GUÍA DE MATEMÁTICAS I Lección 4: Divisibilidad Múltiplos y divisores A veces nos interesa saber si una cantidad se puede repartir exactamente en partes iguales. Por ejemplo cuando pagamos una cuenta entre varios amigos. Aquí daremos criterios simples para saber si una división es exacta entre algunos números sencillos. Empezaremos por ver los conceptos de múltiplo y divisor que usaremos posteriormente. Si multiplicamos un número natural por todos los números naturales obtenemos todos sus múltiplos. Por ejemplo si multiplicamos 2 por todos los naturales obtenemos los múltiplos de 2: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26,... Un número que es múltiplo de 2 se llama par; si no es múltiplo de 2 se llama impar. Si dividimos un número par entre 2 la división es exacta. Decimos que 2 es divisor de cualquier número par o que 2 divide a cualquier número par, o que los números pares son divisibles entre dos o que son divisibles por dos. Conocemos bien los diez primeros múltiplos de cada dígito porque aparecen en la tabla de multiplicar. A continuación hemos puesto los primeros 15 múltiplos de 2, 3, 5, 6 y 9 para hacer algunos comentarios sobre ellos. 54 múltiplos de 2: 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28... múltiplos de 3: 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42... múltiplos de 5: 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70...
LECCIÓN 4 múltiplos de 6: 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84... múltiplos de 9: 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 117 126... múltiplos de 10: 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140... Observe que: 0 es múltiplo de cualquier número. Los múltiplos de 2 terminan en los dígitos pares 0, 2, 4, 6 u 8. Cualquier número que termine en un dígito par es divisible entre 2. Por ejemplo 578 es divisible por 2 porque termina en 8. Los múltiplos de 5 terminan en 0 o en 5. Cualquier número que termine en 0 o en 5 es divisible entre 5. Por ejemplo 135 es divisible por 5 porque termina en 5. Los múltiplos de 10 terminan en 0. Cualquier número que termine en 0 es divisible entre 10. Por ejemplo 1340 es divisible por 10 porque termina en cero. Los múltiplos de 3 terminan en cualquier cifra; sin embargo si sumamos las cifras de un múltiplo de 3, la suma es múltiplo de 3. Por ejemplo en 42 tenemos que 4 + 2 = 6 y 6 = 3 2. Cualquier número en que la suma de sus cifras es múltiplo de 3, es divisible entre 3. Por ejemplo 92145 es divisible por 3 porque 9 + 2 + 1+ 4 + 5 = 21 y 21 = 3 7. Otro ejemplo: es divisible entre 3 el número 8579796? Hacemos 8 + 5 + 7 + 9 + 7 + 9 + 6 = 51, y podemos repetir el procedimiento con el resultado: 5 + 1 = 6, que es múltiplo de 3: entonces 8579796 es divisible por 3. Los múltiplos de 9 terminan en cualquier cifra, sin embargo si sumamos las cifras de un múltiplo de 9, la suma es múltiplo de 9. Por ejemplo en 117 tenemos que 1 + 1 + 7 = 9 y 9 = 3 3. Cualquier número en que la suma de sus cifras es múltiplo de 9, es divisible entre 9. Por ejemplo 83214 es divisible por 9 porque 8 + 3 + 2 + 1 + 4 = 18 y 18 = 9 2. Otro ejemplo: 87694587 es divisible por 9 porque 8 + 7 + 6 + 9 + 4 + 5 + 8 + 7 = 54 y 5 + 4 = 9 (o bien: 54 = 9 6). 55
GUÍA DE MATEMÁTICAS I Los múltiplos de 6 son múltiplos de 2 y de 3. C u a l q u i e r número que sea divisible entre 2 y por 3 es divi s i b l e entre 6. Por ejemplo 45672 es divisible por 6 porque es par y porque 4 + 5 + 6 + 7 + 2 = 24 y 24 = 3 8. Con estas observaciones podemos saber si la división entre 2, 3, 5, 6, 9 ó 10 va a ser exacta antes de hacerla y si no es exacta sabremos cuál va a ser el residuo. Veamos unos ejemplos: El número 7920 es divisible entre 2, por 5 y por 10 porque termina en 0, es divisible entre 3 y por 9 porque 7 + 9 + 2 = 18 y 18 = 3 6 = 9 2, es divisible entre 6 porque es divisible entre 2 y entre 3. El número 7921 no es divisible por 2, ni por 5, ni por 10 porque termina en 1, no es divisible por 3 ni por 9 porque 7 + 9 + 2 + 1 = 19 y 19 no es múltiplo de 3 ni de 9, y no es divisible por 6 porque no es divisible por 2. Si dividimos 7921 entre 2, o entre 5, o entre 10, nos va a sobrar uno que es lo que le sobra a la última cifra para ser 0. Si dividimos 7921 entre 3 o entre 9, nos va a sobrar uno que es lo que le sobra a la suma de las cifras para ser 18 que es el múltiplo de 3 y de 9 inmediatamente anterior a 19. El número 7005 es divisible entre 5 porque termina en 5 y es divisible entre 3 porque 7 + 5 = 12 y 12 = 3 4. Este número no es divisible entre 2 porque termina en una cifra impar, no es divisible entre 10 porque no termina en 0, no es divisible entre 6 porque no es divisible entre 2, y no es divisible entre 9 porque 12 no es múltiplo de 9. Si dividimos 7005 entre 2, sobra 1 porque 4 es el dígito par más cercano a 5 y menor que 5. Si lo dividimos entre 10, sobran 5 porque es lo que le sobra a la terminación para ser 0. Si dividimos entre 6, sobran 3 porque en 7002 la suma de las cifras es múltiplo de 3 y la terminación es par. Si dividimos entre 9, sobran 3 pues a 12 le sobran 3 para ser múltiplo de 9. 56
LECCIÓN 4 a) Encuentre los primeros quince múltiplos de 4, los de 7 y los de 8. b) Qué puede decir de los múltiplos de 4 y de 8? c) Encuentre cinco divisores distintos de 60. Tiene más? d) Encuentre tres números que sean múltiplos de 4 y también de 10. e) Encuentre el número más pequeño que sea múltiplo de 4 y 7, de 4 y 8, de 4, 7 y 8. f) Diga si los siguientes números son divisibles por 2, 3, 5, 6, 9 ó 10: 382 945 4200 5994 1201 76950 g) Encuentre el número más cercano a 382 que sea divisible entre 3. a) Al dividir un número natural entre 7 se obtiene un residuo de 3. El número es divisible por 7? Cuál es el menor número que hay que sumarle para obtener un múltiplo de 7? Cuál es el menor número que hay que restarle para obtener un múltiplo de 7? b) Al dividir un número natural entre 5 se obtiene un residuo de 2. Si se le agrega un número que es mayor que 15 y menor que 20 se obtiene un múltiplo de 5. Qué número se agregó? Números primos Hay números que solamente son divisibles entre uno y entre ellos mismos. Los números distintos de uno que sólo s o n divisibles entre uno y por ellos mismos se llaman n ú m e r o s primos. Por ejemplo a 5 sólo lo dividen 1 y 5, es un número 57
GUÍA DE MATEMÁTICAS I primo. De la misma manera, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc. son números primos. Estos números son especialmente importantes porque con ellos se pueden construir todos los demás con multiplicaciones, por ejemplo como 6 = 2 3, 6 no es primo, pero 2 y 3 sí lo son. Siempre se puede escribir un número natural como producto de factores primos. Para descomponer un número en factores primos lo dividimos consecutivamente entre los números primos. Por ejemplo, para descomponer 45 en factores primos tomamos el primer número primo, 2, vemos si 45 es divisible entre 2, como 45 es impar no es divisible entre 2; tomamos el s i g u i e n t e número primo, 3, vemos si 45 es divisible entre 3, como 4 + 5 = 9, sabemos que sí es divisible entre 3 y lo dividimos: 45 3 = 15; como 15 también es divisible entre 3, lo dividimos: 15 3 = 5; como 5 ya sólo es divisible entre 5, lo dividimos: 5 5 = 1, y ya terminamos. Hemos dividido 45 consecutivamente entre 3, entre 3 y entre 5, entonces 45 = 3 3 5. Se acostumbra escribir estas divisiones consecutivas poniendo una raya vertical a la derecha del número, anotar a la derecha el divisor que usamos y bajo el número el cociente de cada división. 45 3 15 3 5 5 1 Cuando tenemos la descomposición en factores primos de un número podemos encontrar todos los divisores de ese número, combinando los factores primos en multiplicaciones de dos en dos, de tres en tres, etcétera. Por ejemplo, como 42 = 2 3 7, podemos saber que los divisores de 42, además de 2 y 5, son: 2 3 = 6, 2 7 = 14 y 3 7 = 21. Cómo podemos saber cuándo un número es primo? Pongamos por ejemplo el número 97. No es divisible por los primeros tres primos: ni por 2, ni por 3, ni por 5. Si intentamos dividirlo entre 7 nos da 13 y un residuo de 6, entonces no es divisible por 7. El siguiente número primo 58
LECCIÓN 4 es 11. Si intentamos dividir 97 entre 11, nos da 8 y un residuo de 9: tampoco es divisible por 11. Ya no vale la pena seguir intentando más divisores primos, porque aquí el cociente (8) ya es menor que el divisor (11), y eso seguiría pasando con los siguientes números primos. Podemos entonces concluir que 97 es un número primo. a) Obtenga todos los números primos menores que 100. Para ello, haga una lista de los números del 1 al 100, tache todos los múltiplos de 2 mayores que 2, tache todos los múltiplos de 3 mayores que 3, como 4 y sus múltiplos ya quedaron tachados, pase al 5 y tache todos los múltiplos de 5 mayores que 5, etc. Los números que queden sin tachar son los números primos menores que 100. b) Utilice la lista anterior para descomponer en factores primos los números siguientes: 748 487 13 2397 6842 10584 c) Obtenga todos los divisores de los siguientes números: 210 286 72 1225 2310 600 En una carretera que tiene 60 kilómetros se desea poner anuncios de tal manera que la distancia entre dos anuncios sea siempre la misma, y que no haya menos de 14 ni más de 25 anuncios. Cuántos anuncios se deben poner y cada cuántos kilómetros deben estar? 59
GUÍA DE MATEMÁTICAS I Mínimo común múltiplo Observe en las listas de múltiplos que pusimos al principio de la lección que hay múltiplos en común a varios números. Por ejemplo ya vimos que todos los múltiplos de 6 también son múltiplos de 2 y de 3: un múltiplo de 6 es múltiplo común de 2 y 3. Si tenemos varios números, siempre podemos encontrar múltiplos comunes de ellos, por ejemplo 10, 20, 30, etc. son múltiplos comunes de 2, 5 y 10. De los múltiplos comunes de varios números el más importante es el más pequeño, el mínimo común múltiplo, por ejemplo, el mínimo común múltiplo de 2, 5 y 10 es 10; el mínimo común múltiplo de 3, 5 y 9 es 45. Todos los múltiplos que tengan en común los números que elijamos son múltiplos de su mínimo común múltiplo. Por ejemplo, 20, 30, 40, 50 son todos múltiplos comunes de 2, 5 y 10, y todos son múltiplos del mínimo común múltiplo, que es 10. Para encontrar el mínimo común múltiplo de varios números, primero los descomponemos en factores primos y luego nos fijamos en cuáles números primos aparecen en cada número y cuántas veces aparece cada primo, tomamos todos los números primos distintos que aparecieron y cada uno lo tomamos en la mayor cantidad de veces que haya aparecido y multiplicamos. Por ejemplo, si queremos encontrar el mínimo común múltiplo de 24, 45 y 70, primero los descomponemos en factores primos: 60 24 2 45 3 70 2 12 2 15 3 35 5 6 2 5 5 7 7 3 3 1 1 1 24 = 2 2 2 3 45 = 3 3 5 70 = 2 5 7
LECCIÓN 4 Los números primos que aparecen en estas descomposiciones son 2, 3, 5 y 7. La mayor cantidad de veces que aparecen son: 2 aparece tres veces en 24, 3 aparece dos veces en 45, 5 y 7 siempre aparecen una vez. Entonces el mínimo común múltiplo de 24, 45 y 70 es: 2 2 2 3 3 5 7 = 2520 Se acostumbra abreviar mínimo común múltiplo como mcm y poner los números entre llaves. En esta forma el mínimo común múltiplo de 24, 45 y 70 se escribe: mcm {24, 45, 70} = 2520 Los conceptos que hemos estudiado aquí son muy útiles para resolver algunas situaciones prácticas. Veamos un ejemplo. En la fábrica La Martiniana producen tela y le estampan en la orilla el nombre de la fábrica con una máquina. Esa máquina funciona así: tiene un sello con el nombre, que mide 9 cm., y hace avanzar la tela por tramos de 9 cm. En cada tramo se le da instrucciones a la máquina para que baje el sello o no lo baje: por ejemplo, si se quiere poner el sello cada 27 cm., se le ordena a la máquina que baje el sello una vez sí y dos veces no. Ahora La Martiniana va a empezar a exportar tela por rollo a los Estados Unidos. Los exportadores deben marcar los productos con la leyenda Hecho en México. El método más barato es estampar esta leyenda en la orilla de la tela, con la misma máquina con la que estampan el nombre de la fábrica. Entonces mandan a hacer un sello con la leyenda Hecho en México, que mide 6 cm.: cuando se desea poner este sello, la máquina avanza por tramos de 6 cm. 61
GUÍA DE MATEMÁTICAS I La Martiniana Hilados y tejidos 9 cm. HECHO EN MÉXICO 6 cm. Como la máquina sólo puede escribir un renglón, aunque se le puede decir a qué distancia del borde de la tela, van a pasar la tela dos veces, pero el dueño quiere que coincida el inicio de los dos sellos. Qué instrucciones se le deben dar a la máquina? Como 9 = 3 3 y 6 = 2 3, su mínimo común múltiplo es 3 3 2 = 18, entonces los múltiplos comunes de 9 y 6 son los múltiplos de 18, es decir: 0, 18, 36, 54, 72, 90, 108,... La distancia más corta en la que pueden aparecer los dos letreros es 18 cm.: cuando se pone el sello con el nombre de la fábrica se le ordena a la máquina que baje una vez sí y una vez no, y cuando se pone el sello de Hecho en México se le ordena que baje una vez sí y dos veces no. Sin embargo, así se gasta mucha tinta, y los requisitos para la exportación son que la leyenda debe aparecer por lo menos una vez cada metro, o sea cada 100 cm. Entonces se puede tomar el múltiplo común más grande pero menor que 100, que es 90. Como 90 = 9 10 y 90 = 6 15, se le ordena a la máquina que cuando estampe el nombre de la fábrica baje una vez sí y nueve veces no, y cuando estampe la leyenda para exportación baje una vez sí y catorce veces no. Ambos letreros aparecerán, alineados, cada 90 cm. 62
LECCIÓN 4 a) Encuentre cinco múltiplos comunes de 3 y 7. b) Encuentre el mínimo común múltiplo de los siguientes números: 3, 5 y 4 7, 5 y 3 12 y 51 77 y 28 9, 5 y 8 8, 4 y 2 a) Una empresa distribuidora de frijol en bolsa entrega a un supermercado cajas con 24 bolsas, a un restaurante cajas con 20 bolsas y a una bodega cajas con 25 bolsas. En los tres sitios entregó la misma cantidad de bolsas, que era menor de 700: qué cantidad era? b) Los dos porteros de una empresa intercambian turnos cada 9 días. Si hoy es lunes e intercambiaron turnos, cuántos días faltan para que un intercambio sea en lunes? c) Un ciclista le da la vuelta a una pista en 32 segundos, y otro se la da en 36 segundos. Si arrancan juntos, cuánto tiempo después se vuelven a encontrar en el punto de arranque? d) De una terminal salen autobuses a El Verde cada 20 minutos, a San Pedro cada 15 minutos y a Tepec cada 25 minutos. Si a las 12:00 del día salen autobuses a los tres pueblos, a qué hora vuelven a salir juntos los que van a El Verde y a San Pedro? y los que van a El Verde y a Tepec? y los que van a San Pedro y a Tepec? A qué hora vuelven a salir juntos los que van a los tres pueblos? 63