555, 660, 89.995,.. Un nombre és divisible per 6 si ho és a la vegada de 2 i 3. Ex: 672 ( acaba en parell i 6+7+2=15=1+5=6),... Un nombre és divisible per 9 si la suma de les seves xifres dóna 9 (o múltiple de 9). Ex: 79.443 (7+9+4+4+3=27=2+7=9),...
Un nombre és divisible per 10 si acaba en 0. Ex: 10, 700, 9.789.540,... Un nombre és divisible per 11 si la suma de les xifres que ocupen lloc parell menys la suma de les xifres que ocupen lloc senar dóna 0 o múltiple de 11. Ex: 6.237 (6+3= 9, 2+7=9, 9-9=0), 91.839 (9+8+9=26, 1+3=4, 26-4=22),... Un nombre és divisible per 15 si ho és a la vegada de 3 i 5. Ex: 56.970 (acaba en 0 i 5+6+9+7=27=2+7=9),... 1.6 Factorització d un nombre Factoritzar un nombre és descompondre l en factors primers, es a dir, expressar-lo com a producte dels seus divisors primers. Descomponeu en factors primers el nombre 60 Per factoritzar un nombre utilitzarem els següent mètode: 60 2 (60 és divisible per 2) 60 : 2 = 30 2 (30 és divisible per 2) 30 : 2 = 15 3 (15 ja no és divisible per 2 per si per 3) 15 : 3 = 5 5 (5 ja no és divisible per 3 per si per 5) 5 : 5 = 1 Factorització 60 = 2 2 3 5 = 2 2 3 5 1.7 Màxim comú divisor (m.c.d.) El màxim comú divisor de dos o més nombres és el seu divisor comú més gran. Es representa per m.c.d. Trobeu el màxim comú divisor de 12 i 40 1 12= 12 1 40 = 40 2 6 = 12 2 20 = 40 3 4 = 12 4 10 = 40 5 8 = 40 Divisors de 12 = {1,2,3,4,6,12} El divisor comú més gran és 4 m.c.d.(12,40) = 4 Divisors de 40 = {1,2,4,5,8,10,20,40}
NOTA Per calcular el màxim comú divisor de diversos nombres seguirem els següents passos: Descomponem els nombres en factors primers Triem els factors comuns, elevats a l exponent més petit El producte d aquest nombres és el m.c.d. Trobeu el màxim comú divisor de 24 i 60 24 2 60 2 12 2 30 2 6 2 15 3 3 3 5 5 1 1 24 = 2 3 3 60 = 2 2 3 5 m.c.d (24, 60) = 2 2 3 = 4 3 = 12 1.8 Mínim comú múltiple (m.c.m.) El mínim comú múltiple de dos o més nombres és el seu múltiple comú més petit. Es representa per m.c.m. Trobeu el mínim comú múltiple de 4 i 6 múltiples de 4 = {4,8,12,16,20,24,28,32,36,40...} múltiples de 6 = {6,12,18,24,30,36,42,...} NOTA El múltiple comú més petit és 12 m.c.m.(4,6) = 12 Per calcular el mínim comú múltiple de diversos nombres seguirem els següents passos: Descomponem els nombres en factors primers Triem els factors comuns i no comuns, elevats a l exponent més gran El producte d aquest nombres és el m.c.m.
Trobeu el mínim comú multiple de 24 i 60 24 2 60 2 12 2 30 2 6 2 15 3 3 3 5 5 1 1 24 = 2 3 3 60 = 2 2 3 5 m.c.m (24, 60) = 2 3 3 5 = 8 3 5 = 120